高考数学一轮复习 第五章 第4讲 平面向量的综合应用配套限时规范训练 理 苏教版

第4讲平面向量的综合应用分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，可得|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos120°＋2eq\r(3)cos150°＋0＝－4.答案－42．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，那么c＝________.解析由题知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2⇒c＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案eq\r(2)3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤0，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≥0，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最小值为________．解析由已知得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案34．已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为________．解析由(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，得[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC是等腰三角形．答案等腰三角形5.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.解析eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，因为OA＝OB，所以eq\o(AO,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，同理eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(9,2)，故eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D，E分别为AB，BC的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，则a2，b2，c2成________数列．解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，得(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，即eq\o(CB,\s\up6(→))2－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差数列．答案等差二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·南京模拟)已知在锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量m＝(sinB，－eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，4cos2\f(B,2)－2))，且m∥n.(1)求函数f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)若b＝1，求△ABC的面积的最大值．解(1)因为m∥n，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4cos2\f(B,2)－2))sinB＋eq\r(3)cos2B＝2sinBcosB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3)))＝0，所以B＝eq\f(π,3).所以f(x)＝sin(2x－B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).于是由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5,12)π，kπ＋\f(11,12)π))，k∈Z.(2)当b＝1时，由余弦定理，得1＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)＝a2＋c2－ac≥ac，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)≤eq\f(\r(3),4)，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以(S△ABC)max＝eq\f(\r(3),4).8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋ceq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2eq\r(3)，试求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值．解(1)因为(2a＋c)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋ceq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，因为sin(B＋C)＝sinA≠0，所以cosB＝－eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(2π,3).(2)因为b2＝a2＋c2－2accoseq\f(2π,3)，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝accoseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值为－2.分层训练B级创新能力提升1．(·南京师大附中二模)已知点P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝________.解析如图，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，△ABC为正三角形，所以四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，所以eq\o(AP,\s\up6(→))在向量eq\o(AD,\s\up6(→))上的投影为eq\o(AO,\s\up6(→)).又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝6.答案62．(·天津卷改编)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R，若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则λ＝________.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得P(2λ，0)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)3．(·南京学情分析)设eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))≤1，则z＝y－x的最小值是________．解析由题得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋\f(1,2)y≤1，,0≤y≤1，))所以可行域如图所示，所以当直线y－x＝z经过点A(1,0)时，zmin＝－1.答案－14．(·广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝eq\f(α·β,β·β).若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且a∘b和b∘a都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))中，则a∘b＝________.解析根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝eq\f(a·b,b·b)＝eq\f(|a|×|b|×cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|cosθ,|b|)，b∘a＝eq\f(|b|cosθ,|a|)，又由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))可得eq\f(\r(2),2)<cosθ<1，由|a|≥|b|>0可得0<eq\f(|b|,|a|)≤1，于是0<eq\f(|b|cosθ,|a|)<1，即b∘a∈(0,1)，又由于b∘a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))，所以eq\f(|b|cosθ,|a|)＝eq\f(1,2)，即|a|＝2|b|cosθ.①同理eq\f(|a|cosθ,|b|)>eq\f(\r(2),2)，将①代入后得2cos2θ>eq\f(\r(2),2)，又由于a∘b∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(n∈Z))))，所以a∘b＝2cos2θ＝eq\f(n,2)(n∈Z)，于是1<eq\f(n,2)<2，故n＝3，∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)，|a|＝eq\r(3)|b|，∴a∘b＝eq\f(\r(3)|b|,|b|)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).(1)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．解(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα，sinα－3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(BC,\s\up6(→))2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴α＝eq\f(5π,4).(2)由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝eq\f(2,3).①又eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)＝eq\f(2sin2α＋2sinαcosα,1＋\f(sinα,cosα))＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαc