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PAGEPAGE1第2节平面对量的基本定理及坐标表示1.(2024·内江市一模)下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(3,4)))解析:B[对于A,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不行作为基底.对于B,e1,e2是两个不共线向量,故可作为基底.对于C,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不行作为基底.对于D,e1∥e2,e1,e2是两个共线向量,故不行作为基底.故选B.]2.(2024·包头市一模)已知向量a=(-1,2),b=(λ,1).若a+b与a平行,则λ=()A.-5 B.eq\f(5,2)C.7 D.-eq\f(1,2)解析:D[∵向量a=(-1,2),b=(λ,1),∴a+b=(-1+λ,3),∵a+b与a平行,∴eq\f(-1+λ,-1)=eq\f(3,2),解得λ=-eq\f(1,2).]3.(2024·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(-3,-2m),b=(1,m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是()A.(-∞,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5),+∞))C.(-∞,-2)∪(-2,+∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5),+∞))解析:D[由题意可知a,b为一组基向量,故a,b不共线,∴-2m≠3(m-2),即m≠eq\f(6,5).故选D.]4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6) D.(-2,-6)解析:D[设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,5.已知非零不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→)),若2eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)),且eq\o(PA,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是()A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0解析:A[由eq\o(PA,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)),得eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OP,\s\up6(→))=λ(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))),即eq\o(OP,\s\up6(→))=(1+λ)eq\o(OA,\s\up6(→))-λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2+2λ,,y=-2λ,))消去λ得x+y-2=0,故选A.]6.(2024·全国卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ解析:因为2a+b=(4,2),且c∥(2a+b),所以1×2-λ×4=0,解得λ=eq\f(1,2).答案:eq\f(1,2)7.(2024·柳州市模拟)设A(1,1)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(11,2))),点C满意eq\o(AC,\s\up6(→))=2eq\o(CB,\s\up6(→)),则点C到原点O的距离为________.解析:∵eq\o(AC,\s\up6(→))=2eq\o(CB,\s\up6(→)),∴eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=2(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))),∴eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→)))=eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1+2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(11,2)))))=(3,4).∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|=5,即点C到原点O的距离为5.答案:58.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,则角C=________.解析:因为p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,所以a2+b2-c2=ab,eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(1,2),结合余弦定理知,cosC=eq\f(1,2),又0°<C<180°,∴C=60°.答案:60°9.(2024·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且|DM|=1,|DN|=2,∠MDN=eq\f(π,3).(1)试用向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→))表示向量eq\o(DM,\s\up6(→)),eq\o(DN,\s\up6(→));(2)求|eq\o(AB,\s\up6(→))|,|eq\o(AD,\s\up6(→))|;(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若eq\o(AO,\s\up6(→))=xeq\o(AD,\s\up6(→))+yeq\o(AM,\s\up6(→)),求x,y的值.解:(1)如图所示,eq\o(DM,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→));eq\o(DN,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(CN,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)由(1)知eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(DN,\s\up6(→))-eq\f(4,3)eq\o(DM,\s\up6(→)),eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(DN,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(DM,\s\up6(→)),所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(DN,\s\up6(→))-\f(4,3)\o(DM,\s\up6(→))))2)=eq\f(4,3),|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\o(DN,\s\up6(→))-\f(2,3)\o(DM,\s\up6(→))))2)=eq\f(2,3)eq\r(13).(3)由重心性质知:eq\o(AO,\s\up6(→))+eq\o(DO,\s\up6(→))+eq\o(MO,\s\up6(→))=0,所以有:0=xeq\o(AD,\s\up6(→))+yeq\o(AM,\s\up6(→))+eq\o(OA,\s\up6(→))=x(eq\o(AO,\s\up6(→))-eq\o(DO,\s\up6(→)))+y(eq\o(AO,\s\up6(→))-eq\o(MO,\s\up6(→)))-eq\o(AO,\s\up6(→))=(x+y-1)eq\o(AO,\s\up6(→))+(-x)eq\o(DO,\s\up6(→))+(-y)eq\o(MO,\s\up6(→)).所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=eq\f(1,3).10.已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+teq\o(AB,\s\up6(→)),试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第三象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))=(3,3),∴eq\o(OP,\s\up6(→))=(1,2)+(3t,3t)=(3t+1,3t+2),若点P在x轴上,则3t+2=0,解得t=-eq\f(2,3);若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-eq\f(1,3
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