5.3.22函数的最大(小)值课件高二下学期数学人教A版选择性

5.3.2.2

函数的最大(小)值5.3导数在研究函数中的应用复习引入1、函数的极小值和极大值的概念：如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在x=a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.那么我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．那么我们b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum)．Oabxycedy=f(x)极大值极小值复习引入2、求可导函数f(x)的极值的步骤如下：(2)求导数f'(x)；(3)求方程f'(x)=0的根；(4)列表检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值.(1)求函数定义域；(5)写结论.复习引入3、函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，称m是函数y=f(x)的最小值.复习引入

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．

也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值．

但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．

如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.

函数在什么条件下一定有最大值、最小值？它们与函数极值关系如何？探究新知问题1：下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)，极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6).追问：你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？最大值：f(a)；最小值：f(x3)Oabxyx1y=f(x)x2x3x4x5x6归纳提升函数最值与极值的区别和联系联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。区别：1、函数的最值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，即极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质.2、函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.4、极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.3、函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外).探究新知问题2：观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？结论：一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续曲线，它必有最大值和最小值.最小值是f(a)最大值是f(b)最大值是g(x3)最小值是g(x4)Oabxyx1y=g(x)x2x3x4x5Oabxyy=f

(x)感悟提升

一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续曲线，它必有最大值和最小值.思考：为什么给定函数的区间必须是闭区间？因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得)。Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)典型例题1、求函数

在区间[0，3]上的最大值与最小值.解：∵

，

∴f′(x)=x2–4=(x+2)(x–2)，令f′(x)=0，解得x=2或–2；当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，3)3f′(x)f(x)∴函数f(x)在区间上有极小值

；

又由于f(0)=4，f(3)=1.−0+4单调递减

单调递增1f(x)在区间[0，3]上的图象如上图所示.O3xy

412方法归纳求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)在各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．随堂练习1、(P94T1)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值.

(1)f(x)=6x2–x–2，x∈[0，2](2)f(x)=6+12x–x3，x∈[，3]

解：(1)因为

f′(x)=12x–1，x∈[0，2]x

y′

y

令

f′(x)=0，解得x=.单调递减所以，当x=2时，函数f(x)在[0，3]上取得最大值20，当x=时，函数f(x)在[0，3]上取得最小值.又因为f(0)=–2，f(2)=20单调递增−0+随堂练习解：(1)因为

f′(x)=12–3x2，x∈[，3]x

2(2，3)

y′

y

令

f′(x)=0，解得x1=–2(舍)，x2=2.所以，当x=2时，函数f(x)在[，3]上取得最大值22，当x=时，函数f(x)在[，3]上取得最小值.又因为

，f(3)=15+0−1、(P94T1)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值.

(1)f(x)=6x2–x–2，x∈[0，2](2)f(x)=6+12x–x3，x∈[，3]

单调递增22单调递减感悟提升连续函数f(x)只有一个极值点时，极值点必定是最值点.有两个极值点时，函数有无最值情况不定。典型例题2、求函数

的最值.解：易知函数

的定义域为(0，+∞)，∴f(x)在(0，e)上是增函数；∴f(x)在(e，+∞)上是减函数；∴函数f(x)在x=e时有极大值，也是最大值，为f(x)max=f(e)=e-1，而无最小值.随堂练习2、设函数

，求f(x)在[0，+∞)内的最小值.当0<a<1时，f(x)min=f(-lna)=2+b当a≥1时，f(x)min=f(0)=探究新知观察课本P89例4的图，我们发现，怎么证明这个结论呢？分析：xyOC2C11当x>0时，典型例题3、当x>0时，证明

.所以，当x=1时，s(x)取得最小值0.x(0，1)1(1，+∞)s'(x)s(x)所以，s(x)≥s(1)=0，即故当x>0时，

.xyOC2C11证明：将不等式

转化为令

s′(x)=0，解得x=1当x变化时，s'(x)与s(x)的变化情况如下表：–0+单调递减0单调递增随堂练习3、(P94T2)证明不等式：x–1≥lnx，x∈(0，+∞)所以，当x=1时，f(x)取得最小值.x(0，1)1(1，+∞)f'(x)

f(x)所以，f(x)≥f(1)=0，即x－lnx－1≥0解：将不等式lnx≤x－1转化为x－1－lnx≥0故当x>0时，lnx≤x－1.xyOy=x-1y=lnx除点(1，0)外，曲线C1：y=x-1在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.设f(x)=x－1－lnx，令f′(x)=0，解得x=1当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：–0+单调递减0单调递增随堂练习4、已知函数

.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)<x-1.当x>1时，g'(x)<0，∴g(x)在(1，+∞)是减函数，∴当x>1时，f(x)<x-1成立.随堂练习5、已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间

上的最值.切线方程：y=1f(x)max=f(0)=1f′(x)=ex(cosx－sinx)－1典型例题4、已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0，1]上的最小值．解：因为g′(x)＝ex－2a，x∈[0，1]，ex∈[1，e]，所以函数g(x)在区间[0，1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)＝ex－2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)＝ex－2a＞0，则1<2a<e，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.典型例题4、已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0，1]上的最小值．综上所述，g(x)在区间[0，1]上的最小值为g(x)min＝1－b；g(x)在区间[0，1]上的最小值为g(x)min＝2a－2aln(2a)－b；g(x)在区间[0，1]上的最小值为g(x)min＝e－2a－b.感悟提升(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．含参数的函数最值问题的两类情况随堂练习6、设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．解、(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x<x1或x＞x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0.故f(x)在

上单调递减，在

内单调递增．随堂练习6、设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在

处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．随堂练习6、设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．综上，当a≥4时，f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．当0<a<4时，f(x)在

处取得最大值，当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值.随堂练习7、已知函数f(x)＝x3－3ax2＋b(x∈R)，其中a≠0，b∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a∈，函数f(x)在[1，2]上的最大值为M，最小值为N，求M-N的取值范围.当a>0时，增区间(-∞，0)，(2a，+∞)，减区间(0，2a)；当a<0时，增区间(-∞，2a)，(0，+∞)，减区间(2a，0)随堂练习7、已知函数f(x)＝x3－3ax2＋b(x∈R)，其中a≠0，b∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a∈，函数f(x)在[1，2]上的最大值为M，最小值为N，求M-N的取值范围.解：(2)由及(1)知，f(x)在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又f(2)－f(1)＝(8－12a＋b)－(1－3a＋b)=7－9a>0∴M=f(2)=8－12a＋b，N=f(2a)＝b－4a3设g(a)=M－N=4a3－12a＋8∴