人教A版必修二高中数学第四章 4.1.2同步课堂导学案【含详细解析】

4．1.2圆的一般方程[学习目标]1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程．[知识链接]1．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r.2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断．[预习导引]1．圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0要点一圆的一般方程的概念例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2，∴它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))为圆心，eq\f(5,4)为半径长的圆．规律方法二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.跟踪演练1如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))解析由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<eq\f(5,4).要点二求圆的一般方程例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．解方法一设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋4－b2＝r2，,－2－a2＋3－b2＝r2，,4－a2＋－5－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝5，))即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.方法三∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪演练2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．解设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.要点三求动点的轨迹方程例3等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得eq\r(x－42＋y－22)＝eq\r(4－32＋2－52)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以eq\r(10)为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以eq\f(x＋3,2)≠4，且eq\f(y＋5,2)≠2，即点C不能为(5，－1)．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，eq\r(10)为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法．(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．跟踪演练3已知直角△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程．解方法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3).且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．方法二△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案D解析－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A．k≤eq\f(1,2)B．k＝eq\f(1,2)C．k≥eq\f(1,2)D．k<eq\f(1,2)答案D解析方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<eq\f(1,2).3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)答案D解析原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．答案eq\f(11,4)解析因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq\r(5－m)＝eq\f(3,2)，∴m＝eq\f(11,4).5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.答案3解析圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为eq\f(|3×1＋4×2＋4|,\r(32＋42))＝3.1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．一、基础达标1．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是()A．(2，－1)，3B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3D．(2，－1)，9答案A解析圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0答案C解析由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2或a＝0.3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F答案A解析方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是()A．3－eq\r(2)B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3－\r(2),2)答案A解析直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为eq\f(3\r(2),2)－1，S△ABC＝eq\f(1,2)×|AB|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝3－eq\r(2).5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0答案C解析直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0))得C(－1,2)．∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.6．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4解析设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又P(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.7．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．解(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.又kCP＝eq\f(1－0,3－2)＝1，∴k＝－1.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0.二、能力提升8．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))答案A解析圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，ab的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，故选A.9．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝2答案A解析设P(x，y)，则PM⊥PN.又kPM＝eq\f(y－0,x－－2)＝eq\f(y,x＋2)(x≠－2)，kPN＝eq\f(y－0,x－2)＝eq\f(y,x－2)(x≠2)，∵kPM·kPN＝－1，∴eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－1，即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．当x＝2时，不能构成以MN为斜边的直角三角形，因此不成立．同理当x＝－2时也不成立．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．10．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．答案6eq\r(2)－2解析∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，∴所求的最短路程为|A′C|－2，|A′C|＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).∴所求的最短路程为6eq\r(2)－2.11．已知定点A(2,0)，圆x2＋y2＝1上有一个动点Q，若线段AQ的中点为P，求动点P的轨迹．解设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，利用中点坐标公式有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－2，,y1＝2y，))∵xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，∴(2x－2)2＋(2y)2＝1，∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴动点P的轨迹为以(1,0)为圆心，eq\f(1,2)为半径的圆．三、探究与创新12．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程．解方法一设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q的坐标分别代入①，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20②,D－3E－F＝10③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的两根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝0,F＝－12))或eq\b\lc\{\r