【常微分方程解的稳定性的探究9100字（论文）】

常微分方程解的稳定性的研究目录TOC\o"1-2"\h\u16141常微分方程解的稳定性的研究 119819一、引言 112233二、微分方程稳定性分析 226487（一）稳定性定义 220102（二）自治系统零解的稳定性 312225例2.2讨论非线性振动系统 818124（三）非自治系统的稳定性 86056例2.3讨论方程 1320621三、常微分方程稳定性研究 146944（一）常微分方程稳定性 1413460（二）常微分方程解的稳定性的重要意义 1612772（三）李雅普诺夫第二方法 1732092（四）李雅普诺夫第二方法的构造和应用 1912140例1讨论方程组零解的稳定性 2032706四、常微分方程稳定性的应用 2112123（一）常微分方程在种群竞争中的应用 21562（二）常微分方程在捕鱼收益中的应用 2323159令 2415928五、结论 2428793参考文献 24摘要常微分方程是理工科专业中的一门基础课程，起源于17世纪，其中如何求解常微分方程是该门课程的重点，也是该门课程必须要攻克的难点，学习常微分方程这一部分内容，对于大多数人来说都是偏难的，但它又是数学专业中必须要掌握的知识，所以采用合适的方程去解决常微分方程是很有必要的，也是值得重视的.因此，本文以常微分方程为研究对象，首先分析了微分方程稳定性的概念，并举例说明不同稳定性定义之间的区别和联系；其次，分析了自治系统和非自治系统中微分方程稳定性的相关含义；然后，在分析常微分方程时概述稳定性，重点从李雅普诺夫第二方法中寻找常微分方程的应用；最后，通过相关的数学模型研究常微分方程解题的方法，让更多人了解与使用数学知识，全面处理现实生活中的问题，进而在不同领域使用且促进数学知识的全面使用.关键词自治系统；稳定性；全局吸引性一、引言20世纪至今，随着自然学科(如物理化学、化学流体力学、大气探测学、化学海洋学、地下水动力学等)中的一大批边缘科学的持续发展，人文社会科学(如工程经济军事等)都可以用微分方程来详细阐述，特别是当我们权衡实际物体的特征属性在时间(空间)上的演化过程，分析预测其演变规律，趋势预测其未来形态时，要组织建立物体的动力学模型，通常采用微分方程模型，而物体的稳定性模型仍然是一个相互作用的过程，建模工具的核心策略是研究设计经过很长时间后的趋势变化以及协调平衡是否稳定.稳定性模型不求解线性方程，而是利用常微分方程稳定性理论来研究调节机制的稳固性。二、微分方程稳定性分析（一）稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同.例如初始值问题，（1）的解为.是（1）的一个解，我们称它为零解.当时，无论多小，只要，当时，总有，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当时，与零解的误差不会超过初始误差，且随着的增加很快就会消失，所以当很小时，与零解的误差也很小.这个例子表明时(1)的零解是“不稳定的”，而当时（1）的零解是“稳定”的.下面就给出微分方程零解稳定的定义描述.设微分方程，，.（2）满足解的存在惟一性定理的条件，其解的存在区间是，还满足条件.（3）（3）保证是（2）的解，我们称它为零解.定义1若对任意给定的，都能找到，使得当时(2)的解满足，.（4）则称（2）的零解是稳定的，否则称（2）的零解是不稳定的.注1：（2）零解稳定的存在意义是对随意给定的半径距离，总能在中找到一个以原点为中心、半径为的开球，使得（2）在时刻从出发的解曲线当时总停留在半径为的开球内.注2：（2）的零解不稳定的数学描述是至少存在一个，使得对任意的，在开球内至少有一个点和一个时刻，使得.注3：对（2）的任何一个解都可以定义稳定性.事实上，若是（2）的一个解，为了考察其他解和它的接近程度，我们就可以令，带入（2）得.（5）这样一来，（2）解的稳定性就分解过程为（2）零解的稳定性.所以在本文展开讨论中，我们仅实验研究（2）零解的稳定性.定义2设是中包含原点的一个开区域，对所有和任意给定的，总能找到一个，使得当时，有成立，我们就称是（2）零解的一个吸引域，这时称（2）的零解是吸引的.是（2）零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有，均有.即从中出发的趋向于0.定义3若（2）的解释说明稳定的，又是完全吸引的，则（2）的零解是渐近稳定的；如果（2）的零解的组织域是整个，则称（2）的零解是全局渐近稳定的.定义4若定义1中的与无关，则称（2）的零解是一致稳定的；若定义2.2中的与和关系不大，则称（2）的零解是统一吸引的；若（2）的零解是统一稳定和统一吸引的，则称（2）的零解是统一渐近稳定的.定义5若有正数，对任意给定的，有，使得当时有.则称(2)的零解是指数渐近稳定的.（二）自治系统零解的稳定性前文明确提出了微分方程稳定性的中心概念，并用典型例子来表明不同稳定性界定之间的异同点.这些典型例子都是通过联立方程组解析解的方法来集中讨论零解持续稳定.微分方程强调的现实问题往往错综复杂，无法确定其解析解，因此我们需要从线性方程本身判断零解的稳定性，直接方法就是解决这一问题的有效途径.这一节中我们先引入函数的定义，然后再给出稳定性定理.（1）V函数设函数在中原点的某邻域中有定义，在中连续可微，且满足.定义6若除原点外对所有均有，则称为正定函数（负定函数）；若对所有均有，则称为半正定函数或常正函数（半负定函数或常负函数）；若中原点的任一邻域内既可取正值，也可取负值，则称为变号函数.例如，是中的正定函数，是中的半正定函数，而是中的变号函数.由定义6看出，正定时必是半正定的.另外正定和半正定与空间的维数和邻域的大小有关.例如是中的正定函数，而它在中仅是半正定的.利用化为极坐标的方法可以看出，函数在中的区域中是正定函数，而在中却不是正定函数.最常用的函数是二次型，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关的特征值理论来判定，且一些复杂的函数往往可以通过对二次型的修改得到.一般函数的符号判断十分困难，通常是把在原点展开为级数.其中，分别是的次、次齐次函数，根据展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定在原点邻域内的符号.对正定函数，容易证明当充分小时，是中包围原点的闭曲面，且随着趋于零，缩向坐标原点.事实上，由正定函数的定义可知，在内的闭曲面上，有正的下界，当时，在连接原点与任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点，使，所以是包围原点的闭曲面.（2）Liapunov稳定性定理设维自治微分方程（6）的解为.为了研究（6）解的稳定性，考察随时间变化时的变化情况.将视为的复合函数，关于求导得.（7）（7）为函数沿着（7）轨线的全导数.定理1若有原点的邻域和一个正定（负定）函数，使得是半负定（半正定）的，则系统（6）的零解是稳定的；且使得负定（正定）时，（6）的零解是渐近稳定的.定理2几何意义是函数正定时，是包围原点的闭曲面族，且随着的减少而缩向原点.当全导数半负定时，在时过的轨线上，的值不会增加，（2）的轨线只能停留在内，所以原点是稳定的.当负定时，原点邻域内（6）的轨线不断跑向闭曲面族中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以（6）的零解是渐近稳定的.该几何意义也正是我们证明定理1的基本思想.证明设正定，对任意给定的（不妨假设闭球在中），取.则当时，的点必全部位于原点的邻域内.由的连续性知，必有，使得当时.由于，当时，对一切有，所以，当时，.这就说明了半负定时，（6）的零解时稳定的.当负定时，（6）的零解稳定，只要，即可证明（6）的零解渐近稳定.利用反证法，设（6）的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的邻域内某点出发的解，使得.由于负定，故单调下降，从而由的正定性知必有，且时.由的连续性知，必存在，使得时.又由于是负定的，必有，在区域内，，由（7）式得，.（8）对（8）式两边积分得.（9）（9）表明，这与矛盾.故（6）的零解是渐近稳定的.例2.1讨论系统零解的稳定性.解令，将该方程化为等价的微分方程组.（10）令，显然是正定函数，容易求得沿（10）轨线的全导数为，它是负定函数，由定理1知该系统的零解是渐近稳定的.应该注意，如果取，那么求得的，是半负定的，我们有可能构造出函数用定理1来证明零解是渐近稳定的.也可能所构造出函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出函数，连零解的稳定性也不能得到.定理3设在原点的邻域内存在正定函数1，它沿着（6）轨线的全导数是半负定的，如果集合内除原点外，不在包含系统的其他轨线，则（6）的零解是渐近稳定的.证明由定理1知，在定理2的条件下(6)的零解是稳定的.于是对给定的（不妨假设含在内），可以找到，使得时，（6）满足的解；当时满，且由易见是的单调非增有界函数，故必有极限，令.由于的正半轨有界，故它的极限非空，若，则，.这表明，从而有.由于是由(6)的整条轨线组成，而在中除外不再包含(6)的其他轨线，故有.于是有.零解的渐近稳定性得证.例2.2讨论非线性振动系统（11）零解的渐近稳定性.其中和都是连续函数，且满足下列条件（1）；（2）.解选取，由条件(1)知，是正定函数.计算沿着（11）的轨线的全导数得.由(2)知是半负定的.又因为集合.由（11）可见时，满足方程组的解必有，从而集合内除外不再包含（11）的其他轨线，所以（11）的零解是渐近稳定的.（三）非自治系统的稳定性这一节研究非自治系统（12）零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理.（1）V函数和k类函数设，是中包含闭球的一个邻域，是上定义的连续可微函数，是上定义的连续可微函数.定义7若有正定（负定）函数，使得，在上成立，且，则称是上的正定（负定）函数.若，则称是半正定函数（半负定函数）.注:分析定理1的证明过程，不难发现，正定（负定）函数下述性质是证明的关键所在，即时，(时).对于而言，若仅要求，，则上述性质不一定能保持.例如.这就是为什么要通过的正定性来定义正定的原因.例如是的正定函数，而仅是半正定函数.定义8若是的正定函数，且，则称是上的无穷大正定函数.定义9若有正定函数，使得，则称具有无穷小上界；若有无穷大正定函数，使得，则称具有无穷大下界.例如，可以取，所以有.即是具有无穷小上界和无穷大下界的函数.函数具有无穷小上界的特征是当时，必有正数，使得，即充分小时，可以充分小.当时，这就等价于，连续.由此不难理解引入无穷小上界的原因.而具有无穷大下界的特征是当充分大时，可以任意大.定义10设是的连续函数，且，严格单调递增，则称是类函数，记为.若还满足，则称为无穷大类函数.引理1（1）是正定函数的充分必要条件是有，，使得；（13）（2）若有，使得，则必是正定函数，反之亦真；（3）若有，使得，则具有无穷小下界，反之亦真；（4）若有无穷大类函数，使得，则是具有无穷大下界的函数，反之亦真.证明由于引理1的（2）~（4）又可以从定义和引理1的（1）直接推出，故在此仅证明（1）.若有，，使得(13)成立，则显然有和，故为正定函数，充分性得证.反过来，若是正定函数，则可以定义函数，由的正定性和连续性知，连续，，且时，.又当时，；当时，.这表明是严格单调递增的函数，且满足.同理可定义.按前面类似的过程可以验证是满足的类函数.所以（13）式成立，必要性得证.（2）零解的稳定性设是上定义的连续可微函数，是(12)的解.定义沿着(12)解的全导数为.利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理.定理5（1）若有正定函数，使得半负定，则（12）的零解稳定；（2）若正定且有无穷小上界，半负定，则（12）的零解一致渐近稳定.证明定理5证明思路是利用类函数的性质:当时必定有.其证明过程就是利用类函数的这些性质对任意给出的寻找满足相应稳定性定义的，而给出时要反复利用引理1中函数与类函数的关系.（1）由于是正定函数，由引理2.1得，有类函数，使得.()，，由及的连续性知，必有，使得当时，.由于，故当时有.由类函数的单调性知，.所以，(12)的零解是稳定的.（2）当是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有类函数和，使，，取，当时，由得.由类函数的单调性知，.故(12)的零解是一致稳定的.（3）当正定，且有无穷小上界，负定时，由（2）知，（12）的零解一致稳定，下面仅证明（12）的零解一致吸引.由引理2.1知，必有类函数，和，使得，（14）.对任意给定的()，，使得当时，对一切有.取.由于，故，且当时，，所以是一个有限正数.由于，对上式两边积分得.即.（15）再由的非负性和（14），（15）得.（16）所以当，时，由（16）得（17）.由得，再由上式得.最后由的单调性知，.是(13)零解的一致吸引域，故（13）的零解是一致渐近稳定的.例2.3讨论方程（18）零解的稳定性.解取，沿(18)解的全导数，因为，所以，是具有无限小上界的正定函数，半负定，由定理5知，（18）的零解是一致稳定的.例2.4讨论（19）零解的稳定性.解取，显然有.所以是具有无限小上界的正定函数，又因为，.即是负定的，所以由定理5知，（19）的零解是一致渐近稳定的.三、常微分方程稳定性研究（一）常微分方程稳定性微分方程自问世以来就一直以微分方程解的求法为研究中心.数学家在微分方程线性规划问题中过程展开坚持不懈的努力，但依然没有从根本上摆脱求确定解的束缚，致使研究的道路愈窄.此时单一的定量分析已无法处理问题，必须用一种专业化思想综合考虑.避开微分方程求解的定量方法，转向运用稳定性方法探求解的特殊性质，从而系统的解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组 （20）其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件.设方程（2.1）对初值存在唯一解，而其他解记作QUOTEx=x(t,t0,x0).本文中向量的范数取.如果对于任意给定的和都存在，使得只要，就有对一切成立，则称（1）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是稳定的，否则是不稳定的.假设是稳定的，而且存在，使得只要QUOTE∥x0-x1∥<δ1则称（20）的解QUOTEφ(t,t0,x1)是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记，作如下变量代换：令，（21）则QUOTEdydt=dx(t)dt-QUOTE=ft,φt+y-f(t,φ(t)).QUOTE≐F(t,y)于是在变换（21）下，将方程（20）化成.（22）其中，这样关于（20）的解的稳定性问题就化为（22）的零解的稳定性问题了.因此，我们可以只考虑（20）的零解的稳定性，即假设，并有如下定义：定义11若对于任意给定的QUOTEε>0和QUOTEt0≥0，存在，使当时有.对所有的成立，则称（20）的零解是稳定的，反之是不稳定的.定义12若（20）的零解是稳定的，且存在（为定义中的），当时有，则称（20）的零解是渐近稳定的.例1考察系统QUOTEdxdt=ydydt的零解的稳定性.解不妨取初始时刻，对于一切，方程组满足初值条件的解为，对任一，取，则当时，有.故该系统的零解是稳定的.然而，由于QUOTElimt→∞[x2t+（二）常微分方程解的稳定性的重要意义李雅普诺夫强调指出了常微分方程解稳定基础的标准定义（称为“李雅普诺夫深刻意义下的稳定性”）：如果对于任何内容正数ε，不管数值显示有多么小，可以选用另个正数，使得对于所有受干扰的运动，当其在初始时刻t0时满足，而在所有时满足不等式，则QUOTEdxidt=f(t,x1,x2,⋯,这个科学定义简便快捷，既准确地了解的微观物理，又具有应用标准的隐含意义，广泛普及平衡解的稳定性定义描述，作为更严格的判断标准.接着，他又提出了两种解题思维：（1）幂级数展开法，适合用于已知动量方程的明确解（通常为无穷级数的形式）的情形.（2）李雅普诺夫直接法，即李雅普诺夫最佳方法，延续至今它仍是切实解决稳定性问题的便捷工具.这种方法无需探求动量方程的基础解系，只要实际的量化分析能力站住脚，设计结构具有特殊条件的李雅普诺夫函数QUOTEV(x1,x2,李雅普诺夫应用计量模型，以完善规范的实验数据解决稳定问题.概念框架的清晰性与彻底性是李雅普诺夫工作的突出特征之一.如今，李雅普诺夫稳定性理论观点被普遍认为是微分方程计量分析法的成就贡献之一.不仅有研究范式，更有严格规范的研究表明，将常微分方程及稳定性理论的研究工作推向至高点.（三）李雅普诺夫第二方法（1）李雅普诺夫函数的介绍李亚普诺夫发展了两种处理稳定性问题的方法:第一种方法是基于微分方程的级数解，这是在他之后没有发展的;第二方法是在不求方程解的情况下，借助所谓的李雅普诺夫函数和通过微分方程所计算出来的导数QUOTEdV(x)dt的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.下面，先引入李雅普诺夫函数概念考虑自治系统.（23）假设在上连续，满足局部利普希茨条件，且.定义13若函数满足，和都连续，且若存在,使在上，则称是常正（负）的；若在D上除外总有，则称正（负）的；既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.通常我们称函数为李雅普诺夫数.例：函数在平面上为正定的；函数在QUOTE（x1,x2）函数在平面上是变号函数；函数在平面上是常正函数.（2）李雅普诺夫第二方法的相关定理定理6对系统（23），若在区域D上存在李雅普诺夫函数QUOTEV(x)满足（1）正定;（2）常负，则（23）的零解是稳定的.证明对任意,记QUOTEΓ={x|∥x∥=ε}，则由正定，连续和是有界闭集知QUOTEb=minx∈ΓV(x)>0，由和连续知存在，使当，QUOTEVx<b，于是有时，，.（24）若上述不等式不成立，有QUOTE∥x∥<δ<ε和的连续性知存在，当时，QUOTExt,t0,x0<ε，而QUOTExt,t0,x0=ε.（25）另一方面，由条件（2）知在上成立，即时，,自然有,与（25）矛盾，即（24）成立.引理若是正定（或负定）的李雅普诺夫函数，且对连续有界函数有QUOTElimt→∞V(xt)=0，则.QUOTElimt→∞xt=0定理7对系统（21），若在区域D上存在李雅普诺夫函数QUOTEV(x)满足（1）正定；（2）负定.则（23）的零解是渐近稳定.证明由定理6知（23）的零解是稳定的.取QUOTEδ为定理6的证明过程中的,于是当QUOTE∥x∥≤δ时，单调下降.若,则由唯一性知,自然有QUOTElimt∈+∞xt,t0,不妨设.由初值问题解的唯一性，对任意t，.从而由QUOTEV(x)的正定性知QUOTEV(xt,t0,x0)>0总成立，那么存在使QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=a，假设,联系到QUOTEV(xt,t0,x0)的单调性有QUOTEa<Vxt,t0,x0<Vx0对QUOTEt≥t0成立，从而由QUOTEV0=0知存在，使QUOTEh<∥xt,t0,x由条件（2）有.QUOTEM=maxh≤∥x∥≤εdVdt<故从（26）知.对上述不等式两端从到积分得，.QUOTEVxt,t0,该不等式意味着QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=+∞矛盾，故，即QUOTElimt∈+∞Vxt,t0,x0=0，由于零解是稳定的，所以在定理8对系统（23），若在区域D上存在李雅普诺夫函数满足（1）正定；（2）不是常负函数，则系统（23）的零解是不稳定的.（四）李雅普诺夫第二方法的构造和应用（1）李雅普诺夫函数的构造在判定系统是自治的情况下，微分方程的稳定性和将近稳定性，可以构造如下形式的李雅普诺夫函数：（1）二维空间，这里a,b>0;m,n为正整数；（2）n维空间.其中同号，都是正整数.这样构造的整数，都是定号函数且不含t也就有穷小上界的性质.（2）李雅普诺夫第二方法的应用例1讨论方程组零解的稳定性.解取函数是正定函数.沿方程的全导数为QUOTEdvdt=x3xy-例2研究质点振动方程零解稳定性.解原振动方程可转化为零解对应平衡点（0，0），取函数是正定函数，沿方程的导数为QUOTEdvdt=my-bm(常负函数).由定理6知，零解稳定.例3讨论方程组零解稳定性.解取是正定函数，沿方程对t求导.QUOTEdvdt=-26x2+可知当QUOTE6x2+5y2+2z2<1时，QUOTEdvdt四、常微分方程稳定性的应用（一）常微分方程在种群竞争中的应用考虑在一个小生境中两个互相竞争的生物种群的变化情况，记分别为时刻两生物种群的总数，当种群的总数较大时，我们就可以将看做有一定光滑性的函数，描述着两种群变化的模型为（28）其中都是正常数，表示第种生物的内禀增长率，反映了第种群受食物、环境等影响的密度制约因素，和是两者间的竞争系数，由于问题的实际背景，我们仅在内讨论问题.模型（23）有4个平衡点，其,.当，（29）时，平衡点在的内部.在生态学中最感兴趣的问题是两个生物群体能否共存，所以我们在下面的讨论中设（24）成立，仅讨论正平衡点的稳定性.利用，满足的方程将模型（23）化为.（30）选取函数，其中是待定的正常数，计算得所以时内部的正定函数，且容易验证趋于的边界时，，故时内有无穷大下界的函数.计算沿着（28）解轨线的全导数得(4-4)是和的二次齐次数.当（31）时，是负定的.为此，整理、化简为.（32）由于，故取，此时（32）化为.可得到如下结论：若，，时，模型（20）有唯一的正平衡解，它是全局一致渐近稳定的.（二）常微分方程在捕鱼收益中的应用在可持续发展的主要政策下，此时可以对可再生资源的科学使用进行分析.如同渔业这般可再生资源在确保平稳产量的基础上怎样得到最高利益，就开始得到产业内人士的重视.接下来我们会分析渔场在现实环境中的增长规律，分析怎样管控捕捞强度促使渔场的鱼量更加平稳，确保在接连捕捞下得到最高利益.记时刻渔场中总鱼量是，对渔场鱼量的增长与捕捞状况进行假定可知：（1）在无捕捞条件下的增长服从Logistic规律，也就是.此处r是自然增长率，N是环境能容纳的最大鱼量，表示要求的单位时间内增长量.（2）每段时间的捕捞量和渔场鱼量成正比，比例常数代表单位时间捕捞率,是捕捞强度，此处管控出海渔船数或捕捞时间间隔来管控捕捞强度的大小，因此单位时间内的捕捞量是