2024-2025学年新教材高中数学第二章函数2.4函数的奇偶性与简单的幂函数2.4.1函数的奇偶性一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE6其次章函数§4函数的奇偶性与简洁的幂函数课时1函数的奇偶性学问点1函数奇偶性概念的理解1.☉%***03#75%☉(2024·陕西宝鸡金台区月考)下列说法中错误的个数为()。①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数;②图像关于y轴对称的函数是偶函数;③奇函数的图像肯定过坐标原点;④偶函数的图像肯定与y轴相交。A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：由奇函数、偶函数的性质,知①②说法正确;对于③,如f(x)=1x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是奇函数,但它的图像不过原点,所以③说法错误;对于④,如f(x)=1x2,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是偶函数,但它的图像不与y轴相交,所以④2.☉%*#￥2556￥%☉(2024·广安二中月考)下列函数不具备奇偶性的是()。A.y=-x B.y=-1C.y=x-1x+1 D.y答案：C解析：y=-x与y=-1x都是奇函数,y=x2+2是偶函数,y=x-1x+1的定义域为{x∈R|x≠-1},不关于原点对称,故y=x3.☉%1#*0#*19%☉(2024·吉林长春十一中高一检测)如图2-4-1-1是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的()。图2-4-1-1A.是奇函数而非偶函数B.是偶函数而非奇函数C.是奇函数且是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案：C解析：因为f(x)=0,x∈{-2,2},满意f(-x)=±f(x)。所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数。故选C。4.☉%544#7￥￥*%☉(2024·上海崇明区测试)奇函数y=f(x)(x∈R)的图像必定经过点()。A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a)) D.a答案：C解析：由f(-x)=-f(x),知当x=-a时,f(-a)=-f(a)。故选C。5.☉%551##8@￥%☉(2024·乐山一中月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为()。A.-1 B.0 C.1 D.无法确定答案：B解析：因为f(-x)=-f(x)。所以f(0)=-f(0),即f(0)=0。故选B。6.☉%3*@03*2#%☉(2024·北京19中月考)函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b=()。A.-13 B.13 C.0答案：B解析：由偶函数的定义,知[a-1,2a]关于原点对称,所以2a=1-a,解得a=13。又f(x)为偶函数,所以b=0,所以a+b=13。故选学问点2函数奇偶性的推断7.☉%24#0#2#￥%☉(2024·桂林高一检测)若函数f(x)满意f(-x)f(x)=1,则f(A.x轴 B.y轴C.直线y=x D.不能确定答案：B解析：由题意得f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称。故选B。8.☉%9#6￥6#8@%☉(2024·云南民族高校附属中学高一检测)已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()。A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数答案：B解析：F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)。又因为x∈(-a,a)关于原点对称,所以F(x)是偶函数。故选B。9.☉%￥###5701%☉(原创题)函数f(x)=1x+x3的图像关于()A.坐标原点对称 B.x轴对称C.y轴对称 D.直线y=x对称答案：A解析：函数f(x)的定义域关于原点对称,又因为f(-x)=1-x-x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,故其图像关于坐标原点对称。故选10.☉%*#689*@8%☉(多选)(2024·河北衡水中学高一月考)已知f(x),g(x)都是定义域为R的不恒为零的函数,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列说法中正确的是()。A.函数|f(x)|为偶函数B.函数-g(x)为奇函数C.函数f(|x|)+g(x)为偶函数D.函数f(x)+g(x)为非奇非偶函数答案：ACD解析：由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),逐一分析所给的函数:选项A中,|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,该函数为偶函数,说法正确;选项B中,-g(-x)=-g(x),该函数为偶函数,说法不正确;选项C中,f(|-x|)+g(-x)=f(|x|)+g(-x)=f(|x|)+g(x),该函数为偶函数,说法正确;选项D中f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],该函数为非奇非偶函数,说法正确。故选ACD。11.☉%4##**722%☉(2024·甘肃南裕固族自治县一中高一检测)函数f(x)=4-x2|xA.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数答案：A解析：因为4-x2≥0,|x+2|-2≠0,所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,此时f(x)=4-x2|x+2|-2=412.☉%##35￥*47%☉(2024·山东济宁任城高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则函数g(x)=ax3+bx2+cx()。A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案：A解析：若f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则有f(-x)=f(x),即ax2+bx+c=ax2-bx+c,所以b=0。故g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx,故有g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),故函数g(x)为奇函数。故选A。13.☉%*2￥*851￥%☉(多选)(2024·南京调考)对于定义在R上的函数f(x),有如下四个命题,其中正确的是()。A.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数B.若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)<f(4),则函数f(x)是R上的增函数D.若f(0)<f(4),则函数f(x)不是R上的减函数答案：BD解析：对于函数f(x)=x2,满意f(0)=0,f(0)<f(4),但f(x)是偶函数,在定义域R内不具有单调性,所以AC错误,易知BD正确。题型函数奇偶性的应用14.☉%*2*￥455￥%☉(2024·河南濮阳高一(上)期末考试)对于定义域为R的奇函数f(x),下列结论肯定成立的是()。A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0答案：C解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)-f(-x)=2f(x),其值与f(x)的取值有关,f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0,故选C。15.☉%49￥#39*￥%☉(2024·荆州统考)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=()。A.21 B.-21 C.26 D.-26答案：B解析：设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13。又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21。故选B。16.☉%2656#￥￥*%☉(2024·黄冈中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()。A.f(-1)<f(3)<f(4)B.f(4)<f(3)<f(-1)C.f(3)<f(4)<f(-1)D.f(-1)<f(4)<f(3)答案：D解析：因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)满意f(x-4)=-f(x),则f(4)=-f(0)=0。又f(x)=-f(-x)且f(x-4)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)。又f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0),即f(1)>0,所以f(-1)=-f(1)<0,f(3)=f(1)>0,于是f(-1)<f(4)<f(3)。故选D。17.☉%0**513@￥%☉(2024·九江一中月考)若奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(x)-f(-xA.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：A解析：因为f(x)为奇函数,f(3)=0,所以f(-3)=0。因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以f(x)-f(-x)2=f(x)>0。当x>0时,f(x)>f(3),所以x>3;当x<0时,易得f(x)>f(-3),所以-3<x<0。所以原不等式的解集为18.☉%8**35#2￥%☉(2024·昆明调考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满意f(2x-1)<f13的x的取值范围为()A.13,2C.12,2答案：A解析：由于f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则由不等式f(2x-1)<f13,可得-13<2x-1<13,解得13<x<19.☉%@467@##3%☉(2024·安徽安庆一中高三(上)月考)若定义在R上的函数f(x)满意:对随意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法正确的是()。A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.g(x)=f(x)+1为奇函数D.g(x)=f(x)+1为偶函数答案：C解析：因为对随意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,所以令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),所以g(x)=f(x)+1为奇函数。故选C。20.☉%*9#15@6#%☉(2024·长春十一中月考)已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的全部实根之和是。

答案：0解析：由题意,知函数y=f(x)的图像关于y轴对称,所以其图像与x轴的四个交点也两两成对关于y轴对称,即方程f(x)=0的实根两两互为相反数,故其全部实根之和是0。21.☉%6@##2@97%☉(2024·吉林试验中学月考)若f(x)为偶函数,则f(1+2)-f11-2=答案：0解析：11-2=1+2(1-2)(1+2)=-(1+2)。因为f(x)为偶函数,所以f11-2=f(-(1+2))=f(1+2),故f22.☉%7@#66@*4%☉(2024·上海七宝中学月考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-mx,且f(-2)=3,则m=。答案：14解析：因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-22-m2=m223.☉%@#7#05#2%☉(2024·甘肃天水一中高一检测)若函数f(x)=-x2+x,x>0,0,答案：解:若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x)。当x>0时,-x<0,则f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,又当x>0时,f(x)=-x2+x,所以-f(x)=x2-x。由f(-x)=-f(x),得ax2-x=x2-x,所以a=1。故当a=1时,f(x)是奇函数。24.☉%#08*@#49%☉(2