2023广东理科数学高考卷

2023广东理科数学高考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1.设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.32.若函数f(x)=x²+ax+a+3在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.a≤2B.a≥2C.a≤2D.a≥23.在三角形ABC中，若sinA+sinB+sinC=3/2，则三角形ABC的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=27，则a4+a5+a6的值为（）A.9B.12C.15D.185.若复数z满足|z1|=|z+i|，则z在复平面内对应的点位于（）A.直线y=x上B.直线y=x上C.直线x=0上D.直线y=0上二、判断题（每题1分，共20分）6.若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)≥0。（）7.两个平行线的斜率相等。（）8.若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。（）9.任何两个实数的和都是实数。（）10.若a，b为实数，且a≠b，则函数y=ax²+bx+1的图像一定与x轴相交。（）三、填空题（每空1分，共10分）11.若函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为______。12.在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点的对称点坐标为______。13.已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项a5=______。14.若复数z满足z²+2z+5=0，则z的实部为______。15.在三角形ABC中，若a=8，b=10，cosB=3/5，则sinA=______。四、简答题（每题10分，共10分）16.设函数f(x)=x²+2x3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。17.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求证数列{an+1}是等差数列。五、综合题（1和2两题7分，3和4两题8分，共30分）18.（1）已知函数f(x)=2x³3x²x+1，求f(x)的单调区间。（7分）（2）已知函数g(x)=x²+ax+a²，讨论g(x)在实数范围内是否有零点。（7分）19.（3）在三角形ABC中，a=6，b=8，cosA=1/4，求三角形ABC的面积。（8分）（4）已知复数z满足|z1|=|z+i|，求z在复平面内对应的点的轨迹方程。（8分）8.计算题（每题5分，共15分）16.已知函数f(x)=3x²4x+1，求f'(x)并计算f'(1)的值。17.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}\)，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。18.计算积分\(\int(3x^22x+1)dx\)。9.证明题（每题7分，共14分）19.证明：若a、b、c为等差数列，则a³、b³、c³也为等差数列。20.证明：在任意三角形中，外心、重心、垂心三点共线。10.应用题（每题8分，共16分）21.一辆汽车从静止开始加速，其加速度a(t)=3t²2t+1（m/s²），求汽车在前5秒内的位移。22.某工厂生产两种产品A和B，生产一个A产品需要2小时，生产一个B产品需要3小时。若工厂每周工作40小时，且生产A产品每个可获利30元，生产B产品每个可获利50元，问如何分配生产时间才能使利润最大？11.构造题（每题5分，共10分）23.构造一个等差数列，使得它的前5项和为35，第5项与第10项的差为9。24.构造一个函数f(x)，使得f'(x)=x²，且f(0)=5。12.作图题（每题6分，共12分）25.作出函数y=|x2|+3的图像。26.在同一坐标系中作出函数y=2x和y=3x的图像，并求出它们的交点坐标。13.探究题（每题7分，共14分）27.探究函数f(x)=ax²+bx+c的单调性，讨论a、b、c的取值对函数单调性的影响。28.探究在三角形ABC中，若a:b:c=3:4:5，求cosA、cosB、cosC的值。14.论述题（每题8分，共16分）29.论述如何利用导数研究函数的单调性、极值和最值。30.论述在解三角形问题时，正弦定理和余弦定理的应用。15.分析题（每题10分，共20分）32.分析在给定的线性方程组Ax=b中，当矩阵A可逆时，方程组解的情况。如果A不可逆，又会发生什么情况？请举例说明。一、选择题1.C2.A3.C4.D5.A二、判断题6.×7.√8.√9.√10.×三、填空题11.012.(2,3)13.16214.115.3/5四、简答题16.最大值：f(3)=12，最小值：f(1)=017.证明：由an=3n2，得an+1=3(n+1)2=3n+1，所以an+2=3(n+2)2=3n+4，因此an+2an+1=3，是常数，故{an+1}是等差数列。五、综合题18.（1）单调递增区间：(∞,1/3)和(1,+∞)，单调递减区间：(1/3,1)（2）当判别式Δ=b²4ac≥0时，g(x)有实数零点，即a²4a²≥0，解得a≤0或a≥1。19.（3）三角形ABC的面积S=24（4）轨迹方程：(x1/2)²+(y+1/2)²=5/48.计算题16.f'(x)=6x4，f'(1)=217.A⁻¹=\(\begin{bmatrix}3/10&1/10\\2/5&2/5\end{bmatrix}\)18.\(\int(3x^22x+1)dx=x^3x^2+x+C\)9.证明题19.略20.略10.应用题21.位移s=125/6m22.生产A产品20个，B产品6个时，利润最大。11.构造题23.an=7n424.f(x)=1/3x³+x²+512.作图题25.略26.交点坐标：(1,2)13.探究题27.略28.cosA=3/5，cosB=4/5，cosC=014.论述题29.略30.略15.分析题31.数列{bn}=2ⁿ的增长速度更快。32.当A可逆时，方程组有唯一解；当A不可逆时，方程组无解或多解。函数的单调性、极值和最值等差数列和等比数列的性质矩阵的运算和逆矩阵导数的应用三角形的面积和形状判断复数的运算和几何意义线性方程组的解法函数图像的绘制和分析数列的增长速度比较实际应用问题的数学建模各题型知识点详解及示例：选择题：考察了集合、函数单调性、等差数列、复数和三角形形状的基本概念。判断题：考察了函数导数、平行线斜率、矩阵行列式、实数性质和二次函数图像的基本性质。填空题：考察了函数最小值、对称点坐标、等比数列、复数解和三角形正弦值的基本计算。简答题：考察了函数在区间上的最值计算和等差数列性质的证明。综合题：考察了函数单调区间、函数零点、三角形面积和复数轨迹方程的综合应用。计算题：考察了函数导数计算、矩阵逆矩阵计算和定积分计算。证明题：