数学史融入高中数学课堂教学的行动研究

数学史融入中学数学课堂教学行动研究PAGE2PAGE5附件1：全国优秀教育硕士专业学位论文推荐表单位名称：首都师范大学填表日期：2011年12月20日论文题目数学史融入中学数学课堂教学的行动研究作者姓名论文答辩日期学科专业方向雷晓莉2008，5，12学科教学（数学）攻硕期间及获得硕士学位后一年内获得与硕士学位论文有关的成果发表学术论文(题目，刊名,时间，社会影响)HPM视角下两角和与差教学的四次实践与调整，中学数学杂志，2007，（7）将数学史引入“等差数列前n和”的教学实录，数学通讯，2007，（19）同课异构的比较与反思—从“二分法”的三节课说起，中学数学教学参考，2008，（4）一节以函数历史发展为主线的函数概念探究课，中学数学教学参考，2009，（1，2）教什么比怎么教更有用，中学数学教学参考，2009，（3）论文所产生的实际影响(对作者工作及所在单位工作)一、创新论文将数学史融入课堂教学看成是一种教育现象，采用行动研究的理论，从六个方面进行了系统的案例研究，为理论研究奠定了基础。论文落实了数学文化理念，具有很强的实效性。二、应用论文成果已在多个学校进行实施和反思，许多教师已经把它作为一种自觉行为，把文化理念融入课堂教学中。论文一部分成果发表在核心期刊上，对全国数学教师落实文化理念也产生了积极的影响。另外该论文的成果也通过讲座、教材培训、研讨会、研究课的形式进行了广泛地推广和使用。出版专著(名称、出版社、出版时间)《新思维九年级总复习用书》，北京教育出版社，2009.03获奖项目(名称、等级及时间）2008年，论文《同课异构的比较与反思》获北京论文一等奖2011年，论文《课堂教学的随机调整原则》获北京市基础教育课程教材改革实验第十届论文评比一等奖2011年，论文《基于课堂教学实践的基础上对“新课引入”的理性思考》获北京市教学优秀论文二等奖中文论文摘要(论文选题的意义,论文运用的主要研究方法,主要研究成果,主要参考文献)数学史的研究由来已久，数学史融入课堂教学的研究国内、国外都有一些学者、教师在研究，但数学史如何融入中学数学课堂教学的研究缺乏理论与实践的结合。本研究将数学史融入课堂教学看成是一种教育现象，采用行动研究的理论探讨解决这种教育现象。在研究的过程中，以改进实际工作为首要目标，注重研究的过程与行动过程结合，注重研究者与行动者之间的合作，注重对研究和行动的反思。本研究结合八个案例，从概念教学、定理教学、公式教学、起始课教学、数学名题教学、方法教学六个方面进行了数学史融入中学课堂教学的行动研究。研究结果发现：数学史融入中学课堂教学的行动研究有利于教师对文化理念的落实，并在一定程度上促进了教师对教育目标的认识和理解，同时进一步加深了教师对教学内容的研究和理解，提高了教师对教育理论的应用。在研究的基础上，对于如何将数学史融入中学数学课堂教学，也提出了一些想法和建议，这些将促进后续的研究，也使得后续研究在继承的基础上继续深入和创新。专家推荐理由数学史融入到数学课堂教学中的研究在数学教育和数学史研究中是一个重要的课题，并且，其理论方面的研究已经具有了一定的基础。但是，如何将理论成果结合到实际课堂中的研究正是目前学术界和实际教学中所普遍关注的研究课题。该论文采用数学教育的行动研究理论和方法，从数学课堂的概念教学，定理教学，公式教学，起始课教学，数学名题教学和方法教学等重要方面中选择案例进行了教学实践研究和推广。作者结合理论研究和实践经验，进行了的行动研究，直接参与到了数学教师的课堂教学之中，并发表了一系列的研究论文，主持和参加了相关的课题。研究所获得的实践经验是本课题理论研究的依据，其研究案例对于数学课堂教学具有实际意义。该研究在教学实践中具有一定影响力。综上所述，该论文的研究与数学基础教育实践紧密相关，研究方法规范，理论联系实际，进行了大量的教学实践推广，因此是一篇优秀的教育硕士论文。专家签字：单位推荐意见学位评定委员会分会主席（签章）：单位公章年月日说明：学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学，其中学科教学要说明具体方向，如学科教学（数学）。本表可复印、附页。一、近几年发表的文章：1．高三数学最后阶段复习思考，中国考试，2006，（5）2．概率试题中的数学思想和方法，中学数学杂志，2006，（5）3．函数的单调性，中学数学杂志，2006，（6）4．充分发挥高三模拟试卷的功效，数学，2006，（6）5．HPM视角下两角和与差教学的四次实践与调整，中学数学杂志，2007，（7）6.将数学史引入“等差数列前n和”的教学实录，数学通讯，2007，（19）7．研究高考“课本类型题”，有效进行课堂教学，中小学数学,2008,（3）8．同课异构的比较与反思—从“二分法”的三节课说起，中学数学教学参考，2008，（4）.9．背景新颖，适度综合，考查能力，中学数学教学参考，2008，（12）10．一堂有深度的数学课—正弦定理，中学数学杂志，2008，（11）11．一节以函数历史发展为主线的函数概念探究课，中学数学教学参考，2009，（1，2）12．注重概念、突出本质、引领教学，中学数学教学参考，2009，（1，2）13．教什么比怎么教更有用，中学数学教学参考，2009，（3）14．2009高考数学模拟试题（二），中学数学教学参考，2009，（3）15．有效运用概念和性质，提高解题的质量和效益，中小学数学,2009,（3）16．“函数”概念引入有效性反思，中国数学教育，2009，（5）17．数学起始课教学认识的偏差，中学数学教学参考，2010，（7）18．反比例函数图象生成的教学反思，中学数学教学参考，2010，（8）19．对“用频率估计概率”教学中几个关键点的认识，中国数学教育，2010，（7-8）20．新课引入的教学研究，中学数学教学参考，2011，（3）21．“抽样调查”定义的教学，中学数学教学参考，2011，（9）22．体现统计学科特点的数学课堂教学，中学数学教学参考，2011，（9）23．数学教育论文写作的选题与实践，中学数学教学参考，2011，（11）二、近几年获奖论文1．2007年北京市优秀论文《在高三复习中如何充分发挥数学模拟试卷的功效》二等奖。2．2008年《同课异构的比较与反思》获北京课程改革论文一等奖。3．2008年《新课程背景下中学数学课堂教学目标规范化研究》获北京课程改革论文二等奖。4．2008年《数学史渗透在起始课“图形认识初步”教学中的尝试》获北京市首届“智慧教师”征文三等奖。5．2009年《“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例—平方差公式》获北京市2008年度基础教育科学研究优秀论文三等奖。6.2011年，论文《基于课堂教学实践的基础上对“新课引入”的理性思考》在北京市中学数学教育教学优秀论文评选中获得二等奖。7.2011年9月，论文《课堂教学的随机调整原则》获北京市基础教育课程教材改革实验第十届论文评比一等奖。三、近几年研究的课题1.2007-2010年，主持北京市东城区课题“数学史融入课堂教学的行动研究”。2.2007-2010年，参与北京市课题“新课程背景下中学教师课堂教学行为规范化研究”，是该课题的核心成员。3.2007-2010年，参与教育部国家级重点课题“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计理论与实践”，是该课题的核心成员，该课题在全国数学教育界产生了广泛地影响。4.2010年至今，参与教育部国家级重点课题“中学数学核心课程及教学设计的理论与实践”，是该课题的核心成员。5.2010年至今，参与北师大数学学院课题“国际比较研究，LPS（TheLearner’sPerspectiveStudy）”。四、近几年在全国各地的讲学情况1.2007年7月在湖北武汉对高中数学教师做“数学试题命制的规律与方法”的讲座。2.2007年9月在广西贵港对高中数学教师做“有效复习”的讲座。3.2008年3月在贵阳对高中数学教师做“研究高考试题，探索复习规律”的讲座。4.2008年4月在郑州对高中数学教师做“认真研究，科学决策”的讲座。5.2009年4月在武汉对高中数学教师做“新课程的实践与建议”的讲座。6.2009年4月在北京对初中数学教师做“数学文化融入课堂教学”的讲座。7.2010年5月在兰州对初中数学教师做“数学教学几个问题的理解与认识”的讲座。8.2010年11月在青岛对初中数学教师做“数学教学设计与评价”的讲座。9.2011年3月在山东对高中学生做“数学自主招生试题分析”的讲座。10.2011年9月在太原对高中数学教师做“高效复习课堂”的系列讲座。五、近几年指导的青年教师获奖情况1.2008年，指导北京5中分校曹自由、北京22中范立军、北京景山学校郝丽萍三位青年教师参加基本功比赛，获北京市一等奖。2.2008年，指导北京东直门中学杜开龙、北京国子监刘嵩老师撰写论文，获北京市一等奖。3.2009年，指导北京东直门中学胥世菊老师撰写课例论文《图形面积与代数恒等式》，获全国一等奖。4.2010年，指导北京65中宮颖老师课例《勾股定理1》，在北京市青年数学教师优秀课评比中获得一等奖。5.2010年，指导北京171中薛佳妮老师课例《探索数的乘方规律》，在北京市青年数学教师优秀课评比中获得一等奖。6.2010年，指导北京171中王芳老师全国展示课《单项式》。7.2010年，指导5中分校曹自由老师全国展示课《解二元一次方程》。8.2010年，指导65中张韬老师全国展示课《抽样调查》。六、参加支教活动情况：1.2008年，到陕西合阳支教2.2009年，到河北沽源支教3.2010年，到延庆支教4.2011年，到西藏支教，培训骨干教师10天分类号：G40密级：单位代码：10028学号：2050508023首都师范大学硕士学位论文论文题目数学史融入中学数学课堂教学的行动研究研究生：雷晓莉指导教师：姚芳学科专业：学科教学（数学）学科方向：数学教育2008年3月8日首都师范大学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名：雷晓莉日期：2008年3月8日首都师范大学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版.有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅.有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索.有权将学位论文的标题和摘要汇编出版.保密的学位论文在解密后适用本规定.学位论文作者签名：雷晓莉日期：2008年3月8日摘要数学史的研究由来已久，数学史融入课堂教学的研究国内、国外都有一些学者、教师在研究，但数学史如何融入中学数学课堂教学的研究缺乏理论与实践的结合.本研究将数学史融入课堂教学看成是一种教育现象，采用行动研究的理论探讨解决这种教育现象.在研究的过程中，以改进实际工作为首要目标，注重研究的过程与行动过程结合，注重研究者与行动者之间的合作，注重对研究和行动的反思.本研究结合八个案例，从概念教学、定理教学、公式教学、起始课教学、数学名题教学、方法教学六个方面进行了数学史融入中学课堂教学的行动研究.研究结果发现：数学史融入中学课堂教学的行动研究有利于教师对文化理念的落实，并在一定程度上促进了教师对教育目标的认识和理解，同时进一步加深了教师对教学内容的研究和理解，提高了教师对教育理论的应用.在研究的基础上，对于如何将数学史融入中学数学课堂教学，也提出了一些想法和建议，这些将促进后续的研究，也使得后续研究在继承的基础上继续深入和创新.关键词：数学史、行动研究、案例ABSTRACTThehistoryofmathematicsresearchislong-standing,thehistoryofmathematicsintegratestheclassroominstructiontheresearchdomestic,overseastohavesomescholars,theteacherintheresearch,buthowdoesthehistoryofmathematicsintegratethemiddleschoolmathematicsclassroominstructiontheresearchtolackthetheoryandthepracticeunion.Thisresearchintegratesthehistoryofmathematicstheclassroominstructiontoregardasisonekindofeducationphenomenon,usestheactionresearchthetheorylawdiscussiontosolvethiskindofeducationphenomenon.Intheresearchprocess,takeimprovesthepracticalworkastheprioritytarget,paysgreatattentionprocesswhichandactionunionstudies,paysgreatattentionbetweentheresearcherandmover'scooperation,paysgreatattentiontostudywiththemotionresonsideration.Thisresearchunifieseightcases,fromtheconceptteaching,thetheoremteaching,theformulateaching,theoutsetclassteaching,thenumbersystematicnametopicteaching,themethodteachingsixaspectscarriedonthehistoryofmathematicstointegratethemiddleschoolclassroominstructiontheactionresearch.Thefindingsdiscovered:Thehistoryofmathematicsintegratesthemiddleschoolclassroominstructiontheactionresearchtobeadvantageoustotheteachertoculturalidearealization,andpromotedtheteachertoacertainextenttotheeducationalgoalunderstandingandtheunderstanding,simultaneouslyfurtherdeepenedtheteachertothecoursecontentresearch,enhancedtheteachertoeducatethetheorytheapplication.Intheresearchfoundation,howregardingtointegratethehistoryofmathematicsthemiddleschoolmathematicsclassroominstruction,alsoproposedsomeideasandthesuggestion,thesewillpromotethefollowingresearch,alsocausesthefollowingresearchinthefoundationwhichinheritstocontinuethoroughandtheinnovation.Keywords:HistoryofMathematics，actionresearch，case目录引言……………….…………….7第一章：理论依据……….….……10行动研究的理论……………10数学史融入中学数学课堂教学的行动研究的理由.………11数学史融入中学数学教学行动研究的条件…………………13第二章：文献综述………………152.1国外的研究成果…………….152.2国内的研究成果……………17第三章：数学史融入中学数学教学行动研究..…………………193.1研究模式………………………193.2研究方法………………………193.3研究案例………………………193.3.1概念教学案例…………21课题：变量与函数……………………22课题：平面向量的数量积及运算率…………………273.3.2定理教学案例……...…………………37课题：正弦定理………383.3.3公式教学案例..………………….….…43课题：两角和与差的三角函数………43课题：等差数列前n项和…..…………533.3.4起始课教学案例………………...……59课题：图形认识初步………………...………………603.3.5数学名题教学案例……………………68课题：一次不定方程、方程组的解法………………683.3.6方法教学案例…………78课题：一元二次方程的解法（配方法）……………..78第四章：研究结论与研究建议……………………84参考文献…………………….…………….………88附录………..……92致谢………..……93引言人们对数学史与数学教育关系的研究可以追溯到18世纪，法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德(A.Comte,1798-1857)提出，对孩子的数学教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类认识数学的规律,因为个体知识的发生与历史上人类知识的发生是具有相似的一面，这种理念使后世数学教育家相信：数学史对于数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具[21].1855年，法国数学家泰尔凯（O.Terquem,1782-1862）在他创办的《新数学年刊》后增加附录《数学历史、传记与文献通报》，极大地增加了法国人对数学史的研究兴趣，泰尔凯认为，数学家的传记、逸闻、故事可以启发学生的人格成长.泰尔凯也十分关注与数学教学密切相关的数学史专题，如圆锥曲线的历史、指数的历史、负数的历史等等.英国的数学家得摩根（A.DeMorgan,1806-1871）不仅强调数学史对数学研究的重要性，而且也强调数学教学中应遵循历史顺序，他认为在教代数时不要把新符号都解释给学生，而应该像最初发明这些符号的人那样从完全的书写方法到简写的顺序学习符号[21].法国著名数学家庞加莱(H.Poincare,1854-1912)在1908年的《科学与方法》（ScienceetMethode）中认为数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给学生.著名的数学家和数学教育家波利亚（G.Polya,1887-1985）也持有庞加莱类似的观点[28].在美国,早在19世纪末就有人提倡将数学史作为教学工具引入数学教学之中.美国著名数学史家、历史上第一个数学史教授卡约黎(F.Cajori,1859-1930)在出版于1893年的《数学史》前言中强调数学史对数学教学的重要价值:如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的兴趣就会大大增加[29].美国数学家和数学史家M.克莱因（MorrisKline,1908─1992）十分强调数学史对数学教育的重要价值，认为“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有许多理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南”.在克莱因眼里，数学史的重要程度可谓无以复加.克莱因坚信，历史上数学家曾经遇到过的困难，课堂上，学生同样会遇到，因而历史对于课堂教学具有重要的借鉴作用.M.克莱因指出：“数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释.换言之，它并不仅仅是从显明叙述的公理推演出无庸置疑的结论来”[12].荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal,1905-1990)则批评那种过于注重逻辑严密性、没有丝毫历史感的教材乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”,认为数学史应该是数学教师用于数学教学的必备知识[13].苏联数学教育家斯托利亚尔说过:“数学发展史提供了关于数学概念、方法、语言发展的历史道路的重要信息,它常常指示我们在学校教学中形成和发展这些概念、方法、语言的途径.”同样,英国数学家格雷舍也说:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大.”因此,数学教师要了解数学史,并在教学中利用数学史的科学性、启发性、系统性及趣味性搞好教学[27].我国张奠宙教授认为数学史融入数学教学与学习中的一个重要作用在于培养人的才、学、识.现在的教育重视“学”，即学知识，也强调“才”，即能力，但对“识”重视不够.“识”即见识，是引导知识和能力走向何方的根本性问题，属于对知识融会贯通之后的个人见解，其背后的支撑是世界观、人生观.数学史的作用恰恰在这方面有所体现[30].到20世纪70年代，数学史对数学教育的意义已经是许多数学教育家的共识：利用它可以激发学生的学习兴趣、培养学生的理性精神、启发学生的人格成长、预见学生的认知发展、指导并丰富教师的课堂教学、促进学生对数学的理解和对数学价值的认识、构筑数学与人文之间的桥梁，等等.1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组HPM（InternationalStudyGroupontheRelationsBetweenHistoryandPedagogyofMathematics），这标志着数学史和数学教育的关系已经作为一个学术研究领域.HPM研究的目标是通过数学史的运用，提高数学教育水平，其关注的内容有数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、数学史与发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文献在教学中的应用等等.国际HPM的主旨不仅仅是将数学史运用于数学教学中，以提升数学学习成效和教学品质，而且要树立数学的新观念：数学是一门活的科学.意味着具备开放性，包含两个要素：①历史性——一门有悠久历史的科学；②发展观——生机蓬勃的现在、前途无量的未来.相应地，数学教育中既要求了解数学知识的背景又要把握数学知识的整体性、连贯性；既要有数学知识的理论基础，又要有应用数学的实践理念.因此，数学史的教育意义不是教条式的理论论证，而在具体的实践开发中[15].由于社会在发展，数学在发展，数学教育在发展，数学史如何融入中学数学课堂教学也在发展.关于数学史如何融入中学数学教学有不少的学者、教师进行过研究，但数学史如何融入中学数学课堂教学缺乏理论与实践的结合，因此把数学史融入到数学教学看成一种教育现象，采用行动研究共同解决这个教育问题，共同提高研究者和实践者具有一定的现实意义.第一章：理论依据1.1行动研究的理论1.1.1行动研究的起源与定义行动研究是20世纪40年代美国社会心理学家库而特·卢因(kurtLewin)与他的学生在对不同人种之间的人际关系进行研究时提出来的.库而特·卢因于1949年提出的行动研究是“将科学研究者与实际工作者之智慧与能力，结合于一件合作事业之上的方法[11].1963年佛罗里达州布莱伐县教育局研究部主任H.H.麦克阿斯本(H.H.Mcasban)说“行动研究法是一种在实际工作中解决问题的方法，通常是由教师、行政人员及其它教育工作人员加以应用，以提高教育者的素质，其主要目的是创造最好的教育环境，运用妥善的学习方法，让学生获得最可靠的生长[11].”台湾李祖寿认为：“行动研究法是现代教育研究的方法之一，也是任何领域谋求革新的方法之一.它也是一种团体法.注重团体历程、团体活动，特别重视行动.尤其注重实际工作人员一面行动，一面研究，从行动中解决问题，验证真理，谋求进步.它是教育行政、课程、教学各方面谋求革新的重要方法[11].”朱永详在《国外教育研究方法论的发展趋势》一文中认为，行动研究是“一种以合作的方式，使研究者与实际工作者的角色合一，来解决此时此地教育教学实际问题的研究模式，称为行动模式”[11].1.1.2行动研究的特点1．行动研究以提高行动质量，改进实际工作为首要目标；2．行动研究强调研究过程与行动过程的结合，注重研究者与行动者的合作；3．行动研究要求行动者参与研究，对自己从事的实际工作进行反思.1.1.3行动研究的步骤关于行动研究的程序，有着种种不同的认识，其表述各不相同.这其中，以凯米斯（S.Kemmis）提出的实施程序影响最大，凯米斯认为，行动研究是一个螺旋式加深的发展过程，每一个螺旋发展圈又都包括着四个相互联系、相互依赖的环节：计划、行动、考察和反思[11].1.2数学史融入中学数学课堂教学的行动研究的理由1.2.1数学史融入中学数学课堂教学行动研究的必要性2001年《义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《初中新课标》)正式颁布，初中数学课程标准提出的六条基本理念，其中第二条的内容为：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.[2]”2003年《普通高中数学课程标准(实验稿)》(以下简称《高中新课标》)正式颁布，高中数学课程标准提出的十条基本理念是：课程的基础性；课程的多样性与选择性；倡导积极主动、勇于探索的学习方式；提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；双基认识的与时俱进；强调本质，注意适度形式化；体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的整合；建立合理、科学的评价体系.虽然在课标的实施中存在一些问题和困难，但我认为这些理念是非常好的，尤其课标指出“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质”；“数学教育作为教育的组成部分,在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用；是公民进一步深造的基础,是终身发展的需要；使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”[1].这些理念强调了数学的重要性,是对我国长期以来数学教育正反两方面经验教训的反思和数学在现代社会中作用的认识.表明当代数学教育远远不是单纯的某一学科的知识传授,而是一种重要的文化传承,涵盖了科学教育与人文教育[1].《高中新课标》把素质教育的核心人的全面发展，着重赋予数学教育，是基础教育课程改革的显著特点.《高中新课标》又提出:“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.在《高中新课标》中，数学的历史发展观念已经成为整个数学课程的一个基本理念，数学发展中的许多典型问题、数学家的故事、数学家对数学的认识和理解的实例已经进入到数学课程中，成为教材的一部分[34].在《高中新课标》中，《数学史选讲》作为一个高中选修系列模块的一个专题有18学时.这充分体现了此次数学课程改革对数学史在数学教育中的作用和价值的重视.由此可见，把数学史与数学教育的结合已是历史的必然.无论是从数学史的功能、数学史的教育价值还是数学史的审美观念等各个层面来看，把数学史当成教学的手段和工具还是把数学史当成数学知识教学的一部分都是应该的.数学史在数学教育中的作用是大家的共识，数学史融入数学教育是世界数学教育改革的趋势，也是教育自身发展的必然规律.由于《新课标》近几年刚开始实施，如何把数学史融入到课堂教学大部分教师没有经验，因此需要和数学教育者、教育研究者建立合作，共同来研究，共同来解决数学史融入的内容、途径、方式、方法等.在教育理论的指导下，进行数学史与数学教育的结合研究，也就是说把数学史融入到数学课堂教学的行动研究是非常必要的.1.2.2数学史融入中学数学课堂教学行动研究的现状数学史融入中学数学课堂教学行动研究的现状目前不容乐观.在中学，大部分教师都是按照课本的要求进行教学的，很少有教师寻求这一部分知识在历史上是怎么出现的，课本为什么以这种方式来呈现，怎么把课本上呈现知识的方式与历史上知识产生的过程去结合呢？有些研究者在这方面做过一些调查，如李伯春老师在《数学通报》发表的《一份关于数学史知识的调查》，张弓在《数学教学》发表的《一次数学史知识调查之所见》，丁益民在《中学数学月刊》中发表的《当前课改中数学史教学现状的调查分析》，从这些调查中本研究者可以看出目前教师的数学史知识比较匮乏，数学史融入中学数学教学的资源比较少，因此一线教师有必要和数学教育者、数学史研究者、教育研究者建立合作，把数学史的融入数学课堂教学做为一种教育现象来研究，把教育现象和教育理论结合起来，通过这种行动研究，从理论和实践的层面共同解决这种教育现象，同时在研究数学史融入数学课堂教学的教育现象中，也为教育理论提供问题源，通过解决这些问题，丰富教育理论，反过来，这种教育理论的发展又很好地指导数学史融入数学课堂教学的实践.因此从数学史融入中学数学教学的现状可以看出，数学史融入中学数学课堂教学是采用行动研究是比较合适的.1.2.3数学史融入中随着课程改革，新的课标的实施，数学史融入中学数学课堂教学已是数学家、数学教育家的共识，到底数学史如何融入中学数学课堂是本研究者大家所关心的问题，也是HPM第一次会议提出的尖锐问题.本研究者要解决这个问题，HPM研究者广泛使用的“前试-实验/控制-后试”模式，由于该问题对研究者和实践者比较生疏，所以研究是要经过不断分析、开发、设计、实施、评价、再分析、再开发、再设计、再实施、再评价的一个螺旋式上升的一个过程.并且黄毅英（1998）也建议研究者采用IEA教学研究的“意图-实施-达成”模式，即研究者根据一定的教学意图设计教学活动，在教学活动实施过程中通过观察、反思等活动了解执行有关理念的程度，并对实施方案加以调整，从而促进目标的达成.这说明数学史融入中学数学课堂教学的研究符合行动研究理论和方法.1.3数学史融入中学数学教学行动研究的条件数学史融入中学数学课堂教学，从文献中可以看到，我国有一些高校教师进行过研究，但做行动研究的比较少.本研究者做为教研员，做行动研究有着非常便利的条件.第一，本研究者经常与一线教师接触，经常下校听课，了解一线教师、教学的现状；第二，本研究者对中学的教材、教法、考试非常熟悉；第三，本研究者对教育、教学的理论比一线教师要认识深刻；第四，本研究者数学史理论研究人员接触很多，取得合作相对较易；第五，本研究者每周的教学研究活动，不光有利于不同学校教师之间的交流，也有利于研究者和实践者之间的交流；第六，本研究者进行教师培训，经常出去讲学，研究的成果有利于推广.以上的条件可以看出本研究将以教研员为核心，组成数学史专家、数学教育家、数学教师的一个团队，合作解决数学史如何融入中学数学课堂教学.第二章：文献综述2.1国外的研究成果国际上对数学史在数学教育中的应用的相关研究和实践操作已经有了相当程度的发展.1998年4月20日至26日,在法国马赛附近luminy镇，举行了由国际数学教育委员(ICMI)发起的“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会.此次会议的主题是数学文化，要求数学教学充分反映数学的文化底蕴,从课程内容、概念形成、证明方法、习题配置等各个方面，全方位地使数学史融入、丰富和促进数学教学[14].如何将数学史融入实际数学课堂教学中，是近年来国际上HPM（InternationalStudyGroupOntheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics）研究者们关注的中心话题，HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始在教学中的应用等等.一些国际知名的HPM研究者相继对数学史融入数学教学的层次、过程、形式和途径进行行动研究，并且得出了一些非常有意义的研究成果.2.1.1数学史融入数学教学行动研究的成果一：融入的层次对于将数学史融入数学教学有很多片面的理解，最普遍的是将其理解为在数学课堂中讲点数学史以提高学生的兴趣，显然这只是数学史应用的较低层次.洪万生指出教师应用数学史至少可以分为三个层次[40]：（1）说故事；（2）在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；（3）从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想.2.1.2数学史融入数学教学行动研究的成果二：融入的过程将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历史故事那么简单，Furinghetti认为，融入过程一般包括以下几个阶段[23]：（1）学习历史资料；（2）选出适合课堂教学的话题；（3）分析课堂需要；（4）制定课堂活动计划；（5）完成方案；（6）对活动的评价.荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905-1990）主张教学不一定完全遵循发明者的历史足迹，而是要经过一定的改良，符合学生的认知，这样才能更好突出历史过程，引导学生思维[24].2.1.3数学史融入数学教学行动研究的成果三：融入的形式数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式.隐性融入是指根据历史对教学内容重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装”，在隐性融入过程中，数学史扮演的角色是担当教学设计的指南，因为“数学史并非最终目的，而是通过数学史的途径以达到教学目的”[16].显性地融入数学史旨在“描述数学发展的进程[25]”.Barbin指出显性融入的两种错误倾向，首先是如果教师只提供给学生有限的历史片段，就可能造成学生对数学发展过程的错误或片面理解.当前的不少数学教材，表面上看起来注重数学史的应用，但大多数只局限于在每一章节的后面增加几个历史注解，如数学家小传、个别概念的发展历史等，这实际上势必导致教师将数学史与数学课程割裂开来，甚至认为将数学史融入数学教学与日常课堂教学背道而驰.另一个错误倾向是“脱离数学史融入数学教学的目的，将融入数学史转化为数学史教学”[25].这种做法的直接结果是让学生感到数学史只不过是新增加的考试内容而已，如此以来，恐怕连“激发学生的兴趣”这一作用也会消失殆尽.2.1.4数学史融入数学教学行动研究的成果四：融入的途径在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多做法，这取决于教师的信念、教学观、课程内容、历史资源等诸多因素，已有的HPM文献也提供了很多成功的经验，包括使用传记、游戏、历史调查、本地历史考察、历史家庭作业、历史命题、参观、观看影视作品甚至戏剧表演.JohnFauvel于1991年在《数学学习》（ForthelearningofMathematics）上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊，其中列举了应用数学史的12种不同的具体做法.萧文强对各种做法进行了概括，提出了应用数学史的8种具体方法和途径[39]：在教学中穿插数学家的故事和言行；在讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展；应用数学历史名题讲授数学概念，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习困难；指导学生制作富有数学史趣味的壁报、专题研究、剧本、录像等；应用数学历史文献设计课堂教学；在课堂内容里渗透历史发展的观点；以数学史做指引设计整体课程；讲授数学史的课.2.2国内的研究成果虽然国内外对数学史所具有的教育价值能够在理论上达到共识，但如何将数学史融入数学教学中，我国在这方面研究处于探索阶段.张奠宙教授认为应用数学史于数学教学有助于将数学的“学术形态”转化为“教育形态”，并且提出了应用数学史将数学的“学术形态”转化为“教育形态”的三个途径：[30]（1）揭示数学发展的规律，形成正确的数学观；（2）反朴归真，揭示数学发展的过程，并使之适合今天的课堂教学；（3）提供真实的历史材料，包括原始问题、原始数据、原始过程、增强真实感、体现数学的人文精神.这三点不仅指出了数学史融入数学教学的任务，也为数学史的具体运用指明了方向.罗腾根在《谈中学数学中的数学史教学》[40]对数学史的教学原则和数学史的教学方法进行了论述，数学史的教学原则有：准确性原则、交融性原则、可接受性原则.数学史的教学方法有以下四点：(1)在新授课进行知识探求时,作简短的数学史料的插话；(2)在解题教学中贯穿数学史料；(3)举办数学史讲座或报告会；(4)组织兴趣小组,课外搜集、阅读、研究数学史料.上海师范大学数学系陈跃老师在《中学数学应用数学史实教学的一些建议》一文中给出了关于三角恒等式的入门教学和用简化乘除的问题引入对数的概念的具体建议.[41]华东师范大学数学系汪晓勤老师在数学史如何融入数学教学方面做了不少的研究，在《数学通报》发表了“数学史如何融入中学数学教材”，在《中学教研》上发表了“HPM视角下的等比数列教学”，《中学数学杂志》发表了“几何视角下的和角公式”等.浙江师范大学数理学院朱哲老师在数学史如何融入数学教学方面也有自己深刻的看法，他在《中学数学》发表了“数学教育目的的深化和拓展:数学史的视角”，在《中学教研》发表了“从理论到实践：数学史融入数学教学”，在《中学数学教学参考上》发表了“一节基于数学史的教学课例:正四棱台的体积公式”，在《中学教研》上发表了“等比数列前n项和的教学设计及其分析”等.从以上文献本研究者可以看到,国外对于数学史如何融入数学教学的研究,不论从理念上还是从实践上都达到了很高的程度,我国香港和台湾地区的有关学者在HPM领域的活动相当活跃，做了很多出色的工作，但大陆HPM研究起步很晚，虽然有很多学者大声呼吁“应该讲点数学史”，但探讨如何做的研究明显偏少.第三章：行动研究3.1研究模式对数学史融入数学课堂教学的行动研究，其基本理念是以“数学史的融入到数学课堂教学的理念”为主线，以“教学评价”作为桥梁，将教学分析、设计、开发、实施连接起来，成为一个反复循环的动态系统，同时对这样的教学过程进行不断地调节、改进和优化.分析分析评价开发设计实施3.2研究方法本研究选用的方法一是“文献法”.通过查阅大量的国内、国外文献，了解国内、国外的研究现状，明确研究方向，确定研究内容.本研究选用的方法二是“行动研究法”.行动研究法主要用在案例的开发、研究上.课题选用的方法三是“观察法”.在数学史融入中学数学课堂教学方式的研究中，研究人员要进行听课，在听课中观察教师的教学，观察学生的情况，因此观察法也是本研究者选择的一种重要的研究方法.3.3研究案例对于案例的研究，本研究选择中学数学，包括初中和高中，这样有利于打通初中与高中的界限，从中学数学的整体上进行研究.但由于中学有初中和高中之分，初中生和高中生的学习基础与认知水平存在着很大的差异，因此在初中的融入与高中的融入不能一个水平,要根据学生本身的特点选择合适的融入内容、途径和方法.案例开发遵循的原则是思想性原则和历史性的原则.思想性原则即在教材中挖掘充分体现数学思想的素材，从中进行开发、设计.如解析几何的思想性就很强，它体现了数形结合，体现了几何问题代数化、代数问题几何化的核心思想.在教学中就可以抓住笛卡儿的思想，并根据笛卡儿的思想制定相应的教学策略.历史性原则即在教材中挖掘历史性很强的素材,从历史的发展脉络中领悟概念、定理的发展与变化，并根据学生的特点进行案例的开发与设计.例如函数的概念有着200多年的历史，在初中和高中对函数概念的定义也是不同的.初中，从现实材料出发,探讨其中的变量关系,强调“一个变化过程中的两个变量”,它们之间的依赖关系,用变量的观点定义函数.在这一过程中,学生对函数有了初步认识.与此同时,也可能伴随产生一些不够准确的观点,如:函数是随着自变量的变化而变化的,函数与自变量的关系是由某种法则决定的等.在高中,从更为丰富的材料出发,对我们已有的一些认识重新审视,对“变量说”进行批判,运用集合的语言,建构函数的映射说,用映射的观点定义函数.值得我们深思的是:我们明明知道初中的教学容易把学生引向“变量说”,为什么不加以避免,一定要让学生经历由“变量说”到“映射说”的过程？这说明函数观念的形成是一个较长的过程,任何跨越这个过程的企图都是违背教学规律的.正如维特根斯坦所说:人们一定是从错误开始,然后由此转向真理.要让人相信真理,仅仅说出真理是不够的,人们还必须找到从错误到真理的道路.分析教材、分析教师、分析学生，数学史融入到数学课堂教学的案例不可能在每个章节、每节课中研究开发，经过本研究者的实践，数学史融入到数学课堂教学的案例可以在以下六个方面进行：一是概念教学中融入数学史,加深对概念的了解和认识，同时激发学生学习的兴趣；二是定理的教学中融入数学史,可知定理产生的过程并且可以深化对定理的理解；三是公式教学中融入数学史，可知公式产生的过程和作用；四是起始课教学中融入数学史,可以了解课程内容在数学发展史中所处的地位和作用，促使学生对学期或本单元学习内容必要性的认识；五是数学名题教学中融入数学史，体会、感悟数学思想和方法；六是方法的教学中融入数学史，欣赏、学习数学家的智能、思想和奋斗精神.3.3.1在多次的教材培训、听课、教学研讨活动和调研中，本研究者得到的突出体会是，一部分数学教师在课堂上没有抓住数学概念的核心进行教学，而也有一部分有的教师甚至对概念的认识达不到一定的层次和深度，而概念的教学又是课堂教学的焦点，因此对概念历史的研究，可以加深教师对概念产生的来龙去脉的理解，对概念历史作用的理解.教学中才能抓住概念的核心，设计出有思维深度的概念教学.下面是两个关于数学史融入课堂教学的概念教学设计.课题:变量与函数案例来源说明：本案例选自人教版义务教育教材数学八年级（上）第十一章《一次函数》的第11.1节《变量与函数》.案例设计思想本节课是学生第一次接触变量与函数的概念．虽然，学生在生活和以往的学习经历中已经积累了一些关于变量与函数的直观体验和关于变化的认识.但是作为数学概念来学习，事实上要在这些经验的基础上进行加工和抽象.因此，作为初中学习函数的起始课，本节课的地位十分重要．这节课的重点是让学生理解函数的概念，从而会判断两个变量是否构成函数．为此，设计了让学生探究函数概念的教学过程．学生对于函数概念的探究，是围绕着一条明线和一条暗线展开的．明线为两个变量，暗线为函数概念在历史上的几次演变过程．学生在探究函数概念的过程中，经历了三次函数概念的扩张，并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念．这样让学生沿着数学家们曾经探索函数概念走过的路，经历一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究过程，能够让学生对概念的发展、内涵与外延认识地更加深刻．同时，能够极大地培养学生的批判精神和探索精神，发展学生经得起打击，受得起挫折的顽强品质．这节课在北京市第2中分校实施，2中分校是北京市东城区一类学校，学生水平和能力相对来说都比较高.案例的详细内容与实践反思：变量与函数【教学目标】1．知识与技能：（1）学生能从具体的事件中提炼出变量和常量，能给出变量和常量的定义.（2）学生能通过几个具体实例，逐步抽象、概括出函数的定义.（3）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数.2．过程与方法：学生在探索中经历了一次次的思考、归纳、总结、抽象、概括函数概念的过程.在这个过程中，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象研究问题的方法．3．情感态度与价值观：在函数定义的探究中，学生可以感受到或体会到函数定义来之不易，学生的批判思维得到培养，顽强的品质得到锻炼.【教学重点】探究函数的定义.【教学难点】理解函数的定义.【教学方式】教师启发引导，学生自主探究.【教学手段】多媒体投影、计算机辅助教学.【教学过程】一、创设情景，引出课题例1：刘翔2006年勇夺亚运会男子110米跨栏金牌.赛后，根据亚运会田径部门公布，刘翔在这场比赛中的平均速度达到8.3米/秒，下面我们来了解在本场比赛中他在每一时刻所跑过的路程的大致情况．时间t（秒）12345678…跑过路程s（米）8.316.624.933.241.549.858.166.4…问题：1．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？2．变量与常量如何定义？3．变量与常量在生活中的例子有哪些？4．写出下列两式的表达式，并指出其中的变量与常量．（1）设圆的面积为s，半径为r，则s怎样用r来表示呢？（2）已知圆柱体的底面积为9平方米，高为h，则体积V怎样用底面积与h表示呢？[设计意图]通过探究常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.二、探索研究，形成概念1．让学生写出例1中s与t的表达式.提问：结合上述几个例子，从两个变量联系的角度，你能试着给出函数的定义吗？[设计意图]通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识．例2：姚明职业生涯技术统计赛季（n）02-0303-0404-0505-0606-07场均得分（p）13.517.518.322.325.0问题：1．表格中有变量吗？是什么？2.赛季与场均得分这两个变量有关系吗？3．随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？4.你能写出赛季n与场均得分p之间的表达式吗？例3：某地一天内的气温变化情况．问题：1．图像中有变量吗？是什么？这两个变量有关系吗？2．你能写出温度T与时间t的表达式吗？3．上面总结的函数概念是否完善，不完善该如何补充？[设计意图]通过例2的姚明职业生涯技术统计表格和例3的天气变化图像，让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象认识．例4：北京的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价10元；超过三公里后，超过部分每公里按2元计费．问题：1．在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？2．这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗？3．那应如何进一步完善我们刚才给出的函数定义呢？[设计意图]通过出租车计费的例子，让学生从函数概念的变量的依赖关系过度到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识.三、归纳抽象，形成定义1．回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子的关键点．如例1，（1）在这个变化过程中，当t=1时，s=？当t=7时，s=？（2）每给定t的一个值时，s的值会怎样？2．归纳、抽象出函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．3．强调函数概念中的两个关键词让学生再次对照着前面的四个例子提炼出函数定义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词．[设计意图]通过学生自己归纳总结，让学生经历批判和相互推翻的过程，最终由学生将关键点串联起来，形成与现行初中函数定义很接近的定义，完成对函数概念内涵的第四次抽象认识，在一定程度上完成了对函数概念内涵的比较完整的数学抽象认识.四、运用史料，促进理解例5：寄信：（1）有一个信封上出现了两个地址“北京二中分校马岳老师收”以及“北京四中武红梅老师收”，此时邮递员还能把信发出去吗？[设计意图]通过寄信这个实际问题，引出“一对一”与“多对一”的概念，从而让学生进一步理解函数的定义．（2）讲述“函”字的古意，即为“信封”的意思．（3）讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function”为“函数”的故事.[设计意图]通过查看“函”字的古意以及聆听李善兰创用“函数”一词的故事，使学生在体验中获得对“函数”这一名词由来的认识．五、举例分析，深化定义1．数字游戏：（1）左边的数都减去2得到了右边的数．61-1161-11-283-90问题：如果用x来代表左边的数字，用y来代表右边的数字，那变量y是否是变量x的函数？为什么？（2）左边的数都平方得到右边的数．64818-864818-8-99问题：如果用x来代表左边的数字，用y来代表右边的数字，那变量y是否是变量x的函数？为什么？[设计意图]通过这两个简单的数字问题，进一步让学生感受“一对一”与“多对一”．2．半圆问题：判断下面半圆上点的坐标（x，y）中的变量是否构成函数关系．图1图2[设计意图]通过用图像给出一正一反两个例子，让学生落实“只有‘一对一’和‘多对一’才能称为函数，‘一对多’不是函数”．六、归纳反馈，布置作业1．概念总结（1）知识角度：让学生谈谈本节课学到了哪些知识．（2）方法角度：让学生总结判断是否为函数的方法．（3）情感角度：让学生谈谈探究函数定义时的感受．2．布置作业课本第18页习题11.1第1、2、6、7题．[设计意图]进行课堂教学的反馈，组织和指导学生从知识、方法和情感角度总结本节课的收获，为后续学习打好基础．课题:平面向量的数量积及运算率案例来源说明：本案例选自人教大纲版教材数学第一册(下)第五章《平面向量》的第5.6节《平面向量的数量积及运算率》案例设计思想在中学，大部分教师都是按照课本的要求进行教学的，很少有教师寻求这一部分知识在历史上是怎么出现的，课本为什么以这种方式来呈现，怎么把课本上呈现知识的方式与历史上知识产生的过程去结合呢？平面向量的数量积概念的教学在中学目前有两个层次，第一层次采用空降兵方式，直接给出概念，然后对概念进行剖析和应用；第二层次采用课本上给出的方式，从功的概念中引入平面向量数量积概念.这样有可能给学生造成一种误解，认为平面向量数量积是为了解决功的问题而引入的运算，实际上数量积的概念并不是从功的概念中抽象出来的，数量积的概念先于功的概念，功只是数量积概念的一种物理解释，因此把数量积产生的历史背景作为课堂教学的切入点，让学生从历史的角度理解概念，同时渗透数学的文化价值.本节课是在HPM思想指导下进行概念教学的一次有意义的探索和尝试.这节课是在北京市第166中学实施的，166中学是北京市高中示范校，但学生水平在我区重点校中处于偏低的位置.案例的详细内容与实践反思：平面向量的数量积及运算律一、设置情境、引入课题1．复习平面向量的加法、减法和数乘的运算.2．分析力的做功问题，得出，指出像的运算就是今天要学习的平面向量的数量积.[设计意图]复习平面向量加法、减法和数乘的运算及运算结果，同时从学生容易理解的力的做功问题切入，引出数量积运算，使学生对数量积运算有个初步的认识，尤其是运算结果为数量形式与加法、减法和数乘的运算结果为向量形式形成对比.二、探索概念、突出本质夹角概念的探究（1）如右图，给出两个非零向量，引导学生探究这两个向量的夹角.（2）如下图：与夹角分别为多少？[设计意图]通过对力的做功问题的分析，以及对数量积的产生过程的介绍，学生对数量积已经有一个初步认识，但是还不够明确，数量积定义中涉及两个向量的夹角概念，所以需要引导学生先掌握夹角的概念.通过探究向量的五种位置关系的夹角,使学生进一步理解向量夹角是将两个向量平移到同一起点，再看夹角，同时总结出向量夹角的范围为0≤≤180.数量积概念的探究已知两个非零向量和，它们的夹角为，本研究者把数量︱︱︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即·=︱︱︱︱cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0.备注：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替.②两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos的符号所决定.[设计意图]由于前面探究、学习的积淀，数量积的定义应该来说是水到渠成了，在完成数量积的定义学习后，教师对“·”中间的“·”以及两个向量的数量积是一个数量进行分析，使学生重视数量积运算的特殊性，完成对数量积概念的进一步认识.数量积概念的背景探究回到力的做功，，根据数量积的定义，功是力与位移的数量积，这就是数量积的物理意义.[设计意图]与本节课最开始的力的做功问题相呼应，同时给出数量积定义的物理解释.数量积概念的几何探究力的做功，只有跟位移方向一致的分力做功，这个分力的大小为，这在数学上叫做在方向上的投影，这样与的数量积就可以解释为与在方向上的投影的乘积，这就是数量积的几何解释（几何画板演示投影的变化）.[设计意图]结合力的做功问题，使学生对向量投影和数量积的几何意义有个初步的认识，从而引入数学上向量投影和数量积的几何意义.通过几何画板演示投影的变化，加深对投影的认识.数量积运算律的探究既然数量积是向量的一种运算，本研究者定义完运算后应该进一步研究数量积的运算律，那么数量积运算满足交换律、结合律、分配律吗？·=·？(·)=(·)？(+)·=·+·？···不需要分析吗？如何验证这些运算律成立，学生一般情况会从定义出发，对于结合律，教师可以提示学生数量积的运算结果是数量.对于分配律，教师先引导学生分析按照定义验证会出现三个夹角，给证明等式两边相等带来了一定的困难，这样本研究者可以选择用数量积的几何意义来进行验证.[设计意图]类比数量乘法让学生说出数量积可能满足的运算律：交换律、结合律、分配律，培养学生的类比思想.类比过来的运算律是否成立，还需要验证，验证的依据应该是定义.学生很容易验证交换律成立.验证结合律时有困难，学生不容易想到“(·)表示一个与共线的向量，而(·)表示一个与共线的向量，而与一般不共线，所以(·)≠(·)”，所以教师提示数量积的运算结果是数量.验证分配律，对学生而言难度较大，所以教师根据数量积的几何意义验证了分配律.反馈练习、归纳小结1．课堂练习判断正误，并简要说明理由（1）·＝；（2）0·＝０；（3）－＝；（4）｜·｜＝｜｜｜｜；（5）若≠，则对任一非零向量有·≠０；（6）·＝０，则与中至少有一个为；（7）对任意向量，，都有（·）＝（·）；（8）若=，则=；（9）与是两个单位向量，则2＝2概念、方法小结（1）本节课本研究者学习的主要内容是什么？（2）本节课主要采用了什么研究方法？（3）类比向量的线性运算，本研究者还应该怎样研究数量积？如果要回答的话，这两个怎么回答呢？布置作业1.已知︱︱=5,︱︱=4,与的夹角=120°，求·2.设︱︱=12,︱︱=9,·＝，求和的夹角.3.已知△ABC中，当·<0,·＝0，或·>0时，△ABC各是什么样的三角形？[设计意图]通过课堂教学的反馈，了解学生对教学内容的掌握情况，同时教师引导学生从学习研究的内容、方法以及情感体验上归纳、总结学习的收获和体会，为后续学习打好基础，做好铺垫.四、查阅史料、追溯来源数学中的运算好多是为解决实际问题而引入的，那么平面向量的数量积运算是不是因为物理中有力的做功，所以在数学中就要定义平面向量的数量积运算呢？这个问题我事先也不是很清楚，但为了解决这个问题，我查阅了很多资料，发现并我们想象的那样，那么在数学的发展过程中，数量积究竟是怎样产生的？请大家和我一起来分享史料.传奇人物GrassmannGrassmann（1809～1877）德国中学数学教师1832年最初的向量想法TheoryoftheEbbandFlow涉及数量积和向量积完整理论《线性扩张论》，内容涉及n维空间和16种乘积运算(包括数量积和向量积)，Grassmann定义特殊情况n＝2时平面向量的数量积是：已知，，其中是实数，是两个单位向量，它们从原点出发，顺序确定一个右手直角坐标系.则和的数量积是，等价于(分别为向量和的长度及它们的夹角).但是，由于叙述抽象，以及思想的高度独创性(totallyoriginal)，这些都给读者的理解带来很大困难，看看数学家的评论吧！Möbius—unreadable,Baltzer—readingthebookmadehimfeeldizzyHamilton—toreadtheAusdehnungslehrehewouldhavetolearntosmoke.Fearnley-Sander:Allmathematiciansstand,asNewtonsaidhedid,ontheshouldersofgiants,butfewhavecomecloserthanHermannGrassmanntocreating,single-handedly,anewsubject.所以他的工作在当时并没有推动数学的发展.Hamilton（1805～1865）英国数学家1830复数可以表示平面上的向量已经是熟知的，而且有些数学家开始寻找“三维复数”的对应物1830—1843Hamilton用13年寻找到“三维复数”的对应物——四元数，并且定义了四元数的乘积.Gibbs1839–1903耶尔(Yale)学院的数学物理教授，他发现四元数的乘积在物理中应用起来不是很方便，所以根据物理的需要，定义了另外两种乘积：数量积和向量积，此后，他又开始研究Grassmann的工作，惊奇地发现“IsawthatthemethodswhatIwasusing,whilenearlythoseofHamilton,werealmostexactlythoseofGrassmann.”Heaviside1850–1925英国建立向量分析，他的结果本质上与Gibbs的相融合，只是记法不同[设计意图]教师首先阐述了查阅资料的动机，这样教师研究问题、探索问题的方法和精神会对学生有一定的影响；然后教师将查阅到的资料与学生分享，这样不仅使学生对数量积的产生过程有一个比较清楚而且正确的认识，同时激发了学生的学习兴趣，也能使学生感受数学家锲而不舍的探索精神和钻研精神.五、研究学生，筛选史料本研究者教学时参考的资料主要是参考文献中的[1]和[2],但是根据学生的实际情况和课堂教学的需要，不能将原始材料原原本本的搬进课堂，于是对资料进行了适当的筛选和调整，具体措施如下:1．资料：1844年Grassmann发表完整理论《线性扩张论》，内容涉及n维空间，其中数量积定义与现在的相同.特别地，[1]中还给出n=3时数量积的定义，,,其中是实数，是三个单位向量，它们从原点出发，顺序确定一个右手直角坐标系.则和的数量积是，等价于（分别为向量和的长度及它们的夹角）.学生情况：·资料中的向量记号与现在所学的向量记号有所不同，不便于学生的阅读和理解.·学生没有学过立体几何，空间想象能力不强，但是他们对平面向量比较熟悉，而且刚刚学过平面向量基本定理；·学生没有学过平面向量的坐标运算,但是很快就会学到；课堂实施:·将资料中的向量记号统一成现在的向量记号，如.·给学生展示的是Grassmann定义的特殊情况n=2时平面向量的数量积：已知，，其中是实数，是两个单位向量，它们从原点出发，顺序确定一个右手直角坐标系.则和的数量积是，等价于(分别为向量和的长度及它们的夹角).·保留坐标运算形式：.一方面是因为学生很快就会学到；另一方面更重要的是因为要尊重数学史，而且后面将要谈到的Gibbs和Heaviside定义的数量积也是这种形式.2．资料[2]1830—1843年，Hamilton用了13年的时间终于寻找到“三维复数”的对应物—四元数，并且定义了四元数的乘积.具体如下：Thesearehighercomplexnumbersoftheforma+xi+yj+zk,wherea,x,y,zarerealnumbersandi,j,andkarethreedistinctimaginarynumbersobeyingthefollowingrulesofmultiplication:ij=k,jk=i,ki=j,ji=–k,kj=–i,ik=–j,ii=jj=kk=–1.Fromthisweseethatfortwoquaternionsinwhichthefirstpart,therealnumber,isequaltozeroQ=xi+yj+zkandQ´=+x”i+y”j+z”k, theirproductQQ´=–(xx´+yy´+zz´)+i(yz´–zy´)+j(zx´–xz´)+k(xy´–yx´).学生情况：学生抽象思维能力比较差，而且上述资料涉及很多符号，学生很难理解上述四元数的定义及其乘法.课堂实施:只陈述事实：1830—1843年，Hamilton用了13年的时间终于寻找到“三维复数”的对应物—四元数，并且定义了四元数的乘积.不出现四元数定义及其乘法的具体形式.3．资料[1]按照Gibbs和Heaviside所提出的，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数.这样，向量是，这里分别是沿轴的单位向量，系数是实数.并且定义了数量积和向量积(详见资料[1]).学生情况：学生的抽象思维能力比较差，而且没有学过坐标运算，不容易理解资料中的数量积定义以及它们与四元数乘积的关系.课堂实施: