应用一元一次方程“希望工程”义演讲义北师大版数学七年级上册

5.5应用一元一次方程——“希望工程”义演讲义北师大版七年级数学上册基础知识详解知识点一借助表格分析复杂问题中的数量关系内容叙述借助“希望工程”义演中的实际问题，介绍在一个问题中有两个等量关系的情况，这两个等量关系可以作为列方程的条件，可从中选择一个等量关系列方程求解，为了清晰地反映所给各个量之间的关系，可借助列表帮助分析。知识详解复杂的销售问题一般包含两个等量关系，可借助表格来分析各个量之间的相互关系调配问题一般从调配后的数量关系中找出等量关系比例分配问题一般把一份设为x,等量关系是全部数量=各部分的数量之和特别提醒（1)要善于分析问题中的不变量，并利用不变量列方程。（2）要善于用不同的方法表示同一个量，由此得到等量关系，列出方程。（3）要善于利用“总量等于各个分量之和”的条件列方程。出题角度1“希望工程”义演问题例1.某书店将定价为10元/本和8元/本的两种畅销书共60本按定价售出后，将所得的书款546元全部捐献给了“希望工程”。问：定价为10元/本和8元/本的书各卖了多少本？分析：设定价为10元/本的畅销书卖了x本，那8元/本的畅销书卖了（60x)本，列表如下：卖的本数所得书款10元/本x10x8元/本60x8(60x)根据表格，结合题中条件容易找到等量关系：定价为10元/本的畅销书售出后所得书款+定价为8元/本的畅销书售出后所得书款=546元，即可列方程求解。解：设定价为10元/本的畅销书卖了x本，那8元/本的畅销书卖了（60x)本，由题意可得10x+8(60x）=546.解得x=33，所以60x=6033=27.因此，定价为10元/本和8元/本的书分别卖了33本和27本。解题方法：表格分析法：在分析实际问题中复杂的数量关系时，可借助表格、图形帮助审题，准确地分析题意，探索已知量和未知量之间的数量关系，找出题中的等量关系，通过列一元一次方程解决实际问题。针对训练1.某剧团为“希望工程”募捐组织了一次义演，共卖出900张票，成人票1张15元，学生票1张8元，共筹款10805元．问成人票和学生票各售出多少张？出题角度2用表格分析数量关系例2.请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）分析；设一个水瓶x元，用表格表示数量关系如下表：单价(元）总价(元）水瓶x3x水杯48﹣x4（48﹣x）解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意得：3x+4（48﹣x）=152，解得：x=40，则一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）甲商场所需费用为（40×5+8×20）×80%=288（元）；乙商场所需费用为5×40+（20﹣5×2）×8=280（元），∵288＞280，∴选择乙商场购买更合算．针对训练2．一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，设小明同学在这次竞赛中答对x道题。（1）根据所给条件，完成下表：（1）根据所给条件，完成下表：答题情况答对答错或不答题数x每题分值105得分10x（2）若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？知识点二列一元一次方程解应用题的一般步骤内容叙述列方程解应用题的一般步骤：⑴审⑵找⑶设⑷列⑸解⑹答知识详解⑴审：审题，分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系；⑵找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；⑶设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）⑷列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；⑸解：解所列出的方程，求出未知数的值；⑹验：检验方程的解和是否符合题意；=7\*GB2⑺答：检验求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。特别提醒（1）利用一元一次方程解决实际问题，关键是确定等量关系，根据题中等量关系列出方程。（2）列方程解应用题应注意

①列方程时，要注意方程两边应是同一类量，并且单位要统一．

②解、答时必须写清单位名称．

③求出的方程的解要判断是否符合实际意义，即必须检验．

出题角度1列一元一次方程解应用题例3.曙光中学组织初一年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租60座客车，则可少租一辆车，且座位恰好坐满．（1）求出初一年级的学生数原计划租用45座客车多少辆？（2）若45座客车租金220元，60座客车租金300元，怎样租用这两种车辆最省钱？分析：（1）本题是一道方案设计题，等量关系为：总人数=坐45座客车人数+15=坐60座客车人数；（2）应分单租45座客车，单租60座客车，或者两种车都租三种情况进行分析．解：（1）设原计划租45座客车x辆，则可得租60座客车（x﹣1）辆．根据题意列方程得：45x+15=60（x﹣1）．解得：x=5．经检验：x=5是原方程的解．故原计划租45座客车5辆；（2）因为租45座客车有15人没有座位，因此若租45座客车需6辆车，需租金：6×220=1320元．若租60座客车则需4辆，需租金：4×300=1200元．同样条件下应尽量租用45座车．当开始租5辆45座时，富余15人，所以退1辆45座车，改租60座车1辆，即45座4辆，60座1辆，需租金：220×4+300×1=1180元．故45座4辆，60座1辆，最省钱．思维点拨；列方程解应用题的步骤是：一审（审题），二设（设出相应未知数），三列（根据等量关系和所设未知数列出方程），四解（解方程），五检验（检验是否是方程的解，是否符合实际问题含义），六回答（根据所问的进行回答），其中审题时找出等量关系是列方程解决实际问题的关键．针对训练3.相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有一半客人走了，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩下的三分之二的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们．”于是最后剩下的三个人也都告辞走了，聪明的你能知道开始来了几位客人吗？思维误区诊断误区一题意理解错误，数量关系分类混乱例1.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%；但每日耗电量却为0.55度，现将A型冰箱打折出售（打—折后的售价为原价的），问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当？（每年365天，每度电按0.40元计算）。错解：解：设商场A型冰箱打x折，

依题意，买A型冰箱需2190×元；10年的电费是365×10×1×0.4元；

买B型冰箱需：2190×（1+10%）元，10年的电费是365×10××0.4元；

由题意得：（2190+365×10×l×）×=2190×（1+10%）+365×10××，解得：x=

答：商场将A型冰箱8.8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当。正解：解：设商场A型冰箱打x折，

依题意，买A型冰箱需2190×元；10年的电费是365×10×1×0.4元；

买B型冰箱需：2190×（1+10%）元，10年的电费是365×10××0.4元；

由题意得：2190×+365×10×l×0.4=2190×（1+10%）+365×10××，解得：x=8

答：商场将A型冰箱8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当。错因分析：方程左边不仅把A型冰箱的售价打了x折，而且把10年的电费也打了x折，显然是错误的。误区二混淆题目中有关数量之间的和、差、倍、分关系导致列方程出错少30人，若从二车间调10人到一车间去，那么一车间人数就是二车间人数的，求两车间的原有人数。错解：设二车间原有x人，根据题意，得，解得：x=450，则。因此，一车间原有330人，二车间原有450人。正解：设二车间原有x人，根据题意，得，解得：x=250，则。因此，一车间原有170人，二车间原有250人。错因分析：本题从二车间调10人到一车间去，列方程时忘记给一车间人数加上10。能力拓展展示能力拓展一图表法解一元一次方程应用题例1.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依据这个方法要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2400kg，含油率为40%．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点，某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少3公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了3750kg．这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？注：本题中含油率=（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：种植面积（公顷）每公顷产量（kg）含油率总产油量（kg）去年x240040%今年2400+30040%+10%（Ⅱ）求出问题的解．分析：（1）去年种植油菜x公顷，则今年种植（x﹣3）公顷，去年产油量为2400x•40%；今年产油量（2400+300）（x﹣3）•（40%+10%）；（2）根据关键语句“所产油菜籽的总产油量比去年提高了3750kg”可得等量关系：今年的总产油量﹣去年的总产油量=3750kg，根据等量关系列出方程即可．解：（1）填表：种植面积（公顷）每公顷产量（kg）含油率总产油量（kg）去年x240040%2400x•40%今年x﹣32400+30040%+10%（2400+300）（x﹣3）•（40%+10%）（Ⅱ）由题意得：（2400+300）（x﹣3）•（40%+10%）﹣2400x×40%=3750，解得：x=20，当x=20时，x﹣3=17，答：这个村去年和今年各种植油菜20公顷和17公顷．思维点拨：关键是借助表格分析复杂问题中的数量关系，仔细阅读题目，理解题意，再找出等量关系，列出方程。能力拓展二列一元一次方程解决几种简单的实际问题例2.五四青年节这天，余老师将一堆糖果分给同学们，如果每人3颗，那么就多20颗；如果每人4颗，那么就少10颗，这个班有多少人？这堆糖果有多少颗？分析：本题中的不变量是糖果的总颗数和学生的总人数。根据题意，分别表示出糖果总颗数，也可表示出这个班的总人数，从而列出方程求解。解：解法①：设这个班共有人，由题意，得，解得=30，则3×30+20=110（颗）解法②：设这堆糖果有颗，由题意，得,解得，则。答：这个班有30人，这堆糖果有110颗。思维点拨：解决此题的关键在于分析不变量，找到不变量的不同表示方法建立方程。例3.某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7:1:2:4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药分别需要多少克？分析：利用甲、乙、丙、丁四种草药成分的和等于2100克为相等关系列出方程。设其中一份为，由甲、乙、丙、丁四种草药的质量比即可用含的式子将四种草药的质量表示出来。克，需要乙种草药克，丙种草药2克，++2=2100，解得=250，=175,2=1175答：需要甲种草药175克，需要乙种草药250克，丙种草药500克，丁种草药1175克.思维点拨：比例分配问题中的全部数量=各种成分的数量之和。3．列方程解决工程问题例4.一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?分析;视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的．解：设乙管还需x小时才能注满水池．由题意得方程：解此方程得：x＝9答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．思维点拨：工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．4.列方程解决资源调配问题例5.甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成．否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．(1)正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？(2)现两人合作了该工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？为什么？分析：(1)设甲、乙两人合作x天完成合同，列出一元一次方程求出x的值，即可知道甲、乙两人能否完成该合同；(2)因两人已完成了该工程的75%，分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的25%各需要多少时间，调走合同期内不能完成任务的人更合适一些．解：(1)设甲、乙两人合作x天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为eq\f(1,30)，eq\f(1,20).依题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,30)＋\f(1,20)))x＝1.解这个方程，得x＝12.因为12＜15，所以两人能完成该合同．(2)调走甲更合适一些．理由：设甲单独完成剩下的工程需x天，乙单独完成剩下的工程需y天．依题意，得eq\f(1,30)x＝1－75%，eq\f(1,20)y＝1－75%.解得x＝7.5，y＝5.因为两人合作12天完成任务，所以完成任务的75%需要12×75%＝9(天)，所以还剩6天可以让另一个人单独完成任务．而7.5>6,5<6，说明甲不能按期完成任务，而乙能完成．所以调走甲更合适一些．思维点拨：本题考查了一元一次方程的解法的运用，在解答时根据工程问题的数量关系建立方程是关键．分类讨论是解答本题的重点．5.列方程解决配套问题例6.某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？分析： 此题可设分配x名工人生产螺栓，（24﹣x）名工人生产螺母，根据等量关系“3×每天生产螺栓的个数=2×每天生产螺母的个数”列出方程求解即可．解：设可设分配x名工人生产螺栓，（24﹣x）名工人生产螺母．由题意得：3×12x=2×18（24﹣x），解得：x=12，24﹣x=12（人）．答：应该分配12名工人生产螺栓，12名生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．思维点拨： 此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．能力拓展三有关图表信息探索创新题例7．某公园的门票价格规定如下表：购票人数1﹣50人51﹣100人100人以上每人门票价5元4元某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游该公园，如果两班都以班为单位