考研数学一（线性方程组）模拟试卷1（共141题）

考研数学一（线性方程组）模拟试卷1（共4套）（共141题）考研数学一（线性方程组）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则R(A)≥R(B)；②若R(A)≥R(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则R(A)=R(B)；④若R(A)=R(B)，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的是()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。标准答案：B知识点解析：选(B)。因为①中条件保证了n-R(A)≤n-R(B)，所以R(A)≥R(B)。而进一步易知③正确，而②、④均不能成立。2、某五元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为，自由变量可取为(1)x4，x5(2)x3，x5(3)x1，x5(4)x2，x3那么，正确的共有()A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩R(A)=3，则n-R(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量。由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，其秩与R(A)不相等，故x4，x5不是自由变量。同理，x3，x5也不能是自由变量。因为行列式都不为0，故x1，x5与x2，x3均可以是自由变量。3、设η1，η2，η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是()A、η1-η2，η2+η3，η3-η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1-η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1。标准答案：D知识点解析：由已知条件，Ax=0的基础解系是由四个线性无关的解向量构成的，而选项(B)中仅三个解向量，不符合要求，故选项(B)不是基础解系。选项(A)和选项(C)中，都有四个解向量，但因为(η1-η2)+(η2+η3)-(η3-η4)-(η4+η1)=0，(η1+η2)-(η2+η3)+(η3+η4)-(η4+η1)=0，说明(A)、(C)中的向量组均线性相关，因而选项(A)、(C)也不是基础解系。用排除法可知选项(D)正确。或者由(η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2，η3，η4)而知η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1线性无关，又因η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量个数为4，所以选项(D)是基础解系。4、已知方程组有两个不同的解，则λ=()A、-1。B、10。C、1。D、2。标准答案：C知识点解析：线性方程组Ax=b有两个不同的解Ax=b有无穷多解R(A)=A(A，b)＜n。由于本题的系数矩阵含有参数，故可以由｜A｜=0来进行求解。=(λ-1)2(10-λ)，由｜A｜=0，可得λ=1或λ=10，故可排除(A)与(D)。当λ=1时，有因为R(A)=＜3，所以λ=1时方程组有无穷多解，且经验证λ=10不满足条件，故选(C)。5、设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是()A、若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。B、若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。C、若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。D、若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。标准答案：A知识点解析：A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有R(A)=n。同理，若A中有m阶子式不为零，则必有R(A)=m。对于(A)，因为R(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解。故(A)正确。对于(B)，当R(A)=n时，增广矩阵A的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解，因此(B)不正确。例如：有R(A)=2，=3，方程组无解。对于(C)和(D)，R(A)=m，即A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以=m。因此，方程组Ax=b必有解，但未必有唯一解，Ax=0也未必只有零解。例如，有无穷多解。仅当m=n时，选项(C)、选项(D)才正确。6、设αi=(ai，bi，ci)T，i=1，2，3，α=(d1，d2，d3)T，则三个平面a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0．a3x+b3y+c3z+d3=0，两两相交成三条平行直线的充分必要条件是()A、R(α1，α2，α3)=1，R(α1，α2，α3，α)=2。B、R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3。C、α1，α2，α3中任意两个均线性无关，且α不能由α1，α2，α3线性表示。D、α1，α2，α3线性相关，且α不能由α1，α2，α3线性表示。标准答案：C知识点解析：(A)中由R(α1，α2，α3)=1，知三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合)，又由R(α1，α2，α3，α)=2，可知三个平面没有公共交点，因而这三个平面两两平行，至多有两个重合。当三个平面两两相交成三条平行直线时，必有R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3，但当R(α1，α2，α3)=2，R(α1，α2，α3，α)=3时，有可能其中两个平面平行，第3个平面和它们相交，所以(B)是必要不充分条件。而(D)(A)或(B)，亦知(D)是必要不充分条件。α1，α2，α3中任意两个均线性无关任何两个平面都不平行，且相交成一条直线，而α不能由α1，α2，α3线性表示三个平面没有公共点。故应选(C)。7、要使ξ1=(1，0，2)T，ξ2=(0，1，-1)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，那么系数矩阵为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：ξ1，ξ2对应的元素不成比例，所以ξ1，ξ2是Ax=0的两个线性无关的解，故n-R(A)≥2。由n=3知，R(A)≤1。(A)选项，矩阵的秩为1；(B)和(C)选项，矩阵的秩为2；(D)选项，矩阵的秩为3，故知应选(A)。8、齐次线性方程组的系数矩阵为A，存在B≠O，使得AB=O，则()A、λ=-2且｜B｜=0。B、λ=-2且｜B｜≠0。C、λ=1且｜B｜=0。D、λ=1且｜B｜≠0。标准答案：C知识点解析：存在B≠O，使AB=O，说明齐次线性方程组Ax=0有非零解，故｜A｜==(1-λ)2=0，解得λ=1，而当λ=1时，R(A)=1，由矩阵的秩的性质知，R(A)+R(B)≤3，则R(B)≤2，故｜B｜=0。9、设α1，α2，α3，α4是4维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*是A的伴随矩阵，已知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组A*x=0的基础解系为()A、α1，α2，α3。B、α19α2，α2+α3，3α3。C、α2，α3，α4。D、α1，α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。标准答案：C知识点解析：由Ax=0的基础解系仅含1个解向量，知｜A｜=0且R(A)=4-1=3，所以R(A*)=1，那么A*x=0的基础解系应含3个解向量，故排除(D)。又由题设有(α1，α2，α3，α4)(1，0，2，0)T=0，即α1+2α3=0，亦即α1，α3线性相关，所以排除(A)、(B)，故选择(C)。10、a=-5是齐次方程组有非零解的()A、充分必要条件。B、充分不必要条件。C、必要不充分条件。D、既不充分也不必要条件。标准答案：B知识点解析：由n个方程n个未知数组成的齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是｜A｜=0。于是由｜A｜==(a+5)(a-3)，可知a=-5时，｜A｜=0，但｜A｜=0并不一定有a=-5。因而a=-5是充分不必要条件。故应选(B)。11、设矩阵A是秩为2的四阶矩阵，又α1，α2，α3是线性方程组Ax=b的解，且α1+α2-α3=(2，0，-5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3-2α1=(2，4，1，-2)T，则方程组Ax=b的通解x=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由于nR(A)=4-2=2，由非齐次线性方程组解的结构可知，方程组Ax=b的通解形式应为α+k1η1+k2η2，故可排除(C)、(D)。由已知条件，(α2+2α3)=b，A(α3-2α1)=-b，所以(A)中(1，4，1，1)T和(B)中(-2，-4，-，2)T都是方程组Ax=b的解。(A)和(B)中均有(2，2，-2，1)T，因此可知它必是Ax=0的解。又由于3(α1+α2-α3)-(α2+2α3)=3(α1-α3)+2(α2-α3)，且由非齐次线性方程组的解与对应齐次线性方程组的解之间的关系知，3(α1-α3)+2(α2-α3)是Ax=0的解，所以(3，-12，-18，9)T是Ax=0的解，那么(1，-4，-6，3)T也是Ax=0的解。故应选(A)。12、非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则()A、r=m时，方程组Ax=b有解。B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。D、r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解。标准答案：A知识点解析：(A，b)是m×(n+1)矩阵，当r=m时，R(A，b)≤m=r=R(A)。再由R(A)≤R(A，b)，可得R(A)=R(A，b)，所以方程组Ax=b有解，故选(A)。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)13、已知方程组有无穷多解，那么a=_________。标准答案：3知识点解析：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=，而有无穷多解的充分必要条件是R(A)=＜n。对增广矩阵作初等行变换，有由于R(A)=2，所以6-2a=0，解得a=3。所以，方程组有无穷多解的充分必要条件是a=3。14、设A=(aij)是三阶正交矩阵，其中a33=-1，b=(0，0，5)T，则线性方程组Ax=b必有的一个解是________。标准答案：(0，0，-5)T知识点解析：由克拉默法则，对于Ax=b，有x=A-1b，因为A是正交矩阵，则A-1=AT，故x=ATx=(5a31，5a32，-5)T，而又a312+a322+a332=1，故知a31=0，a32=0。15、已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，其中则a=______。标准答案：1知识点解析：方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。对(Ⅰ)求出其通解为(3，2，0)T+k(3，-1，1)T，于是把x1=3+3k，x2=2-k，x3=k代入方程组(Ⅱ)，有整理得因为k为任意常数，故a=1。此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解。且当a=1时，方程组(Ⅱ)为由方程组(Ⅱ)的系数矩阵A2=得秩R(A2)=2，则根据非齐次线性方程组解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη。易知α=(3，2，0)T是Ax=b的一个特解，η=(3，-1，1)T是A2x=0的一个非零解。所以(Ⅰ)与(Ⅱ)必同解。16、已知方程组无解，则a=________。标准答案：-1知识点解析：方程组的增广矩阵当a=-1时，=3≠R(A)=2，此时方程组无解。17、设A为n阶方阵，任何n维列向量都是方程组的解向量，则R(A)=_________。标准答案：0知识点解析：已知任何n维列向量都是此方程组的解，故n维基本单位向量组ε1=，ε2=…，εn=也是它的解，即A(ε1，ε2，…，εn)=AE=O，故有A=O，所以R(A)=0。18、A=，其中ai≠0，i=1，2，…，m，bj≠0，j=1，2，…，n。则线性方程组Ax=0的基础解系含有解向量的个数是_______。标准答案：n-1知识点解析：因为ai≠0(i=1，2，…，m)，j≠0(j=1，2，…，n)，所以因此R(A)=1，故线性方程组Ax=0的基础解系含n-1个解向量。三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)19、设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有当a=0时，r(A)=1＜n，方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数。当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有当a=时，r(A)=n-1＜n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析20、已知齐次方程组为其中ai≠0。讨论当a1，a2，…，an和6满足何种关系时：(Ⅰ)方程组仅有零解；(Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。标准答案：对齐次线性方程组的系数矩阵A作初等变换，即(Ⅰ)当b≠0且b≠ai时，R(A)=n，原方程组只有零解。(Ⅱ)当b=0或b=ai时，R(A)＜n，原方程组有非零解。①当b=0时，R(A)=1，原方程组与a1x1+a2x2+…+anxn=0同解。因为ai≠0，所以a1，a2，…，an不全为0。不失一般性，设an≠0，则原方程组的一个基础解系(含n-1个线性无关的解向量)为(an，0，…，0，-a1)T，(0，an，…，0，-a2)T，…，(0，0，…，an，-an-1)T。②当b=ai时，因为ai≠0，所以R(A)=n-1，原方程组的基础解系(含1个线性无关的解向量)为(1，1，…，1，1)T。知识点解析：暂无解析21、解齐次方程组标准答案：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由n-R(A)=4-2=2，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量。令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2。令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22。得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，因此通解是k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析22、已知齐次线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)同解，求a，b，c的值。标准答案：因为方程组(Ⅱ)中方程个数小于未知数个数，(Ⅱ)必有无穷多解，所以(Ⅰ)必有无穷多解，因此(Ⅰ)的系数行列式必为0，即有对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有，于是求出方程组(Ⅰ)的通解是k(-1，-1，1)T。由题意知，(-1，-1，1)T亦是方程组(Ⅱ)的解，故有解得b=1，c=2或b=0，c=1。当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)为因其系数矩阵的秩为1，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩不相等，从而(Ⅰ)与(Ⅱ)有不同的解，故b=0，c=1应舍去。经验证，当a=2，b=1，c=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)同解。知识点解析：暂无解析23、设齐次线性方程组的系数矩阵为A=设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明：(Ⅰ)(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量；(Ⅱ)如果A的秩为n-1，则方程组的所有解向量是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍数。标准答案：(Ⅰ)作n阶行列式Di=，i=1，2，…，n-1。因为Di的第一行与第i+1行是相同的，所以Di=0。Di的第一行元素的代数余子式依次为M1，-M2，…，(-1)n-1Mn，将Di按第一行展开，得ai1M1+ai2(-M2)+…+ain[(-1)n-1Mn]=0，(i=l，2，…，n-1)，这说明(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)满足第i(i=1，2，…，n-1)个方程，故它是方程组的一个解。(Ⅱ)因为R(A)=n-1，所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n-(n-1)=1，同时因为R(A)=n-1，说明A中至少有一个(n-1)阶子式≠0，即M1，M2，…，Mn不全为0，于是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)是方程组的一个非零解，它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M1，-M2，…，(-1)n-1Mn)的倍数。知识点解析：暂无解析24、设A=，3阶矩阵B≠O，且有AB=O，求λ。标准答案：由AB=O可知，B的列向量均为方程组Ax=0的解，再由B≠O可知方程组Ax=0有非零解，所以有｜A｜=0，即=5λ-5=0。从而可得λ=1。知识点解析：暂无解析25、设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。标准答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。(Ⅰ)当a≠0时，Dn≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为=Dn-1=nan-1，所以由克拉默法则得x1=Dn-1／Dn=(Ⅱ)当a=0时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析26、讨论a，b为何值时，方程组无解?有解?有解时写出全部解。标准答案：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可见，当a≠1时，R(A)≠R(A，b)，方程组无解。当a=1且b≠-1时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解，由得唯一解为x1=3，x2=1，x3=0。当a=1且b=-1时，R(A)=R(A，b)=2＜3，方程组有无穷多解。由得同解方程组为选x3为自由变量，对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ=(-1，1，1)T，方程组的一个特解为η=(3，1，0)T，所以方程组的通解为x=η+kξ，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析27、设线性方程组(Ⅰ)证明当a1，a2，a3，4两两不相等时，方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且β1=(-1，1，1)T和β2=(1，1，-1)T是两个解。求此方程组的通解。标准答案：(Ⅰ)增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a2)，于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵可逆，秩为4，而系数矩阵的秩为。因此，方程组无解。(Ⅱ)由题设条件，则此时方程组为β1和β2都是特解，β1-β2=(-2，0，2)T是导出组的一个非零解。由β1(或β2)是解看出k≠0，从而系数矩阵的秩为2，因此可知导出组的基础解系由一个非零向量构成，则β1-β2是导出组的基础解系。于是通解为β1+c(β1-β2)，c为任意常数。知识点解析：暂无解析28、讨论方程组的解，并求解。标准答案：方程组系数矩阵的行列式=a2(a-1)。当｜A｜=0时，a=0或1。(1)当a=0时，对增广矩阵作初等行变换。R(A)=2≠=3，故方程组无解。(2)当a=1时，对增广矩阵作初等行变换，对应齐次线性方程组的基础解系为ξ=(-1，2，1)T，方程组的一个特解为η=(2，-9，0)T。因此，方程组的通解为η+kξ，其中k为任意常数。(3)当a≠0且a≠1时，｜A｜≠0，方程组有唯一解。由克拉默法则得知识点解析：暂无解析29、已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。标准答案：由α2，α3，α4线性无关，且α1=2α2-α3，知R(A)=3，从而Ax=0的基础解系只含有一个解向量。由α1-2α2+α3+0α4=0，知(1，-2，1，0)T为Ax=0的一个基础解系。又β=α1+α2+α3+α4，即(α1，α2，α3，α4)=β，知(1，1，1，1)T为Ax=β的一个特解。因此，Ax=β的通解为(1，1，1，1)T+k(1，-2，1，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析30、设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0。当a=1时，，此时方程组(3)的通解为k(-1，0，1)T(k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时，，此时方程组(3)有唯一解(0，1，-1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析31、设A=，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。标准答案：(Ⅰ)因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A)=＜n。于是｜A｜==(λ+1)(λ-1)2=0。解得λ=1或λ=-1。当λ=1时，r(A)=1，=2，此时线性方程组无解。当λ=-1时，若a=-2，则r(A)==2，方程组Ax=b有无穷多解。故λ=-1，a=-2。(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时，所以方程组Ax=b的通解为+k(1，0，1)T，其中k是任意常数。知识点解析：暂无解析32、已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。标准答案：必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组有唯一解，故系数矩阵A=与增广矩阵的秩均为2，于是=0。因为=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，但根据题设可知(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，故a+b+c=0。充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明中可知，=0，故＜3。由于故r(A)=2。于是r(A)==2。因此方程组(*)有唯一解，即三条直线l1，l2，l3交于一点。知识点解析：暂无解析33、是否存在平面二次曲线y=ax2+bx+c，其图像经过以下各点：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。标准答案：二次曲线y=ax2+bx+c经过这四个点，则将以上各点坐标值代入曲线方程并组成方程组，于是该问题转化为对该方程组的求解。即将其增广矩阵经初等行变换化为阶梯形：由阶梯形矩阵可知增广矩阵的秩为4，而系数矩阵的秩为3，故方程组无解。所以，不存在经过所给四个点的平面二次曲线。知识点解析：暂无解析34、已知线性方程组(Ⅰ)当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解?(Ⅱ)当a，b，c满足什么关系时，方程组有非零解?并求通解。标准答案：方程组系数矩阵A的行列式｜A｜==(b-a)(c-a)(c-b)。(范德蒙德行列式)(Ⅰ)当a≠b，a≠c，b≠c时，有｜A｜≠0，且R(A)=3，所以方程组只有零解x1=x2=x3=0。(Ⅱ)对方程组有非零解的情形分四种情况讨论。1°当a=b≠c时，R(A)=2＜3，方程组有非零解，此时同解方程组为选x2为自由变量，则方程组的通解为x=k1，k1是任意常数。2°当a=c≠b时，R(A)=2＜3，方程组有非零解。此时同解方程组为选x3为自由变量，则方程组的通解为x=k2，k2是任意常数。3°当b=c≠a时，R(A)=2＜3，方程组有非零解，此时同解方程组为选x3为自由变量，则方程的通解为x=k3，其中k3是任意常数。4°当a=b=c时，R(A)=1＜3，方程组有非零解。此时同解方程组为x1+x2+x3=0，选x2，x3为自由变量，则方程组的通解为x=k4，其中k4，k5是任意常数。知识点解析：暂无解析35、设A为n阶方阵．证明：R(A*)=R(An+1)。标准答案：本题可转化为方程组Anx=0与An+1x=0同解的证明。若Anx=0，则An+1x=0，因此Anx=0的解必为An+1x=0的解；反之，当An+1x=0时，如果Anx≠0，设k0，k1，…，kn使k0x+k1Ax+…+knAnx=0，依次用An，An-1，…，A乘该式，即得k0=k1=…=kn=0，故这n+1个向量线性无关，这显然与n+1个n维向量必线性相关矛盾，所以Anx=0，于是可知Anx=0与An+1x=0同解，故R(An)=R(An+1)。知识点解析：暂无解析36、设四元线性方程组(1)为又已知齐次线性方程组(2)的通解为k1(0，1，1，0)T+k2(-1，2，2，1)T。(Ⅰ)求方程组(1)的基础解系；(Ⅱ)问线性方程组(1)，(2)是否有非零公共解?若有，则求出所有非零公共解；若没有，说明理由。标准答案：(Ⅰ)方程组(1)的同解方程组为基础解系为ξ1=，ξ2=，故通解为C1(0，0，1，0)T+C2(-1，1，0，1)T，其中C1、C2为任意常数。(Ⅱ)方令C1(0，0，1，0)+C2(-1，1，0，1)=k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)。则有(k1，k2，C1，C2为未知数)。系数矩阵那么同解方程组为令k=C2，则方程组的解为k(-1，1，1，1)T，即方程组(1)、(2)的所有非零公共解是k(-1，1，1，1)T，k≠0。知识点解析：暂无解析37、已知A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解。标准答案：由方程组Ax=β的通解表达式可知R(A)=R(α1，α2，α3，α4)=4-1=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1-2α2+4α3=0，则B=(α3，α2，α1，β-α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，且α1，α2，α3线性相关，故R(B)=2。又因为(α3，α2，α1，β-α4)=3α1+5α2-α3，故知(-1，5，3，0)T是方程组Bx=3α1+5α2-α3的一个解。(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=4α3-2α2+α1=0，(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=α1-2α2+4α3=0，所以(4，-2，1，0)T，(2，-4,0，1)T是Bx=0的两个线性无关的解。故Bx=3α1+5α2-α3的通解为(-1，5，3，0)T+k1(4，-2，1，0)T+k2(2，-4，0，1)T其中k1，k2是任意常数。知识点解析：暂无解析38、已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。标准答案：(Ⅰ)设α1，α2，α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中则有A(α1-α2)=0，A(α1-α3)=0，即α1-α2，α1-α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α1，α2，α3线性相关，与假设矛盾。)所以有n-R(A)≥2，即4-R(A)≥2R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式=-1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。(Ⅱ)对矩阵A作初等行度换，即又R(A)=2，则对原方程组的增广矩阵作初等行变换，故原方程组的同解方程组为选x3，x4为自由变量，则故所求通解为x=k1+k2，k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析39、已知线性方程组有解(1，-1，1，-1)T。(Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解；(Ⅱ)写出x=x时的全部解。标准答案：将(1，-1，1，-1)T代入第1个方程，可得λ=μ。(Ⅰ)已知方程组的一个特解为(1，-1，1，-1)T，因此只需求出导出组的基础解系即可写出通解。对系数矩阵作初等行变换：如果2λ-1=0，则于是得(1，-3，1，0)T和(，-1，0，1)T为导出组的基础解系，因此通解为(1，-1，1，-1)T+c1(1，-3，1，0)T+c2(，-1，0，1)T，c1，c2是任意常数。如果2λ-1≠0，则即得(-1，，1)T为导出组的基础解系，此时通解为(1，-1，1，-1)T+c(-1，，1)T，c是任意常数。(Ⅱ)当2λ-1=0时，由已知条件x2=x3及(Ⅰ)中结论，则有-1-3c1-c2=1+c1，从而c2=-2-4c1，此时通解为(2，1，1，-3)T+c1(3，1，1，-4)T。当2λ-1≠0时，由(Ⅰ)中结果，并结合已知条件x2=x3，则有得c=2，此时通解为(-1，0，0，1)T。知识点解析：暂无解析40、已知α1=(1，2，1，1，1)T，α2=(1，-1，1，0，1)T，α3=(2，1，2，1，2)T是齐次线性方程组Ax=0的解，且R(A)=3，试写出该齐次线性方程组Ax=0。标准答案：由于α1，α2，α3是5维列向量，故方程组Ax=0有5个变量，而R(A)=3，因此Ax=0的基础解系包含5-R(A)=2个线性无关的解向量。又显然α1，α2线性无关(对应元素不成比例)，故可作为Ax=0的基础解系。由(α1，α2)=(α1-α2，α2)=可得Ax=0的同解方程组为(x4，x5为自由变量)知识点解析：暂无解析考研数学一（线性方程组）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、AX＝0和BX＝0都是n元方程组，下列断言正确的是()．A、AX＝0和BX＝0同解r(A)＝r(B)．B、AX＝0的解都是BX＝0的解(A)≤r(B)．C、AX＝0的解都是BX＝0的解(A)≥r(B)．D、r(A)≥r(B)AX＝0的解都是BX＝0的解．标准答案：C知识点解析：AX＝0和BX＝0同解，推出(A)＝(B)，但r(A)＝r(B)推不出AX＝0和BX＝0同解，排除选项A．AX＝0的解郜是BX＝0的解，则AX＝00的解集合＝0的解集合，于是n－r(A)≤n－r(B)，即r(A)≥r(B)．选项C对，选项B不对．n－r(A)≤n－r(B)推不AX＝0的解集合BX＝0的解集合，选项D不对．2、设A是m×n矩阵，r(A)＝r．则方程组AX＝βA、在r＝m时有解．B、在m＝n时有唯一解．C、r＜n时有无穷多解．D、在r＝s时有唯一解．标准答案：A知识点解析：暂无解析3、的一个基础解系为A、(0，－1，0，2)T．B、(0，－1，0，2)T，(0．1／2，0，1)T．C、(1，0，－1，0)T，(－2，0，2，0)T．D、(0，－1，0，2)T，(1，0，－1，0)T．标准答案：D知识点解析：用基础解系的条件来衡量4个选项．先看包含解的个数．因为为nα4，系数矩阵为其秩为2，所以基础解系应该包禽2个解．排除选项A．再看无关性选项C中的2个向量相关，不是基础解系，也排除．选项B和D都是两个无关的向量，就看它们是不是解了．(0，－1，0，2)T在这两个选项里都出现，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，－1，0)T(其中一个就可以)．如检查(1，0，－1，0)T是解．说明选项D正确．或者检查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除B．4、当A＝()时，(0，1，－1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX＝0的基础解系．A、(－2，1，1)．B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析5、A＝，r(A)＝2，则()是A*X＝0的基础解系．A、(1，－1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，－1，0)T．C、(1，－1，0)T，(2，－2，a)T．D、(2，－2，a)T，(3，－3，6)T．标准答案：A知识点解析：A*X＝0的基础解系应该包含n－1＝2个解，选项A满足．(1，－1，0)T，(0，0，1)T显然线性无关，只要再说明它们都是A*X＝0的解．A*A＝｜A｜E＝0，于是A的3个列向量(1，－1，0)T，(2，－2，a)T，(3，－3，b)T都是A*X＝0的解．由于r(A)＝2，a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T＝(2，－2，a)T－2(1，－1，0)T也是A*X＝0的解．于是(0，0，1)T＝(0，0，a)T／a也是解．6、线性方程组的通解可以表示为A、(1，－1，0，0)T＋c(0，1，－1，0)T，c任意．B、(0，1，1，1)T＋c1(0，－2，2，0)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．C、(1，－2，1，0)T＋c1(－1，2，1，1)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．D、(1，－1，0，0)T＋c1(1，－2，1，0)T＋c2(0，1，－1，0)T，c1，c2任意．标准答案：C知识点解析：用排除法．非齐次方程组AX＝β的通解是它的一个特解加上导出组AX＝0的一个基础解系的线性组合．因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解．于是可从这两个方面来检查．先看导出组的基础解系．方程组的未知数个数n＝4，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系应该包含2个解．选项A中只一个，可排除．选项B中用(0，－2，2，0)T，(0，1，－1，0)T为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除．选项C和D都有(1，－2，1，0)T，但是选项C用它作为特解，而选项D用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对．只要检查(1，－2，1，0)T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除选项D．7、设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX＝β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX＝0的一个基础解系，则它的通解为()A、k1η1＋k2η2(ξ1－ξ2)／2．B、k1η1＋k2(η1－η2)＋(ξ1＋ξ2)／2．C、k1η1＋k2(ξ1－ξ2)＋(ξ1－ξ2)／2．D、k1η1＋k2(ξ1－ξ2)＋(ξ1＋ξ2)／2．标准答案：B知识点解析：先看特解．(ξ1－ξ2)／2是AX＝0的解，不是AX＝β的解，从而选项A，C都不对．(ξ1＋ξ2)／2是AX＝β的解．再看导出组的基础解系．在选项B中，η1，η1－η2是AX＝0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它们也线性无关，从而可作出AX＝0的基础解系，选项B正确．在选项D中，虽然η1，ξ1－ξ2都是AX＝0的解，但不知道它们是否线性无关，因此选项D作为一般性结论是不对的．8、设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX＝β的通解为()A、(η2＋η3)／2＋k1(η2－η1)．B、(η2－η3)／2＋k2(η2－η1)．C、(η2＋η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．D、(η2－η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．标准答案：C知识点解析：选项B和D都用(η2－η3)／2为特解，但是(η2－η3)／2不是原方程组解，因此选项B和D都排除．选项A和C的区别在于导出组AX＝0的基础解系上，选项A只用一个向量，而选项C用了两个：(η3－η1)，(η2－η1)．由于η1，η2，η3线性无关，可推出(η3－η1)，(η2－η1)线性无关，并且它们都是AX＝0的解．则AX＝0的解集合的秩不小于2，从而排除A．9、设线性方程组AX＝β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)＝n－2，n是未知数个数，则()正确．A、对任何数c1，c2，c3，c1γ1＋c2γ2＋c3γ3都是AX＝β的解；B、2γ1－3γ2＋γ3是导出组AX＝0的解；C、2γ1，γ2，γ3线性相关；D、γ1－γ2，γ2－γ3是AX＝0的基础解系．标准答案：B知识点解析：Aγi＝β，因此A(2γ1－3γ2＋γ3)＝2β－3β＋β＝0，即2γ1－3γ2＋γ3是AX＝0的解，选项B正确．c1γ1＋c2γ2＋c3γ3都是AX＝β的解c1＋c2＋c3＝1，选项A缺少此条件．当r(A)＝n－2时，AX＝0的基础解系包含两个解，此时AX＝β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．选项C不成立．γ1－γ2，γ2－γ3都是AX＝0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此选项D不成立．二、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)10、已知(1，a，2)T，(－1，4，b)T构成齐次线性方程组的一个耩础解系，求a，b，s，t．标准答案：此齐次线性方程组的基础解系包含2个解，未知数有3个，则系数矩阵的秩为1，立刻得到s＝2，t＝－1．于是方程组为把(1，a，2)T，(－1，4，b)T代入，得a＝2，b＝1．知识点解析：暂无解析11、，求此齐次方程组的一个基础解系和通解．标准答案：①用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为2，小于未知数个数5，此齐次方程组有非零解．进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：②选定自由未知量χ2，χ4，χ5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组：③对自由未知量赋值，决定基础解系．一般做法为让自由未知量轮流地取值1(其他未知量取值0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为：η1＝(－2／3，1，0，0，0)T，η2＝(－1／3，0，0，1，0)T，η3(－2／9，0，－1／3，0，1)T，④写出通解c1η1＋c2η2＋c3η3，其中c1，c2，c3可取任意数．知识点解析：暂无解析12、讨论p，t为何值时，方程组无解?有解?有解时写出全部解．标准答案：①用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当t≠－2时，有r(A｜β)＞r(A)，此时方程组无解．当t＝－2时(p任意)，r(A｜β)＝r(A)≤3＜4，此时有无穷多解．②当t＝－2，p＝－8时，得同解方程组令χ3＝χ4＝0，得一特解(－1，1，0，0)T．导出组有同解方程组对χ3，χ4赋值得基础解系(4，－2，1，0)T，(－1，－2，0，1)T．此时全部解为(－1，1，0，0)T＋c1(4，－2，1，0)T＋c2(－1，－2，0，1)T，其中c1，c2可取任何数．③当t＝－2，p≠－8时，得同解方程组令χ4＝0，得一特解(－1，1，0，，0)T．导出组有同解方程组令χ4＝1，得基础解系(－1，－2，0，1)T．此时全部解为(－1，1，0，0)T＋c(－1，－2，0，1)T，其中c可取任何数．知识点解析：暂无解析13、，已知线性方程组AX＝β存在两个不同的解．①求λ，a．②求AX＝β的通解．标准答案：①AX＝β存在两个不同的解(即有无穷多个解)r(A｜β)＝r(A)＜3．用矩阵消元法：则1－λ2＝a－λ＋1＝0，而λ－1≠0(否则第二个方程为0＝1，无解)．得λ＝－1，a＝－2．得AX＝β的同解方程组求出通解(3／2，－1／2，0)T＋c(1，0，1)T，c可取任意数．知识点解析：暂无解析14、设A＝，β＝①计算行列式｜A｜．②实数a为什么值时方程组AX＝β有无穷多解?在此时求通解．标准答案：把增广矩阵用第3类初等行变换化为阶梯型：①｜A｜＝｜B｜＝1－a4．②AX＝β有无穷多解的条件是1－a4＝－a－a2＝0，即a＝－1．此时求出通解(0，－1，0，0)T＋c(1，1，1，1)T，c为任意常数．知识点解析：暂无解析15、设n＞1，n元齐次方程组AX＝0的系数矩阵为(1)讨论a为什么数时AX＝0有非零解?(2)在有非零解时求通解．标准答案：(1)用矩阵消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下顺移．再第i行减第一行的i倍(i＞0)a＝0时r(A)＝1，有非零解．下面设a≠0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第2至n各行都除以a，然后把第1行减下面各行后换到最下面，得于是当a＝－n(n＋1)／2时r(A)＝n－1，有非零解．(2)n＝0时AX＝0与χ1＋χ2＋…＋χn＝0同解，通解为c1(1，－1，0，…，0)T＋c2(1，0，－1，…，0)T＋…＋cn-1(1，0，0，…，－1)T，ci任意．a＝－n(n＋1)／2时，通解为c(1，2，3，…，n)T，c任意．知识点解析：暂无解析16、已知线性方程组有解(1，－1，1，－1)T．(1)用导出组的基础解系表示通解；(2)写出χ2＝χ3的全部解．标准答案：(1，－1，1，－1)T代入方程组，可得到λ＝μ，但是不能求得它们的值．(1)此方程组已有了特解(1，－1，1，－1)T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解．对系数矩阵作初等行变换：①如果2λ－1＝0，则(1，－3，1，0)T和(－1／2，－1，0，1)T为导出组的基础解系，通解为(1，－1，1，－1)T＋c1(1，－3，1，0)T＋c2(－1／2，－1，0，1)T，c1，c2任意．②如果2λ－1≠0，则用2λ－1除B的第三行：(－1，1／2，－1／2，1)T为导出组的基础解系，通解为(1，－1，1，－1)T＋c(－1，1／2，－1／2，1)T，c任意．(2)当2λ－1＝0时，通解的χ2＝－1－3c1－c2，χ3＝1＋c1，由于χ2＝χ3，则有－1－3c1－c3＝1＋c1，从而c2＝－2－4c1，因此满足χ2＝χ3的通解为(2，1，1，－3)T＋c1(3，1，1，－4)T．当2λ－1≠0时，－1＋c／2＝1－c／2，得c＝2，此时解为(－1，0，0，1)T．知识点解析：暂无解析17、已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2．(2)求a，b的值和方程组的通解．标准答案：(1)设α1，α2，α3是AX＝β的3个线性无关的解，则，α2－α1，α3－α1是AX＝0的2个线性无关的解．于是AX＝0的解集合的秩不小于2，即4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为A的行向量是两两线性无关的，所以r(A)≥2．两个不等式说明了r(A)＝2．由r(A)＝2，得出a＝2，b＝－3．代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵：得同解方程组求出一个特解(2，－3，0，0)T和AX＝0的基础解系(－2，1，1，0)T，(4，－5，0，1)T．得到方程组的通解：(2，－3，0，0)T＋c1(－2，1，1，0)T＋c2(4，－5，0，1)T，c1，c2，任意．知识点解析：暂无解析18、已知ξ＝(0，1，0)T是方程组的解，求通解．标准答案：把ξ＝(0，1，0)T代入方程组可求得b＝1，d＝3，但是口和c不能确定．于是要对它们的取值对解的影响进行讨论．记系数矩阵为A．看r(A)，一定有r(A)≥2(因为1，2两行无关)．则当a＋c≠3时r(A)＝3，则方程组有唯一解ξ．则当a＋c＝3时r(A)＝2，则方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组求得(1，－1，1)T构成基础解系．方程组的通解为：(0，1，0)T＋c(1，－1，1)T，c任意．知识点解析：暂无解析19、设线性方程组为(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．(2)设a1＝a3，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．标准答案：(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于＝(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3)．于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解．如果a1，a2，a3，a4不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程．①如果有3个不同，不妨设a1，a2，a3两两不同，a4等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a2－a1)(a3－a1)(a3－a2)≠0，因此方程组唯一解．②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解．(2)此时第3．4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，它们的差(－2，0，2)T是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵的秩为2(注意k≠0)．于是(－2，0，2)T构成导出组的基础解系，通解为：(－1，1．1)T＋c(－2．0．2)T，c可取任意常数．知识点解析：暂无解析20、设非齐次方程组AX＝β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1(1，2，3，4)T，ξ2＋ξ3＝(0，1，2，3)T，r标准答案：ξ1是AX＝β的一个特解，只用再找AX＝0的基础解系．从解是4维向量知，AX＝β的未知数个数n＝4．r(A)＝3，于是，它的AX＝0的基础解系由1个非零解构成．由解的性质，2ξ1(ξ2＋ξ3)＝(2，3，4，5)T是AX＝0的解．于是，AX＝β的通解为(1，2，3，4)T＋c(2，3，4，5)T，c可取任何常数．知识点解析：暂无解析21、已知4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3．又设β＝α1＋α2＋α3＋α4，求AX＝β的通解．标准答案：把α1＝2α2－α3和β＝α1＋α2＋α3＋α4代入χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝β，得χ1(2α2－α3)＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝2α2－α3＋α2＋α3＋α4，整理得(2χ1＋χ2)α2＋(－χ1＋χ3)α3＋χ4α4＝3α2＋α4，由于α2，α3，α4线性无关，得同解方程组解此方程组得通解(0，3，0，1)T＋c(1，一2，I，0)T，c可取任意数．知识点解析：暂无解析22、已知3阶矩阵A的第一行为(a，b，c)，a，b，c不全为0，矩阵B＝，并且AB＝0，求齐次线性方程组AX＝0的通解．标准答案：由于AB＝0，r(A)＋r(B)≤3，并且B的3个列向量都是AX＝0的解．(1)若k≠9，则r(B)＝2，r(A)＝1，AX＝0的基础解系应该包含两个解．(1，2，3)T和(3，6，k)T都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为：c1(1，2，3)T＋c2(3，6，k)T，其中c1，c2任意．(2)如果k＝9，则r(B)＝1，r(A)＝1或2．①r(A)＝2，则AX＝0的基础解系应该包含一个解，(1，2，3)T构成基础解系，通解为：c(1，2，3)T，其中c任意．②r(A)＝1，则AX＝0的基础解系包含两个解，而此时B的3个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系．由r(A)＝1，A的行向量组的秩为1，第一个行向量(a，b，c)(≠0!)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而AX＝0和方程aχ1＋bχ2＋cχ3＝0同解．由于(1，2，3)T是解，有a＋2b＋3c＝0，则a，b不都为0(否则a，b，c都为0)，于是(b，－a，0)T也是aχ1＋bχ2＋cχ3＝0的一个非零解，它和(1，2，3)T线性无关，一起构成基础解系，通解为：c1(1，2，3)T＋c2(b，－a，0)T，其中c1，c2任意．知识点解析：暂无解析23、设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．标准答案：由题意知，(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解，因此有c1η1＋c2η2的形式．它又满足(Ⅰ)，由此可决定c1与c2应该满足的条件．具体计算过程：将c1η1＋c2η2＝(－c2，c1＋2c2，c1＋2c2，c2)T，代入(Ⅰ)，得到解出c1＋c2＝0．即当c1＋c2＝0时c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解．于是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为：c(η1－η2)，其中c可取任意常数．设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齐次线性方程组，已知ξ1＝(1，0，1，1)T，ξ2＝(－1，0，1，0)T，ξ3＝(0，1，1，0)T。是(Ⅰ)的一个基础解系，η1＝(0，1，0，1)T，η2＝(1，1，－1，0)T是(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．知识点解析：暂无解析24、设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组，(Ⅰ)有通解ξ1＋c1η1＋c2ξ2，ξ1＝(1，0，1)，η1＝(1，1，0)，η2＝(1，2，1)；(Ⅱ)有通解ξ2＋cη，ξ2＝(0，1，2)，η＝(1，1，2)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．标准答案：公共解必须是(Ⅱ)的解，有ξ2＋cη的形式，它又是(Ⅰ)的解，从而存在c1，c2使得ξ2＋cη＝ξ1＋c1η1＋c2η2，于是ξ2＋cη－ξ1可用η1，η2线性表示，即r(η1，η2，ξ2＋cη－ξ1)＝r(η1，η2)＝2．得到c＝1／2，从而(Ⅰ)和(Ⅱ)有一个公共解ξ2＋η／2＝(1／2，3／2，3)．知识点解析：暂无解析25、设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2(－1，2，4，a＋8)T．(1)求(Ⅰ)的一个基础解系；(2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．标准答案：(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到(Ⅰ)的同解方程组对自由未知量χ3，χ4赋值，得(Ⅰ)的基础解系γ1＝(5，－3，1，0)T，γ3＝(－3，2，0，1)T．(2)(Ⅱ)的通解为c1η1＋c2η2＝(2c1－c2，－c1＋2c2，(a＋2)c1＋4c2，c1＋(a＋8)c2)T．将它代入(Ⅰ)，求出为使c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件为：于是当a＋1≠0时，必须c1＝c2＝0，即此时公共解只有零解．当a＋1＝0时，对任何c1，c2，c1η1＋c2η2都是公共解．从而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1＋c2η2，c1，c2不全为0．知识点解析：暂无解析26、已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程组的通解．标准答案：求出(Ⅰ)的解，代入χ1＋χ2＋χ3＝0，决定a．用矩阵消元法，设系数矩阵为A，当a＝0时，(Ⅰ)和方程χ1＋χ2＋χ4＝0同解，以χ2，χ3，χ4为自由未知量求出一个基础解系η1＝(－1，1，0，0)T，η2＝(0，0，1，0)T，η3＝(－1，0，0，1)T．其中η2，η3都不是χ1＋χ2＋χ3＝0的解，因此a＝0不合要求．当a≠0时．继续对B进行初等行变换以χ4为自由未知量，得基础解系η＝(a－1，－a，，1)T．代入χ1＋χ2＋χ3＝0，(a－1)＋(－a)＋＝0，求得a＝1／2．即当a＝1／2时，χ1＋χ2＋χ3＝0，从而(Ⅰ)的解都满足χ1＋χ2＋χ3＝0．当a≠1／2时，η不满足χ1＋χ2＋χ3＝0．得a＝1／2为所求．此时，方程组的通解为c(－1／2，－1／2，1，1)T，c可取任何常数．知识点解析：暂无解析27、已知两个线性方程组同解，求m，n，t．标准答案：m，n，t分别在方程组(Ⅰ)的各方程中，(Ⅱ)的系数及常数项中无参数，可先求出(Ⅱ)的一个解，代入(Ⅰ)的方程，可分别求出m，n，t．求(Ⅱ)的一个特解得(－2，－4，－5，0)T是(Ⅱ)的一个解．将它代入(Ⅰ)的方程：得到m＝2，n＝4，t＝6．知识点解析：暂无解析28、已知齐次方程组同解，求a，b，c．标准答案：这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为2．由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求a，b，c．于是a＝2＝0，c＝b－1＝0，c－b2－1＝0．则a＝2，b，c有两组解①b＝0，c＝1；②b＝1，c＝2．可是b＝0，c＝1时右边方程组系数矩阵的秩为1，因此两个方程组不会同解，这组解应该舍去．得；a＝2，b＝1，c＝2．知识点解析：暂无解析29、设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β1＝(b11，b12，…，b1×2n)T，β＝(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn＝(bn1，bn2，…，bn×2n)T．证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．标准答案：分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵．(Ⅰ)的未知量有2n个，它的基础解系含有n个解，则r(A)＝n，即A的行向量组α1，α2，…，αn线性无关．由于β1，…，βn都是(Ⅰ)的解，有ABT＝(Aβ1，Aβ2，…，Aβn)＝0，转置得BAT＝0，即BαiT＝0，i＝1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n个线性无关的解．又因为r(B)＝n，(Ⅱ)也有2n个未知量，2n－r(B)＝n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一个基础解系．从而(Ⅱ)的通解为c1α1＋c2α2＋…＋cnαn，c1，c2，…，cn可取任意数．知识点解析：暂无解析30、构造齐次方程组，使得η1＝(1，1，0，－1)T，η2＝(0，2，1，1)T构成它的基础解系．标准答案：所求AX＝0要满足：4维向量η是AX＝0的解η可用η1，η2线性表示．设η＝(c1，c2，c3，c4)T，于是η可用η1，η2线性表示c2－c1－2c3＝0，且c4＋c1－c3＝0η是齐次方程组的解．这个齐次方程组满足要求．知识点解析：暂无解析31、设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX＝0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．标准答案：用定义法证．设c1Aβ1＋c2Aβ2＋…＋ctAβt＝0．则A(cβ＋cβ＋…＋cβ)＝0即c1β1＋c2β2＋…＋ctβt．是AX＝0的一个解．于是它可以用α1，α2，…，αs线性表示：c1β1＋c2β2＋…＋ctβt＝t1α1＋t2α2＋…＋tsαs，再由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，得所有系数都为0．知识点解析：暂无解析32、设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．标准答案：因为r(A)＝n－3，所以AX＝0的基础解系包含3个解．设γ1，γ2，γ3是AX＝0的一个基础解系，则条件说明γ1，γ2，γ3可以用η1，η2，η3线性表示．于是有下面的关于秩的关系式：3＝(γ1，γ2，γ3)≤r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)≤3，从而r(γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)＝r(η1，η2，η3)，这说明η1，η2，η3和γ1，γ2，γ3等价，从而η1，η2，η3也都是AX＝0的解；又r(η1，η2，η3)＝3，即η1，η2，η3线性无关，因此是AX＝0的一个基础解系．知识点解析：暂无解析33、n元非齐次线性方程组AX＝β如果有解，则解集合的秩为＝n－r(A)＋1．标准答案：记s＝n－r(A)，则要说明两点．(1)存在AX＝β的s＋1个线性无关的解．(2)AX＝β的s＋2个解一定线性相关．(1)设ξ为(Ⅰ)的一个解，η1，η2，…，ηs为导出组的基础解系，则ξ不能用η1，η2，…，ηs线性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs线性无关．ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1个解，并且它们等价于ξ，η1，η2，…，ηs．于是r(ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs)＝r(ξ，η1，η2，…，ηs)＝s＋1，因此ξ，ξ＋η1，ξ＋η2，…，ξ＋ηs是(Ⅰ)的s＋1个线性无关的解．(2)AX＝β的任何s＋2个解都可用ξ，η1，η2，…，ηS这s＋1向量线性表示，因此一定线性相关．知识点解析：暂无解析34、设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a，b为何值时，(1)β不能用α1，α2，α3线性表示；(2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式；(3)β能用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．标准答案：记A＝(α1，α2，α3)，则问题化为线性方程组AX＝β解的情形的讨论及求解问题了．(1)a＝0(b任意)时方程组AX＝β无解，β不能用α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)＝r(A)＝3，方程组AX＝β有唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一表示．AX＝β的解为(，－1，0)T，于是β＝．(3)当a＝b≠0时r(A｜β)＝r(a)＝2，AX＝β有无穷多解，即β可用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一．AX＝β有特解(，0)T，而(0，1，1)T构成AX＝0的基础解系，AX＝β的通解为(，0)T＋c(0，1，1)T，c任意．即β＝α2＋cα3，c任意．知识点解析：暂无解析35、已知平面上三条直线的方程为l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．标准答案：l1，l2，l3交于一点即方程组有唯一解，即系数矩阵的秩＝增广矩阵的秩＝2．f记则方程组系数矩阵的秩＝r(a)，增广矩阵的秩＝r(B)，于是l1，12，13交于一点r(A)＝r(B)＝2．必要性：由于r(B)＝2，则｜B｜＝0．计算出｜B｜＝－(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝－(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．a，b，c不会都相等(否则r(A)＝1)，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0．得a＋b＋c＝0．充分性：当a＋b＋c＝0时，｜B｜＝0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再证r(a)＝2，就可得到r(a)＝r(B)＝2．用反证法．若r(a)＜2，则A的两个列向量线性相关．不妨设第2列是第1列的A倍，则b＝λa，c＝λb，a＝λc．于是λ3a＝a，λ3b＝b，λ3c＝c，由于a，b，c不能都为0，得λ3＝1，即λ＝1，于是a＝b＝c．再由a＋b＋c＝0，得a＝b＝c＝0，这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾．知识点解析：暂无解析36、设求①a，b取什么值时存在矩阵X，满足AX－XA＝B?②求满足AX－XA＝B的矩阵X的一般形式．标准答案：X一定是2阶矩阵．AX－XA＝B即χ1，χ2，χ3，χ4是线性方程组：的解．得a＝－3，b＝－2．②把a＝－3，b＝－2代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵解得通解为(－3，－2，0，0)T＋c1(1，1，1，0)T＋c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则满足AX－XA＝B的矩阵X的一般形式为知识点解析：暂无解析37、设(1)求方程组AX＝0的一个基础解系．(2)a，b，c为什么数时AX＝B有解?(3)此时求满足AX＝B的通解．标准答案：对AX＝B的增广矩阵(A｜B)作初等行变换化为阶梯形矩阵：得到AX＝0的同解方程组：求得基础解系：(－2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T．(2)AX＝B有解r(A｜B)＝r(A)＝2，得a＝b，b＝－3，c＝3．(3)用基本矩阵方程．建立基本矩阵方程C0X＝D0，其中知识点解析：暂无解析考研数学一（线性方程组）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0()A、当n＞m时，仅有零解。B、当n＞m时，必有非零解。C、当m＞n时，仅有零解。D、当m＞n时，必有非零解。标准答案：D知识点解析：因为AB是m阶矩阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，D选项正确，故选D。2、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()A、r=m时，方程组Ax=b有解。B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。D、r＜n时，方程组Ax=b有无穷多个解。标准答案：A知识点解析：对于选项A，r(A)=r=m。由于≥m=r，且≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有，此时方程组有解，故选A。由B、C、D三项的条件均不能推得“两秩”相等。3、已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1—α2，α1+α2—2α3，(α2—α1)，α1—3α2+2α3中，是方程组Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α2—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b—2b=0，A(α1—3α2+2α3)=Aα1—3Aα2+2Aα3=b—3b+2b=0，即α1—α2，α1+α2—2α3，(α2—α1)，α1—3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。故选A。4、已知α1=(1，1，—1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，—1，3)TB、(2，1，—3)TC、(2，2，—5)TD、(2，—2，6)T标准答案：B知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此A、D两项均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，也即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，—5)T不能由α1，α2线性表示，故选B。5、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系()A、不存在。B、仅含一个非零解向量。C、含有两个线性无关的解向量。D、含有三个线性无关的解向量。标准答案：B知识点解析：由A*≠0可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n—1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n—1。又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)=n—1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B。6、设A是秩为n—1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()A、α1+α2B、kα1C、k(α1+α2)D、k(α1—α2)标准答案：D知识点解析：因为A是秩为n—1的n阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非零向量。又因为α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以α1—α2必为方程组Ax=0的一个非零解，即α1—α2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1—α2)，故选D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以A选项不正确；若α1=0，则B选项不正确；若α1=—α2≠0，则α1+α2=0，此时C选项不正确。7、已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2—α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由α1+2α2—α3=β知即γ1=(1，2，—1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则η1=γ1—γ2=(0，1，—2，—1)T，η2=γ3—γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，故选B。8、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。标准答案：B知识点解析：由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除