第05讲 平方差公式（解析版）

第05讲平方差公式思维导图核心考点聚焦1.判断是否可用平方差公式运算.2.运用平方差公式进行运算.3.利用平方差公式进行简便运算.4.平方差公式与几何图形结合.一、平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²．公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²，（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²．②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²．③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=．④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²．⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=．⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)．1.熟记平方差公式的结构，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.2.利用平方差公式简便运算及与几何图形的综合应用.考点剖析考点一、判断是否可用平方差公式运算例题1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A、，可以使用平方差公式；B、，可以使用平方差公式；C、，可以使用平方差公式；D、，两项都不相同，不能使用平方差公式．故选D．【变式训练】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；B、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；D、能使用平方差公式，故本选项符合题意；故选D．2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；B、，不能用平方差公式进行计算，符合题意；C、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；D、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；故选B．考点二、运用平方差公式进行运算例题2．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式训练】1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．2．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．考点三、利用平方差公式进行简便运算例题3．用简便方法计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【变式训练】1．用简便方法计算：．【解析】原式．2．用简便方法计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．考点四、平方差公式与几何图形结合例题4．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．(1)上述操作能验证的等式是（

）．（请选择正确的一个）． ． ．(2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①已知，，则______；②计算：．③计算：．【解析】（1）图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，图②中的阴影部分是长为，宽为的长方形，面积为，，故答案为：．（2）①，，又，，即，故答案为：．②，，，原式．③．【变式训练】1．图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为__________．（用含有a，b的代数式表示）(2)由（1）可以得到等式：__________．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：．②若，求的值．【解析】（1）图2中图形的面积为；故答案为：；（2）由（1）可得：；故答案为：；（3）①；②因为，所以．过关检测一、选择题1．已知，则括号里应填（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选B．2．若，，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】因为，，所以；故选D．3．下列能用平方差公式进行计算的式子，有（

）个．①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①，能用平方差公式进行计算；②，能用平方差公式进行计算；③，能用平方差公式进行计算；④，不能用平方差公式进行计算．综上可得能用平方差公式进行计算的式子有3个，故选C．4．若的值是，则的值是（

）A． B． C． D．16【答案】C【解析】因为，所以；故选C．5．若，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，故选B．二、填空题6．计算：．【答案】【解析】．故答案为：．7．计算的值为．【答案】【解析】．故答案为：．8．已知，则的值为．【答案】13【解析】，，，故答案为：13．9．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下的部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形．通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为．【答案】【解析】图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，所以．故答案为：．10．已知，则的值为．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故答案为：．三、计算题11．计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．12．计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）．13．先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式．14．先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式．15．先化简，再求值：当时，求的值．【解析】，因为，所以，原式．16．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．17．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是（）（请选择正确的一个）A． B． C．