2第二章-金融工程的基本分析方法

第一节几个基本概念第二节无套利定价第三节风险中性定价第四节状态价格定价第五节积木分析法课件和练习题发到公共信箱，请不要更改密码和删除文件。jrgc2010@126.com密码：123456第二章金融工程的基本分析方法复利：假设数额A以利率R投资了n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计m次复利，则终值为：

当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuouscompounding），此时的终值为第一节几个基本概念设是连续复利的年利率，是与之等价的每年记m次复利的年利率，则即利率间转换设是一年记一次复利的年利率，是与之等价的每年记m次复利的年利率，则即利率间转换无风险利率：是指投资者可以任意借入或者贷出资金的市场利率。现阶段，符合理论要求的无风险利率有两个：回购利率、同业市场拆借利率。我们倾向于推荐使用7天回购利率的30天或90天平均值，因为同业拆借市场对一般投资者是不开放的。在美国等债券市场发达的国家，用短期国债利率。无风险利率回购及回购利率回购：是指一方用国债或其他高信用度的债券作抵押，向另一方借入资金的行为。借款到期时，借款方归还借款本金并按回购利率支付利息，另一方归还国债并收取本息。回购利率：一般是指国债回购利率，按照时间一般又被叫做7天回购利率。把回购利率看作是使用国债借钱所需要偿还的利息。http:///chinabond/index.jsp

同业拆借利率同业拆借利率：是指银行同业之间的短期资金借贷利率。同业拆借有两个利率，拆进利率与拆出利率。其中，拆进利率表示银行愿意借款的利率，拆出利率表示银行愿意贷款的利率。

伦敦同业拆借利率（LondonInterbankOfferedRate，简称为LIBOR

）：是国际短期资金拆借市场上的基础利率。现金流、现值、终值现金流：一个企业、机构或投资者在投资或经营过程中的支出和收入的货币称为现金流，一般用C1,C2,…CT表示。现值（PV）：现金流在当前时刻的价值。终值（FV）：现金流在投资期结束时刻的价值。现值终值的计算

案例2-1：考察某个5年期，息票率为5%的债券的现金流，设该债券每年年底付息一次，最后一次付息时同时返还本金，债券的面值为50000元，则投资该债券的现金流为2500，2500，2500，2500，52500.假定一年期无风险利率为4.5%。终值FV=2500e4×0.045+2500e3×0.045+2500e2×0.045+2500e1×0.045+52500现值PV=2500e-0.045+2500e-2×0.045+2500e-3×0.045+2500e-4×0.045+52500e-5×0.045定价原理绝对定价法就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。

相对定价法的基本思想就是利用标的资产价格与衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生品价格。股票和债券定价大多使用绝对定价法。衍生品定价则主要运用相对定价法。绝对定价法是一般原理，易于理解，但难以应用；相对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生品。

套利---是在某项金融资产的交易过程中，利用一个或多个市场存在的价格差异，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。套利的三大特征---无风险、复制、零投资无套利定价的思想---在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

第二节无套利定价无套利价格在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态，这就是无套利均衡的定价原则。套利组合无风险资产多头、基础资产空头和远期合约多头构成一个典型的套利组合。投资者期初并无投资支出，通过卖空基础资产获得无风险资产的资金来源，投资所得供远期合约交割使用，而交割所获资产又正好用来轧抵基础资产的空头。套利组合的特点套利组合是自融资系统，因而市场规则允许卖空。套利过程涉及投资的时间价值，因而套利组合中一般包含无风险资产。套利组合是无风险的。如果套利组合中含有衍生品，则组合中通常亦包含对应的基础资产。套利组合的数学表达t0—期初，t—期末，Si(.)—资产Xi的价格

xi—资产Xi的数额，r—无风险利率套利组合—(X1,…,

Xn)期初V(t0)=x1S1(t0)+…+xnSn(t0)=0期末V(t)=x1S1(t)+…+xnSn(t)≥0定价：V(t0)=0，V(t)=0一价法则一价法则：金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格。未来现金流为0的组合，当前现金流必须为0。无风险组合只能获取无风险收益率。一价法则又称为线性定价法则，是金融工程等价复制原理的核心。复制复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。复制技术定价的原则：构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。Va(t0)=Vb(t0)，Va(t)=Vb(t)无套利定价的例子

--同一市场、不同资产间套利

案例2-2：市场有三种金融资产，未来可能出现两种状态，收益矩阵如下：三种金融资产的价格向量为：[1,5,3]这个市场的价格体系是否合理？这样的市场行情能否产生套利活动？案例2-2（续）构建三种金融资产的头寸为[a1,a2,a3]使得未来现金流为0，也即解得，而该头寸当前的现金流为案例2-2（续）可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流为0，而当前现金流不为0，这是一种套利机会。投资者可以持有51单位资产一的多头，38单位资产二的空头，和7单位资产三的多头，即可以得到当前118元的获利。无套利定价的例子案例2-3远期利率：假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？远期利率的无套利均衡价格应该为多少？案例2-3（续）1、交易者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元。2、签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。3、按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。4、1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（=1000e0.12），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还远期协议的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。案例2-3（续）按10%的利率借入一笔6个月资金1元签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按r*的价格6个月后从市场借入资金1.051元（等于e0.10×0.5）。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1元。到期末：1.051er*×0.5=e1×0.12,r*=14%无套利定价的例子

--不同市场、不同资产间套利案例2-4远期外汇：

假定市场条件如下：目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1美元兑换1.8马克(1:1.8)，问题是一年期的远期汇率是否还是1:1.8呢？无套利定价的例子案例2-5期货的价格发现功能：假设小麦一年后的期货价格是1500元/吨，市场无风险利率为5%，持有成本是30元/吨，根据持有成本理论和无风险套利规则（不考虑其他因素），则小麦当前的合理价格大约应该为（1500-30）/（1+5%）=1400（元/吨）。案例2-5（续）如果现货价格低于1400元，说明现货被低估，则交易者可以做空期货的同时通过借贷以当前价格购买现货，并持有一年到期后交割，可以获得无风险利润。这样以来，小麦现货市场的价格必然上涨；反过来，如果当前的小麦现货价格高于1400元，交易者卖空现货（如果允许卖空）的同时做多期货，则同样可以获取无风险收益。这样以来，现货市场价格必然下跌，回到其合理的价格水平。案例2-6期权定价的二叉树模型：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，求一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。套利组合：可构建一个由一单位看涨期权空头和y单位的标的股票多头组成的无风险组合。11y－0.5=9yy=0.25-f+10×0.25=9×0.25×e-0.1×0.25f=0.31无套利定价的例子若随机过程{Yt}满足如下条件（1）给定新息集Ft

，Yt是已知的（2）E|Yt|<∞

（3）Et(Yt+

)≡E(Yt+

|Ft)=Yt对任意

成立则称{Yt}为对应于信息集Ft的一个鞅。第三节风险中性定价鞅的定义等价鞅测度：资产价格St是一个随机过程，资产价格变化的实际概率分布为P，若存在另一种概率分布P*使得未来价格序列经无风险利率r贴现后（以P*计算期望）是一个鞅，即Ste-rt=E*t(St+

e-r（t+

）)，等价于St=e-r

E*t(St+

)，则称P*为P的等价鞅测度。P*称为是风险中性概率资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。等价鞅测度及资产定价的基本定理

在对衍生证券定价时，可假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，所有的现金流都可以用未来现金流的期望值通过无风险利率贴现求得。这就是风险中性定价原理。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。风险中性定价案例2-7：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。风险中性定价的例子求风险中性概率：利用风险中性定价原理定价：案例2-7（续）案例2-8：假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。风险中性定价与无套利定价的等价性构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ.无套利定价思路由无套利定价原理：求风险中性概率：风险中性定价思路利用风险中性定价原理定价状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。此类资产通常被称为“基本证券”或阿罗——德布鲁证券（Arrow-Debru）

。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况和市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。第四节状态价格定价若A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA

，要么下降到dPA

。基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是πu，基本证券2的价格是πd。状态价格定价完全市场：若市场上存在n个未来状态，同时市场上又有n种阿罗—德布鲁证券，那么市场上的任何一种资产都可以用这些基本证券的组合来复制，由此对冲资产所面临的风险，实现完全的保值，这样的市场称为完全市场。不完全市场：若此基本证券的数目小于未来状态的数目，则在某些状态下，资产不可能通过构造相应的复制组合提供完全的保值，故市场是不完全的。市场的完全性uPA份基本证券1和dPA份基本证券2可以复制证券A，状态价格定价的原理PA=πuuPA+πddPA

即πuu+πdd=1

1单位基本证券组成的组合是无风险的

实质？案例2-9：假如有价证券A的市场情况如下PA=100，r=2%，u=1.07,d=0.98，T-t=1,可以算出状态价格定价的例子则B当前的价格为PB=πuuPB+πddPB

=0.4378×103+0.5424×98.5=98.52假设另外有一个证券B，它在一年后的价格可能上升到103元，也可能下降到98.5元。

用Δ份证券A和当前市场价值为L的无风险证券组合来复制证券B案例2-9（续）：由该方程组可解出Δ=0.5，L=48.52。于是，B现在的市场价值I=100Δ+L=100×0.5+48.52=98.52。

多阶段状态价格定价的例子107114.49104.86假设在第一年末，市场处于上升状态。用Δu份证券A和市场价值为Lu的无风险证券组合来复制证券B。(第二阶段）解得：Δu=0.49，Lu=50.76

因此，PBu=107Δu+Lu=102.99

多阶段状态价格定价的例子（续）98104.8696.04假设在第一年末，市场处于下跌状态。用Δd份证券A和市场价值为Ld的无风险证券组合来复制证券B。(第二阶段）解得：Δd=0.51，Ld=48.51

因此，PBd=98Δd+Ld=98.50

多阶段状态价格定价的例子（续）10010798用Δ份证券A和市场价值为L的无风险证券组合来复制证券B。(第一阶段）解得：Δ=0.50，L=48.52

因此，PBu=100Δ+L=98.52

多阶段状态价格定价的例子（续）Δ=0.50