人教A版必修二高中数学第四章 4.2.1同步课堂导学案【含详细解析】

4.2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系[学习目标]1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．[知识链接]1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).[预习导引]直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0图形要点一直线与圆的位置关系的判断例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).当d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．规律方法直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪演练1已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．要点二圆的切线问题例2过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－eq\f(15,8).所以切线方程为y＋3＝－eq\f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.规律方法1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．2．一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．跟踪演练2求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴eq\f(|－k－7|,\r(k2＋1))＝5.解得k＝eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).∴所求切线方程为y＋7＝eq\f(4,3)(x－1)或y＋7＝－eq\f(3,4)(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.要点三圆的弦长问题例3求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．解方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交点A(1,3)，B(2,0)，∴弦AB的长为|AB|＝eq\r(2－12＋0－32)＝eq\r(10).方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.∴|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(x2－x12＋[－3x2＋6－－3x1＋6]2)＝eq\r(1＋32x2－x12)＝eq\r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(10×32－4×2)＝eq\r(10)，即弦AB的长为eq\r(10).方法三圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝eq\r(5)，点(0,1)到直线l的距离为d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，所以半弦长为eq\f(|AB|,2)＝eq\r(r2－d2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，所以弦长|AB|＝eq\r(10).规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2.即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．跟踪演练3直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4eq\r(6)答案C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝eq\r(5).如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝eq\f(|1＋4－5＋\r(5)|,\r(12＋22))＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝eq\r(r2－d2)＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心答案D解析圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq\f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(11,5)<r.2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为()A．0或2B．2C.eq\r(2)D．无解答案B解析由圆心到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(2))＝eq\r(m)，解得m＝2.3．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案D解析直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.4．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．答案1解析点P到原点O的距离为|PO|＝eq\r(10)，∵r＝3，∴切线长为eq\r(10－9)＝1.5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．答案2x－y＝0解析设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2)＝0，即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|.3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．一、基础达标1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为()A．－2B．－4C．－6D．－8答案B解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝eq\r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋(eq\f(4,2))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为()A．2＋eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)D．0答案A解析圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝eq\r(2)，∴所求最大距离为2＋eq\r(2).3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()A．相离B．相切或相交C．相交D．相切答案C解析l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(3)时，a等于()A.eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1答案C解析因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为eq\r(3)，所以圆心到直线的距离为1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，解得a＝±eq\r(2)－1，因为a>0，所以a＝eq\r(2)－1，故选C.5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)答案C解析由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴eq\f(|1－2－2a|,\r(1＋a2))＝eq\r(5)，解得a＝2.6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．答案eq\f(2\r(55),5)解析圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\f(3\r(5),5)2)＝eq\f(2\r(55),5).7．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．解圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)；(2)若相切，则d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；(3)若相离，则d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).二、能力提升8．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析圆心为(－1，－2)，半径r＝2eq\r(2)，而圆心到直线的距离d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上有3个点满足题意．9．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪[0，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))答案A解析设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2eq\r(3)时，|AC|＝eq\r(|MC|2－|MA|2)＝eq\r(4－3)＝1.∴当|MN|≥2eq\r(3)时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.∴eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋－12))≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.∴－eq\f(3,4)≤k≤0.10．若直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝eq\r(1－x2)有两个公共点，则b的取值范围是________．答案[1，eq\r(2))解析如图所示，y＝eq\r(1－x2)是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，b＝eq\r(2).所以b的取值范围是[1，eq\r(2))．11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．解(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，①eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)，③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.三、探究与创新12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点