20042010年广东高考数学试题及标准答案

PAGE本文由广东tanyuan提供，第9页共9页试卷类型：B2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷）及标准答案选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，则x=（）A.–3B.–1C.1D.32.已知则()A.B.C.D.3.设函数在x=2处连续,则a=()A.B.C.D.4.的值为()A.–1B.0C.D.15.函数f(x)是()A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为2的偶函数D..周期为2的奇函数6.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是()A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.97287.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()A.B.C.D.8.若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k=（）A.6B.8C.1D.49.当时,函数的最小值是()A.4B.C.2D.10.变量x、y满足下列条件：则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是A.(4.5,3)B.(3,6)C.(9,2)D.(6,4)11.若则A.B.C.D.12.如右下图,定圆半径为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x–y+1=0的交点在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限二.填空题(共4小题，每题4分，计16分）13.某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是(用分数作答)14.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=.51.由图(1)有面积关系:则由(2)有体积关系:16.函数的反函数三.解答题(共6小题,74分)17.(12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列.求的值.18.如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.19.(12分)设函数(1)证明:当0<a<b,且时,ab>1;(2)点P(x0,y0)(0<x0<1)在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).20(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)21.(12分)设函数 其中常数m为整数.(1)当m为何值时,(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-ｍ-m,e2ｍ-m]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案选择题：题号123456789101112A卷BCBAADBCDBACB卷CACABDDAABDB填空题：（13）（14）－2i(15)(16)解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为β，则19.证明：（I）故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和故（II）0<x<1时，曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：∴切线与x轴、y轴正向的交点为故所求三角形面积听表达式为：20．解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且当x∈(-m,1-m)时,f’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x∈(1-m,+∞)时,f’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：依题意有，由若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故由故l的方程为(ii)当b=0时，由(1)得由故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，故l的方程为、和 2005年广东省高考数学试题（A） 第一部分 选择题（每题5分，共50分）（1）若集合，则M∩N=(A){3}(B){0}(C){0,2}(D){0,3}(2)若(a-i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位，则（A）0(B)2(C)(D) (3)(4)已知高为3的直三棱柱ABC—A1B1C1的底是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1—ABC的体积为(5)若焦点在x轴上的椭圆，则m=(6)函数是的函数的区间为（A）（2，+∞）(B)(-∞,2)(C)(-∞,0)(D)(0,2)(7)给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:则与m不共面；、m是异面直线，；若；若，则其中为假命题的是（A）①（B）②（C）③（D）④(8)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则的概率为（C）（D）（9）在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)和y=g(x)的图象象关于直线y=x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数f(x)的表达式为（A）（B）（C）（D）（10）已知数列满足。若，则x1=(A)(B)3(C)4(D)5第二部分非选择题（共100分）二、填空题（每题5分共20分）（11）函数的定义域是;(12)已知向量（13）已知的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则（14）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n条直线交点的个数，则f(4)=,当n>4时，f(n)=三、解答题15．化简并求f(x)的最小值和最小正周期。(12分)16．如图，PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB（I）求证：PB⊥平面CEF（II）求二面角B—CE—F的大小（14分）17.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B，满足AO⊥BO（如图所示）；（I）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（II）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（14分）18.箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比是s:t，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意一个球，但取球的次数最多不超过n次，。以表示取球结束时已取到白球的次数。（I）求的分布列；（II）求的数学希望。（12分）19.对函数f(x)，当x∈(-∝,∝)时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0;(I)试判断函数y=f(x)的奇偶性；（II）试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论。（14分）20.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A点与直角坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段CD上，；（I）若折痕所在的直线的低斜率为k试写出折痕所在的直线方程；（II）求折痕的长度的最大值。（14分）2005年广东省高考数学试题（A）参考答案选择题1B2D3A4D5B6D7C8C9A10B填空题11.{x|x<0}12.413.14.5,解答题15．解：函数f(x)的值域为;函数f(x)的周期；16．（I）证明：∵∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵而故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。二面角B—CE—F的大小为17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,nξ的分布列为ξ012…n-1np…(II)的数学希望为…(1)…(2)－(2)得19.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.20.解(I)（1）当时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)所以A与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时（II）(1)当时，折痕的长为2;当时,折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为令解得∴所以折痕的长度的最大值22006年广东高考数学试题

函数f(x)=EQ\F(3x2,1－x)+lg(3x+1)的定义域是

(A)(－EQ\F(1,3),+) (B)(－EQ\F(1,3),1) (C)(－EQ\F(1,3),EQ\F(1,3)) (D)(－,－EQ\F(1,3))若复数z满足方程z2+2=0，则z3=

(A)±2EQ\R(2) (B)－2EQ\R(2) (C)－2EQ\R(2)i (D)±2EQ\R(2)i下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

(A)y=－x3，xR (B)y=sinx，xR (C)y=x，xR (D)y=(EQ\F(1,2))x，xRABDC如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量EQ\O\AC(CD,\S\UP6(→))

(A)－EQ\O\AC(BC,\S\UP6(→))+EQ\F(1,2)EQ\O\AC(BA,\S\UP6(→)) (B)－EQ\O\AC(BC,\S\UP6(→))－EQ\F(1,2)EQ\O\AC(BA,\S\UP6(→))

(C)EQ\O\AC(BC,\S\UP6(→))－EQ\F(1,2)EQ\O\AC(BA,\S\UP6(→)) (D)EQ\O\AC(BC,\S\UP6(→))+EQ\F(1,2)EQ\O\AC(BA,\S\UP6(→))ABDC给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

(A)5 (B)4 (C)3 (D)2yOx432－11函数y=f(x)的反函数y=f－1(x)的图像与y轴交于点P(0,2)（如图2所示），则方程f(x)=0在[1,4]上的根是x=

(A)4 (B)3 yOx432－11已知双曲线3x2－y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于

(A)EQ\R(2) (B)EQ\F(2\R(3),3) (C)2 (D)4yOx42y+2x=4y+x=s在约束条件EQ\B\LC\{(\A\AL(x≥0,y≥0,y+x≤s,y+2x≤4))下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是

yOx42y+2x=4y+x=s对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d)当且仅当a=c，b=d；运算“”为：(a,b)(c,d)=(ac－bd,bc+ad)；运算“”为：(a,b)(c,d)=(a+c,b+d)，设p、qR，若(1,2)(p,q)=(5,0)，则(1,2)(p,q)=

(A)(4,0) (B)(2,0) (C)(0,2) (D)(0,－4)二、填空题EQ\O\AC(lim,\s\do5(x－1))(EQ\F(4,4－x2)－EQ\F(1,2+x))=。若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为。在(x－EQ\F(2,x))11的展开式中，x5的系数为。在德国不来梅举行的第48届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最低层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球。以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=；f(n)=（答案用n表示）。三、解答题已知函数f(x)=sinx+sin(x+EQ\F(,2))，xR(I) 求f(x)的最小正周期；(II) 求f(x)的最大值和最小值；(III) 若f()=EQ\F(3,4)，求sin2的值。某运动员射击一次所得环数X的分布列如下X0~678910P00.20.30.20.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为，(I) 求该运动员两次都命中7环的概率；(II) 求的分布列；(III) 求的数学期望E如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥ADABCOFDEO1(I)ABCOFDEO1(II) 求直线BD与EF所成的角。（14’）设函数f(x)=－x3+3x+2分别在x1、x2处取极小值、极大值，xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，该平面上动点P满足EQ\O\AC(PA,\S\UP6(→))·EQ\O\AC(PB,\S\UP6(→))=4，点Q是点P关于直线y=2(x－4)的对称点，求(I) 点A、B的坐标；(II) 动点Q的轨迹方程。（14’）已知公比为q（0<q<1）的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{an2}各项的和为EQ\F(81,5)(I) 求数列{an}的首项a1和公比q；(II) 对给定的k（k=1,2…,n），设T(k)是首项为ak，公差为2ak－1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(III) 设bi为数列T(i)的第i项，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn，并求正整数m（m>1）使得EQ\O\AC(lim,\s\do5(n))EQ\F(Sn,nm)存在且不等于零。（12’）A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：①对任意x[1,2]，都有(2x)(1,2)；②存在常数L（0<L<1），使得对任意x1、x2[1,2]，都有|(2x1)－(2x2)|≤L|x1－x2|(I) 设(x)=EQ\R(3,1+x)，x[2,4]，证明：(x)A(II) 设(x)A，如果存在x0(1,2)，使得x0=(2x0)，那么这样的x0是唯一的；(III) 设(x)A，任取x1(1,2)，令xn+1=(2xn)，n=1,2,…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式：|xk+p－xk|≤2006年高考广东卷(B)第一部分选择题（50分）1、函数的定义域是A.B.C.D.1、解：由，故选B.2、若复数满足方程，则A.B.C.D.2、由，故选D.3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A.B.C.D.4、，故选A.5、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.15、①②④正确，故选B.6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5B.4C.3D.26、，故选C.7、函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是A.4B.3C.2D.17、的根是2，故选C8、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.B.C.2D.48、依题意可知，，故选C.9、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是A.B.C.D.9、由交点为，当时可行域是四边形OABC，此时，当时可行域是△OA此时，故选D.10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若则A.B.C.D.10、由得,所以,故选B.第二部分非选择题（100分）二、填空题11、11、12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12、13、在的展开式中，的系数为13、所以的系数为14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）.14、10，三、解答题15、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值和最小值；（Ⅲ）若，求的值.15解：（Ⅰ）的最小正周期为;（Ⅱ）的最大值为和最小值；（Ⅲ）因为，即,即16、（本小题满分12分）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；(Ⅱ)求分布列；(Ⅲ)求的数学希望.16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；(Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10分布列为78910P0.040.210.390.36(Ⅲ)的数学希望为.17、（本小题满分14分）如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为18、（本小题满分14分）设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程18解:(Ⅰ)令解得当时,,当时,,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,点A、B的坐标为.(Ⅱ)设，，，所以，又PQ的中点在上，所以消去得19、（本小题满分14分）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.(Ⅰ)求数列的首项和公比；(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)19解:(Ⅰ)依题意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前10项之和为155.(Ⅲ)===，，=当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=220、（本小题满分12分）A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有（Ⅰ）设，证明：(Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;(Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式解：对任意,,,,所以对任意的，，，所以0<,令=，，所以反证法:设存在两个使得,则由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+…2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．用最小二乘法求线性同归方程系数公式一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M={x|}，N={x|}，则M∩N=A．{x|-1≤x＜0}B．{x|x>1}C．{x|-1＜x＜0}D．{x|x≥-1}2．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则A．-2B．C.D．23．若函数()，则函数在其定义域上是A．单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数D.单涮递增的奇函数4．若向量、满足||=||=1，与的夹角为，则+A．B．C.D．25．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是6若l、m、n是互不相同的空间直线，n、口是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A．若，则B．若，则C.若，则D．若，则7．图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．B．C．D．8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A．B．C．D．9．已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为A．B．C．D．10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为A．18B．17C．16D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是．12．函数的单调递增区间是．13．已知数列{}的前项和，则其通项；若它的第项满足，则．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分14分)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值．17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S18(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：)19(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数，、是方程的两个根()，是的导数设，，.(1)求、的值；(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．21．(本小题满分l4分)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A卷)参考答案一选择题:CDBBCDBAAC二填空题:11.12.13.2n-10;814.215.三解答题:16.解:(1)由得(2)17解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD;(1)(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为,另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为因此18解:(1)散点图略(2);所求的回归方程为(3),预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)19解:(1)设圆C的圆心为(m,n)则解得所求的圆的方程为(2)由已知可得椭圆的方程为,右焦点为F(4,0);假设存在Q点使,整理得代入得:,因此不存在符合题意的Q点.20解:(1)由得(2)又数列是一个首项为,公比为2的等比数列;21解:若,,显然在上没有零点,所以令得当时,恰有一个零点在上;当即时,也恰有一个零点在上;当在上有两个零点时,则或解得或因此的取值范围是或;2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析广东佛山南海区南海中学钱耀周一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（C）A． B． C． D．【解析】，而，即，2．记等差数列的前项和为，若，，则（D）A．16 B．24 C．36 D．48【解析】，，故一年级二年级三年级女生373男生3773703．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24 B．18 C．16 D．12 表1 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为4．若变量满足则的最大值是（C）A．90 B．80 C．70 D．40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）EEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）A． B． C． D．【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题7．设，若函数，有大于零的极值点，则（B）A． B． C． D．【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（B）A． B． C． D．开始n整除a开始n整除a?是输入结束输出图3否二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出，（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则．【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。12．已知函数，，则的最小正周期是．【解析】,此时可得函数的最小正周期。二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；（2）依题意有，而，，。17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为18．（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【解析】AyxOBGAyxOBGFF1图4当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。19．（本小题满分14分）设，函数，，，试讨论函数的单调性．【解析】对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。20．（本小题满分14分）FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．FCPGEAB图5D（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积．【解析】（1）在中，，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,,即,的面积21．（本小题满分12分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，即方程有重根，，即，得，不妨设，由①可知，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．已知等比数列满足，且，则当时，Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为Ａ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量满足，平行于轴，，则．11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则．14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中的值；（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ，Ｇ在平面内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；（３）求异面直线所成角的正统值19．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（２）若曲线与点有公共点，试求的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（１）求数列的通项公式；（２）证明：2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案选择题1-8B.C.B.CD.DAA.二。、填空题（一）必做题9.【解析】；平均数11.【解析】或，则或11.【解析】，，，，则所求椭圆方程为.12.【解析】由题知，，，解得，.(二)选做题13.【解析】，得.14.【解析】且15.【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.三、解答题16.解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，则，∴.17.解：（1）由图可知，解得；（2）；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.18.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.19.解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线xAxBD即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.20.解：（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.21.解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科）选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A

∩

B=（）A.{-1＜＜1}B.{-2＜＜1}C.{-2＜＜2}D.{0＜＜1}2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.33．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.295.“”是“一元二次方程”有实数解的A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件6.如图1，△ABC为三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（）A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.15858.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A、