安徽省皖北六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题

2023~2024学年度第一学期高一年级期末联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.以上都不正确【答案】C【解析】【分析】利用集合间的基本关系即可判断.【详解】由集合间的包含关系可知.故选：C2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法 B.随机数法C.分层随机抽样法 D.其他方法【答案】C【解析】【分析】根据不同抽样方法适用的条件进行判断即可.【详解】三年级、六年级、九年级三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，按人数比例抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为：分层随机抽样法.故选：C.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解.【详解】原不等式可化为，解集为.故选：C.4.用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出，结合零点存在性定理得到答案.【详解】，则，即初始区间可选．故选：D．5.若，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，所以“”不能得出“”；若，则，所以“”不能得出“”.综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.若正数满足，则的最大值为（）A.6 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时取等号．故选：C．7.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为Q所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即故选:D.8.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到在上是减函数，再根据判断.【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增，在上是减函数.而，，，即.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知命题，，则（）.A.是真命题 B.，C.是真命题 D.，【答案】AD【解析】【分析】由函数的性质及全称命题的否定定义逐一判断.【详解】命题，，则，所以B错D正确又因为当时，；当时，，所以命题假，是真命题，故A正确C错故选:AD10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的概念及对立事件判断即可.【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件不是对立事件，符合题意.故选：BD.11.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）A.的值为0.005；B.估计成绩低于60分的有25人C.估计这组数据的众数为75D.估计这组数据的第85百分位数为86【答案】ACD【解析】【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.【详解】对于A，由，得.故A正确；对于B，估计成绩低于60分的有人.故B错误；对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确；对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则，解得：，故D正确.故选：ACD12.设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】如图作出函数的图象，则，，，，结合基本不等式和二次函数的性质计算即可求解.【详解】如图，作出函数的图象，由题意，直线与的图象有4个交点，由图象可知，故B正确；且，，，所以，即，则，故C正确；，故A错误；当时，，，又，所以，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果.【详解】原式.故答案为：14.已知幂函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】根据幂函数的定义和奇偶性即可求解.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.当时，，是奇函数；当时，，是偶函数，符合题意，所以的值为1.故答案为：115.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.【答案】##【解析】【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】这5名棋手分别记为:甲,乙,,,,则样本空间(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10个样本点，设事件表示“甲和乙分在不同小组”,则,所以甲和乙分在不同小组的概率为.故答案为：.16.若函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．【答案】4【解析】【分析】令并判断奇偶性，由及奇偶对称性求.【详解】因为，令，则，又因为，所以函数为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，所以．故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．（单位：）60504560708080808590（单位：）40606080805580807095（1）求，，，；（2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．【答案】（1），，，（2）选择品种，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可；（2）比较平均值和方差的大小可得答案.【小问1详解】，，，．【小问2详解】由可得两个品种平均产量相等，又，，则品种产量较稳定，故选择品种.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用集合交补运算求即可；（2）由题意，讨论、求参数范围.【小问1详解】由，则或，若，则，所以．【小问2详解】若是的必要条件，则．当时，即时，，符合题意；当时，即时，，要满足，可得，解得；综上，实数m的取值范围为或．19.已知是二次函数，且，.（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式；（2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解.小问1详解】解：根据题意，设，因为，可得，即，又由，且，又因为，即，所以，可得，解得，所以.【小问2详解】解：由（1）知，可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以，当时，根据二次函数的对称性，可得，所以函数在区间上的最大值为；当时，根据二次函数的对称性，可得，所以函数在区间上的最大值为，综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为.20.已知函数．（1）若为奇函数，证明：；（2）讨论的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义满足，整理可得，结合指数函数的性质即可证得结论；（2）根据函数单调性的定义设，，且，作差得到，结合指数函数的性质判断即可得结论.【小问1详解】证明：的定义域为，对，都有，又为奇函数，则必有，即，整理可得：，又恒成立所以，命题得证．【小问2详解】设，，且，，易知，，又在上为增函数，，可得，当时，，在R上为增函数；当时，，为常数函数，无单调性；当时，，在R上为减函数．21.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.（1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；（2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对概率为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解；（2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解.【小问1详解】设“甲答对”，“乙答对”，则，，，，“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立，则，所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.【小问2详解】设“丙答对”，则，设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，，