串讲09 统计初步（考点串讲）（解析版）

串讲09统计初步知识结构要点梳理知识点一抽样调查从调查的对象中，按照一定的方法抽取其中一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推测，这就是抽样调查．对总体、个体、样本、样本容量的认识总体：统计中所考察对象的__全体__叫做总体．个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中抽取的__一部分__个体叫做样本．样本容量：样本的__个体的数目__叫做样本容量．知识点二简单随机抽样一般地，设一个总体含有N个个体，从中__逐个不放回__地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都__相等__，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．知识点三抽签法定义:一般地，抽签法就是把总体中的N个个体__编号__，把号码写在__号签__上，将号签放在一个容器中，搅拌__均匀__后，每次从中抽取__一个__号签，连续抽取n次，就得到一个容量为__n__的样本．步骤:①编号：将总体中的个体编号为1～N．②做签：将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上．③抽签：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次．④取样：从部体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出.知识点四系统抽样1、系统抽样的概念将总体分成__均衡__的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样．2、系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)先将总体的N个个体__编号__，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)__确定分段间隔k__，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝__eq\f(N,n)；(3)在第1段用__简单随机抽样__确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l__加上间隔k__得到第2个个体编号__t＋k__，再__加k__得到第3个个体编号__l＋2k__，依次进行下去，直到获取整个样本．3．当总体中元素个数较少时，常采用__简单随机抽样__；当总体中元素个数较多时，常采用__系统抽样__．知识点五分层抽样1、分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成__互不交叉__的层，然后按照一定的__比例__，从各层__独立__地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体__合在一起__作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．2、分层抽样步骤(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)．(2)计算抽样比：抽样比k＝__eq\f(样本容量,总体容量)．(3)定数：按抽样比确定每层抽取的个体数．(4)抽样：各层分别按__简单随机抽样__或__系统抽样__的方法抽取样本．(5)成样：综合各层抽样，组成样本．知识点六作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差．(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．(3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．知识点六作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中__最大值__和__最小值__的差．(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数__越多__；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．(3)将数据分组：按组距将数据__分组__，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4)__列频率分布表__．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示__频率/组距__．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．知识点七样本均值（平均数）定义：一组数据的和与这组数的个数的商．数据x1，x2，…，xn的样本均值为eq\x\to(x)n＝__eq\f(x1＋x2＋…xn,n)__.知识点八样本方差和标准差1、样本方差：s2＝__eq\f(1,n-1)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]__2、样本标准差：s＝样本方差和标准差的特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小.题型探究：考点一简单随机抽样例1．关于简单随机抽样，下列说法正确的是（

）①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样．A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案.【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知：①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确；②它是从总体中逐个地进行抽取，正确；③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确；④它是一种等可能性抽样，正确；故选：A.例2．判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；(2)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；(3)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；(4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况；(5)从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）．【答案】(1)不是(2)不是(3)不是(4)不是(5)是【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据简单随机抽样的特征逐个分析即可.【详解】（1）不是，该抽样是放回抽样；（2）不是，因为题中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；（3）不是，因为题中“指定个子最高的5名同学”不存在随机性，不是等可能抽样；（4）不是，因为题中“在上游”不具有代表性也没有随机性和等可能性；（5）是简单随机抽样，符合简单随机抽样特征.【归纳提升】(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．【变式】1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可.【详解】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意；选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意；选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意.故选：B2.在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：（1）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；（2）将总体中的所有个体编号；（3）制作号签；（4）将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本；（5）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是．【答案】（2）（3）（5）（1）（4）【分析】按照抽签法的步骤判断，即编号，做号签，放入容器，进行抽取，构成样本.【详解】利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器，接下来按照逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为（2）（3）（5）（1）（4）.故答案为：（2）（3）（5）（1）（4）.考点二系统抽样例3.下列抽样中不是系统抽样的是(C)A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5min抽取一件产品进行检验C．搞某项市场调查，规定在商店门中随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈【解析】本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体数量，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．例4．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（

）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，40，52C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30【答案】A【分析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A【变式】1．从编号为的300个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个是003，018，则样本中最大的编号应该是（

）A．287 B．288 C．289 D．300【答案】B【分析】根据系统抽样的性质求出分段间隔，进而求出样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可.【详解】样本间隔为18-3=15,即抽取样本数为，则最大的样本编号为.故选：B.2.为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程.【分析】由于总体容量恰被样本容量整除，所以分段间隔k＝eq\f(15000,150)＝100，按系统抽样方法的四个步骤抽取样本．【解析】(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000．(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56．(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．考点三分层抽样例5．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案.【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.故选：A.例6．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（

）A．40 B．60 C．80 D．100【答案】C【分析】设种型号的产品有件，利用分层抽样性质列方程可求.【详解】设种型号的产品有件，因为三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5，所以种型号的产品有件，种型号的产品有件，由已知可得，所以，故选：C.【变式】1．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．【答案】1800【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解.【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，所以抽取的比例为设该校共有名学生，可得，解得人，即该校共有1800名学生.故答案为：1800.2．某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为【答案】【分析】根据分层抽样原则直接求解即可.【详解】抽到管理人员的人数为.故答案为：.考点四作频率分布直方图的步骤例7．下面是一次考试几个班同学的数学成绩（单位:分，满分为150分）:121，111，128，98，118，124，137，125，121，140，129，122，101，103，134，126，129，132，99，132，141，125，122，120，139，106，142，119，134，119，122，126，114，141，132，125，111，145，110，123，118，127，129，141，103，117，116，131，134，143，113，142，125，136，119，110，107，124，137，100，115，144，96，138，120，121，140，115，123，142，119，133，120，146，119，144，119，122，119，136，137，132，112，133，134，117，127，133，126，127，141，119，131，131，123，128，133，126，129，134，127，133，121，135，107，132，121，137，118，117，107，133，131，131，125，126，140，127，114，136，118，138，127，143，81，140，135，137，142，136，139，124，138，119，122，136，141，119，118，114.(1)你觉得怎样直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如哪个分数段的人数比较多，哪个分数段的人数比较少）?(2)画出频率分布直方图，看这次考试的整体分布，能说明哪些问题?【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）数据比较多的时候，常借助频率分布表或频率分布直方图进行表示.（2）利用频率分布表和频率分布直方图的特征即可得出结论.【详解】（1）数据比较多的时候，要想获得数据的大致分布情况，最好借助我们学过的图表，比如频率分布表、频率分布直方图.（2）列频率分布表如下：成绩分组（分）频数频率合计画频率分布直方图，如图所示：

通过频率分布直方图我们可以看到，大部分同学的成绩集中在分数段内，说明本次考试成绩难度不大，而个别同学成绩较低，可能学习上遇到了困难，应该引起关注.例8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（

）A．10 B．15 C．0.2 D．0.3【答案】C【分析】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数，进而即得.【详解】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数为，所以课外阅读时间在内的学生的频率为.故选：C.【变式】1.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率4253029102合计100（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在内的可能性及纤度小于的可能性各是多少？【答案】（1）答案见解析；（2），.【分析】（1）根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分步直方图；（2）由频率分布表可得纤度落在中的可能性，并可计算纤度小于的可能性．【详解】频率分布表如下：分组频数频率425302910合计频率分布直方图如图所示.(2)利用样本估计总体，则纤度落在的可能性即为纤度落在的频率，即为.纤度小于的可能性即为纤度小于的频率，即为.2．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（

）A．0.0046，72 B．0.0046，70C．0.0042，72 D．0.0042，70【答案】A【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间内的频率计算用电量落在区间内的户数.【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得，月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户.故选：A.考点五平均数的应用例9.．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元）678人数102020这50个学生的午餐费的平均值是（

）A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56【答案】A【分析】根据平均数计算公式即可得到答案.【详解】根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是：故选：A.【变式】．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得.【详解】平均数，中位数，众数，故.故选：D.考点六标准差、方差的应用例10.．以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．则（用“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳．【答案】乙【分析】计算出方差即可判断.【详解】，，，因为，所以乙的成绩更加稳定．故答案为：乙.【变式】甲､乙､丙､丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数8.2方差5.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是.【答案】丙【分析】根据平均数与方差的意义，得出丙的射击水平最高且成绩最稳定，是最佳人选．【详解】由题意可知，在甲、乙、丙、丁四人的平均环数中，乙和丙均为8.9环，是四人中最大，又甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小，所以丙的射击水平最高且成绩最稳定，所以从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙．故答案为：丙．素养作业1．在以下调查中，适合用普查的是（

）A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标B．调查一批袋装牛奶的质量C．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求D．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间【答案】D【分析】根据普查的适用前提，结合各项描述确定适用普查的对象.【详解】普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况，显然A、B、C的调查对象不适用，对于D，一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式.故选：D.2．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（）A．5000名学生是总体B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本C．样本量是250名学生的成绩D．每一名学生是个体【答案】B【分析】根据统计中总体、样本、样本容量、个体的定义逐项判断即可.【详解】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以A错误；对B，样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以B正确；对C，样本量是250，所以C错误；对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以D错误．故选：B.3．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（

）A．分层随机抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，简单随机抽样C．简单随机抽样，分层随机抽样D．分层随机抽样，分层随机抽样【答案】A【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点进行解答.【详解】①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．故选：A4．对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（）A．50 B．100C．25 D．120【答案】A【分析】利用简单随机抽样的性质直接计算即可.【详解】因为每个零件被抽到的可能性相等，所以由解得，故选：A5．某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（

）A．8808 B．9696 C．10824 D．11856【答案】C【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可.【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为：（件），∴每月（按30天计算）代收快递约为件，∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为元.故选：C.6．．某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，…，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则编号在内的零件将被抽检的个数为．【答案】4【分析】利用系统抽样的抽样方法得到不等式组，再求出编号在内的零件将被抽检的个数.【详解】因为，所以被抽检的零件的最小编号为003．由，得，则，22，23，24，故编号在内的零件将被抽检的个数为4．故答案为：47．某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则.【答案】60【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可.【详解】由分层随机抽样的定义可得，解得.故答案为：608．某社区有600个家庭，其中高收入家庭230户，中等收入家庭290户，低收入家庭80户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取容量为60户的样本，完成这项调查应采用的抽样方法是【答案】分层抽样【分析】根据样本个体差异明显结合分层抽样的定义即可求解.【详解】因为社区有600个家庭，其中高收入家庭230户，中等收入家庭2