期中填选50题（提升版）-2021-2022学年高二数学上学期期中期末考试满分全攻略（人教A版2019）解析版

期中填选精选50题（提升版）

能力提升

一、单选题

1.（2020•大连市红旗高级中学高二期中）若直线，：丫=丘-1与圆C:（x-2y+（y-l『=2相

切，则直线/与圆。:（x-2）2+y2=3的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【分析】由直线/与圆C相切可构造方程求得心分别在k=2+6和A=2-6两种情况下,

利用通过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系.

【详解】由圆C方程知其圆心C（2,l）,半径为夜,

,直线/与圆C相切，~--'=,解得：k=2±5/3,

7^+1

由圆。方程知其圆心。（2,0）,半径「=省,

|21|

圆心。到直线/距离"=

Jr+1

（3+2扃3

当k=2+g时,八，=_\-----_）__3=__±_<0,即d＜广，

（2+GJ+18+46

此时圆。与直线/相交;

当4=2-百时，屋-/=If）_一3=＜0,即〃＜厂，

（2-^）+18-4,3

此时圆。与直线/相交；

综上所述：圆。与直线/相交.

故选：A.

2.（2020•四川省成都市盐道街中学高二期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几

何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为

欧拉线.已知AABC的顶点A（2,0）,B（0,4）,若其欧拉线的方程为X-y+2=o,则顶点由］坐

标是（）

A.（TO）B.（0,-4）C.（4,0）D.（4,0）或（-1,0）

【答案】A

【分析】设c（，加〃）.由重心坐标公式得AA5c的重心为（丁,工一）代入欧拉线方程可得

机—〃+4=0,再求出AB边的垂直平分线的方程与*7+2=0联立可求出的外心坐

标，再由点A,C到外心的距离相等列出关于网〃的方程，然后解方程组可求得结果

【详解】设C（，〃,〃）.山重心坐标公式得AABC的重心为（亨，平）

代入欧拉线方程得智-告+2=0,整理得m-〃+4=0①，

4-0

AB边的中点坐标为（1,2）,kAB=^=-2,

AB边的垂直平分线的方程为卜2=箫一1）,即x-2y+3=0.

M,xfx二-2y+23==。0，彳,“Tx日=-1

/.AABC的外心坐标为（-1,1）,则+=J（2+1）2+（0-1）2=M,

整理得M+/+2MJ-2〃=8②，联立①②，解得，7Z=Y,"=O或m=o,〃=4.

当根=0,〃=4时，点8,C重合，舍去.

...顶点亦坐标是（T,0）.

故选：A.

3.（2021•浙江丽水•高二期中）已知圆0:f+y2=1,直线/：x+y+2=0,点p为/上一

动点，过点尸作圆。的切线R4,PB（切点为A,B）,当四边形PA08的面积最小时，直

线A8的方程为（）

A.x-y+1=0B.x-y+及=0C.x+y+\=OD.x+y-正=0

【答案】C

【分析】设四边形丛08的面积为S,求出四边形的面积最小时，四边形2405是正

方形，求出线段0尸的中点坐标为（-g,-g）,直线A3的斜率为-1,即得解.

【详解】

y

2

S=2SAPAO=]AOHAP\=\AP\,IAP1=y]\OPf-\0A\=-1,

所以,当IOPI最小时，IAPI就最小，|0尸舄=心」°臂21=/,

所以5,m.„=|AP|“„,=内=1.此时OPJ_/.

所以|。4|=|4月|=|出?|=|。8|=1,四边形R4OB是正方形，

由题得直线。户的方程为丫=》，

联立广fV=X今得P(-1,T),

[x+y+2=0

所以线段0尸的中点坐标为(-/-手，

由题得直线A8的斜率为-1,

所以直线AB的方程为y-(-g)=Tx-(-g)],

化简得直线A8的方程为x+y+l=O.

故选：C

4.(2019•安徽滁州•高二期中(文))已知G：(x-l/+(y+l)2=l，圆G：(x_4y+(y-5)2=9,

点M,N分别是圆C，圆C?上的动点，尸为x轴上的动点，则1PM-|PM|的最大值是(

A.7B.3不+4C.9D.2遥+2

【答案】C

【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即可

得出结果.

【详解】解：由题意可知，圆G的圆心G(L-l),半径为1,

圆C2的圆心。2(4,5),半径为3,

要使得I尸取最大值，需|PN|的值最大，1PMi的值最小.

其中|PN|的最大值为pGl+3,|加|的最小值为|PG|-1

则|叫T尸M|的最大值为QPC2I+3）-（|PG|-I）=|PG|-|PCJ+4

点C2（4,5）关于X轴的对称点C；（4,-5）,

IPGHPGI=卜c"TPGHGC"=7（4-1）2+（-5+1）2=5,

所以网的最大值为5+4=9.

故选：C.

5.（2021•安徽宣城•高二期中（文））已知圆f+》2-2工一8丁+13=0的圆心至IJ直线

依+y-l=O（keZ）的距离为2夜，若+£且。力＞0,则的最小值为（）

A.-B.-+272C.-+—D.-+V2

22222

【答案】D

【分析】本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线

的距离公式可以求出参数人的值，最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定

值，可以求得整式的最小值

【详解】由题意，知圆心坐标为（1,4）,

圆心到直线依+y—l=0/eZ）的距离为20,则匕+”“二2夜,解得k=或左=1.

，公+17

因为攵wZ,所以女=1.

所以,+]=1,且。/>0,则“+o=(a+"pL+J-]=i+e+2+L.2+2jZxI=3+0,

a2b2b)2ba22\2ba2

当且仅当/=2从时取即a+匕的最小值为g+

故选：D

6.（2020•浙江金华第一中学高二期中）“点/（-3,-4）,6（1,6）到直线/：x+%），+l=0

2

的距离相等"是"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

2

【分析】山点1(-3,-4),6(1,6)到直线/：x+my+1=0的距离相等得到机=0或，〃=一(，

再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】因为点4(-3,-4),8(1,6)到直线/：x+〃?y+l=0的距离相等，

「匚|_3_4,+11_11+6"?+11

*'#+版-G+m二'

2

所以，〃=0或机=-g.

因为=0或机=-：2”是“机=-2t"的必要非充分条件，

2

所以“点4(-3,-4),Z?(1,6)到直线/：x+g，+l=0的距离相等”是“机=-(”的必

要非充分条件.

故选：B

7.(2020•安徽立人中学高二期中(理))已知点P(7,3),妫圆〃：/+丫2-2*-10)，+25=0

上一点，点斑x轴上，则ISPI+IS0的最小值为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析1本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP转换为sR,

连接MP，找到s点的位置，从而求出线段和的最小值

【详解】将圆方程化为标准方程为：(x-1『+()，-5)2=1,如下图所示：

作点P(7,3)关于谕的对称点P(7,-3),连接"P与圆相交于点。，与着由相交于点S,此时，

ISPI+ISQI的值最小,且|SP|+|SQ|=|SF|+|SQ|=P0=P'M-r,由圆的标准方程得：M点

坐标为(1,5),半径/•=%所以产时=脚面=10,PM-r=9,所以I5PI+ISQI最小值为9

故选：c

8.（2019•罗平县第二中学高二期中（文））直线x+y+2=0分别与x轴，了轴交于只。两

点，点M在圆x2+V-4x+2=0上，则AMPQ面积的最大值为（）

A.3亚B.6C.2D.2及

【答案】B

【分析】先求出线段PQ的长，点/到直线x+y+2=0的距离为的高，因为点M在

圆/+9_4、+2=0上，所以点M到直线x+y+2=0的距离的最大值为圆心到直线的距离

加上半径，然后根据面积公式求解即可.

【详解】由直线x+y+2=o分别与X轴，y轴交于P,。两点，可得尸（-2,0）,＜2（0,-2）,所

以归。|=20,由V+y2-4x+2=0可化为（x-2『+y2=2,所以圆心为（2,0）,半径夜，因

为点M在圆/+/_4》+2=0上，所以点M到宜线x+y+2=0的最大距离为圆心（2,0）到

x+y+2=0的距离加上半径，即力=盥1+&=3收，所以AA"Q面积的最大值为

g|P0|〃=gx2应x3应=6.

故选：B

【点睛】本题主要考查圆上的点到直线的距离的最值问题，解题的关键是把圆上的点到直

线的距离转化成圆心到直线的距离.属于中档题

9.（2020•浙江）在平面直角坐标系*以中，过点力（0,a）向圆C：（x-2）z+（＞-1）?=3引切

线，切线长为4.设点力到直线x-y+4=0的距离为曲当d+d取最小值时，a的值为（）

5/?

A.—B.3C.2D.1

2

【答案】C

【分析】先求出点A到圆心的距离，利用勾股定理求出4,可以得到4为A到定点P（l,l）的

距离，则4+4的最小值即为力到直线x-y+4=o的距离，即可根据直线方程求出a.

【详解】由题可知圆心c（2,l）,半径r=G，

则点＞4（0,a）到圆心C的距离AC=j4+（a-2a+5,

・・•切线长4=yjAC2-r2=Va2-2«+2=7（^-l）2+l，可看作A到定点尸（1,1）的距离，

由(1-2))2+(1-1)2<3,则点P(l,l)在圆C内.

则4+4的最小值即为2(1,1)到直线工7+4=0的距离，

如图，过P作直线P”垂直于x-y+4=0,垂足为H,与>轴的交点即为点A'

\%=-1,则直线PH：y-l=-(x-l),即y=-x+2

令x=0,得丫=2,即40,2)

所以当点A与4重合时，4+出的最小值.

故选：C.

10.(2020•浙江镇海中学高二期中)在四棱锥P-AB。中，叨，平面4m9,四边形/融第

为正方形，AB=2,&为处的中点，若cos睁，码=与,贝”£)=()

3

A.1B.-C.3D.2

2

【答案】D

【分析】由己知以。为原点建立空间直角坐标系，设尸(0,0M,求得而，荏的坐标，由数量

积公式可得答案.

【详解】由已知DP、DA,"两两垂直，所以以。为原点，建立如图所示的坐标系，

设尸£>=a(a>0),贝IJ1(0,0,。),4(2,0,0),

连接80取中点尸，连接EF,所以EF//PD,平面ABCD,

所以E(l,l，5),所以丽=(0,0,a),AE=(-1,1,1),

,2

由8s伊码邛,得COS（配码=向篇=

3'

解得a=2.

故选：D.

【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数

量积公式求得。，考查了学生的空间想象力.

11.（2020•磐安县第二中学）如图，在正三棱柱ABC-A耳G中，若AB=6BB\,则A片与

BG所成角的大小为（）.

A.60°B.90°C.105°D.75°

【答案】B

【分析】联结8c交BC,于£点，取［由J中点£,联结以；BE,ABt与BC、所成角即EF与BG所

成角；设BBi，分别求得8匹，EF,庞的长，从而求得夹角.

【详解】联结8c交&G于片点，取儿的中点6,联结£尸，BE,

则在正三棱柱ABC-A8G中，EF//AB,,

故ABX与BC所成角即EF与BC,所成角,

设Bg=a,则48=缶，BF=；BC、=^a,

EF=—AB,=a»BE=^-x>/2a=^-a,

21222

则在三角形跳7■中，满足BF2+EF2=BE2，

故ZBFE=90,即AB1与BCt所成角为90

故选：B

12.（2021•横峰中学高二期中（理））在三棱锥P-A8C中，PA,AB,AC两两垂直,

。为棱PC上一动点，PA=AC=2,钻=3.当加>与平面P4C所成角最大时，AD与平面

PBC所成角的正弦值为（）

2而

C,亚4ViT

【答案】c

【分析】首先利用线面角的定义，可知当。为PC的中点时，AO取得最小值，此时8。与

平面R4c所成角最大，再以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系4-孙z,利

用向量坐标法求线面角的正弦值.

【详解】■.■ABA-AC,ABLPA,^.PA[}AC=A,

ABJ_平面PAC,

易证AB_L平面PAC,则8。与平面PAC所成角为ZADB,

tanZ.ADB=,

ADAD

当4）取得最小值时，NM应取得最大值

在等腰RrAPAC中，

当。为PC的中点时，AO取得最小值.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-冲z,

I)

///ky

X

则4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),0(0,1,1),

则A方=(0,1,1),PC=(0,2,-2),配=(-3,2,0)

设平面PBC的法向量为五=(x,y,z),则元=万.而=0，

即产2z=。

[-3x+2y=0

令y=3,得万=(2,3,3).

因为cos(n,AD)=厂厂=土叵，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为"1.

V22xV21111

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求

线面角，本题关键是确定点。的位置,首先利用线面角的定义确定点。的位置，再利用向

量法求线面角.

13.(2020•山西高二期中(理))如图,正方体ABCO-A/CQ的棱长为1,0是底面A8CQ

的中心，则倒平面A8CQ的距离为(:)

g

A.¥B，4

C.旦D.7

22

【答案】A

【分析】过。作4片的平行线，交B£于E,则。到平面A8CQ的距离即为E到平面ABCQ

的距离.作EFlBG于产，进而可知E/r平面A8CQ,进而根据）=：耳（7求得EF.

【详解】解：过。作A岗的平行线，交片G于E,

则0到平面4BGR的距离即为E到平面ABCQ1的距离.

作EFLBG于尸，易证E/，平面ABCQ,

可求得印=』80=立.

44

故选：A.

14.（2021•天津市实验中学滨海学校高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底

面4?皿为矩形，A4_L底面ABC。，PA=AB=2,AD=4,比匀尸C的中点，则异面直线如与跖

所成角的余弦值为（）

A3R\/30「VFo口3vm

5101010

【答案】B

【分析】以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.

【详解】以A点为坐标原点，A8为碎乱AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如下

图所示：

则8（2,0,0）,£（1,2,1）,尸（0,0,2）,£＞（0,4,0）,.•.丽=（-1,2,1）,丽=（0,4,-2）,

\PD-BE\_6V30

设异面直线PD与BE所成角为兄则8希=阿羡|="=而.

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设

直线，，小的方向向量分别为5几平面a，夕的法向量分别为则

a-h

①两直线/,〃?所成的角为。（0<。41）,cos。

ab

rr

a-u

②直线/与平面a所成的角为。（0"铐），sin"

耶;

w-v

③.二面角a-/-£的大小为e（04。4乃），卜0$。|=

T-

15.（2021•浙江杭州•高二期中）在棱长为2的正方体AB8-4BCA中，点E在棱M

上，AE=3AE,点G是棱8的中点，点/满足/:=>1而当平面EFG与平面

ABC。所成（锐）二面角的余弦值为四时;经过E,£G三点的截面的面积为（）

3

A.2口B.—C.V17D.—

46

【答案】B

【分析】以。为坐标原点，分别以D4，DC,DA所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，由空间向量结合平面EFG与平面ABC。所成二面角的余弦值为远求出2的值，画出截

3

面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案

【详解】解：如图，以O为坐标原点，分别以。4。心。马所在的直线为尤,％2轴，建立空

间直角坐标系，则G(0,l,0),E(2,(),；),F(2,2,2/l),所以G卢=(2,-1,彳),6尸=(2,1,2/1),

22

设平面EFG的个法向量为正=(x,y,z),则

'--------3

m-GE=2x-y+—z=0一3丸3

"2，取z=l,贝lj机=-+，

--------824

m-GF=2x+y+24z=0

平面ABC。的一个法向量为3=(0,0,1),

mu_1_y/6]10

由题意得颛=行7------------3~：=T，解得或丸二弓(舍去)，

/眄J(;+?+(T+y+l420

延长设斯n4B=/,连接/G,交BC于K,延长/G,交AO的延长线于L，连接

EL,交DD「FH,则五边形EFKG”为截面图形，

由题意求得EF=6，FK=/+(；)=号GK=®,HG=*,EH=下,FH=2近,

截面五边形EFKGH如图所示，

则等腰三角形EF”底边FH上的高为石，等腰梯形HGKF的高为也，

2

则截面面积为S」x20x6+」(灰+2亚”3=城

2224

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理,

考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，山平面EFG与平面ABCD所成（锐）

二面角的余弦值为正求出2=：,属于中档题

34

16.（2020•安徽淮北•高二期中（理））空间四边形4B8各边及对角线长均为Q,E,

F,G分别是AB,AD,DC的中点，则面.而=（）

A.；B.1C.y/2D.—

22

【答案】A

【分析】由已知条件得四边形ABC。构成的四面体A8CD是正四面体，

GE=-^^BC+BD]+-BA,GF=^CA,由函百^一；网+而-网.希=

=-^^BCCA+BbBA-BDBC-BACA）,由数量积公式可得答案.

【详解】空间四边形ABC。各边及对角线长均为公，

所以四边形A88构成的四面体AB8是正四面体，四个面是等边三角形，

因为E,F,G分别是A8，AD,QC的中点，

所以AC〃尸G,-AC//FG,

2

GE=GB+BE=-^（BC+BD^+^M,

GF=-CA,所以臣.存=-5（配+丽-丽）•无=-；（而•直+而•瓦-丽•瓦）

=-^BCG4+Br＞（BA-BC）-BA-CX]

=-^（BCCA+BDBA-BDBC-BACA）

=-^（|BC|-|CA|COS120+|BD|-|BA|COS60-|BD|-|BC|COS60-|BA|-|C4|COS60）

故选：A.

17.（2021•江苏南京市第二十九中学高二期中）平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）

中，ZAAB=4AO=N8AO=60。，AB=AD=\,4£=而，则44=（）

A.1B.&C.2D.4

【答案】C

【分析】作出图形，令AB=a>AD=BC=b>—CCt=C,由ACt—AB+AD+A4,—a+b+c>

两边平方，利用向量的数量积运算可解得结果.

【详解】平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）AB8-A与GP中，

ZAyAB=ZAyAD=ABAD=60°,AB=AD=l,AC；=拒，作图如下：

令AB=a,AD=BC=b>例=CC,=c,

则<1,5>=<万,1>=<5]>=60。，冏=|5卜1,|AC，=>/TT,设AA=r,即同=r,

由离=福+亚+丽=@+石+^=ar+b2+C1+2a-b+2a-c+2b-c.

BIJ11=1+1+Z2+2xlxlx—+2xlxrx—+2xlxzx—=5>z2+2r-8=0,

222

解得：r=2或f=T（舍去），即AA=2.

故选：C.

18.（2020•安徽立人中学高二期中（理））己知正三棱柱ABC-A4G的高与底面边长之

比为1:2,则异面直线BA与CB,所成角的余弦值为()

A.—B.-C.—D.-

3456

【答案】C

【分析】设正三棱柱A8C-ABCI的高为1,取A8的中点0,连接OC,然后以点。为坐标

原点，0C、。8所在直线分别为X、y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异

面直线BA,与CB,所成角的余弦值.

【详解】设正三棱柱的高为1,则该正三棱柱的底面边长为2,

取AB的中点。，连接。C,因为是边长为2的等边三角形，则0C_LAB且OC=G，

平面ABC,OCu平面ABC,故。(？_144，

QABnA4,=A,平面"蜴8,

以点。为坐标原点，oc、0B所在直线分别为X、y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,-1,1)、8(0,1,0)、4(011)、c(6,o,o),

所以，瓯=(0,-2,1),西=卜万1,1),

■=-7-BA•CB1—11

则8'<叫，*>=^^=药=一丁

因此，异面直线B4与C4所成角的余弦值为，

故选：C.

二、多选题

19.(2020•通城县第二高级中学高二期中)设圆A:/+y2-2x-3=0,则下列说法正确的

是()

A.圆A的半径为2

B.圆A与圆B:x2+y2-8x-8y+23=0相离

C.圆A上的点到直线3x-4y+12=o的最小距离为1

D.圆A截了轴所得的弦长为2石

【答案】ACD

【分析】将圆A的方程化为标准方程，可判断A选项的正误；判断圆A与圆B的位置关系，

可判断B选项的正误；计算出圆A上的点到直线3x-4.v+12=0的最小距离，可判断C选项的正

误；计算出圆A截丫轴所得的弦长，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，圆A的标准方程为（x-iy+y2=4,圆心为A（1,O）,半径为r=2,A选

项正确；

对于B选项，圆5的标准方程为（X—4）2+（y—=9,圆心为5（4,4）,半径为R=3,

圆心距为|4却=+4?=5=r+R,所以，圆A与圆B外切，B选项错误；

对于C选项，圆心A到直线3x-4y+12=0的距离为"=/=3,

#一+（~4）-

所以，圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为d—r=3-2=1,C选项正确；

对于D选项，圆心A到y轴的距离为"'=1,

所以，圆A截y轴所得的弦长为2炉彳=2百，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆C与圆的半径长分别为弓和'

（1）若则圆G与圆C2内含；

（2）若|的=1-q,则圆C与圆内切;

（3）若|4一目<|。。2|<4+4，则圆G与圆C?相交；

（4）若CG|=4+0则圆G与圆C2外切；

（5）若CG|>4+4，则圆G与圆C2外离.

20.（2020•大石桥市第三高级中学高二期中）下列命题正确的是（）

A.当机=3时，直线4:x+my-1=。与直线4：（m-2）x+3y+3=0平行

B.当机=-g时，直线4：x+/M），-l=0与直线4：（，"-2）x+3y+3=0垂直

C.当机=4时，曲线G：x2+V+2x=0与曲线G：Y+y2-4x-8y+m=（）外切

D.当机=4时，直线4：x+畋-1=0与直线4：（，”-2）x+3y+3=O的交点坐标是（3,-1）

【答案】AC

【分析】根据直线与直线的位置关系判断ABD,根据圆与圆的位置关系判断C,即可得到答

案.

[详解]对于A,当加=3时，直线4：x+3y-l=O,^=-1；直线4：x+3y+3=O,^2=-1,

•.1kt=k2,/,//12,故A正确；

对于B,当机=-!时，直线勺=2；直线/2：-[+3y+3=O,k2=^,

2226

Q4£H-1，"与4不垂直，故B错误；

对于C,当初=4时，曲线G:x2+y2+2x=0o(x+l)2+y2=],圆心是(一1,0),耳=1；曲线

G：/+y2-4x-8y+4=0o(x—2『+(y_4)2=16,圆心是(2,4),4=4,圆心距

J(-l-2)2+(0-4)2=5=4+4,两圆外切，故C正确；

f2x+3y+3=0fx=-3

对于D,当机=4时，直线4"+4y-l=0,直线，2：2x+3y+3=0,联立｛J

[x+4y-1=0[y=l

即两直线交点坐标是(-3,1),故D错误；

故选：AC

【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存

时，

(1)/,///2k]=k2(L/〃20AlB?-A/1=0)；

(2)卬炉"—UIH2^A,-A2+B1B2=0),这类问题尽管简单却容易出错，特

别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

21.(2020♦商河县第一中学高二期中)已知直线小依-y+l=0,/2：x+ay+l=0,aeR,

以下结论正确的是()

A.不论。为何值时，4与《都互相垂直；

B.当。变化时，4与。分别经过定点A(0,l)和8(-1,0)

C.不论。为何值时，4与4都关于直线x+y=。对称

D.如果4与4交于点M则|必?|的最大值是友

【答案】ABD

【分析】由两直线垂直的判定方法可知A正确；根据直线过定点的求解方法可知B正确；设《

上一点（x,ox+l）,其关于x+y=o对称的点不在4上，知C错误；联立两直线方程可求得M,

利用两点间距离公式表示出|囤，根据函数最值的求法可求得|囤的最大值，知D正确.

【详解】对于A,•.zxl+（—l）x〃=O恒成U,.Ml/?恒成立，A正确；

对于B,对于直线4，当x=0时，y=i恒成立，则人过定点（0,1）；对于直线4，当N=。时，

x=-1恒成立，则恒过定点（0,-1）,B正确；

对于C,在4上任取点（X,6+1）,关于直线x+y=o对称的点的坐标为（-d-L-X）,

代入4方程知：（-依T，f）不在4上，C错误;

-a-\

二ax-y++『1=0,解,,得:+1-a-\一〃+1)

对于D,联立,即M

一〃+1/+1'/+]J

a2+\

‘阿°1」（篇［+仔詈［=层3应，即|MO|的最大值是夜，D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：本题D选项考查了两点间距离最值的求解，解题基本思路是能够将两点

间的距离表示为关于某一变量的函数的形式，利用函数最值的求解方法求得结果.

22.（2020•辽宁高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B

的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐

标系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,点p满足胃=；.设点P的轨迹为C,则（）.

A.轨迹C的方程为（x+4y+y2=9

B.在x轴上存在异于A,5的两点。，E,使得黑

附2

C.当A,B,P三点不共线时，射线P。是ZAP8的角平分线

D.在C上存在点M,使得|MO|=2|M4|

【答案】BC

【分析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.

【详解】A：在平面直角坐标系屹V中，A（-2,0）,B（4,0）,点P满足踪=；,

/、J（x+2）+y1

设p（x,y）,则J；"；=；,化简得V+y2+8x=0,

即（x+4）?+y2=i6,所以A错误；

\PD\1

B：假设在x轴上存在异于A,B的两点。，E,使得局=彳，

\PE\2

设£>W，0）,E（n,o）,则J（x-〃y+y2=2/x-〃*+y2,

彳七简得312+3y2-（8?n-2/?）x+4m2-IT=0,

由轨迹C的方程为犬+8x=0,可得8机—2〃=—24,4〃/-〃？=（）,

解得加=-6,〃=一12或机=一2,n=4（舍去），所以B正确；

,\OA\1\PA\

c：MA,B,P三点不共线时，画=2=忸回，

可得射线PO是N4PB的角平分线，所以C正确；

D：若在C上存在点M,使得由。=2|肋4］,可设M（x,y）,

则Jx。+y」=2^（x+2）：+y2>化简得x?+y?+?》+日=0，

与/+产+舐=0联立，方程组无解，故不存在点"，所以D错误.

故选：BC.

23.（2021•广东高二期中）如图，在正方体力aZ?-48G〃中，点P在线段AC上运动，则（）

A.直线即_L平面4G，

B.三棱锥4G冰J体积为定值

C.异面直线/吗4〃所成角的取值范用是［45°,90。］

D.直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为四

3

【答案】ABD

【分析】在A中，推导出4G_L能，DCdBD、,从而直线9，平面4G。；在B中，由8c〃平面

4G。，得到图J平面4G屈勺距离为定值，再由渊面积是定值，从而三棱锥〃-4G冰J

体积为定值；在C中，异面直线加与4〃所成角的取值范用是［60°,90°］；在D中，以〃为原

点，的为x轴，比为.确，如为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CP与平

面4G而成角的正弦值的最大值为无.

3

【详解】解：在A中，•.3£_1_笈4,ACLBB、,BDCBB、=B\,

；.4G_L平面比几；.4G_L做，同理，DC\LBD\,

•；4GC〃G=G,.*.直线做_L平面4G〃，故A正确;

在"中，'：A\D"BC4Zt平面4G〃，8a平面4G〃，

.•.6C〃平面ACD,

•.•点P在线段5C上运动，...图J平面4G冰J距离为定值，

又的面积是定值，，三棱锥〃-4G冰J体积为定值，故B正确；

在C中，异面直线加芍4〃所成角的取值范用是［60°,90°］,故C错误；

在D中，以。为原点，力为询，〃彷夕轴，的为若由，建立空间直角坐标系，

设正方体〃中棱长为1,P(a,1,a),

则〃(0,0,0),4(1,0,1),G(0,1,1),西=(1,0,1),西=(0,1,1),

C,P=(a,0,a-1),

设平面4G加力法向量百=(x,y,z),

n-DAf=x+z=()

则取x=l,得〃=(1,L-1),

n-DCt=y+z=O'

直线平面所成角的正弦值为:

中河=r］一:|,

IG户卜|”|Ji?+(a-l)，

当a=；时，直线GP与平面4G〃所成角的正弦值的最大值为亚，故D正确.

23

故选：ABD.

【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：

(1)、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直

线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；

(2)、用空间向量坐标公式求解.

24.(2020•贵溪市第四中学高二期中(理))在直三棱柱中，

A4,=AC=2,AB=3,/BAC=90,点分别是线段BC,用。上的动点(不含端点)，且

ECDC

评=正，则下列说法错误的是()

DjCDC

A.E£)//平面ACG

B.四面体A-皿比的体积是定值

C.异面直线BC与A%所成角的正切值为正

2

4

D.二面角A-EC-O的余弦值为E

【答案】ACD

【分析】说明四边形8CG片是矩形，然后证明即〃8月〃44,推出〃平面ACG，判

断A；设ED=m,然后求解四面体的体积可判断B；说明异面直线与。与所成角

为NBBg,然后求解三角形，判断C；利用空间向量求解二面角A-EC-。的余弦值

【详解】对于A,在直三棱柱48C-ABG中，四边形BCC百是矩形，

ECDC

因为7不二正，所以ED〃8B]〃4A，

£)!CDC

所以E。//平面ACC-所以A正确；

对于B,设EO=机，因为NBAC=90°,AAI=AC=2,A8=3,

所以BC=122+32=岳，

DEDCDEBCV13/n

因为四〃8月，所以瓯二记，所以OC=-------=-----

BB、2

后历"1

所以皿底£1,所以％XF^XRX3=3”尹

四面体A-瓦汨的体积为gx3(l-£)/n=〃L：M,所以四面体A-E)E的体积不是定值，所

以B错误;

对于C,因为所以异面直线用。与A4所成角为NBBQ,在心A^BC中,

B、B=2,BC=®所以tanN8BC=^=W，所以C正确;

对于D,如图，以A为坐标原点，以A8,AC，M所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系,则40,0,0),8(3,0,0),C(0,2,0),4(3,0,2),

所以衣=(0,2,0),ABi=(3,0,2),

设平面A4c的一个法向量为3=(X,y,Z),则

【:售；):C，令X=2,则z=-3,所以5=(2,0,-3),

[〃.伍=3x+2z=0

同理可求得平面跖。的一个法向量为》=(2,3,0),

2x24

所以二面角A-EC-ZJ的余弦值为屈＞厉=有，所以D正确,

故选：ACD

25.(2021•黄石市有色第一中学高二期中)如图所示，在棱长为1的正方体A3CQ-48G。

中，M八分别为棱AA，的中点，则以下四个结论正确的是()

A.BtC//MN

B.若P为直线CG上的动点，则即•而为定值

c.点4到平面GMN的距离为g

D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为93加

O

【答案】ABD

【分析】由平行公理可判断A；由数量积的定义可判断B；山等体积法可判断C；由截面面积

最小的圆是以MN所在的弦为直径的截面圆可判