【拿高分-选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分-专题复习讲义《1-1-4-导数及其应用》课件

第4课时导数及其应用高频考点考情解读导数的几何意义考查求过某点的切线的斜率、方程、切点的坐标，或以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值．利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题．利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，常与函数、方程、不等式等交汇命题.(3)曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减；(2)求极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值).

(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．答案：y＝4x－3 求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0,f(x0))，由点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．答案：

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(2012·朝阳区统一考试)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a为正实数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间． 利用导数研究函数单调性的步骤：第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x)；第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．[提醒]

(1)当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集．(2)当f(x)不含参数时，也可以通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．因为函数g(x)在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．

(2012·北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解析：

(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.

(1)利用导数研究函数的极值的一般步骤①确定定义域．②求导数f′(x)．③a.若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)b．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．(2012·江苏卷)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b，是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)设a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解析：

(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. 利用导数探究不等式和方程问题导数问题和不等式、方程问题相互交织构成了高考试题中一道亮丽的风景线，利用导数研究函数的单调性和最值等离不开不等式，通过导数研究函数的单调性和最值等也能解决一些不等式问题．其中，不等式恒成立问题中蕴含着转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，越来越受到高考命题者的青睐，从近年的高考试题中不难看出来．解不等式恒成立问题的基本思路就是把问题转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题，导数正是研究这个问题的有力工