2024秋八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解 4公式法-完全平方公式教案（新版）新人教版

2024秋八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解4公式法——完全平方公式教案（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析本节课选自2024年秋季八年级数学上册第十四章“整式的乘法与因式分解”中的14.3节“因式分解”，重点讲解完全平方公式。完全平方公式是解决因式分解问题的一种重要方法，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。本节内容与前面所学整式的乘法紧密相关，通过引入完全平方公式，使学生掌握因式分解的新技巧，进一步深化对整式乘除及因式分解的理解。本节课将结合课本例题，引导学生发现完全平方公式的规律，并运用到实际解题中，以提高学生的知识运用能力和解决问题的实践能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。通过探索完全平方公式的推导与应用，提高学生从具体问题中抽象出数学规律的能力，加强对算术逻辑的理解和运用。在学习过程中，学生将发展以下能力：一是运用分类讨论思想，对公式进行合理拆分与组合，培养逻辑推理能力；二是通过解决实际问题，增强数学运算的熟练度和准确性，形成严谨的解题习惯；三是培养学生对数学美的感知，激发数学学习的兴趣，提高数学素养的综合应用能力。教学难点与重点1.教学重点

（1）理解和掌握完全平方公式的结构特点及其应用，即(a±b)²=a²±2ab+b²。

（2）能够运用完全平方公式进行因式分解，如将x²+2xy+y²分解为(x+y)²。

（3）通过具体例题，让学生掌握完全平方公式的适用条件，即识别何时能够使用完全平方公式进行因式分解。

举例：在教学过程中，重点讲解公式中“±”的含义，并通过例题x²-6xy+y²的因式分解，强调公式中2ab与-6xy的关系，确保学生理解符号变化对公式应用的影响。

2.教学难点

（1）完全平方公式的记忆与理解：学生对公式的记忆可能存在困难，需要通过直观的图形展示或具体的实例帮助学生记忆。

（2）因式分解中公式的识别与应用：学生在面对复杂的代数式时，难以快速识别并正确应用完全平方公式。

（3）混合使用完全平方公式和其他因式分解方法：在解决综合性的因式分解问题时，学生可能会混淆不同的分解方法。

举例：针对难点（1），教师可以通过动画或实物模型展示(a+b)²的展开过程，让学生观察并总结出完全平方公式的结构。对于难点（2），可以设计不同难度的练习题，如x²-4y²、a²+4ab+4b²等，引导学生识别公式中的a、b以及2ab，并正确应用公式。至于难点（3），可以通过综合性的例题，如x⁴-16，指导学生如何结合完全平方公式和其他方法（如差平方公式）进行因式分解，从而突破难点。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都有八年级数学上册教材，以便于学生跟随课堂进度，预习和复习本节课内容。

-准备教材中与完全平方公式相关的练习题和例题，用于课堂讲解和巩固练习。

2.辅助材料：

-准备完全平方公式的推导过程图解，通过视觉辅助帮助学生理解和记忆公式。

-制作或收集与完全平方公式相关的实际应用问题图片、图表，用于引导学生理解公式的实际意义。

-搜集或制作因式分解的步骤说明视频，尤其是完全平方公式的应用过程，以便于学生课后复习。

-准备一些数学游戏或互动软件，如因式分解的在线练习，增加课堂趣味性和互动性。

3.实验器材：

-虽然本节课不涉及物理实验，但可以准备一些模型或教具，如平方图形的拼图，帮助学生直观理解完全平方公式的几何意义。

4.教室布置：

-将教室座位调整为小组合作模式，每组配备白板或大号草稿纸，方便学生进行讨论和展示。

-在教室前方设置演示区，用于展示完全平方公式的推导过程和例题讲解。

-确保教室内的多媒体设备正常运行，以便于播放辅助教学材料和视频资源。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对完全平方公式的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们听说过完全平方公式吗？它在我们的数学学习中有什么作用？”

展示一些关于完全平方公式的几何图形或实际应用的图片，让学生初步感受公式的魅力。

简短介绍完全平方公式的基本概念和其在数学运算中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.完全平方基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解完全平方公式的结构、原理和应用。

过程：

讲解完全平方公式的定义，包括(a±b)²=a²±2ab+b²的结构。

使用图表或示意图详细介绍公式的推导过程和各部分含义。

通过实例，如(x+3)²的展开，让学生更好地理解完全平方公式的实际应用。

3.完全平方公式案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解完全平方公式的特性和应用。

过程：

选择几个典型的因式分解案例，如x²-6xy+y²，进行分析。

详细介绍每个案例的背景、如何应用完全平方公式以及其意义。

引导学生思考这些案例在解决实际问题中的应用，以及如何识别适用完全平方公式的场景。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与完全平方公式相关的实际题目进行深入讨论。

小组内讨论题目的解法、步骤以及可能遇到的难点。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对完全平方公式的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括题目的解法、步骤和难点。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调完全平方公式的重要性和意义。

过程：

简要回顾完全平方公式的结构、推导过程、案例分析等学习内容。

强调完全平方公式在因式分解中的价值和作用，鼓励学生在日常生活中发现数学公式之美。

布置课后作业：让学生完成几道与完全平方公式相关的练习题，并撰写一篇关于完全平方公式的应用小短文，以巩固学习效果。知识点梳理1.完全平方公式的结构

-公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

-结构特点：一个二次多项式的平方可以分解为三项，其中中间项为加上或减去两个变量的乘积的两倍。

2.完全平方公式的推导

-通过对(a+b)²的展开，观察其结果与a²、2ab、b²的关系。

-类似地，对(a-b)²进行展开，理解减号对公式的影响。

3.完全平方公式的应用

-因式分解：利用完全平方公式将符合其结构的二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

-例题：x²+2xy+y²=(x+y)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

4.识别完全平方公式

-判断一个二次多项式是否可以应用完全平方公式进行因式分解。

-注意事项：检查中间项是否为两个变量乘积的两倍，以及首尾项是否为相应变量的平方。

5.完全平方公式的实际意义

-解释完全平方公式在几何图形中的应用，如正方形的面积计算。

-举例说明完全平方公式在物理学、工程学等领域的应用。

6.与其他因式分解方法的联系

-与差平方公式的比较，理解各自适用的条件。

-在综合问题中，结合使用完全平方公式和其他因式分解方法。

7.实际问题中的完全平方公式

-分析和解决实际问题时，识别问题中的完全平方结构。

-应用完全平方公式简化问题，提高解题效率。

8.错误分析

-常见错误：符号使用错误，如将(a-b)²误写为a²-b²。

-解决策略：通过练习和反复推导，加深对公式的理解和记忆。

9.练习题设计

-设计不同难度的练习题，帮助学生从简单到复杂逐步掌握完全平方公式。

-包括直接应用公式、识别应用场景、综合应用等多个层次。

10.评估与反馈

-通过作业、小测验和课堂讨论，评估学生对完全平方公式的掌握程度。

-根据学生的反馈和表现，调整教学策略，确保学生能够熟练运用公式。课堂1.课堂评价

-通过课堂提问，了解学生对完全平方公式的理解和记忆程度。设计不同难度的问题，观察学生是否能快速准确回答，及时发现并解决学生对公式理解不深、应用不熟练的问题。

-观察学生在小组讨论和课堂展示中的表现，评估他们的合作能力、表达能力和解决问题的能力。

-在课堂练习环节，通过实时测试，检查学生对完全平方公式的掌握情况，特别是对公式的识别和应用能力。

-根据学生的课堂表现，及时给予肯定和纠正，鼓励学生积极参与，提高他们对数学学习的兴趣。

2.作业评价

-对学生的课后作业进行认真批改，关注学生在解题过程中的思路和方法，发现并指出常见的错误类型，如符号错误、计算错误等。

-对学生的作业进行点评，不仅指出错误，还要给出改进的建议，帮助学生理解错误的原因，提升解题技巧。

-及时反馈学生的学习效果，通过作业评语鼓励学生继续努力，对进步明显的学生给予表扬，增强他们的自信心。

-定期对学生的作业情况进行总结，分析普遍存在的问题，调整教学策略，确保教学效果。

3.单元测试评价

-在单元测试中，设计包含完全平方公式的多样化题目，评估学生对知识点的全面掌握情况。

-通过测试结果，分析学生在哪些方面存在困难，哪些方面掌握较好，为下一步的教学提供依据。

-对测试结果进行详细点评，指导学生如何改进学习方法，提高解题速度和准确性。

4.学生自我评价与同伴评价

-鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习完全平方公式过程中的优点和不足。

-引导学生进行同伴评价，通过互相批改作业和讨论问题，促进知识的共享和互补。

5.教学反思

-教师在每节课后进行教学反思，思考教学设计、课堂管理和学生反馈等方面的问题，不断优化教学方法和策略。

-根据学生的评价和教学效果，调整教学内容和进度，确保教学质量。教学反思与改进在完成完全平方公式的教学后，我进行了深入的反思，并计划在未来的教学中进行一些改进。我发现，虽然大部分学生能够理解并应用完全平方公式进行因式分解，但仍有一部分学生对于公式的结构和适用条件掌握不够牢固。此外，学生在实际应用过程中，对于符号的正确使用和中间项的识别存在一些困难。

为了帮助学生更好地理解和掌握完全平方公式，我计划在未来的教学中采取以下改进措施：

1.增加直观的几何图形展示，让学生更直观地理解完全平方公式的结构，例如通过绘制正方形和长方形的面积计算来解释公式。

2.设计更多的生活实例，让学生感受到完全平方公式在现实生活中的应用，从而提高他们的学习兴趣。

3.在课堂练习中增加一些符号变化的题目，让学生练习在因式分解中正确使用加号和减号。

4.对于中间项的识别，我将设计一些练习题，让学生通过观察和分析找出完全平方公式的中间项，从而提高他们的识别能力。

5.在作业批改中，我将更加注重学生的解题思路，不仅指出错误，还要给出改进的建议，帮助学生理解错误的原因。

6.在课堂评价中，我将增加一些合作式的活动，让学生在小组内互相讨论和分享，从而提高他们的合作能力和问题解决能力。

7.我还计划在课堂小结中增加一些反思性的问题，让学生回顾学习过程，思考如何改进学习方法。板书设计1.完全平方公式结构

-(a±b)²=a²±2ab+b²

2.完全平方公式推导

-展开(a+b)²和(a-b)²，观察公式结构

3.完全平方公式应用

-因式分解实例：x²+2xy+y²=(x+y)²

4.识别完全平方公式

-检查中间项是否为2ab，首尾项是否为a²和b²

5.完全平方公式的实际意义

-几何图形面积计算，物理学应用等

6.与其他因式分解方法的联系

-与差平方公式的比较

7.实际问题中的完全平方公式

-识别并应用完全平方公式解决实际问题

8.错误分析

-常见错误及解决策略

9.练习题设计

-不同难度的练习题，帮助学生逐步掌握公式

10.评估与反馈

-课堂评价、作业评价、单元测试等课后作业-x²+6xy+9y²

-a²-8a+16

-4x²-12x+9

-(m-3)²

-x²-10x+25

2.下列多项式中，哪些可以使用完全平方公式进行因式分解？请说明理由。

-x²+4x+4

-a²-5a+6

-b²+2ab+4a²

-9x²-6x+1

-4y²-2y+1/4

3.应用完全平方公式解决实际问题：

-一块正方形的草坪，边长为a米，求草坪的面积。

-一个长方形的长是宽的两倍，宽为b米，求长方形的面积。

4.利用完全平方公式简化下列代数式：

-(x+3)²-(x-3)²

-(2y+5)²+(2y-5)²

-(a+2b)²-(a-2b)²

5.找出下列多项式的完全平方公式结构，并对其进行因式分解：

-x²-2xy+y²

-9m²-6mn+n²

-4p²-12pq+9q²

答案：

1.因式分解：

-x²+6xy+9y²=(x+3y)²

-a²-8a+16=(a-4)²

-4x²-12x+9=(2x-3)²

-(m-3)²=m²-6m+9

-x²-10x+25=(x-5)²

2.可使用完全平方公式进行因式分解的多项式：

-x²+4x+4=(x+2)²

-9x²-