湖北省武汉市江汉区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

湖北省武汉市江汉区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（考试时间：120分钟试卷总分：150分）第I卷（本卷满分100分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1.要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可求解．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：．故选A．2.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．【详解】解：A.被开方数是小数，不是最简二次根式；B.最简二次根式；C.中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D.中被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：B．3.中，已知，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．4.下列计算中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次根式的加，减，乘，除运算，根据二次根式的加，减，乘，除运算法则计算各选项的结果再判断即可【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意；B.，故选项B计算错误，不符合题意；C.，计算正确，符合题意；D.，故选项D计算错误，不符合题意；故选：C5.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角相等 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【答案】B【解析】【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．【详解】解：∵矩形和菱形是平行四边形，∴A、C是二者都具有的性质，D是菱形具有的性质，∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．故选：B．6.已知a，b，c分别为的三条边，满足下列条件时，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【详解】解：A、∵，∴，∴能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵，∴，∴能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵，∴最大角，∴不能构成直角三角形，故C符合题意；D、∵，∴，∴能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．7.下列命题中，逆命题是假命题的是（）A.两直线平行，同位角相等B.两个数互为相反数，则它们的平方相等C.有一个内角是直角的四边形是矩形D.线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了命题与逆命题，根据平行线的性质和判定，矩形的性质，垂直平分线的性质和判定逐一分析判断即可．【详解】解：A、逆命题：同位角相等，两直线平行，不是假命题；B、逆命题：两个数的平方相等，则两个数互为相反数，是假命题；C、逆命题：矩形有一个内角是直角，不是假命题；D、逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，不是假命题；故选：B．8.小明沿正东方向走80m后，又沿另一方向走了60m，这时距出发地100m，则小明第二次行走的方向是（）A.正南分向 B.正北方向C.东南或东北方向 D.正南或正北方向【答案】D【解析】【分析】此题考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形并进行分析判断．根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．【详解】解：根据题意作图如下，，∵，∴或，∴，故小明向东走80m后是向正南方向或正北方向走的．故选：D．9.如图，一双长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形热干面碗中，则筷子露在碗外面的长度不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据筷子的放置方式，分两类利用勾股定理求解，得到筷子露在碗外面的长度范围即可得到答案，根据题意构造直角三角形是解决问题的关键．【详解】解：当筷子竖直放置，如图所示：一双筷子长，热干面碗高为，此时，筷子露在碗外面的长度为；当筷子与底面圆直径构成直角三角形放置，如图所示：圆柱形热干面碗的底面直径为，高为，由勾股定理可得碗中筷子部分长度为，则此时，筷子露在碗外面的长度为；综上所述，筷子露在碗外面的长度范围是到，故选：A．10.已知四边形，以下有四组条件：①；②；③；④，其中能判四边形是平行四边形的条件共有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.1组【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定，运用平行四边形的判定定理进行判断即可【详解】解：如图：①，运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形；②，无法判断四边形是平行四边形；③，无法判断四边形是平行四边形；④，无法判断四边形是平行四边形；所以能判断四边形是平行四边形的是①，只有1组，故选：A二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.______．【答案】4【解析】【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．【详解】解：．故答案为：4．【点睛】本题考查了算术平方根的概念，难度较小．12.比较大小：__________．（填“>”、“<”或“=”号）【答案】【解析】【分析】本题考查实数比较大小，涉及二次根式性质，二次根式比较大小的方法等知识，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：，，即，故答案为：．13.已知一个直角三角形的两直角边长分别是和，则这个三角形的斜边长是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：由题意可得，斜边长，故答案为：．14.若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质求面积、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键．根据题意，作出图形，先求出面积，再利用菱形对角线相互垂直平分，由勾股定理求出菱形边长后，利用等面积法列式求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：菱形的两条对角线长分别是和，不妨令，，在菱形中，，则在中，，由勾股定理可得，，，解得，故答案：．15.如图，在中，D，E分别是的中点，是上一点，且，若，则的长是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，勾股定理，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵D，E分别是的中点，∴是中位线，又∵∵，∵，E分别是的中点，，∴，∴，故答案为：．16.如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分別为，若正方形的边长为，则__________．【答案】18【解析】【分析】根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解．【详解】解：在中，由勾股定理得：∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，∴，∴；；∵正方形的边长为，∴，∴故答案为：18．【点睛】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识，根据已知得出是解题的关键．三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算：（1）原式先计算二次根式的乘法和化简二次根式，然后再进行加减运算即可；（2）原式直接进行二次根式除法运算即可【小问1详解】解：【小问2详解】解：18.如图，已知，E，F是对角线上的两点，，连接．（1）求证：；（2）连，直接写出当和满足什么关系时，四边形是菱形．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键．（1）由可证即可证明；（2）由全等三角形的性质得，，由一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定方法可得结论【小问1详解】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】当和满足时，四边形是菱形．理由：∵，∴，．∴，∴，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．19.如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若．（1）直接写出四边形的周长；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）根据30度的角所对直角边是斜边的一半可得，结合E是的中点即可求解（2）连接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据即可求解．【小问1详解】解：∵∴，∵，，∴，∴，∵E是的中点，∴∴四边形的周长：【小问2详解】解：连接，如图，∵，，∴∴∵E是的中点，∴∴∵∴∴是直角三角形，，∴20.如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接.（1）求证：四边形矩形；（2）连接，若，，求的长度.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴且，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∵四边形是菱形，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．21.如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，网格线的交点称为格点．中A，B，C，M都是格点，O是与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列画图．（1）画出平行四边形；（2）在左侧画出所有满足条件的格点P，使；（3）在上面一点N，使；（4）连接，在上画点Q，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质：（1）取格点B，D，再顺次连接，即可求解；（2）根据题意，找到点即可；（3）取格点K，使，连接交于点N，交于点E，即可；（4）连接交于点Q，即可．【小问1详解】解：如图，平行四边形即为所求；理由：根据题意得：，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：如图，点即为所求；【小问3详解】解：如图，取格点K，使，连接交于点N，交于点E，点N即为所求；理由：由（1）得：，∴四边形是菱形，∴平分，∴，由作法得：，∴，∵，∴，∴；【小问4详解】解：如图，连接交于点Q，点Q即为所求．理由：∵四边形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴．第II卷(本卷满分50分)四、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卷指定的位置．22.已知，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】由已知条件先求解，，结合，再代入求值即可．【详解】解：∵，，∴，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．23.最简二次根式和最简二次根式的和为最简二次根式，则____________，____________．【答案】①.3②.14【解析】【分析】本题考查了同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，根据题意可以两个最简二次根式是同类二次根式，据此得到，解方程求出a的值，进而求出两个最简二次根式，据此可得答案．【详解】解：由题意得，最简二次根式于最简二次根式是同类二次根式，∴,解得，当时，，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；当时，，原二次根式是最简二次根式，∴，∴,故答案为：

3；14．24.如图，中，，对角线、交于点O，M，N分别是、的中点，过点作，分别交，于点E，F，连，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是____________(填写序号)．【答案】①③④【解析】【分析】通过证明四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可以得到结论①正确，通过证明，根据等腰三角形的“三线合一”得到结论④正确，根据中位线定理及三角形的面积公式将和用的面积表示，从而得到结论③正确．【详解】解：如图，四边形是平行四边形，，，，，，，，，即，，，四边形是平行四边形，，，同理四边形也是平行四边形，，，结论①正确；由前知，M是的中点，，，根据等腰三角形“三线合一”可知，结论④正确；过点B作，与的延长线交于点P，四边形是平行四边形，，，，，，F是的中点，同理点E也是的中点，连接，，根据中位线定理和平行四边形的性质可知：，，，结论③正确；如果，那么，题中没有给出相应的条件，结论②不正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，中位线定理，三角形的面积等知识，解题关键是灵活运用相关知识解决问题．25.已知，如图，矩形中，，，E是射线上一动点，将矩形沿直线翻折．点B落在点F处，若为直角三角形，则的值是____________．【答案】1或或或【解析】【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分四种情况，①时，②点F在上，时，③时，④点F在延长线上，时，由折叠的性质和相似三角形的判定与性质分别求出的长即可．【详解】解：①时，如图1，∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得，∴，∴A、F、C三点共线，∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠的性质得：，∴；②点F在上，时，如图2，由（1）可知，由勾股定理得，，∴；③时，如图3，由折叠的性质得：，∴是等腰直角三角形，∴四边形是正方形，∴，∴，∴；④点F在延长线上，时，如图4，由折叠的性质得：，∵，∴，∴，综上所述，若为直角三角形，则的值为1或或或．故答案为：1或或或．五、解答题(共3小题，共34分)下列各题需要再答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．26.如图，已知菱形，为延长线上一点．且．（1）求证：；（2）如图（2），点为线段上一点，连接，为的中点，连接，．求证：；（3）在（2）的条件下，若，，菱形的面积为，直接写出的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到，根据等边对等角得，，再根据三角形内角和定理求出，即可得证；（2）延长至点，使，连接、，根据三角形中位线定理得到，证明四边形是菱形，得到，，证明，得，即可得证；（3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，设，由勾股定理得，根据菱形的面积公式求得，继而求得，，根据等腰三角形三线合一性质得到，根据角的直角三角形的性质得到，即可得解．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，，∴，∴，，在中，，∴，∴，即；【小问2详解】延长至点，使，连接、，∵为的中点，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，，∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，，在和中，，∴，∴，∴；【小问3详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，设，∵四边形是菱形，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵菱形的面积为，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去），∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角直角三角形的性质，菱形的面积，三角形的面积等知识点，掌握菱形的判定和性质，通过作适当辅助线以利用三角形中位线定理及构造直角三角形是解题的关键．27.阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点．我们把叫做两点间的距离，记作．如，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）①若，直接写山的值；②当的距离时，求出的值；（2）①若在平面内有一点，使式子有最小值，直接写出这个最小值；②直接写出的最小值．【答案】（1）①；②或（2）①；②【解析】【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键．（1）①由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案；（2）①由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式，理解表示定点到轴上的动点的距离、到距离、定点到轴上的动点的距离之和，作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，如图所示，再由两点之间线段最短运用距离公式代值求解即可得到答案．【小问1详解】解：①，由材