艺术生专用2025版高考数学总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示课时冲关

PAGEPAGE1第2节平面对量的基本定理及坐标表示1．(2024·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))解析：B[对于A，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不行作为基底．对于B，e1，e2是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不行作为基底．对于D，e1∥e2，e1，e2是两个共线向量，故不行作为基底．故选B.]2．(2024·包头市一模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝()A．－5 B.eq\f(5,2)C．7 D．－eq\f(1,2)解析：D[∵向量a＝(－1,2)，b＝(λ，1)，∴a＋b＝(－1＋λ，3)，∵a＋b与a平行，∴eq\f(－1＋λ,－1)＝eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(1,2).]3．(2024·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(－3，－2m)，b＝(1，m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))解析：D[由题意可知a，b为一组基向量，故a，b不共线，∴－2m≠3(m－2)，即m≠eq\f(6,5).故选D.]4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：D[设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，5．已知非零不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))，若2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0解析：A[由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y－2＝0，故选A.]6．(2024·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ解析：因为2a＋b＝(4,2)，且c∥(2a＋b)，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．(2024·柳州市模拟)设A(1,1)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,2)))，点C满意eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，则点C到原点O的距离为________.解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,2)))))＝(3,4)．∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝5，即点C到原点O的距离为5.答案：58．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析：因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，结合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案：60°9．(2024·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝eq\f(π,3).(1)试用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示向量eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AB,\s\up6(→))|，|eq\o(AD,\s\up6(→))|；(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AM,\s\up6(→))，求x，y的值．解：(1)如图所示，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))；eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)由(1)知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(DM,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(DN,\s\up6(→))－\f(4,3)\o(DM,\s\up6(→))))2)＝eq\f(4,3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\o(DN,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(DM,\s\up6(→))))2)＝eq\f(2,3)eq\r(13).(3)由重心性质知：eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＝0，所以有：0＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝x(eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→)))＋y(eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝(x＋y－1)eq\o(AO,\s\up6(→))＋(－x)eq\o(DO,\s\up6(→))＋(－y)eq\o(MO,\s\up6(→)).所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1⇒x＝y＝eq\f(1,3).10．已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,2)＋(3t,3t)＝(3t＋1,3t＋2)，若点P在x轴上，则3t＋2＝0，解得t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－eq\f(1,3