考研数学一（高等数学）模拟试卷5（共247题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷5（共9套）（共247题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设r=(x，y，z)，r=｜r｜，r≠0时f(r)有连续的导数，求下列各量：(Ⅰ)rot[f(r)r]；(Ⅱ)divgradf(r)(r≠0时f(r)有二阶连续导数)．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)直接由梯度与散度的计算公式得知识点解析：暂无解析2、求I=∮C+，其中C+是以A(1，1)，B(2，2)和E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线．标准答案：记I=∮C+Pdx+Qdy，则记D为三角形区域ABE，则直接由格林公式得用先y后x的积分顺序，D={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤一x+4}，则知识点解析：直接用格林公式∮CPdx+Qdy=dxdy．求左端的曲线积分转化为求右端的二重积分，若这个二重积分容易计算则达目的．D是闭曲线C所围成的区域(见图10．4)．3、设曲线L：x2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：I=∫L—ysinx2dx+xcosy2dy＜．标准答案：L是圆周：，它围成区域D．用格林公式→其中D关于直线y=x对称，cosx2dσ．知识点解析：暂无解析4、设φ(y)有连续导数，L为半圆周：(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分I=∫L[φ(y)cosx—y]dx+[φ’(y)sinx一1]dy。标准答案：若要用格林公式求非闭曲线L上的线积分∫LPdx+Qdy时，先要添加定向辅助线L1使L∪L1构成闭曲线，所围区域为D，若是正向边界，则．若是负向边界，则求∫LPdx+Qdy转化为求辅助线L1上的线积分和一个二重积分，如果它们都容易计算的话，则达目的．如图10．5所示，L是非闭曲线，再加直线段，使它们构成沿顺时针方向的闭曲线，并把它们围成的区域记为D．L与构成D的负向边界．记P(x，y)=φ(y)cosx一y，Q(x，y)=φ’(y)sinx—1，则因此，在D上用格林公式得知识点解析：暂无解析5、求I=，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．标准答案：若R＜1(见图10．6)，在L所围的有界闭区域D上，P，Q有连续的一阶偏导数且，则若R＞1(见图10．7)，在L所围的有界闭区域D内含点(一1，0)，P，Q在此点无定义，不能在D上用格林公式．若以(一1，0)为圆心，ε＞0充分小为半径作圆周Cε((x+1)2+y2=ε2)，使得Cε在L所围的圆内．在L与Cε所围的区域Dε上利用格林公式得其中L与Cε均是逆时针方向．因此I=∫LPdx+Qdy=一ydx+(x+1)dy=2dxdy=2π(在Cε所围区域上用格林公式)．知识点解析：暂无解析6、求曲面积分I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中s是长方体Ω：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c的表面外侧．标准答案：直接用高斯公式I=(x+y+z)dxdydz．化三重积分为累次积分：记长方体分别在yz平面．zx平面与xx平面上的投影区域为Dyz，Dzx，Dxy，则知识点解析：暂无解析7、求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．标准答案：添加一块有向曲面S：z=0(x2+y2≤a2)，法向量朝下，S与∑所围区域为Ω(见图10．8)，则由高斯公式得(这里Ω边界取外法向，S在xy平面上投影区域D：x2+y2≤a2，z=0，S与yz平面，zx平面均垂直，Qdzdx=0)．知识点解析：首先(x，y，z)∈∑，x2+y2+z2=a2，被积函数简化为直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些．这里(z2+x2+y2)相对于半球域来说较简单，若用高斯公式求曲面积分I则较为简单．因为∑不是封闭曲面，所以要添加辅助曲面．8、求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10．9)．标准答案：若写出L的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算．记L所围的球面部分为∑，按L的方向与右手法则，取∑的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得I=∫L(2bx一x2)dx+(2bx一y2)dy+2axdz注意，∑关于zx平面对称，被积函数1对y为偶函数，于是dzdx=0．记∑在xy平面的投影区域为Dxy：(x一a)2+y2≤a2．因此I=2bdxdy=2bπa2．知识点解析：暂无解析9、设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问：(Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关；(Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光滑闭曲线C0使得Pdx+Qdy=0，∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关．标准答案：(Ⅰ)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫LPdx+Qdy在D上与路径无关．例如：积分，则即在全平面除原点外P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且．但若取L为C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则[一sinθ(cosθ)，+cosθ(sinθ)’]dθ=2π≠0，因此，该积分不是与路径无关．(Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关．按挖去奇点的思路，我们作以M0为心，ε＞0为半径的圆周Cε，使Cε在C0所围区域内．Cε和C0所围区域记为Dε(见图10．10)．在Dε上用格林公式得其中C0，Cε均是逆时针方向．所以Pdx+Qdy=0．因此，ε＞0充分小，只要Cε在C0所围区域内，均有Pdx+Qdy=0．①现在我们可证：对D内任意分段光滑闭曲线C，均有∮CPdx+Qdy=0．②若C不包围M0，在C所围的区域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包围M0点，则可作以M0为心，ε＞0为半径的小圆周Cε，使得Cε在C所围区域内且①成立．在C与Cε所围的区域上用格林公式同理可证∫CPdx+Qdy=Pdx+Qdy=0．知识点解析：暂无解析10、判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关：(Ⅰ)，区域D：x2+y2＞0．标准答案：(Ⅰ)这是单连通区域，只需验证是否成立．依题设有则该积分在D上与路径无关．(Ⅱ)这里D：R2＼{(0，0)}是非单连通区域，由(x，y)≠(0，0))得不出积分与路径无关．但可以计算(在x2+y2≤1上用格林公式)因此，该积分与路径无关．知识点解析：暂无解析11、设(P(x，y)，Q(x，y))=，n为常数，问∫LPdx+Qdy在区域D={(x，y)｜(x，y)∈R2，(x，y)≠(0，0)}是否与路径无关．标准答案：→一x2一y2+2ny2=x2+y2—2nx2→(1一n)(x2+y2)=0→n=1．因此，当n≠1时积分不是与路径无关．当n=1时虽有(x，y)∈D)，但D不是单连通区域，还需进一步讨论．取C为以(0，0)为圆心的单位圆周，逆时针方向，则所以积分也不是与路径无关．知识点解析：暂无解析12、设Pdx+Qdy=，求u(x，y)，使du=Pdx+Qdy．标准答案：特殊路径积分法．先判断积分是否与路径无关，由(x，y)∈R2)，可知在全平面积分∫LPdx+Qdy与路径无关．M(x，y)=∫(0，0)(x，y)Pdx+Qdy=∫0xP(x，0)dx+∫0yQ(x，y)dy，这里取折线OAM为积分路径，0(0，0)，A(x，0)，M(x，y)(见图10．11)．代入P，Q表达式得这是一个原函数，全体原函数是u(x，y)=+C．知识点解析：暂无解析13、设f(s)在(一∞，+∞)内有连续的导数，计算I=[y2f(xy)，)一1]dy，其中L为从点A(3，)到B(1，2)的直线段．标准答案：先验算积分是否与路径无关．若是，便可选择适当的积分路径，使积分化简．令P(x，y)=[1+y2f(xy)]，Q(x，y)=[y2f(xy)一1]，易验证：这是单连通区域，故积分与路径无关，可以选择从A到B的任何一条位于x轴上方的曲线作为积分路径．为了简化计算．我们选择积分路径为折线ACB．其中C(1，)，见图10．12．注意到，，x从3到1，dy=0；：x=1，y从2／3到2，dx=0．知识点解析：暂无解析14、计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为圆心，R为半径的圆周(R≠1)，取逆时针方向．标准答案：设R＜1，则I=∫LPdx+Qdy=dxdy=0．设R＞1，取ε＞0充分小使椭圆Cε(取逆时针方向)4x2+y2=ε2含于L所围区域D内，记L与Cε围成区域为Dε，在Dε上用格林公式得知识点解析：记L围成的区域为D，若D不含原点(R＜1)，则可在D上用格林公式．若D含原点(R＞1)，则不能在D上用格林公式，要在D内挖去含原点的某区域后再用格林公式(见图10．13)．15、求曲面积分I=，(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．标准答案：在S∪S1∪S2围成的区域Ω上应用高斯公式，因边界取内法向，故其中Ω为x2+1=x2+y2与z=1，z=2所围，圆D(z)的半径为．又(i=1时公式取“一”，i=2时公式取“+”)，其中Si与yz平面垂直(i=1，2)，Di为Si在xy平面上的投影区域分别是圆域x2+y2≤5，x2+y2≤2．因此，I=一．知识点解析：首先求出曲面S的方程：x2+y2=1+z2(1≤z≤2)，法向量朝上．记P=xz2，Q=0，R=一sinx，则=z2较简单，但S不是封闭曲面，为了用高斯公式，添加辅助面S1：z=2(x2+y2≤5)，法向量朝下；S2：z=1(x2+y2≤2)，法向量朝上．在S∪S1∪S2围成的区域Ω上可用高斯公式来计算．16、求I==1，取外侧．标准答案：作以原点为球心，ε＞0为半径的小球面Sε，ε＞0充分小使Sε位于S所围的椭球内．记S与Sε所围的区域为Ωε，Sε取Ωε的内法向(即小球的外法向)，见示意图10．14(用平面图示意立体图)，在Ωε上用高斯公式得由于在Ωε上，P，Q，R有连续的一阶偏导数且=0，于是(在Ωε*：x2+y2+z2≤ε2上用高斯公式)知识点解析：直接计算较复杂，若把积分记为I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，容易验证因此想到应用高斯公式．若椭球面S围成的区域记为Ω，它含原点(0，0，0)，而P，Q，R在(0，0，0)无定义，因而不能在Ω上直接应用高斯公式．如果我们作以原点为球心的小球面Sε位于Ω内，在S与Sε所围的区域Ωε上就可用高斯公式，把求S上的曲面积分转化为Sε上的曲面积分．17、求曲线积分I=∫L2yzdx+(2z一z2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中L为闭曲线从原点向L看去，L沿顺时针方向．标准答案：用斯托克斯公式．平面x+y+z=上L围成的平面区域记为∑，按右手法则，法向量n朝上，且n=(1，1，1)=(cosα，cosβ，cosγ)，于是[1*]其中σ是∑的面积．这里把坐标轴的名称互换，∑的方程不变，于是L是平面(x+y+z=)与球面(x2+y2+z2=1)的交线，它是圆周．现求它的半径r，原点O到平面x+y+z=．因此I=．知识点解析：暂无解析18、下面连续可微的向量函数{P(x，y)，Q(x，y)}在指定的区域D上是否有原函数u(x，y)(du=Pdx+Qdy或gradu={P，Q})．若有，求出原函数．{P，Q}=，D={(x，y)｜y＞一x}．标准答案：先验算在D上是否恒成立．则，(x，y)∈D．因D是单连通区域，则存在原函数．现用求不定积分的方法求原函数：由(恒等变形，便于积分)对x积分，得知识点解析：暂无解析19、选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0}．标准答案：记A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件定出参数λ．=2x(x4+y2)λ+λ4xy2(x4+y2)λ—1，=—2x(x4+y2)λ一λ4x5(x2+y2)λ—14x(x4+y2)λ+4λx(x4+y2)λ=0(x＞0)→λ=一1．(Ⅰ)由于D={(x，y)｜y＞0}是单连通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当λ=一1时存在u(x，y)使(P，Q)为u的梯度．现求u(x，y)，使得du(x，y)=．凑微分法．(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0｜是非单连通区域，((x，y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数．我们再取环绕(0，0)的闭曲线C：x4+y2=1，逆时针方向，求出∫CPdx+Qdy=∫C(一2x一2x)dxdy=0，其中D0是C围成的区域，它关于y轴对称．于是∫LPdx+Qdy在D与路径无关，即Pdx+Qdy在D存在原函数．因此，仅当λ=一1时A(x，y)=(P，Q)在D为某二元函数u(x，y)的梯度．知识点解析：暂无解析20、计算曲线积分I=，其中L是从点A(一a，0)经上半椭圆=1(y≥0)到点B(a，0)的弧段．标准答案：设C是从点A(一a，0)经上半圆x2+y2=a2(y≥0)到点B(a，0)的弧段(图10．15)．因在上半平面(含x轴但不含原点)积分与路径无关，于是得对右端的线积分，可直接用C的参数方程x=acost，y=asint(π≥t≥0)，来计算：I=∫0π[(cost—sint)(一sint)+(cost+sint)cost]dt=一π．知识点解析：在上半平面(含x轴但不含原点为单连通区域)曲线积分与路径无关，因此求沿椭圆的曲线积分可以转化为求沿半圆周的曲线积分．21、设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，(*)求Q(x，y)．标准答案：首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得(2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式．再求φ(y)．通过求原函数计算积分：2xydx+[x2+φ(y)]dy=d[x2y+∫0yφ(s)ds]．由(*)式，得[x2y+∫0yφ(s)ds]｜(0，0)(t，1)=[x2y+∫0yφ(s)ds]｜∫(0，0)(1，t)，即t2+∫01φ(s)ds=t+∫0tφ(s)ds(t)．求导得2t=1+φ(t)(t)，即φ(t)=2t一1，易验证它满足上式．因此Q(x，y)=x2+φ(y)=x2+2y一1．知识点解析：暂无解析22、设曲线积分∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2—2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．(Ⅰ)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；(Ⅱ)计算沿L从点O(0，0)到M(π，)的曲线积分．标准答案：(Ⅰ)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为∮LPdx+Qdy，由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，φ(y)，ψ(y)满足，即2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2—2φ(y)．由此得x[φ’(y)一ψ(y)]=y2一φ(y)一ψ’(y)．由于x，y是独立变量，若令x=0，则y2一φ(y)一ψ’(y)=0．将之代回上式又得φ’(y)一ψ(y)=0．因此，φ(y)，ψ(y)满足将第一个方程ψ(y)=φ’(y)代入第二个方程得φ"(y)+φ(y)=y2．这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是φ(y)=C1cosy+C2siny+y2—2．由条件φ(0)=一2，φ’(0)=ψ(0)=1，得c1=0，c2=1，于是求得φ(y)=siny+y2—2，ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y．(Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的关系式代入并整理得Pdx+Qdy=φ(y)dx2+x2dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y2一φ(y)]d)，=d[x2φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y)=d[x2φ(y)+2xψ(y)]．知识点解析：暂无解析23、设有数量函数u(x，y，z)及向量函数F(x，y，z)={P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)}，其中P，Q，R，u在Ω上有连续的二阶偏导数，证明：(Ⅰ)divgradu=；(Ⅱ)div(rotF)=0；(Ⅲ)rot(gradu)=θ．标准答案：由梯度，散度及旋度的计算公式得到：知识点解析：暂无解析24、设S是上半空间z＞0中任意光滑闭曲面，S围成区域Ω，函数u=ρw(ρ)(ρ=)在上半空间有连续的二阶偏导数，满足求w(ρ)．标准答案：即求u(ρ)．由高斯公式得注意u只依赖于ρ=表示．由复合函数求导法得这是可降价的二阶线性方程，两边乘ρ2得=ρ2e2．其中C1，C2为任意常数．因此w=。知识点解析：暂无解析25、设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)．(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds，其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量．(Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D有连续的二阶偏导数，求证：(Ⅲ)设u(x，y)在D有连续的二阶偏导数且满足求证：u(x，y)=0((x，y)∈D)．标准答案：(Ⅰ)将格林公式=Pdx+Qdy中Q换成P，P换成一Q，得=∫CPdy—Qdx．由第一、二类曲线积分的关系得∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos<τ，j>一Qcos<τ，i>]ds，其中τ是C的单位切向量且沿C的方向．注意<τ，j>=，<τ，i>=π一．于是Pdy—Qdx=∫C[Pcos+Qcos]ds=fc(Pcosα+Qcosβ)ds．因此证得结论．(Ⅱ)由方向导数计算公式得．再由格林公式的另一种形式(即题(Ⅰ)的结论)得再移项即得证．(Ⅲ)因u(x，y)｜C=0，要证u(x，y)≡0((x，y)∈D)，只需证=0((x，y)∈D)．在(10．7)式中取v(x，y)=u(x，y)，得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意x，f’(x)＞0B、对任意x，f’(－x)≤0C、函数f(－x)单调增加D、函数－f(－x)单调增加标准答案：D知识点解析：由题意，不论△x大于0还是小于0，对任意的x都有故由于x的任意性，f(－x)≥0，故A，B错误．同时，由题干可知f(x)单调增加，故g(－x)单调减少，－f(－x)单调增加，C错误，选D．2、若a⊥b，a，b均为非零向量，x是非零实数，则有()A、｜a+xb｜＞｜a｜+｜x｜｜b｜B、｜a－xb｜＜｜a｜—｜x｜｜b｜C、｜a+xb｜＞｜a｜D、｜a一xb｜＜｜a｜标准答案：C知识点解析：｜a+xb｜2=(n+xb).(a+xb)=｜a｜2+2xa.b+x2｜b｜2=｜a｜2+x2｜b｜2＞｜a｜2，所以｜a+xb｜＞｜a｜．应选C．3、两张平行平面π1：Ax+By+Cz+D1=0与π2：Ax+By+Cz+D2=0之间的距离为()A、｜D1－D2｜B、｜D1+D2｜C、D、标准答案：C知识点解析：π1与π2之间的距离即为平面π1上一点M1(x1，y1，z1)到π2的距离因为M1∈π1，故Ax1+By1+Cz1+D1=0，即Ax1+By1+Cz1=－D1，从而应选C．4、设f(x，y)是连续函数，且则()A、f(0，0)为f(x，y)的极大值B、f(0，0)为f(x，y)的极小值C、f(0，0)不是f(x，y)的极值D、不能确定标准答案：A知识点解析：记F(x，y)=x3+y2－3x2－3y2，则有Fx’=3x2－6x是其中一个驻点又由A=Fxx’’｜(0，0)=(6x－6)｜(0，0)=－6，B=Fxy’’｜(0，0)=0，C=yy’’｜(0，0)=(6y－6)}=－6，知△=B2－AC=－36＜0，又A＜0，故点(0，0)为F(x，y)的极大值点，且F(0，0)=0，故当x→0，y→0时，分母为负．由极限的保号性知，存在δ＞0，当点(x，y)满足时，故f(0，0)为极大值，选A．5、下列命题中不正确的是()A、若f(u)有连续导数，则∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关B、若f(u)连续，则∫L(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关C、若P(x，y)，Q(x，y)在区域D内有连续的一阶偏导数，且则∫LPdx+Qdy在区域内与路径无关D、在区域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上与路径有关标准答案：C知识点解析：对于A，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，则=2xy.f’(x2+y2)，=2xy.f’(x2+y2)，其中f’(x2+y2)=f’(s)｜s=x2+y2，得到全平面是单连通区域，故∫LPdx+Qdy在全平面内与路径无关．A正确．对于B，可求得被积函数的原函数满足f(x2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d(x2+y2)=d[∫0sf(t)dt]｜s=x2+y2，因而∫L(x2+y2)(zdz+ydy)与路径无关．B正确．对于C，因区域D不一定是单连通区域，故C中积分不一定与路径无关．C不正确．对于D，由于区域D不是连通区域，因而积分与路径有关．D正确．6、设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(ax)≤1，又设()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与具体的f(x)有关标准答案：B知识点解析：由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，所以所以发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数条件收敛．7、已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()A、y’’－2y’+y=e2xB、y’’－y’－2y=xexC、y’’－y’－2y=ex－2xexD、y’’－y=e2x标准答案：C知识点解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1－y2=e2x－e－x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e－x，故特征根r1=2，r2=－1．对应齐次线性方程为y’’－y’=2y=0。再由特解y*=xex知非齐次项f(x)=y*’’－y*’－2y*=ex－2xex，于是所求方程为y’’－y’－2y=ex－2xex．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设函数y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0确定，则=______．标准答案：知识点解析：方程两边同时对x求导，可得9、已知∫01f(x)dx=1，f(1)=0，则∫01xf’(x)dx=_______．标准答案：-1知识点解析：此积分的计算要用分部积分法．∫01xf’(x)dx=∫01xdf(x)=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－110、=______．标准答案：知识点解析：11、已知平行四边形有两对角线向量为c=a+2b，d=3a－4b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，a与b的交角，则该平行四边形的面积S=______．标准答案：5知识点解析：该平行四边形的面积s等于以c，d为邻边的平行四边形面积的．由矢量积的几何意义知，12、微分方程的特解是______．标准答案：知识点解析：写成令y2=ux，有代入原方程，得解之得sinu=Cx．再以三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)13、求极限标准答案：为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而知识点解析：暂无解析14、设试求α，β的值．标准答案：显然由条件知β≠0，而因此有α－β+1=0，且知识点解析：暂无解析15、求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设求y(n)(0)．标准答案：当x≠0时，当x=0时，故对任意x∈(－∞，+∞)，都有又比较系数，得知识点解析：暂无解析17、叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理．标准答案：罗尔定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在—点ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0．证明：由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m．①如果M=m，则f(x)≡C，从而f’(x)≡C，任取ξ∈(a，b)均有f’(ξ)=0．②如果M＞m，由于f(a)=f(x)，所以M或m中至少有个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)．由费马定理知，在对应点x=ξ∈(a，b)处，f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析设常数(a＞0，函数g(x)在区间[－a，a]上存在二阶导数，且g''(x)＞0．18、令h(x)=g(x)+g(－x)，证明在区间[0，a]上h’(x)≥0，当且仅当x=0时h’(x)=0；标准答案：h’(x)=g’(x)－g’(－x)，h’(0)=0，h’’(x)=g’’(x)+g’’(－x)＞0，由拉格朗日中值定理，有h’(x)=h’(0)+h’’(ξ)(x－0)=h’’(ξ)x＞0(x＞0)．知识点解析：暂无解析19、证明2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aag(x)dx∫－aae－x2dx．标准答案：因为当0≤x≤a时h’(x)≥0，h(x)单调增加；f(x)=e－x2在0≤x≤a时单调减少，所以不论0≤x≤y≤a还是0≤y≤x≤a，均有[h(x)－h(x)](e－x2－e－y2)≤0，即只要(x，y)∈D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤a}，有h(x)e－x2+h(y)e－y2≤h(x)e－y2+h(y)e－x2．于是有2∫0ady∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx，2a∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx．又因为h(x)与e－x2都是偶函数，所以a∫－aah(x)e－x2dx≤∫－aae－y2dy∫－aah(x)dx，(*)再以h(x)=g(x)+g(－x)代入，并注意到∫－aah(x)dx=∫－aa[g(x)+g(－x)]dx=∫－aag(x)dx+∫－aag(－x)dx=∫－aag(x)dx+∫－aag(u)(－du)=2∫－aag(x)dx，同理，∫－aah(x)e－x2dx=2∫－aag(x)e－x2dx．从而式(*)成为2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aae－x2dx∫－aag(x)dx．证毕．知识点解析：暂无解析20、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算In=∫－11(x2－1)ndx．标准答案：由分部积分可得In=x(x2－1)n∫－11－2n∫－11x2(x2－1)n－1dx=一2n∫－11(x2－1)ndx－2n∫－11(x2－1)n－1dx=－2nIn－2nIn－1，故递推得知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，证明：F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．标准答案：F(2a)－2F(a)=∫02af(t)f’(2a－t)dt－2∫0af(t)f’(2a－t)dt=∫a2af(t)f’(2a－t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt，其中∫a2af(t)f’(2a－t)dt=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－x)f’(t)dt，所以原式=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－t)f’(t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt，又∫a2af(2a－t)f’(t)dt∫0af(u)f’(2a－u)du=∫0af(t)f’(2a－t)dt，所以F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．知识点解析：暂无解析23、(1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分dz｜x0－y0的定义；(2)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且dz｜x0－y0=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y；(3)请举例说明(2)的逆定理不成立．标准答案：(1)定义：设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域U内有定义，且(x0+△x，y0+△y)∈U，则增量△z=f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)A△x+B△y+o(ρ)，(*)其中A，B与△x，△y都无关，则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微，并称A△x+B△y为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的全微分，记为dz｜(x0，y0)=A△x+B△y．(2)设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立，令△y=0，于是证明了fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y．(3)(2)的逆定理不成立，反例fy’(0，0)=0都存在，但在点(0，0)处f(x，y)不可微．知识点解析：暂无解析24、计算∫0adx∫0bemax(b2x2，a2y2)dy，其中a，b＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设在D=[a，b]×[c，d]上连续，求并证明：I≤2(M－m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：=[f(x，d)－f(x，c)]｜ab=[f(b，d)+f(a，c)－[f(a，d)+f(b，c)]，显而易见，I≤2(M－m)．知识点解析：暂无解析26、计算I=(ax2+by2+cz2)dS，其中∑x2+y2+z2=1．标准答案：利用对称性，因为知识点解析：暂无解析27、计算三重积分其中Ω由平面y=1，圆柱面x2+z2=1和半球面围成，如图1．6—2所示．标准答案：因为Ω关于xOy及yOz坐标面对称，所以有知识点解析：暂无解析28、证明：级数条件收敛．标准答案：是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件．由于上式每个括号都小于0，所以{S2n}单调递减，再由知{S2n}单调递减有下界，故{S2n}收敛，记所以，原级数的部分和数列{S2n}收敛，从而级数收敛，所以原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析29、将函数f(x)=x2(0≤x≤π)展开成余弦级数，并求的和．标准答案：将f(x)作偶延拓，得f(x)=x2(－π≤x≤π)，则bn=0，n=1，2，…．令x=π，由狄利克雷收敛定理，知知识点解析：暂无解析30、求微分方程的通解．标准答案：此为齐次方程，只要作代换即得原方程通解为其中C为任意正常数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设函数f(x)是定义在(－1，1)内的奇函数，且则f(x)在x=0处的导数为()A、aB、－aC、0D、不存在标准答案：A知识点解析：由于f(x)为(－1，1)内的奇函数，则f(0)=0．于是而令x=－t时，即f－’(0)=f+’(0)=a，则f’(0)=a，应选A．2、设f(x)=f(－x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f’’(x)＜0，则f(x)在(－∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()A、单调增加，凸B、单调减少，凸C、单调增加，凹D、单调减少，凹标准答案：B知识点解析：当x＞0时，由．f’(x)＞0可知f(x)在(0，+∞)内单调增加；由f’’(x)＜0可知f(x)在(0，+∞)内为凸曲线．由f(x)=f(－x)可知f(x)关于y轴对称，则f(x)在(－∞，0)内单调减少，为凸曲线，选B．3、设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f’’(x)＞0，f’(x)＜0．I1=[f(b)+f(a)]，I2=∫abf(x)dx，I2=(b－a)f(b)，则I1，I2，I3的大小关系为()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1标准答案：D知识点解析：由于f’(x)＜0，f’’(x)＞0，y=f(x)单调减少且图形为凹，画图如图1．3—2所示，I1是梯形ABCD的面积，I2是曲边梯形ABCD的面积，I3是长方形ABCD的面积．由图1．3—2可知，I3≤I2≤I1．4、已知向量的始点A(4，0，5)，则B的坐标为()A、(10，－2，1)B、(－10，－2，1)C、(10，2，1)D、(10，－2，－1)标准答案：C知识点解析：设B(x，y，z)，则所以x－4=6，y=2，z－5=－4，即x=10，y=2，z=1．5、b=cos(x2+y2)曲，c=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1)，则()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)｜x2+5y2≤1}，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤≤1．由cosx在上单调减少可得cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos≥0．因此有c＞b＞a．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、=______．标准答案：0知识点解析：7、若函数处取得极值，则a=______．标准答案：2知识点解析：f’(x)=acosc+cos3c，因a=2．这时f’’(x)=－2sinx－3sin3x，为极大值点．8、设f’’(a)存在，f’(a)≠0，则=______．标准答案：知识点解析：将分子用佩亚诺余项泰勒公式展开至o((x－a)2)．9、=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：10、设f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=_____．标准答案：－ln(1－x)－x2+C(0＜x＜1)，其中C为任意常数知识点解析：由题意11、设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I=xf(y2)dσ=______．标准答案：0知识点解析：因积分区域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故12、设一个矢量场A(x，y，z)，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为k)，方向指向原点，则divA=______．标准答案：知识点解析：由题意有13、正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}______．标准答案：有界(或有上界)知识点解析：级数收敛等价于{Sn}收敛．对于正项级数{Sn}为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列{s。)收敛等价于{Sn}有界(或有上界)．14、若anxn在x=－3处为条件收敛，则其收敛半径R=______．标准答案：3知识点解析：因anxn在x=－3收敛，故由阿贝尔定理知，｜x｜＜3时，anxn绝对收敛．又因anxn在x=－3条件收敛，故｜x｜＞3时，anxn发散．如若不然，必存在x1，使｜x｜＞3且在x=x1处anxn收敛．由阿贝尔定理便可推出｜x｜＜｜x1｜时，特别是x=－3时anxn绝对收敛．这与题设在x=－3处条件收敛相矛盾．综上，由收敛半径的定义便有R=3．15、设整数n≥0，则f(2n+1)(0)=______．标准答案：(－1)n(2n)!知识点解析：由泰勒级数的唯一性，对于n=0，1，…，有三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)16、设求f[g(x)]标准答案：本题考查分段函数的复合方法．下面用解析法求解．首先，广义化为由g(x)的表达式知：当g(x)≤0，即{2ex－1≤0}∩{x≤0)或{x2－1≤0}∩{x＞0}，而{2ex－1≤0}∩{x≤0}={x≤－ln2}∩{x≤0}={x≤－ln2}，{x2－1≤0}∩{x>0}={－1≤x≤1}∩{x＞0}={0＜x≤1}；当g(x)＞0，即{2ex－1>0}∩{x2≤0}或{x2－1＞0}∩{x＞0}，而{2ex－1＞0}∩{x≤0}={x＞－ln2}∩{x≤0}={－ln2＜x≤0}!{x2－1＞0)∩{x＞0)={x＞1或x＜－1}∩{x＞0}={x＞1}．综上，得知识点解析：暂无解析17、f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．标准答案：令F(x)=f(x)－x0，则F(x)在(－∞，+∞)上连续，且F(x0)＜0，由知存在a＜x0，使得F(a)＞0；存在b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零点定理，知存在x1∈(a，x0)，使得F(x1)=0；存在x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．标准答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f(2k+1)(x0)＞0时，存在x0的某个去心邻域＞0，则x→x0+时，f’’(x)＞0；x→x0－时，f(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点；当f(2k+1)(x0)＜0时，同理可得(x0，f(x0))为拐点．知识点解析：暂无解析19、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析20、设常数0＜a＜1，求标准答案：对第二项作积分变换x=π－t，得知识点解析：暂无解析21、求到平面2x－3y+6z－4=0和平面12x－15y+16z－1=0距离相等的点的轨迹方程．标准答案：设所求点的坐标为(x，y，z)．由点到平面的距离公式，有两边去绝对值符号，化简得到：34x－30y－38z+93=0或134x－180y+262z－107=0．这是所要求的两个平面方程．知识点解析：暂无解析22、求直线L：在平面π：x－y+3z+8=0的投影方程．标准答案：先求出一平面π1，使它过直线L且垂直于平面π．设直线L的方向向量为s，平面π1的法向量为n1。平面π的法向量为n，则n1⊥s，n1⊥n，而下面再求出L上的某点坐标．为此，在方程中令x=0，得y=4，z=－1，则平面过点(0，4，－1)．于是平面π1方程为(x－0)－2(y－4)－(z+1)=0，即x－2y－z+7=0．因直线L在平面π上的投影既在平面丌上，又在平面π1上，因而其方程为知识点解析：暂无解析23、设其中f，g均可微，求标准答案：由链式法则直接求导得知识点解析：暂无解析24、设讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③方向导数的存在性；④函数的可微性．标准答案：(1)①按定义易知fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，故在点(0，0)处偏导数存在．②(当(x，y)=(0，0))，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为)故不可微．(2)以下直接证明④成立，由此可推知①，②，③均成立．事实上，所以按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析25、设S为平面x－y+z=1介于三坐标平面间的有限部分，法向量与z轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算I=[f(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+x]dxdy．标准答案：将S投影到xOy平面，其投影域(如图1．6－13)为D=((x，y)｜x－y≤1，x≥0，y≤0}．从S的方程解出z=1－x+y．直接将该积分化为一个二重积分．由知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有其中Ω(f)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2)，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足∫0tr2f(r)dr+tf(r)=2t4，且f(0)=0．标准答案：D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}，∑(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2=t2}，L(t)={(x，y)｜x2+y2=t2}，且=∫02πdθ∫0πsinφdφ∫0tr2f(r)dr=4π∫0tr2f(r)dr，=∫02πdθ∫0tr2f(r)dr=2π∫0tr2f(r)dr，由题设条件，有47π∫0tr2f(r)dr+2πtf(t)=2π∫0tr2f(r)dr+4πt4，即∫0tr2f(r)dr+tf(f)=2t4．又t≠0，则知识点解析：暂无解析27、求微分方程y’’+5y’+6y=2e－x的通解．标准答案：所给微分方程的特征方程为r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=－2，，r2=－3．于是，对应齐次微分方程的通解为(x)=C1e－2x+C2e－3x．设所给非齐次方程的特解为y*=Aex．将y*(x)代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e－x．从而，所给微分方程的通解为y(x)=C1e－2x+C2e－3x+e－x，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析28、求解(1+)ydx+(y－x)dy=0．标准答案：方程化为此为齐次方程，故令代入上述方程得两边积分得ln｜u+eu｜=－ln｜y｜+C1，即(u+eu)y=C，将故原方程的通解为其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析29、求y’’－y=e｜x｜的通解．标准答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(－∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y’’=y+e｜x｜在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处使二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为y’’－y=ex，求得通解y=C1ex+C2e－x+xex．①当x＜0时，方程为y’’－y=e－x，求得通解y=C3ex+C4e－x－xe－x．②因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，则有其中C1，C2为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y’’=y+e｜x｜，所以在x=0处y’’亦连续，即是通解．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、下列各项中正确的是A、若都收敛，则(un＋vn)2收敛．B、若｜unvn｜收敛，则都收敛．C、若正项级数un发散，则·D、若级数un收敛且un≥vn(n＝1，2，…)，则级数也收敛．标准答案：A知识点解析：(A)正确．2、若级数an(x—1)n在x＝一1处收敛，则此级数在x＝2处A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：B知识点解析：，t＝x—1，在t＝2处收敛R≥2，x＝2时t＝1∈(—R，R)在t＝1即在x＝2处绝对收敛．选(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)3、设L是区域D：x2＋y2≤一2x的正向边界，则I＝(x3一y)dx＋(x一y3)dy＝______．标准答案：2π知识点解析：把线积分表成D是圆域：(x＋1)2＋y2≤1，于是由格林公式．4、设L是平面上从圆周x2＋y2＝a2上一点到圆周x2＋y2＝b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＜0)，r＝，则I＝r3(xdx＋ydy)＝______．标准答案：知识点解析：r3(xdx＋ydy)＝r3d(x2＋y2)＝r3dr2＝r4dr＝d，5、设r＝，常数λ使得曲线积分对上半平面的任何光滑闭曲线L成立，则λ＝______．标准答案：-1知识点解析：把线积分表成Pdx＋Qdy＝0，(上半平面是单连通区域)，即三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)6、求一段均匀圆柱面S：x2＋y2＝R2(O≤z≤h)对原点处单位质点的引力．假设该圆柱面的面密度为1．标准答案：(I)设引力F＝{Fx，Fy，Fz}，由对称性知，Fx＝0，Fy＝0．因此只需求F沿z轴的分量Fz．如图9．34．(Ⅱ)在圆柱面上任一点(x，y，z)处取一小块曲面元dS，记r＝{x，y，z}，r＝[*430]，则曲面元对原点处单位质点的引力dF＝，它沿z轴的分量为(Ⅲ)圆柱面对原点单位质点的引力的z分量(Ⅳ)计算曲面积分．要投影到yz平面(或zx平面)来计算．圆柱面S在yz平面的投影区域为Dyz＝{(y，z)｜0≤z≤h，一R≤y≤R}，曲面S的方程为x＝，曲面微元记S1为前半圆柱面，于是知识点解析：暂无解析7、求，其中L：x2＋y2＝R2的正方向．标准答案：将L表成参数方程的形式，即x＝Rcosθ，y＝Rsinθ(0≤θ≤2π)，于是注意到右端积分存在且为一常数，所以知识点解析：暂无解析求下列平面上曲线积分8、I＝[y2—2xysin(x2)]dx，其中L为椭圆的右半部分，从A(0，—b)到B(0，b)．标准答案：I＝∫Ly2dx＋∫Lydcos(x2)＋cos(x2)dy．知识点解析：暂无解析9、I＝，其中A(0，—1)，B(1，0)，为单位圆在第四象限部分．标准答案：知识点解析：暂无解析10、，其中是沿椭圆正向从A(a，0)到(0，b)的一段弧，a≠1．标准答案：知识点解析：暂无解析11、其中L是椭圆周，取逆时针方向．标准答案：将I表成I＝∫LPdx＋Qdy，则不能在L围成的区域上用格林公式，取圆周(如图10．4)Cε：x2＋y2＝ε2(ε＞0充分小)，逆时针方向，在L与Cε围成的区域Dε上可用格林公式得知识点解析：暂无解析12、I＝exsiny—my—y)dx＋(excosy—mx)dy，其中L：t从0到π，a＞0．标准答案：将积分I分解成I＝I1＋I2，其中I1易通过求原函数而求得，I2容易直接计算：因此知识点解析：暂无解析求下列曲面积分13、，其中∑为由区面y＝x2＋z2与平面y＝1，y＝2所围立体表面的外侧．标准答案：∑围成区域Ω，直接用高斯公式得作柱坐标变换D(y)：0≤r≤，0≤θ≤2π，知识点解析：暂无解析14、(z＋1)dxdy＋xydzdx，其中为圆柱面x2＋y2＝a2上x≥0，0≤z≤1部分，法向量与x轴正向成锐角，为Oxy平面上半圆域x2＋y2≤a2，x≥0部分，法向量与z轴正向相反．标准答案：∑1∪∑2不封闭，添加辅助面后用高斯公式．∑3：z＝1，X2＋y2≤a2，x≥0，法向量朝上．∑4：x＝0，一a≤y≤a，0≤z≤1，法向量与x轴正向相反．∑4垂直xy平面与zx平面(z＋1)dxdy＋xydzdx＝0．∑3垂直zx平面∑1，∑2，∑3，∑4围成区域Ω，用高斯公式知识点解析：暂无解析15、I＝(x2一y2)dzdx＋(y2一z2)dzdx＋(z2一x2)dxdy，S是的上侧．标准答案：用高斯公式来计算．曲面不封闭，添加辅助面．S1：z＝0，≤1，取下侧．S与S1围成Ω．(I)记I1＝Pdydz＋Qdzdx＋Rdxdy，因为S1与yz平面及zx平面垂直，且S1上z＝0，所以(Ⅱ)在Ω上用高斯公式．注意Ω关于yz平面与zx平面对称，知识点解析：暂无解析求下列空间中的曲线积分16、I＝yzdx＋3zxdy—xydz，其中L是曲线且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．标准答案：投影到xy平面上．记L在xy平面上的投影为г，也取逆时针方向，г围成的区域为D：x2＋(y一2)2≤22．用z＝3y＋1，dz＝3dy代入得知识点解析：暂无解析17、I＝(x2一yz)dx＋(y2一xz)dy＋(z2一xy)dz，其中г是沿螺旋线x＝acosθ，y＝asinθ，z＝，从A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲线．标准答案：把积分表示成，I＝PdX＋Qdy＋Rdz．考察F＝(P，Q，R)的旋度若г是闭曲线，以г为边界的曲面S，定向按右手法则，由斯托克斯公式这里г不封闭，添加辅助线BA，构成了封闭曲线，于是知识点解析：暂无解析18、判断下列曲线积分在指定区域D是否与路径无关，为什么?(I)f(x2＋y2)(xdz＋ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面．(II)，D＝｛(x，y)｜全平面除去一∞＜z≤0，y＝0｝．标准答案：(I)f(x2＋y2)(xdx＋ydy)d[(x2＋y2)]即被积表达式f(x2＋y2)(xdx＋ydy)原函数，因此该线积分在全平面与路径无关．(Ⅱ)如图10．9，L＝∫LPdx＋Qdy，(X，Y)∈D．D为单连通区域，因此积分在D与路径无关．知识点解析：暂无解析19、设φ(x)在(0，＋∞)有连续导数，φ(π)＝1．试确定φ(x)，使积分在x＞0与路径无关，并求当A，B分别为(1，1)，(π，π)时的积分值．标准答案：记I＝Pdx＋Qdy，在单连通区域D：x＞0上该积分与路径无关两边乘u(x)＝＝x得[xφ(x)]’＝sinxφ(x)＝一cosx＋c．由φ(π)＝1得C＝π—1_因此φ(x)＝．下求积分值I．注意＝φ’(x)，代入得知识点解析：暂无解析20、求Pdx＋Qdy在指定区域D上的原函数，其中｛P，Q｝＝，D＝｛y)｜x＞0｝．标准答案：知识点解析：暂无解析21、选择a，b，使Pdx＋Qdy在区域D＝｛(x，y)｜x2＋y2≠0｝内为某函数u(x，y)的全微分，其中P＝(x2＋2xy＋ax2)，Q＝(x2＋2xy＋by2)．标准答案：先确定a，b，使，(x，y)∈D．因D不是单连通的，在D成立不足以保证Pdx＋Qdy原函数．用不定积分法直接求出原函数u(x，y)知识点解析：暂无解析22、已知E＝r，其中r＝｛x，y，z｝r＝｜r｜，q为常数，求divE与rotE．标准答案：E＝{x，y，z}，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中是奇函数的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]标准答案：D知识点解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函数，有g(－x)=φ[φ(－x)]=φ[－φ(x)]=－φ[φ(x)]=－g(x)，因此φ[φ(x)]为奇函数．同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均为偶函数。答案选D．2、设函数f(x)在区间(－δ，δ)内有定义，若当x∈(－δ，δ)时，恒有｜f(x)｜≤x2，则x=0必是f(x)的()A、间断点B、连续，但不可导的点C、可导的点，且f’(0)=0D、可导的点，且f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：f(0)=0，故f’(0)=0．3、()A、arctan(cos2x)+CB、－arctan(cos2x)+CC、arctan(－cos2x)+CD、标准答案：B知识点解析：4、直线L：与平面π：x－y+2z+4=0的夹角为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设知直线L的方向向量为s=(2，1，1)，平面π的法向量为n=(1，－1，2)．设直线L与平面丌的夹角为φ，则选C．5、zx’(x0，y0)=0和zy’(x0，y0)=0是函数z=z(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的()A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、充要条件D、既非必要也非充分条件标准答案：D知识点解析：既非必要也非充分条件．取z=z(x，y)=则点(0，0)为其极小值点，zx’(0，0)，zy’(0，0)均不存在．6、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，≤x+y≤1，所以ln(x+y)≤0＜sin(x+y)＜x+y，于是7、设f(x)=x+1(0≤x≤1)，则它以2为周期的余弦级数在x=0处收敛于()A、1B、－1C、0D、标准答案：A知识点解析：要得到以2为周期的余弦级数，f(x)需延拓为以2为周期的偶函数F(x)．因x=0时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理知，余弦级数在x=0处收敛于F(0)=f(0)=1，故选A．8、函数项级数的收敛域为()A、(－1，1)B、(－1，0)C、[－1，0]D、[－1，0)标准答案：D知识点解析：9、方程(3+2y)xdx+(x2－2)dy=0的类型是()A、只属于可分离变量型B、属于齐次型方程C、只属于全微分方程D、兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程标准答案：D知识点解析：原方程关于x和y非齐次，但极易分离变量，也可化为y的一阶线性方程．又满足全微分方程条件P’y=2x=Q’x．故选项A，B，C均不正确，D正确．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)10、=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：11、设a=(3，－5，8)，b=(－1，1，z)，｜a+b｜=｜a－b｜，则z=______．标准答案：1知识点解析：a+b=(2，－4，8+z)，a－b=(4，－6，8－z)．由｜a+b｜=｜a－b｜知，20+(8+z)2=52+(8－z)2，得z=1．或者由｜a+b｜=｜a－b｜知a⊥b(其几何意义是，a+b表示以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线向量，而a－b则表示另一条对角线向量．两对角线长度相等的平行四边形必是矩形，故可知a⊥b)，即a.b=0，由此可得－3－5+8z=0，亦得z=1．12、设则∫01xG(x)dx=______．标准答案：知识点解析：交换累次积分的次序，13、微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是______．标准答案：3x2+xy=C，其中C为任意常数知识点解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，积分得通解3x2+xy=C，其中C为任意常数．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、设函数f(x)由下列表达式确定：求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．标准答案：显然x=1为间断点，连续区间(－∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析15、设x0=1，标准答案：假设xn＞xn－1成立，则即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn+1＞xn．又所以{xn}单调增加且有上界，{xn}必收敛．记两边取极限，得a=1+即a2－a－1=0．解得因xn≥1，故负值不符合题意，于是知识点解析：暂无解析16、证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．标准答案：令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F’(x)=sinx+xcosx－2sinx+π=π+xcosx－sinx，由此式很难确定F’(x)在(0，π)上的符号，为此有F’’(x)=－xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F’(x)在(0，π)上单调递减，又F’(π)=0，所以F’(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知识点解析：暂无解析17、求函数的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析18、作函数的图形．标准答案：①定义域(－∞，0)∪(0，+∞)，无周期性无奇偶性．则y’=0的根为．y’’=0的根为x=－1．③列表：由表可知函数的极小值点为拐点为(－1，0)．④铅直渐近线：无斜渐近线．⑤作图(如图1．2—2)．知识点解析：暂无解析19、若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．标准答案：令u(n－1)(x)=φ(n－1)(x)－ψ(n－1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)=u(n)(ξ).(x－x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)＞0．且u(n－1)(x0)=0，所以u(n－1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n－1)(x)＞ψ(n－1)(x)．同理u(n－2)(x)=φ(n－2)(x)－ψ(n－2)(x)＞0．归纳有(n－3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、设xOy平面上有正方形D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l=x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0xS(t)dt(x≥0)．标准答案：由题设知所以当0≤x≤1时，∫0xS(t)dt=当1＜x≤2时，∫0xS(t)dt+∫1xS(t)dt=当x＞2时，∫0xS(t)dt=∫02S(t)dt+∫2xS(t)dt=x－1．因此，知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)>0，f(1)+∫01f(x)dx=0，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．标准答案：令，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c∈(0，1)，由此可知f(x)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0．由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即故f’(ξ)=ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析24、设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)出确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(f)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求标准答案：由z=f(u)，可得在方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得知识点解析：暂无解析25、设计算：(1)gradu；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu)．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算标准答案：D1：则D=D1∪D2：知识点解析：暂无解析27、计算标准答案：本题考查三重积分的精确定义，类比于定积分和二重积分，我们首先给出三重积分的精确定义：这里的Ω不是一般的空间有界闭区域，而是一个“长方体区域”．于是，给出“凑三重积分定义”的步骤如下：且既可以读作“0到1上的dx”，也可以读作“0到1上的dy”，“0到1上的dz”，于是，“凑定义”成功．知识点解析：暂无解析28、设幂级数an(x－b)n在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数anxn的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．标准答案：令t=x－b，收敛中心x0=b的幂级数an(x－b)n化为收敛中心t0=0的幂级数antn．根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为an(x－b)n在x=0处收敛，所以antn在t=－b处收敛，从而当｜t｜＜｜－b｜=｜b｜时，幂级数antn绝对收敛．由于an(x－b)n在x=2b处发散，故antn在t=b处发散，进而当｜t｜＞｜b｜时，幂级数antn发散．由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知anxn的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为[－｜b｜，｜b｜)．又因为幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜．知识点解析：暂无解析29、设y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．标准答案：由泰勒公式当x→0时，y(x)与x3同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－y’’=0两边积分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xy’’(t)dt=0，即y’’’(x)－C－y’(x)=0，两边再积分得y’’(x)－y(x)=Cx．易知，上述方程有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C，即其中C为非零常数．知识点解析：暂无解析30、适当选取函数φ(x)，作变量代换y=φ(x)u，将y关于x的微分方程化为u关于x的二阶常系数线性齐次微分方程求φ(x)及常数λ，并求原方程满足y(0)=1，y’(0)=0的特解．标准答案：于是原方程化为令xφ(x)+2φ’(x)=0，解之，取于是有即λ=0．原方程化为解得u=C1+C2x．于是得原方程的通解为再由初始条件y(0)=1，y’(0)=0得C1=1，C2=0，故得特解知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、A、0．B、一∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．标准答案：D知识点解析：因为et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．2、设f(x)=x一sinxcosxcos2x，g(x)=，则当x→0时f(x)是g(x)的A、高阶无穷小．B、低价无穷小．C、同阶非等价无穷小．D、等价无穷小．标准答案：C知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选C．二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)3、判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限f(x)=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若f(x)=∞，则＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时有界。标准答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜8．例如，xn=yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x一c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为=0，由存在极限的函数的局部有界性δ＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时有界．知识点解析：暂无解析4、设f(x)=又a≠0，问a为何值时f(x)存在．标准答案：由f(0+0)=f(0—0)，得n=π．因此，当且仅当a=π时，存在f(x)=π．知识点解析：分别求右、左极限f(0+0)与f(0—0)，由f(0+0)=f(0—0)定出a值．5、证明：(Ⅰ)不存在．标准答案：(Ⅰ)取xn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(x)=∫0xcost2dt，由于知识点解析：暂无解析6、求w=．标准答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中=0(用洛必达法则)．知识点解析：暂无解析7、求极限w=。标准答案：属1∞型．知识点解析：暂无解析8、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)注意x→0时，(Ⅱ)因为—x3(x→0)，ln(1+2x