八年级数学下册-第03讲 直角三角形(7类热点题型讲练)（解析版）

第03讲直角三角形(7类热点题型讲练)1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．知识点1直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.知识点2勾股定理及逆定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，知识点3直角三角形全等的判定HL法图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，题型01直角三角形的两个锐角互余【例题】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）在中，，那么另一个锐角的度数是．【答案】/20度【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余进行计算即可．【详解】解：在中，，．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，，，点D在斜边上，且，则°．【答案】【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可求解，熟练掌握等腰三角的性质及三角形内角和定理是解答的关键．【详解】解：∵在中，，，∴，，∴，∴，故答案为：．2．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为°【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出，根据全等三角形对应边相等得到，全等三角形对应角相等可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的外角的性质得到结果．【详解】解：由已知得，，，，，，，，，，在中，．故答案为：．题型02判断三边能否构成直角三角形【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结果，熟练运用三角形的性质是解题的关键．【详解】解：A、设，则，，，∵，∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；B、∵，，，∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；C、设，则，，∵，即，解得，则，∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；D、∵，，∴即，此时不能确定或是否为，∴不确定是直角三角形，该选项符合题意；故选：D．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为．【答案】6【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次根式有意义的条件求出、、是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求出，根据非负数的性质分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：，，，故答案为：6．2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）在中，给出以下4个条件：①；②；③；④．从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有．（填序号）【答案】①②③【分析】由可直接得出是直角三角形，可判断①；由，结合三角形内角和定理可求出，得出是直角三角形，可判断②；由，可设，则，，根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，可判断③；由，可设，则，，结合三角形内角和定理可求出，从而即可证明，可判断④．【详解】解：①可直接得出是直角三角形；②∵，，∴，∴，故是直角三角形；③∵，故可设，则，，又∵，即，∴是直角三角形；④∵，故可设，则，，∵，∴，解得：，∴，，，∴不是直角三角形．故答案为：①②③．【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题关键．3．已知a，b，c满足．(1)求a，b，c的值；(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．【详解】（1）根据题意得：，，，解得：，，．（2）能构成直角三角形，，，，以、、为边长的三角形是直角三角形．三角形的面积是：．题型03在网格中判断直角三角形【例题】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：

(1)试说明是直角三角形；(2)求点到的距离．【详解】（1）解：由图可知：，，．是直角三角形

（2）由（1）可知：，，点到的距离是．故答案为【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，边上的高长为．

【答案】【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：，，，，为直角三角形，，设边上的高为，，，，上的高为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，二次根式的乘法运算，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【详解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面积：．题型04利用勾股定理的逆定理求解【例题】如图，点在中，，，，

(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【详解】（1）解：∵，，，，（2）∵，，，是直角三角形，，．故图中阴影部分的面积为．【变式训练】1．在四边形中，，求四边形的面积．【详解】解：连接，∵∠B=90°，∴为直角三角形，∵，根据勾股定理得：，又∵，∴，∴，∴为直角三角形，∴，答：四边形的面积36．2．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．【详解】解：由题意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四边形的面积为18．题型05勾股定理逆定理的实际应用【例题】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？【详解】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的长是；（2）解：在中，（），故一辆货车从点到处的路程是．【变式训练】1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求的度数；(2)求取水点A到取水点D的距离．【详解】（1）∵千米，千米，千米，∴，∴，∴为直角三角形，∴，∴；（2）设千米，则千米，∴千米，∵，∴，∴，即，解得：．答：取水点A到取水点D的距离为千米．2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，．(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了．写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【详解】（1）测量的是点A，C之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形；（2）如图，连接，∵由（1）得，在中，，在中，，，∵，∴，∴，∴（平方米），（元），答：这块地全部种草的费用是1080元．题型06全等的性质和HL综合【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，，D为边的中点，于点E，于点F，．求证：是等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用三角形全等，证明，继而证明三角形的三边相等即可．【详解】证明：∵D为边的中点，∴．∵，，∴．在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，．求证：．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先由，得，再结合，，，则通过“”证明，即可作答．【详解】证明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴，∴．2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图，，垂足分别为．(1)求证：；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）根据“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可证明；（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．【详解】（1）证明：在和中，，∴；（2）解：由（1）知：，∴，，∴，∴，∴．即四边形的面积是12．题型07全等的性质和HL综合【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知是上的一点，且．(1)和全等吗？请说明理由；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)．理由见解析(2)是等腰直角三角形．理由见解析【分析】本题考查的是直角三角形的全等判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的定义，熟练的证明直角三角形全等是解本题的关键；（1）先证明，再证明即可；（2）由全等三角形的性质可得，再证明，从而可得结论．【详解】（1）解：．理由如下：，∴，∵，∴，在和中，．．（2），∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知，点在一条直线上，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质．（1）根据证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可求解．【详解】（1）解：证明：，，即，在和中，，．（2）解：，，由（1）知，，．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)若，求度数；(2)求证：；(3)试判断与的位置关系．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．（1）根据在中，，F为延长线上一点，点E在上，且，可以得到和全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；（2）根据，可以得到，然后即可转化为的关系，从而可以证明所要证明的结论；（3）根据，，，结合，即可作答．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）证明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，过程如下：延长交于一点H，如图∵，∴，由（1）知，∴，∴.一、单选题1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在中，，，∴，故选：B．2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（

）A．如果，则B．如果，则为直角三角形C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数D．如果，则为直角三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．【详解】解：A、∵，∴设，∵，，∴，∴，故不符合题意；B、∵，，∴，∴不是直角三角形，故符合题意；C、∵a，b，c长分别为6，8，10，∴，且a，b，c的长都是正整数，∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；D、∵①，②，将①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合题意．故选：B．3．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．首先根据题意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】∵是等腰底边边上的中线，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故选：B．4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在和中，，则下列结论中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．E为BC中点【答案】D【分析】根据斜边直角边定理，可得，运用全等三角形的性质，可推，．【详解】解：A.∵∴，故结论成立，本选项不合题意；B.∵∴，故结论成立，本选项不合题意；C.如图，∵∴.∵∴∴．故结论成立，本选项不合题意；

D.根据题目条件无法推证E为BC中点，本结论错误，本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和性质，由全等三角形得到线段相等、角相等是解题的关键．5．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为5 D．点A到的距离是1.5【答案】D【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D．【详解】解：A、，，，，，本选项结论正确，不符合题意；B、∵，∴，本选项结论正确，不符合题意；C、，本选项结论正确，不符合题意；D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意；故选：D．二、填空题6．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）如图所示，，可使用“”判定与全等，则应添加一个条件是．

【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等含有．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理即可，条件可以是或．【详解】解：添加的条件是，理由是：∵，∴在与中，∴，故答案为：．7．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）若，则由，，组成的三角形是三角形．【答案】直角【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．根据非负数的性质列式求出、、的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形．【详解】解：根据题意得，，，，解得，，，，此三角形是直角三角形．故答案为：直角三角形．8．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则．【答案】/20度【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出，再根据折叠性质即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，由翻折的性质可得：，∵，∴，故答案为：．9．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则，．【答案】22【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，进而利用等角对等边即可解答．【详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，，，，，，，，，故答案为：2，2．10．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为．

【答案】或或2【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，的长，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；②当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；③当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出的长，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长．【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，

等腰梯形中，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，；②如图2，当时，

，等腰梯形中，，，，，，，，，，，；③如图3，当时，

等腰梯形中，，，，，，在中，，，，，是等腰直角三角形，，在中，；综上所述，CF的长为或或2．故答案为：或或2．三、解答题11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出，由证明即可．【详解】证明：∵，∴，即，∵，在和中，，∴．12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），测得千米，千米，千米，(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；(2)求原来的路线的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)2.5千米【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．（1）根据勾股定理逆定理，求出，即可；（2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．【详解】（1）解：是，理由如下：∵千米，千米，千米，∴，∴，即：，∴是从村庄C到河边的最近路；（2）设，∵，∴，∵，∴，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴的长为千米．13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高__________．【答案】(1)，，(2)直角(3)【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现即可判定三角形的形状．（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．【详解】（1）由题可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴为直角三角形．（3）如下图，过点作的垂线，垂足为；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴．

14．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，已知，，，．(1)求的长；(2)求的度数．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理的逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．（）根据勾股定理直接计算即可求解；（）根据等腰直角三角形的性质得到，又由勾股定理的逆定理得到，利用角的和差