考研数学一（矩阵）模拟试卷1（共158题）

考研数学一（矩阵）模拟试卷1（共6套）（共158题）考研数学一（矩阵）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得到单位矩阵，记P1=，P2=，则A=()A、P1P2。B、P1-1P2。C、P2P1。D、P2P1-1。标准答案：D知识点解析：由题意B=AP1，P2B=E。从而由P2AP1=E可得A=P2-1P1-1=P2P1-1。故(D)选项正确。2、设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=()A、kA*。B、kn-1A*。C、knA*。D、k-1A*。标准答案：B知识点解析：对任何n阶矩阵都成立时，对某些特殊的n阶矩阵也成立，那么当A可逆时，由A*=｜A｜A-1有(kA)*=｜kA｜(kA)-1=kn｜A｜．A-1=kn-1A*．故应选(B)。3、设A是三阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，已知A的每行元素之和为k，A*的每行元素之间和为m，则｜A｜=()A、km。B、(-1)nkm。C、D、(-1)n标准答案：A知识点解析：将A的其余各列加到第1列，且利用A的每行元素之和为k，得显然｜A｜和｜B｜的第1列元素的代数余子式是相同的，将｜B｜按第一列展开，得｜A｜=k(B11+B21+…+Bn1)=k(A11+A21+…+An1)。因A11，A21，…，An1也是A*的第一行元素，故A11+A21+…+An2=m。故｜A｜=km。4、已知A=，A*是A的伴随矩阵，若R(A*)=1。则a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。标准答案：D知识点解析：A是4阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式可知R(A)=3R(A*)=1。反之，若R(A*)=1，则有Aij≠0，得R(A)≥3，但R(A)≠4(若R(A)=4，则R(A*)=4，这与R(A*)=1矛盾)，故R(A)=3，从而有R(A)=3(A*)=1。对矩阵A作初等变换，有若a=3，则A→，秩R(A)=3；若a=2，则A→，秩R(A)=4；若a=1，则A→，秩R(A)=3。所以，a=1或a=3时均有R(A)=3，R(A*)=1。应选(D)。5、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则()A、E-A不可逆，E+A不可逆。B、E-A不可逆，E+A可逆。C、E-A可逆，E+A可逆。D、E-A可逆，E+A不可逆。标准答案：C知识点解析：A3=OA3+E=E(A+E)(A2-A+E)=E，所以A+E可逆，A3=OA3-E=-E(E-A)(A2+A+E)=E，所以E-A可逆。故选(C)。6、设A=，则A-1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由分块矩阵运算法则再根据A-1=A*，及二阶矩阵的伴随矩阵，且利用以上公式及性质，应选(B)。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、A2-B3=(A+B)(A-B)的充分必要条件是________。标准答案：AB=BA知识点解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA。8、若A=，则An=_______。标准答案：知识点解析：将矩阵A分解为两个矩阵的和，即由于Bn=O(n≥3)，所以An=(E+B)n=En+nEn-1B+En-2B2上式当n=1和2时，仍成立。9、P1=，P2=，则P12009P2-1=_________。标准答案：知识点解析：P1==E23，因为Eij-1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2-1=P1P2-1=10、设A=，则(A-2E)-1=_____。标准答案：知识点解析：A-2E=，而则(A-2E)-1=11、已知A=，则(A-1)*=_______。标准答案：知识点解析：若A可逆，由A*=｜A｜A-1有(A-1)*=｜A-1｜(A-1)-1=而故(A-1)*=12、设A=，则A*+A*+A*=_______。标准答案：知识点解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜AE=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=，于是13、设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则R(A)=________。标准答案：2知识点解析：已知AB=0，因此根据乘积矩阵秩的性质，有R(A)+R(B)≤3，又因为B≠0，所以R(B)≥1，从而有R(A)≤2。显然A有两行不成比例，故R(A)≥2，于是R(A)=2。14、设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______。标准答案：-1知识点解析：由aij+Aij=0，得Aij=-aij。A*=(Aij)T=(-aij)T=-AT，因此AA*=-AAT=｜A｜E，等式两端取行列式得-｜A｜2=｜A｜3，从而得｜A｜=0或｜A｜=-1，假设｜A｜=0，则-AAT=0，于是A=0，与条件矛盾，所以｜A｜=-1。15、设矩阵A=，则A3的秩为_________。标准答案：1知识点解析：因为A2=A3=所以，A3的秩为1。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)16、设(2E-C-1B)AT=C-1，其中层是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵，且求矩阵A。标准答案：题设矩阵等式两边左乘矩阵C，得C(2E-C-1B)AT=CC-1，即(2C-B)AT=E。因2C-B=，｜2C-B｜=1≠0，故矩阵2C-B可逆，于是A=[(2C-B)-1]T=[(2C-B)T]-1=知识点解析：暂无解析17、设n阶矩阵A和B满足等式AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明：(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；(Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆；(Ⅲ)AB=BA。标准答案：(Ⅰ)由AB=aA+bB得到(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，从而A-bE和B-aE都可逆。(Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不为0，那么A可逆(B-aE)可逆bB可逆b可逆。(Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得，根据逆矩阵的定义，从而有即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件AB=aA+bB，得AB=BA。知识点解析：暂无解析18、设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E-BA也可逆。标准答案：对恒等式A-ABA=A-ABA变形，得(E-AB)A=A(E-BA)，又由E-AB可逆，可得A=(E-AB)-1A(E-BA)。再由E=E-BA9BA=E-BA+B(E-AB)-1A(E-BA)=[E+B(E-AB)-1A](E-BA)，故E-BA可逆，且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A。知识点解析：暂无解析19、设A，B为n阶可逆阵，证明：(AB)*=B*A*。标准答案：因A、B均为可逆矩阵，则由伴随矩阵及逆矩阵相关公式，有(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A=B*A*。知识点解析：暂无解析20、已知A，B为3阶矩阵，其中A可逆，满足2A-1B=B-4E。(Ⅰ)证明A-2E可逆；(Ⅱ)如果B=，求矩阵A。标准答案：(Ⅰ)由2A-1B=B-4E，得2B=AB-4,4，从而(A-2E)B=4A。等式两端取行列式有｜A-2E｜｜B｜=｜4A｜≠0，故｜A-2E｜≠0，因此A-2E可逆。(Ⅱ)由2A-1B=B-4E，得A(B-4E)=2B。因此有(BT-4E)AT=2BT，用初等变换法求解此矩阵方程(BT-4E:2BT)于是AT=那么，A=知识点解析：暂无解析21、已知A=，矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。标准答案：方程两边同时左乘矩阵A，且由公式AA*=｜A｜E，得｜A｜X=E+2AX，即(｜A｜E-2A)X=E，因此X=(｜A｜E-2A)-1。又｜A｜==4，｜A｜E-2A=故知识点解析：暂无解析22、设A，B都是可逆矩阵，证明可逆，并求它的逆矩阵。标准答案：因为=｜A｜｜B｜≠0，所以可逆。设，则从而BD21=0，由B可逆，得D21=0。由BD22=E，可得D22=B-1。由AD11+CD21=AD1=E，可得D11=A-1。由AD12+CD22=AD12+CB-1=0，可得D12=-A-1CB-1。故知识点解析：暂无解析23、设A是n阶非零矩阵，且A*=AT，证明：A可逆。标准答案：设A=，不妨设a11≠0，｜A｜=a11A11+a12A12+…+anA1n，因为A*==AT，所以aij=Aij,于是｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2＞0，故A为可逆矩阵。知识点解析：暂无解析24、设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：(Ⅰ)当n=2时，(A*)*=A；(Ⅱ)当n≥3时，(A*)*=｜A｜n-1A。标准答案：(Ⅰ)当n=2时，设A=，从而A*=因此(A*)*==A。(Ⅱ)当n≥3时，若｜A｜≠0，根据A*=A-1｜A｜，则｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜n-1，由A*(A*)*=｜A*｜E，可得(A*)*=｜A*｜(A*)-1=｜A｜n-1=｜A｜n-2A，当｜A｜=0时，R(A*)≤1＜n-1，因此(A*)*=0。命题仍成立。因此n≥3时，(A*)*=｜A｜n-2A。知识点解析：暂无解析25、设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。(Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；(Ⅱ)证明：AB=BA；(Ⅲ)已知B=，求矩阵A。标准答案：(Ⅰ)由A+2B=AB，有AB-2B-A+2E=2E，即(A-2E).(B-E)=E，根据矩阵可逆的定义，所以矩阵A-2E可逆。(Ⅱ)由(Ⅰ)知(A-2E)-1=(B-E)。那么(A-2E).(B-E)=(B-E)(A-2E)，即有AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E，故AB=BA。(Ⅲ)由(A-2E).(B-E)=E知A-2E=[(B-E)]-1，得A=2(B-E)-1+2E。因为(B-E)-1=所以知识点解析：暂无解析26、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：(Ⅰ)若｜A｜=0，则｜A*｜=0；(Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。标准答案：(Ⅰ)(反证法)假设｜A*｜≠0，由矩阵可逆的充分必要条件可知A*是可逆矩阵，则有A*(A*)-=E，因为由A-1=A*，可知A*=A-1｜A｜，由此得A=AE=AA*(A*)-1=｜A｜E(A*)-1=0，所以A*=0。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。(Ⅱ)由于从AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜A*｜=｜A｜n。当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n-1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。综上，均有｜A*｜=｜A｜n-1成立。知识点解析：暂无解析27、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵。构造(m+n)阶矩阵(Ⅰ)计算HG和GH；(Ⅱ)证明｜H｜=｜Em-AB｜=｜En-BA｜。标准答案：(Ⅰ)利用分块矩阵的乘法原则，可得(Ⅱ)由(Ⅰ)中结论，｜HG｜=｜Em｜.｜En-BA｜=｜En-BA｜，｜GH｜=｜Em-AB｜.｜En｜=｜Em-AB｜。又因为｜HG｜=｜H｜｜G｜=｜H｜=｜G｜｜H｜=｜GH｜，所以｜H｜=｜En-BA｜=｜Em-AB｜。知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A=E=E—2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T且有ξTξ=1。则①是对称矩阵；②A2是单位矩阵；③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：AT=(E—2ξξT)T=ET—(2ξξT)T=E—2ξξT=A，①成立。A2=(E—2ξξT)(E—2ξξT)=E—4ξξT+4ξξTξξT=E—4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A—1=AT，④成立。故选D。2、设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A—E恒可逆。上述命题中，正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。对于命题④，用分组因式分解，即AB—A—B+E=E，则有(A—E)(B—E)=E，所以得A—E恒可逆，命题④正确。综上所述，故选D。3、设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)2=E，则(E+BA—1)—1=()A、(A+B)B。B、E+AB—1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。标准答案：C知识点解析：因为(E+BA—1)—1=(AA—1+BA—1)—1=[(A+B)A—1]—1=(A—1)—1(A+B)—1=A(A+B)，故选C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)—1=(A+B)。4、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是()A、ATB、A2C、A*D、2A标准答案：D知识点解析：因A为正交矩阵，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，可见2A不为正交矩阵，故选D。事实上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT为正交矩阵。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2为正交矩阵。由A*=｜A｜A—1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*为正交矩阵。5、设。则必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。标准答案：C知识点解析：由于对矩阵Am×n施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对Am×n作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵，而经过观察A，B的关系可以看出，矩阵B是矩阵A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的P2与P1，故选C。6、已知A=，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。标准答案：D知识点解析：伴随矩阵秩的公式为r(A*)=可见r(A*)=1r(A)=3。对矩阵A作初等变换，有所以a=1或3时，均有r(A*)=1，故选D。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT=，则αTβ=________。标准答案：5知识点解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ=1+6+(—2)=5。8、已知2CA—2AB=C—B，其中，则C3=________。标准答案：知识点解析：由2CA—2AB=C—B，得2CA—C=2AB—B，因此有C(2A—E)=(2A—E)B。因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)—1，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—19、设A=，B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________。标准答案：知识点解析：由B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=。已知A=，因此10、设A=，A*为A的伴随矩阵，则(A*)—1=________。标准答案：知识点解析：由A*=｜A｜A—1可得(A*)—1=。11、已知A=，矩阵X满足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=________。标准答案：知识点解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E—2A)X=E，因此X=(｜A｜E—2A)—1。已知｜A｜=4，所以12、设矩阵A=，则A3的秩为________。标准答案：1知识点解析：依矩阵乘法直接计算得A3=，故r(A3)=1。13、已知，则秩r(AB+2A)=________。标准答案：2知识点解析：因为AB+2A=A(B+2E)，且是可逆矩阵，所以r(AB+2A)=r(A)。对A作初等行变换，则因此可得r(AB+2A)=2。14、设A=，B是三阶非零矩阵，且AB=0，则a=________。标准答案：知识点解析：因为AB=0，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠0，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0。而所以a=。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设A=，求An。标准答案：把矩阵A作如下拆分：知识点解析：暂无解析已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足A3X=3Ax—2A2X。16、记P=(x，Ax，A2x)。求三阶矩阵B，使A=PBP—1。标准答案：令等式A=PBP—1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax—2A2x)=(x，Ax，A2x)，所以B=。知识点解析：暂无解析17、计算行列式｜A+E｜。标准答案：知A～B，那么A+E～B+E，从而知识点解析：暂无解析18、已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA—1=BA—1+3E，求B。标准答案：在A*=｜A｜A—1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA—1=BA—1+3E移项并提取公因式得，(A—E)BA—1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A—1得(E—A—1)B=3E。由已求结果｜A｜=2，知得(E—A—1)—1=，因此B=3(E—A—1)—1=diag(6，6，6，—1)。知识点解析：暂无解析19、设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*。标准答案：因为A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA—1=E。在AA—1=E两边同时取转置可得(A—1)TAT=E，即(AT)—1=(A—1)T，所以(A*)T=(｜A｜A—1)T=｜A｜(A—1)T=｜AT｜(AT)—1=(AT)*。知识点解析：暂无解析设A=，问k为何值，可使：20、r(A)=1。标准答案：对A作初等变换，即当k=1时，r(A)=1。知识点解析：暂无解析21、r(A)=2。标准答案：当k=—2时，r(A)=2。知识点解析：暂无解析22、r(A)=3。标准答案：当k≠1且k≠—2时，r(A)=3。知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设A，b均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据公式AA*=｜A｜E，有因此(A)不正确。由于而=｜A｜｜B｜，满足公式AA*=｜A｜E，所以选(B)。经验证，(C)和(D)均不正确。2、设A是三阶方阵，将A的第1列和第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据初等矩阵的性质，，所以因此本题选(D)。3、设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则()A、C=P-1AP。B、C=PAP-1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案：B知识点解析：由题意得由于P-1=，所以(*)式可以表示为C=PAP-1。因此本题选(B)。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、设A=，则An=_______。标准答案：知识点解析：把A写成两个矩阵和的形式，即A==B+5E，其中B2=于是由二项式定理得An=(B+5E)n=(5E)n+n(5E)n-1B+(5E)n-2B2=5nE+n5n-1B+5n-2B25、已知A=，则An=________。标准答案：(-8)n-1A知识点解析：因为A=(1，2，-3)，故A2=(1，2，-3)(1，2，-3)=(1，2，-3)，即A2=-8A，由递推归纳法得An=(-8)n-1A。6、设A，B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B-2E)-1=_____。标准答案：知识点解析：对AB=2A+3B添加项构造出B-2E，即AB-2A-3B+6E=6E，分解因式，有(A-3E)(B-2E)=6E。从而(B-2E)-1=(A-3E)=7、已知A=，则A-1=__________。标准答案：知识点解析：因为，所以那么A-1=8、设A=，(A-1)*是A-1的伴随矩阵，则(A-1)*=_____。标准答案：知识点解析：因为A-1.(A-1)*=A-1.A.｜A-1｜=｜A-1｜E，所以有(A-1)*=｜A-1｜A=A。已知｜A｜=6，故(A-1)*=三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)9、设A、B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A-B)2=A+B，证明：AB=BA=0。标准答案：因为(A-B)2=A2-AB-BA+B2=A+B-(AB+BA)，所以AB+BA=0，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=0，即有AB=-ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=0，则有BA=-ABA。故有AB=BA=0。知识点解析：暂无解析10、已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A-B2是对称矩阵。标准答案：因为A-B2=A-BB=A+BTB，则有(A-B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A-B2，所以A-B2是对称矩阵。知识点解析：暂无解析11、某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?标准答案：用xi，yi分别表示i年后在岗与脱产职工的人数，x0，y0为目前在岗与脱产的人数，则用矩阵表示，有。因此所以，两年后在岗职工668人，培训人员332人。知识点解析：暂无解析12、设计算A2011。标准答案：先求A的低阶幂。由A2=，A3==2A可得A2.A=2A，依次类推，A2n+1=2nA，从而有A2011=21005A=知识点解析：暂无解析13、假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。标准答案：等式AB=A+B等价于AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E。由此可知，A-E与B-E互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E，将以上等式展开可得AB-A-B+E=BA-A-B+E，故AB=BA，即A，B可交换。知识点解析：暂无解析14、设A=，求A-1。标准答案：因AT=A，故(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1也是对称矩阵，而A11==3，A12==-1，A13==-1，A22==3，A23==-1，A33==4。故有A-1=知识点解析：暂无解析15、设A是n阶反对称矩阵。(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。标准答案：(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义：AT=-A，则｜A｜=｜AT｜=｜-A｜=(-1)n｜A｜，即[1-(-1)n]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。因为AT=-A，则由(A*)T=(AT)*有(A*)t=(At)*=(-A)*。又因(lA)*=ln-1A*，故当n=2k+1时，有(A*)T=(-1)2KA*=A*，即A*是对称矩阵。(Ⅱ)例如，A=是4阶反对称矩阵，且不可逆。知识点解析：暂无解析16、设A为n阶可逆矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n-2A。标准答案：根据公式AA*=｜A｜E，得A*(A*)*=｜A*｜E，由于｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜n-1，由A可逆知A*可逆，又A*=A-1｜A｜，有(A*)-1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)-1=｜A｜n-1.=｜A｜n-2A。知识点解析：暂无解析17、已知A=，且有AXB=AX+A2B-A2+B，求X。标准答案：由A可逆，方程两边左乘A-1，得XB=X+AB-A+A-1B．X(B-E)=A(B-E)+A-1B。由于B-E也可逆，且有A-1=，(B-E)-1=所以有X=A+A-1B(B-E)-1知识点解析：暂无解析18、设A=，矩阵X满足AXA-ABA=XA-AB，求X3。标准答案：由已知条件有(A-E)XA=AB(A-E)，而显然A，A-E可逆，所以X=(A-E)-1AB(A-E)A-1，而A-E=，A-1=，(A-E)-1=则X=(1，1，1)，所以知识点解析：暂无解析19、求A=的秩。标准答案：将矩阵A用初等变换化为行阶梯形矩阵。(1)当a=b=0时，R(B)=0R(A)=0；(2)当a与b至少有一个不为零时①a+3b≠0且a-b≠0时，R(B)=4R(A)=4；②a+3b=0，但a-b≠0时，R(B)=3R(A)=3；③a+3b≠0，但a-b=0时，R(B)=1R(A)=1。知识点解析：暂无解析20、设A=，判断A是否可逆，若A可逆，求A-1。标准答案：矩阵A的行列式｜A｜==-3≠0，故A可逆。于是A-1=知识点解析：暂无解析21、设A=，且A2-AB=E，求B。标准答案：由A2-AB=E，得AB=A2-E，因为A可逆，所以B=A-1(A2-E)=A-A-1，而所以A-1=，于是B=A-A-1=知识点解析：暂无解析22、设a是n维单位列向量，A=E-ααT，证明：R标准答案：因为A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααTααT=E-ααT=A，所以A(E-A)=0，于是R(A)+R(E-A)≤n。又因为R(A)+R(E-A)≥R(E)=n，所以R(A)+R(E-A)=n。由A=E-ααT得E-A=ααT，于是R(E-A)=R(ααT)=R(α)=1，故R(A)=n-1。知识点解析：暂无解析23、设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=标准答案：当R(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n-1≠0，所以R(A*)=n。当R(A)=n-1时，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=0，所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n-1，故R(A*)≤1。又因为R(A)=n-1，由矩阵秩的定义，A的最高阶非零子式为n-1阶，即存在Mij≠0，所以Aij=(-1)i+jMij≠0，从而A*≠0，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。当R(A)＜n-1时，因为A的所有n一1阶子式都为零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。知识点解析：暂无解析24、设C=，其中A，B为n阶矩阵，A，B的伴随矩阵为A*，B*，求C的伴随矩阵。标准答案：因为CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，其中E为2n阶单位矩阵，而=｜A｜｜B｜E，其中E1是n阶单位矩阵。故C*=知识点解析：暂无解析25、设A，B分别为m和n阶可逆矩阵，C为m×n矩阵，求标准答案：令得AX11+CX21=Em，AX12+CX22=0，BX21=0，BX2=En，于是X11=A-1，X22=0，X22=B-1，X12=-A-1CB-1，故AY11=Em，AY12=0，CY11+BY21=0，CY12+BY22=En，于是有Y11=A-1，Y12=0，Y21=-B-1CA-1，Y22=B-1，故知识点解析：暂无解析26、设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A可逆，构造两个2n阶矩阵：(Ⅰ)求HG；(Ⅱ)证明｜H｜=｜A｜｜B-DA-1C｜。标准答案：(Ⅰ)由分块矩阵的乘法运算法则可得(Ⅱ)｜H｜｜G｜==｜A｜｜B-DA-1C｜。又因为｜G｜=｜E｜2=1，所以｜H｜=｜A｜｜B-DA-1C｜。知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、两个4阶矩阵满足A2＝B2，则A、A＝B．B、A＝－B．C、A＝B或A＝－B．D、｜A｜＝｜B｜或｜A｜＝－｜B｜．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的－1倍加到第2列上得C．P＝则C＝()．A、P-1AP．B、PAP-1．C、PTAP．D、PAPT．标准答案：B知识点解析：根据初等矩阵的有关性质，则B＝PA，C＝BP-1，得C＝PAP-1．3、设A为3阶矩阵，P＝(α1，α2，α3)为3阶可逆矩阵，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知PTAP＝，则QTAQ＝()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：显然关键是Q和P，的关系．由矩阵分解，有4、设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则A、交换A*的1，2行得到B*．B、交换A*的1，2列得到B*．C、交换A*的1，2行得到－B*．D、交换A*的1，2列得到－B*．标准答案：D知识点解析：B＝因为A是可逆矩阵，所以B也可逆，则B*＝｜B｜B-1．于是B*＝－A*得结论：交换A*的1，2列得到－B*．5、设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，a11，a12，a13为3个相等的正数，则它们为A、／3．B、3．C、1／3．D、．标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设A，B，C都是n阶矩阵，满足B＝E＋AB，C＝A＋CA，则B－C为A、E．B、－E．C、A．D、－A．标准答案：A知识点解析：由B＝E＋AB得(E－A)B＝E，由C＝A＋CA得C(E－A)＝A，则C(E－A)B＝AB，得C＝ABB－C＝E＋AB－AB＝E．7、A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①A是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．则其中可推出AB＝BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．标准答案：D知识点解析：①和③的成立是明显的．②是不对的，如④AB＝cE，在c≠0时可推出AB＝BA，但是c＝0时则推不出AB＝BA．⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．二、解答题(本题共33题，每题1.0分，共33分。)8、(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．标准答案：(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C＝AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，cij＝0．cij＝A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i－1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n－j个分量都是0，而i－1＋n－j＝n＋(i－j－1)≥n，因此cij＝0．cii＝ai1b1i＋…＋aii-1bi-1i＋aiibii＋aii+1bi+1i＋…＋ainbni＝aiibii(ai1…＝aii-1＝0，bi+1i＝…＝bni＝0)．(2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a22k，annk．设f(A)＝amAm＋am-1Am-1＋…＋1A＋a0E.aiAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a11)，f(a22)，f(ann)．知识点解析：暂无解析9、n维向量α＝(a，0，…，0，a)T，a＜0，A＝E－ααT，A-1＝E＋a-1ααT，求α．标准答案：(E－ααT)(E＋α-1ααT)＝EE＋a-1ααT－ααT－a-1ααTααT＝Ea-1ααT－ααT－a-1ααTααT＝0，(αTα＝2a2)(a-1－1－2α)ααT＝0．a-1－1－2a＝0，(因为ααT不是零矩阵．)1－a－2a2＝0，a＝－1．知识点解析：暂无解析10、A＝E－αβT，其中α，β都是n维非零列向量，已知A2＝3E－2A，求αTβ．标准答案：A2＝3E－2A，A2＋2A－3E＝0，(A＋3E)(A－E)＝0，(4E－αβT)(－αβT)＝0，4αβT－αβTαβT＝0，(4－βTα)αβT＝0，4－βTα＝0，βTα＝4，从而αTβ＝βTα＝4。知识点解析：暂无解析11、设A＝αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，Ak＝(βTα)k-1A＝(tr(A))k-1A．(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)标准答案：Ak＝(αβT)k＝αβTαβT…αβTαβT＝α(βTα)(βTα)…(βTα)βT＝(βTα)k-1A．βTα＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，而a1b1，a2b2，…，anbn正好是A＝αβT的对角线上各元素，于是βTα＝tr(A)，Ak＝(tr(A))k-1A．知识点解析：暂无解析12、设A＝，求An．标准答案：先求A2．A2＝＝2A．A2＝2A即AA＝2A，A在乘A上的作用相当于2乘A，于是An＝An-1A＝2n-1A．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：记此矩阵为A．即A2A＝－2A．则A2017(A2)1008A＝(－2)1008A＝21008A．知识点解析：暂无解析14、设A＝，(1)证明当n＞1时An＝An-2＋A2－E．(2)求An．标准答案：(1)An＝An-1＋A2－E即An－An-2＝A2－E．An-2(A2－E)＝A2－E．只要证明A(A2－E)＝A2－．此式可以直接检验：(2)把An＝An-2＋A2－E作为递推公式求An．n是偶数2k时：A2k＝A2k-2＋A2－E＝A2k-4＋2(A2－E)＝……＝k(A2－E)＋E．n是奇数2k＋1时：A2k+1＝AA2k＝A[k(A2－E)＋E]＝k(A2－E)＋A．知识点解析：暂无解析15、求标准答案：记此矩阵为A，记B＝，则A＝B＋E．因为B和E乘积可交换，对A10＝(B＋E)10可用二项展开式：(B＋E)10＝C10iB10-i．注意矩阵B满足：B2＝，而当n＞2时Bn是零矩阵．于是A10＝C108B2＋C109B＋E＝45B2＋10B＋E＝知识点解析：暂无解析16、3阶矩阵A，B满足ABA*＝2BA*＋E，其中A＝，求｜B｜．标准答案：用A从右侧乘ABA*＝2BA*＋E的两边，得｜A｜AB＝2｜A｜B＋A，｜A｜(A－2E)B＝A，两边取行列式｜A｜3｜A－2E｜｜B｜＝｜A｜，｜B｜＝知识点解析：暂无解析17、设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3．求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B．标准答案：由于α1，α2，α3，线性无关，矩阵P＝(α1，α2，α3)可逆，并且E＝P-1(α1，α2，α3)＝(P-1α1，P-1α2，P-1α3)，则P-1α1(1，0，0)T，P-1α2＝(0，1，0)T，P-1α3＝(0，0，1)T，于是B＝P-1AP＝P-1A(α1，α2，α3)＝P-1(α1＋α2＋α3，2α2＋α3，2α2＋3α3)＝知识点解析：暂无解析18、A是3阶矩阵，α是3维列向量，使得P＝(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α＝3Aα－2A2α．(1)求B，使得A＝PBP-1．(2)求｜A＋E｜．标准答案：(1)A＝PBP-1即AP＝PB或A(α，Aα，A2α)＝(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)＝(Aα，A2α，A3α)＝(Aα，A2α，3Aα－2A2α)＝(α，Aα，A2α)B＝(2)A＋E＝P(B＋E)P-1．则｜A＋E｜＝｜P｜｜B＋E｜｜P-1｜＝｜B＋E｜＝＝－4．知识点解析：暂无解析19、设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，｜A｜＝1，B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3)，求｜B｜．标准答案：B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3)＝(α1，α2，α3)｜B｜＝｜α1，α2，α3｜＝2．知识点解析：暂无解析20、已知＝3，求标准答案：记α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，γ＝(c1，c2，c3)T，所求行列式相应的矩阵为：(λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα)．将它对(α，β，γ)做矩阵分解，得(λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα)＝(α，β，γ)两边求行列式，得所求行列式的值：｜λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα｜＝3(λ3＋μ3)．知识点解析：暂无解析21、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的逆矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．(1)的逆矩阵可用初等变换法计算：(2)的逆矩阵也可用初等变换法计算：(3)的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为，求Dij．由则BD21＝0，得D21＝0(因为B可逆)．BD21＝0，得D22＝B-1．AD11＋CD21E，即AD11＝E，得D11＝A-1．AD12＋CD22＝0．得D12＝－A-1CB-1．(4)用(3)的方法，得知识点解析：暂无解析22、设3阶矩阵A＝，A-1XA＝XA＋2A，求X．标准答案：A-1XA＝XA＋2AA-1X＝X＋2EX＝AX＋24(E－A)X＝2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：知识点解析：暂无解析23、矩阵A＝，求解矩阵方程2A＝XA－4X．标准答案：化2A＝XA－4X得X(A－4E)＝2A．用初等变换法解此矩阵方程：知识点解析：暂无解析24、4阶矩阵A，B满足ABA-1＝BA-13E，已知A*，求B．标准答案：用A右乘ABA-1＝BA-1＋3E的两边，得AB＝B＋3A；再用A*从左乘两边，得｜A｜B＝A*B＋3｜A｜E，由｜A*｜＝8，得｜A｜＝2，代入上式：(2E－A*)B＝6E，用初等变换法求得知识点解析：暂无解析25、已知A＝，B＝，XA＋2B＝AB＋2X，求X2017．标准答案：由XA＋2B＝AB＋2X化得：X(A－2E)＝(A－2E)B，即X＝(A－2E)B(A－2E)-1，则X2017＝(A－2E)B2017(A－2E)-1＝(A－2E)B(A－2E)-1＝X，再从关于X的矩阵方程X(A－2E)＝(A－2E)B用初等变换法解得X＝知识点解析：暂无解析26、设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(2，－1，1)T都是齐次线性方程组AX＝0的解．求A．标准答案：令α3＝(1，1，1)T，则Aα3＝(2，2，2)T，建立矩阵方程：A(α1，α2，α3)＝(0，0，2α3)，用初等变换法解得知识点解析：暂无解析27、设A是3阶矩阵，交换A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q．使得C＝AQ．标准答案：利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系，得知识点解析：暂无解析28、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．于是可利用公式A*＝｜A｜A-1来求伴随矩阵．知识点解析：暂无解析29、设A是n阶非零实矩阵，满足A*＝AT．证明｜A｜＞0．标准答案：把条件A*＝AT写出，则aij＝Aij，i，j．于是｜A｜＝由于A是实矩阵，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知识点解析：暂无解析30、设A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)都是3阶矩阵．规定3阶矩阵证明C可逆的充分必要条件是A，B都可逆．标准答案：由矩阵乘法的定义可看出C＝(β1，β2，β3)＝ATB．于是｜C｜＝｜AT｜｜B｜＝｜A｜｜B｜．则｜C｜≠0｜A｜≠0并且｜B｜≠0即C可逆A，B都可逆．知识点解析：暂无解析31、设A是n阶实反对称矩阵，证明E＋A可逆．标准答案：设n是一个n维实向量，满足(E＋A)η＝0，要证明η＝0．用ηT左乘上式，得ηT(E＋A)η＝0，即ηTη＝－ηTAη由于A是反对称矩阵，ηTAη是一个数，ηTAη＝(ηTAη)T＝－ηTAη，因此ηTAη＝0于是ηTη＝0η是实向量，(η，η)＝ηTη＝0，从而η＝0．知识点解析：暂无解析32、设A，B都是n阶矩阵，E－AB可逆．证明E－BA也可逆，并且(E－BA)-1＝E＋B(E－AB)-1A．标准答案：由题意得，实际上只要证明等式(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝E成立，两个结论就都得到了!(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝(E－BA)＋(E－BA)B(E－AB)-1A＝(E－BA)＋(B－BAB)(E－AB)-1A＝(E－BA)＋B(E－AB)(E－AB)-1A＝E－BA＋BA＝E．知识点解析：暂无解析33、设AB是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A-1B＝B－4E．证明A－2E可逆．标准答案：用A左乘2A-1B＝B－4E两侧得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知识点解析：暂无解析34、设n阶矩阵A，B满足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，证明(1)A－bE和B－aE都可逆．(2)AB＝BA．标准答案：(1)由A－bE和B－aE都可逆(A－bE)(B－aE)可逆．直接计算(A－bE)(B－aE)．(A－bE)(B－aE)＝AB－aA－bB＋abe＝abE．因为ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆．(2)利用等式(A－bE)(B－aE)＝abE，两边除以ab，得再两边乘ab，得(B－aE)(A－bE)＝abE，即BA－aA－bB＋abE＝abE．BA＝aA＋bB＝AB．知识点解析：暂无解析35、A，B都是n阶矩阵，并且B和E＋AB都可逆，证明：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1A．标准答案：对此等式进行恒等变形：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1AB(E＋AB)-1＝B－B(E＋AB)-1AB(用B右乘等式两边)B(E＋AB)-1＋B(E＋AB)-1AB＝BB(E＋AB)-1(E＋AB)＝B．最后的等式显然成立．知识点解析：暂无解析36、设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．标准答案：(E＋AB)-1A对称，就是[(E＋AB)-1A]T＝(E＋AB)-1A．[(E＋AB)-1A]T＝A[(E＋AB)-1]T＝A[(E＋AB)T]-1＝A(E＋BA)-1．于是要证明的是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1．对此式作恒等变形：(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1A＝(E＋AB)A(E＋BA)-1(用E＋AB左乘等式两边)A(E＋BA)＝(E＋AB)A(用E＋BA右乘等式两边)．等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．显然成立，于是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1成立．知识点解析：暂无解析37、设A，B都是n阶矩阵，使得A＋B可逆，证明B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．标准答案：两边都加A(A＋B)-1A后，都等于A：B(A＋B)-1A＋A(A＋B)-1A＝(B＋A)(A＋B)-1A＝A．A(A＋B)-1B＋A(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1(B＋A)＝A．因此B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．知识点解析：暂无解析38、设A，B都是n阶矩阵，并且A是可逆矩阵．证明：矩阵方程AX＝B和XA＝B的解相同AB＝BA．标准答案：AX＝B的解为A-1B，XA＝B的解为BA-1．AX＝B和XA＝B的解相同即A-1B＝BA-1．作恒等变形：A-1B＝BA-1B＝ABA-1BA＝AB．知识点解析：暂无解析39、设A＝，求与A乘积可交换的所有矩阵．标准答案：与A乘积可交换的矩阵一定是2阶矩阵．设X＝则AX＝AX＝XA即：aχ1＋χ3＝aχ1＋χ2，aχ2＋χ4＝χ1，χ1＝aχ3＋χ4，χ2＝χ3，整理得χ1，χ2，χ3，χ4的齐次线性方程组解得通解为c1(a，1，1，0)T＋c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则与A乘积可交换的矩阵的一般形式为c1A＋c2E，c1，c2任意．知识点解析：暂无解析40、(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．标准答案：(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0．设A的对角线元素为λ1，λ1，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λjbij因为AB＝BA，得λibij＝λjbij因为λi≠λj，所以bij＝0．(2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则CA的(i，j)位元素为ciiAC的(i，j)位元素为cjj．于是cii＝cjj．这里的i，j是任意的，从而c11＝c22…cnn．知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A和B都是n阶矩阵，则必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)—1=A—1+B—1。标准答案：C知识点解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C项正确。取B=—A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A项错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D项也不正确。故选C。2、下列命题中①如果矩阵AB=E，则A可逆且A—1=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。正确的是()A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。标准答案：D知识点解析：如果A，B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。例如显然A不可逆。若A，B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A、B均可逆，于是ABA=B—1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。若设显然A，B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。由于A，B为均n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆，因此④正确。综上分析可知，故选D。3、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()A、ACB=E。B、CBA=E。C、BAC=E。D、BCA=E。标准答案：D知识点解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项，故选D。4、设A是三阶矩阵，其中a11≠0，Aij=aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，则｜2AT｜=()A、0。B、2。C、4。D、8。标准答案：D知识点解析：｜2AT｜=23｜AT｜=8｜A｜，且由已知故A*=AT。又由AA*=AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜AAT｜=｜A｜2=｜A｜｜A｜｜E｜=｜A｜3，即｜A｜2(｜A｜—1)=0，又a11≠0，则｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故｜A｜=1，从而｜2AT｜=8，故选D。5、设A=，那么(P—1)2010A(Q2011)—1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P，Q均为初等矩阵，因为P—1=P，且P左乘A相当于互换矩阵A的第一、三两行，所以P2010A表示把A的第一、三行互换2010次，从而(P—1)2010A=P2010A=A。又(Q2011)—1=(Q—1)2011，且Q—1=，而Q—1右乘A相当于把矩阵A的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以A(Q—1)2011表示把矩阵A第二列的各元素2011倍加到第一列相应元素上去，故选B。6、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()A、当m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、当m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、当n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、当n＞m，必有行列式｜AB｜=0。标准答案：B知识点解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而｜AB｜=0，故选B。7、设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则()A、r(A)=m，r(B)=mB、r(A)=m，r(B)=nC、r(A)=n，r(B)=mD、r(A)=n，r(B)=n标准答案：A知识点解析：因为AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m，故选A。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设α=(1，2，3)T，β=，A=αβT，则A3=________。标准答案：知识点解析：，且矩阵的乘法满足结合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。9、设方阵A满足A2—A—2E=0，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)—1=________。标准答案：知识点解析：由A2—A—2E=0，可得(A+2E)(A—3E)=—4E，于是有(A+2E)—1(A+2E)(A—3E)=—4(A+2E)—1，因此(A+2E)—1=。10、设，且A，B，X满足(E—B—1A)TBTX=E，则X—1=________。标准答案：知识点解析：由(E—B—1A)TBTX=E，得[B(E—B—1A)TX=E，即(B—A)TX=E，因此11、设矩阵A的伴随矩阵A*=，则A=________。标准答案：知识点解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)—1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得｜A*｜=—8=｜A｜3，因此｜A｜=—2，又12、设三阶方阵A，B满足关系式A—1BA=6A+BA，且A=，则B=________。标准答案：知识点解析：在等式A—1BA=6A+BA两端右乘A—1，可得A—1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)—A，且13、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________。标准答案：2知识点解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。14、已知，且AXA*=B，r(X)=2，则a=________。标准答案：0知识点解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则15、设A是一个n阶矩阵，且A2—2A—8E=0，则r(4E—A)+r(2E+A)=________。标准答案：n知识点解析：已知A2—2A—8E=0，可得(4E—A)(2E+A)=0，根据矩阵秩的性质可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)16、已知，且AX+X+B+BA=0，求X2006。标准答案：由AX+X+B+BA=0可得(A+E)x=—B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=—(A+E)—1B(E+A)，故X2006=(A+E)—1B2006(E+A)=(A+E)—1(E+A)=E。知识点解析：暂无解析17、设矩阵A的伴随矩阵A*=，且ABA—1=BA—1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n—1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA—1=BA—1+3E两边先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是知识点解析：暂无解析设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：18、若｜A｜=0，则｜A*｜=0。标准答案：(反证法)假设｜A*｜≠0，则有A*(A*)—1=E。又因为AA*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)—1=｜A｜E(A*)—1=O，所以A*=O。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。知识点解析：暂无解析19、｜A*｜=｜A｜n—1。标准答案：由于AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n—1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。综上，有｜A*｜=｜A｜n—1成立。知识点解析：暂无解析20、设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。标准答案：根据题意可知B=(α1，α2，α3)=AP其中P=，则｜P｜=—2且P—1=，所以｜B｜=｜A｜.｜P｜=—2。于是B*A=｜B｜.B—1A=—2P—1.(A—1A)=—2P—1=知识点解析：暂无解析21、设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明标准答案：(1)当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜n—1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。(2)当r(A)=n—1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n—1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n—1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知AA*=0。根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n—1代入上式，得r(A*)≤1。综上所述，有r(A*)=1。(3)当r(A)≤n—2时，A的所有n—1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r(A*)=0。知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是()A、AB=0A=0且B=0。B、A=D｜A｜=0。C、｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。D、｜A｜=1A=E。标准答案：C知识点解析：取，则AB=O，但A≠O，B≠O，A项不成立。取，B项不成立。取，D项不成立。｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故选C。2、设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是()A、A+B是对称矩阵。B、AB是对称矩阵。C、A*+B*是对称矩阵。D、A—2B是对称矩阵。标准答案：B知识点解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A—2B)T=AT—(2BT)=A—2B，从而A、D两项是正确的。首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知C项是正确的。因为(AB)T=BTAT=BA，从而B项不正确，故选B。注意：当A，B