2.5 一元一次不等式与一次函数（备作业）-八年级数学下册同步备课系列(北师大版)（解析版）

2.5一元一次不等式与一次函数一、单选题1．如图是一次函数的图象，若，则x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据y>0，即为一次函数图像在x轴上方，由此利用函数图像求解即可【解析】解：如图，由函数图像可知：一次函数图像与x轴交点为（-3，0），当x＞-3时，一次函数图像在x轴的上方，∴当x＞-3，y＞0，故选C．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，正确利用函数图象分析是解题关键．2．直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（）．A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分【答案】B【分析】y=x和y=-x+1把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，由图即可得出答案．【解析】由图可知，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，故同时满足且的点为两者的重合部分，由图知，点必定在第Ⅱ部分，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握数形结合的数学思想，即利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．3．如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和点B（0，-3），则不等式kx+b≥-3的解集为（）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【答案】A【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【解析】观察图象知：当时，，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，注意数形结合思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝kx＋b与x轴交于点B(－2，0)，与y轴交于点C，则“不等式kx＋b≥0的解集”对应的图形是（）A．射线BD上的点的横坐标的取值范围 B．射线BA上的点的横坐标的取值范围C．射线CD上的点的横坐标的取值范围 D．线段BC上的点的横坐标的取值范围【答案】A【分析】根据图象即可得出不等式kx＋b≥0的解集，从而判断出结论．【解析】解：由图象可知：不等式kx＋b≥0的解集为x≤-2∴“不等式kx＋b≥0的解集”对应的图形是射线BD上的点的横坐标的取值范围故选A．【点睛】此题考查的是根据一次函数的图象和不等式，求自变量的取值范围，掌握利用一次函数的图象，解一元一次不等式是解决此题的关键．5．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝k2x的图象如图所示．则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜3 D．x＞3【答案】A【分析】直接利用一次函数的交点为（﹣1，3），进而得出不等式k2x＞k1x+b的解集．【解析】解：如图所示：关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集是：x＜﹣1．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．6．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】观察函数图象得到当x＞-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．【解析】解：当x＞-1时，x+b＞kx-1，即不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．7．函数与的部分自变量和对应函数值如下：x-4-3-2-1y-1-2-3-4x-4-3-2-1y-9-6-30当时，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【解析】解：根据表格可得y1=k2x+b1中y随x的增大而减小，y2=k2x+b2中y随x的增大而增大．且两个函数的交点坐标是（-2，-3）．则当x＜-2时，y1＞y2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．8．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是()A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．【解析】解：∵直线y1=kx经过第一、三象限，∴k＞0，故①正确；∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴，∴b＜0，故②错误；∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．9．如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝−x又相交于（−1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2结合图像的位置关系，即可求出x的取值范围．【解析】解：∵当x≥0时，y1＝x；当x＜0时，y1＝−x，两直线的交点为（2，2），（−1，1），∴由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜−1或x＞2．故选C．【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当y1＞y2时x的取值范围等价于y1所对应的图像在y2所对应的图像上方部分图像上点的横坐标的范围．10．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．【解析】解：由题意得：，解得：，当时，，当时，，，由图象可知：此时该函数的最大值为；当时，，当时，，，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，，的最大值是当所对应的的值，如图所示，当时，，故选：C【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．二、填空题11．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为________．【答案】【分析】根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，即可求解．【解析】解：根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，∴关于x的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b（）与y=0的上下位置关系找出不等式ax+b<0的解集是解题的关键．12．一次函数与的图象如图所示，则当x______时，；当x______时，；当x______时，．【答案】【分析】利用函数图像交点的位置，比较函数值的大小，来确定自变量的范围，【解析】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为（1，-3），在交点的右侧一次函数的图象在一次函数的图象的下方即∴x＞1，当x＞1时，；一次函数的图象与一次函数的图象相交时，即，∴x=1，当x=1时，：在交点的左侧，一次函数的图象在一次函数的图象的上方即∴x＜1，当x＜1时，；故答案为；；．【点睛】本题考查根据函数值的大小确定自变量的大小，掌握函数图像的交点左侧与右侧的图像位置确定函数值的大小是解题关键．13．已知一次函数与的图象如图所示．（1）写出关于x，y的方程组的解为________．（2）若，写出x的取值范围________．【答案】【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标；（2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围．【解析】解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标，由图知，；（2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围，由图知，．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法．14．已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为________．【答案】【分析】由题意可得，交点的横坐标为3，代入直线解析式即可求解．【解析】解：由题意可得，直线与的交点横坐标为3将代入直线，得，即交点坐标为故答案为【点睛】此题考查了求解直线的交点坐标，理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．15．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为_____．【答案】1＜x＜4【分析】先解不等式0＜mx+n，结合图像可知上的点在轴的上方，可得＜再解mx+n＜kx+b，结合图像可知上的点在的上方，可得＞从而可得0＜mx+n＜kx+b的解集．【解析】解：不等式0＜mx+n，上的点在轴的上方，＜mx+n＜kx+b，上的点在的上方，，＞不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为1＜＜4，故答案为：1＜＜4，【点睛】本题考查的是一次函数与不等式组的关系，掌握利用一次函数的图像解不等式组是解题的关键．16．如图所示，次函数与的图像相交于点，则不等式的解集是________．【答案】【分析】先求出，然后根据图象可知：在交点的左侧，，即当时，，从而求出不等式的解集．【解析】解：由图象可知：在交点的左侧，即当时，∴的解集是．故答案为：．【点睛】此题考查的是根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解决此题的关键．17．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．①；②；③当时，；④；⑤．【答案】②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y＝ax＋b图象从左向右变化趋势及与y轴交点即可判断a、b的正负；②根据一次函数y＝cx＋d图象从左向右变化趋势及与y轴交点可判断c、d的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），可得＞-1，解此不等式即可作出判断．【解析】解：①由图象可得：一次函数y＝ax＋b图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，故①错误；②由图象可得：一次函数y＝cx＋d图象经过一、二、三象限，∴c＞0，d＞0，∴ac＜0，故②正确；③由图象可得：当x＞1时，一次函数y＝ax＋b图象在y＝cx＋d的图象下方，∴ax＋b＜cx＋d，故③错误；④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，∴a＋b＝c＋d，故④正确；⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），且＞-1，c＞0，∴c＞d．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．【解析】令，则，令，则，∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，∴可知在时，有公共解，∴，解得：，故填：．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．三、解答题19．已知函数和相交于点．（1）求k、b的值；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象求当x取何值时有：①；②且．【答案】（1），；（2）画图见解析，①，②【分析】（1）将点分别代入函数和即可求解；（2）根据描点法画出函数图像，①通过函数图像得到时，自变量的取值范围即可；②观察函数图像，求得且时，自变量的取值范围即可．【解析】解：（1）将点代入函数得，解得将点代入函数得，解得故答案为，（2）列表，如下02-2-15-1函数图像如下：①由图像可得：当时，，故答案为②将代入得，，由图像可知时，将代入得，，由图像可知时，由此可得【点睛】此题考查了待定系数法求解一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．20．.若两个一次函数：，问x取何值时，＞【答案】【解析】试题分析：注意此题转化成一元一次不等式，求解即可.试题解析：根据题意可知，去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得即当时，点睛：解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.21．如图，直线与直线交于点．（1）求点的坐标；（2）根据图象，写出当

时，的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）联立两函数即可求解；（2）根据函数图象即可求解．【解析】解：（1）由于两直线相交，联立方程得：解得：∴点的坐标为．（2）由图象知，当，即在时上方时，．∴当时，的取值范围是．【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程（组）一次函数的性质，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法．22．在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程和的图象．利用图象求：方程的解；不等式的解集；根据图像写出方程组的解．【答案】作图见解析，（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先画出，图象，方程的解看两直线的交点，横坐标即为的值；（2）根据图象可知，以交点为分界，直线在上面的函数值大；（3）分别解不等式，再求公共部分．【解析】解：画和的图象，方程变形为：，，根据图象可知：方程的解为：；根据图象可知：不等式的解集为：；方程组的解为，所以不等式的解集为.【点睛】一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次方程，一元一次不等式组的定义.23．如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x的不等式ax+b>0的解集是；（2）关于x的不等式mx+n<1的解集是；（3）当x满足的条件时，y1⩽y2；（4）当x满足的条件时，0<y2<y1．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）求ax+b＞0的解集，只需确定直线y2在x轴上方时x的取值范围即可；（2）求mx+n＜1的解集，也就是求直线y1在y=1下方时x的取值范围，据此解答即可；（3）找出直线y1在直线y2的下方与相交时x的取值范围，据此可确定y1≤y2时x的取值范围；（4）根据函数图象，找出直线y2在直线y1的下方且在x轴上方时x的取值范围即可．【解析】(1)∵直线y2=ax+b与x轴的交点是(4,0)，∴当x<4时,y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4；(2)∵直线y1=mx+n与y轴的交点是(0,1)，∴当x<0时,y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0；(3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当函数y1的图象在y2的下面时，有x⩽2，∴当x≤2时,y1≤

y2；(4)如图所示,当2<x<4时,0<y2<y1．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式关系，能用函数观点看一元一次不等式是解题关键．24．如图，直线：与直线：交于点，直线分别交轴、轴于点、，直线交轴于点．（1）求、的值．（2）请直接写出使得不等式成立的的取值范围．（3）在直线上找点，使得，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为或【分析】（1）先将P坐标代入的解析式中求出m值，得到点P坐标，再代入的解析式中求得k值即可；（2）根据图像，不等式的解集为直线位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围；（3）先求出点A、B、C坐标，再利用三角形的面积公式求出，设点坐标为，根据列方程求解即可．【解析】（1）把代入得，解得，所以点坐标为，把代入得，解得．（2）由图可知，不等式成立的x的取值范围为；（3）当时，，解得，则；当时，，则，当时，，解得，则，所以，设点坐标为，因为，所以，解得或，所以点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、由两直线的交点求不等式的解集、坐标与图形的性质、三角形的面积公式、解绝对值方程等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用是解答的关键．25．为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．(1)以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；(2)若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？【答案】(1)方案一：y＝0.95x方案二：y＝0.9x＋300;(2)选择方案一更省钱【解析】试题分析：（1）分别按照所给方案表示即可；（2）把x=5880代入计算，然后比较大小即可.试题解析：（1）方案一：y=0.95x，方案二：y=0.9x+300（2）当x=5880时，方案一：y=0.95x=0.95×5880=5586元；方案二：y=0.9x+300=0.9×5880+300=5592元，因为5586＜5592，所以选方案一.考点：一次函数的应用.26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过