第二章逻辑代数基础

《数字电子技术基础》

（第五版）教学课件

信息科学与工程学院·基础电子教研室《数字电子技术基础》第五版第二章逻辑代数基础内容提要本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数。本章的内容2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系。逻辑运算：二进制数码“0”和“1”表示不同的逻辑状态，并按某种因果关系进行推理运算。三种基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。数字电路可以用逻辑函数的的数学工具----布尔代数来描述。数字电路的特点及描述工具在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。1、“与”逻辑A、B条件都具备时，事件Y才发生。YAB一、三种基本运算-----与(AND)、或(OR)、非(NOT)ABY断断断通通断通通灭灭灭亮2.2逻辑代数的基本运算ABY断断断通通断通通灭灭灭亮逻辑代数的描述方法ABY真值表用0表示开关断开、1表示开关闭合用0表示灯灭、1表示灯亮000010100111逻辑代数的描述方法逻辑式逻辑符号真值表ABY000010100111Y=A•B或AB0•0=00•1=01•0=01•1=1有0出0，全1出1。2、“或”逻辑A、B只有一个条件具备时，事件Y才发生。ABY断断断通通断通通灭亮亮亮AYB逻辑代数的描述方法逻辑式逻辑符号真值表ABY000011101111Y=A+B0+0=00+1=11+0=11+1=1有1出1，全0出0。3、“非”逻辑AYRAY0110逻辑式真值表A条件具备时，事件

Y不发生；A不具备时，事件Y才发生。注：上式也可写成有1出0，有0出1二、几种常用的逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的逻辑运算都以它们为基础表示。逻辑符号①与非逻辑（NAND）AB

Y与非：条件A、B都具备，则Y不发生。001101011110AB

Y②或非逻辑（NOR）001101011000条件A、B任一具备，则Y不发生。③与或非逻辑（AND-NOR）ABCDY00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011110111011100000当A，B不同时输出Y为1；而A，B相同时输出Y为0，即“相异为1，相同为0”。ABY001101010110④异或逻辑（EXCLUSIVEOR）ABY当A，B相同时输出Y为1；当A，B不同时输出Y为0，即“相异为0，相同为1”。001101011001⑤同或逻辑（EXCLUSIVENOR）与或非Y=A•BY=A+BY=AB•异或同或2.3逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式见下表2.3.1逻辑代数的基本公式19200AB0011011AB摩根定理00011110110010101110可以用列真值表的方法证明：11100100

AB【例1】用列真值表的方法证明：0110100110010110110010101920此外，(A的个数为偶数)(A的个数为奇数)2.3.2逻辑代数的常用公式（1）A+AB=A证明：利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收A+A•B=A•(1+B)=A

•1=A在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。证明：被吸收两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。※也可利用基本公式：A+BC=(A+B)(A+C)证明※变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且可将B和消去。证明：1吸收若两个乘积中分别包含A和两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项能消去。2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理

在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式成立。例如，已知

(反演律)，若用B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律，即

2.4.2反演定理注意以下两条规则：①需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。②不属于单个变量上的反号应保留不变。对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“•”换成“+”，“+”换成“•”，0换成1，1换成0,原变量换成反变量，反变量换成原变量,则得到结果就是反函数。【例】Y=(A+B)C【例】Y=A(B+C)+CD注意：加括号的目的是保证优先级【例】2.4.3对偶定理对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“•”换成“+”，“+”换成“•”，0换成1，1换成0，则得到的一个新逻辑式YD，这就是Y的对偶式。【例】对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。小结基本要求：熟练掌握逻辑代数的一些常用公式，要求会灵活运用；2.掌握真值表法证明函数式的方法；3.了解逻辑代数的3个定理，会用定理求反函数及对偶式。2.5逻辑函数及其表示方法2.5.1逻辑函数任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。

以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入、输出间的关系称为逻辑函数。BACYY=F(A,B,C)例如，右图是一个举重裁判电路，若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表示灯亮，0表示灯暗，则指示灯Y是开关A，B，C的二值逻辑函数，即2.5.2逻辑函数的表示方法一、逻辑真值表ABCY00000101001110010111011100000111真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。优缺点直观明廖。输入确定后，可从真值表直接查到对应输出，集成电路（IC）手册常用它描述器件的逻辑功能。能方便得将实际问题抽象为数学问题。不适用于变量较多的情况。请注意

n个变量可以有2n个组合，一般按二进制数的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。BACY二、逻辑函数式把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。Y=A·（B+C）优缺点书写简洁、方便；便于用逻辑图实现。不如真值表直观。便于利用公式定理进行运算、变换；三、逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。【例】Y=A·（B+C）更接近于工程实际，与实际使用的电路器件有明显的对应关系。

将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。四、波形图ABCY逻辑函数的表示方法⑴逻辑真值表：将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格。⑵逻辑函数式：把输出与输入之间的逻辑关系写成与，或，非等运算的组合式。⑶逻辑图：将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。(4)波形图:将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。五、各种表示方法间的互相转换(1)真值表-----逻辑函数式一般分为下面三步：首先，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合；其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写如反变量；最后，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。1、真值表与逻辑函数式互相转换ABCY00000101001110010111011100100101【例】写出下列真值表对应的函数式。第一步，找出使输出Y=1的各组合。第二步，各组合写成乘积项形式。第三步，各乘积项相加。（2）逻辑式-----真值表将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。ABCY000001010011100101110111010001000100100100101111【例】已知逻辑函数求它对应的真值表。（1）逻辑式-----逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号。【例】已知逻辑函数为试画出对应的逻辑图。ABBC解：2.逻辑式与逻辑图的相互转换（2）逻辑图-----逻辑式从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式。【例】写出右图的逻辑函数式。先写出符号对应的逻辑式子分析电路设计电路数字电路→逻辑图→逻辑函数式→真值表→分析逻辑功能。实际问题→真值表→逻辑函数式→逻辑图→设计完成数字电路。小结基本要求：

1.掌握基本公式和常用公式

2.了解逻辑函数三种描述方法的特点，掌握他们之间的转换方法作业【题2.1】（5）、（6）【题2.3】（a）【题2.7】（a）2.5.3逻辑函数的两种标准形式一、最小项n个变量的最小项有多少个？在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。例如：3变量A、B、C的最小项包括？思考：2n个。三变量（A、B、C）最小项的编号表：001111110011010101234567m2m3m4m5m6m700000011m0m1①在输入变量的任何取值下有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。②全体最小项和为1。③任意两个最小项的乘积为0。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。①在输入变量的任何取值下有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。②全体最小项和为1。③任意两个最小项的乘积为0。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。相邻相邻二、最大项n个变量的最大项有多少个？在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。例如：3变量A、B、C的最大项包括？思考：2n个。三变量（A、B、C）最大项的编号表：0000M0001111110011010101234567M2M3M4M5M6M70011M1相邻①在输入变量的任何取值下，必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。②全体最大项之积为0。③任意两个最大项之和为1。④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。最小项和最大项的关系：

如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。三、逻辑函数的两种标准形式1.逻辑函数的最小项之和形式——标准与或式例如：可以把任何一个逻利用基本公式辑函数化为最小项之和的标准形式。【例1】较常用【例2】2.逻辑函数的最大项之积形式——标准或与式

如果已知逻辑函数Y=∑mi时，定能将Y化成编号i以外的那些最大项的乘积。【例1】将化成最大项之积的形式。

【例2】将化成最大项之积形式【例3】将下面的逻辑函数最小项之和形式。【练习题】分析电路实现的逻辑功能。ABY【练习题】求最小项和最大项。小结基本要求：1.掌握最小项和最大项的概念；2.掌握逻辑函数两种标准形式的求法。作业【题2.7】（a）【题2.10】（1）（3）【题2.11】（1）（3）2.5.4逻辑函数形式的变换（1）与或式：（2）与非-与非式：取两次反用摩根定理变换常用一个逻辑函数的真值表是唯一的，而函数表达式却有很多，常用的有与或、与非－与非、或非－或非、与或菲等，它们之间可相互转换。

（3）与或非式：用摩根定理变换（4）或非-或非式：用摩根定理变换最简××式： 如最简与或式，指包含的乘积项最少，且每个乘积项里的因子也不能再少。

最简××式变换成其它形式的逻辑式时，结果不一定最简。公式法化简的原理是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余因子，来得到最简函数形式。2.6逻辑函数的化简方法2.6.1公式化简法逻辑代数的基本公式和常用公式1.并项法利用公式将两项合并成一项，并消去互补因子。【例1】【例2】2.吸收法

利用公式A+AB=A消去多余的乘积项。

【例3】【例4】利用公式消去多余的乘积项。3.消项法【例5】【例6】利用公式消去多余的因子。4.消因子法【例7】【例8】5.配项法【例9】利用公式和先配项或添加多余项，然后再逐步化简。【例10】反变量吸收提出AB=1提出A【例11】反演配项被吸收被吸收【例12】化简逻辑函数 解法1： 解法2：

可见，逻辑函数的化简结果不一定唯一。【例13】公式法化简优点是：不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。【练习题】化简成最简与或式。小结基本要求：1.掌握逻辑函数常用几种最简形式的转换；2.掌握公式法化简的技巧，会用公式法化简逻辑函数。作业【题2.15】（3）（4）（5）（6）2.6.2卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法1.表示最小项的卡诺图将n变量的全部最小项（2n）用小方块表示，并且使逻辑相邻的最小项几何位置也相邻，所得到的方格图即为n变量最小项的卡诺图。0001111001ABC三变量ABC的卡诺图：m1m0m2m3m4m5m6m7000111100001ABCDm1m0m2m3m4m5m6m7m13m12m14m15m8m9m10m111110四变量ABCD的卡诺图：五变量ABCDE的卡诺图：

②卡诺图中任何几何位置相邻的两个最小项，在逻辑上都是相邻的。①

n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。③5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适于表示5变量以下的逻辑函数。所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两头。所谓逻辑相邻，是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。注意！0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m7二、用卡诺图表示逻辑函数逻辑函数最小项和的形式卡诺图【例】0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m711110000用卡诺图表示逻辑函数，首先将函数式化成最小项和的形式；在函数式中包含的最小项在卡诺图相应的位置添1，其余位置添0。

只要将构成逻辑函数的最大项在卡诺图相应的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。0001111001ABCm1m0m2m3m4m5m6m73、最大项的卡诺图表示法注意:

在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应输入变量的取值是相反的。M0M1M3M2M4M5M7M6……【例2】

0001111001ABC00011111二、用卡诺图化简逻辑函数依据：具有相邻性的最小项可以合并，消去不同的因子。在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。

1、合并最小项的规则ABC0001111001ABC0001111001AB?两个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去一个不同的因子。ABCD0001111000011110ABDADABCD0001111000011110不是矩形四个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去两个不同的因子。ABCD0001111000011110？思考：八个最小项相邻且组成矩形框，情况怎样？八个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去三个不同的因子。2、卡诺图化简的步骤（1）将函数化成最小项和的形式（2）填卡诺图；（3）合并最小项；（4）将各乘积项相加，即得到最简与或式。（1）圈成的矩形框越大越好；（3）每个矩形框至少包含一个新项；（4）必须圈完所有为1的最小项；（5）注意“相接”、“相对”都相邻；（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；（2）各最小项可以重复使用；（7）尽可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不唯一，结果可能也不唯一。10000011ABC0001111001【例3】第一步，将函数化成最小项和的形式。BCAB第二步，填卡诺图第三步，合并最小项第四步，各乘积项相加00111111ABC0001111001【例4】化简10111101ABC0001111001【例4】化简ABC0001111001【例4】化简00111111【例5】化简Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A【例6】【例6】1111111111ABCD0001111000011110000000【例7】ABCD00