考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷3（共135题）

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷3（共9套）（共135题）考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设g(x)=其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f’(0)=1。(Ⅰ)a、b为何值时，g(x)在x=0处连续；(Ⅱ)a、b为何值时，g(x)在x=0处可导。标准答案：(Ⅰ)若要g(x)在x=0处连续，必须=g(0)，即b=-1。故b=-1，a为任意实数时，g(x)在x=0处连续。(Ⅱ)若g(x)在x=0处可导，则g(x)在x=0处连续(b=-1)，且g’-(0)=g’+(0)，所以当a=[f’’(0)-1]，b=-1时，g(x)在x=0处可导。知识点解析：暂无解析3、试讨论函数在x=0处的可导性。标准答案：当△x＜0时，f(△x)=0，由导数的定义当△x＞0时，则有当△x→0时，上式的极限不存在，故函数在x=0处的右导数不存在，因此f(x)在x=0处不可导。知识点解析：暂无解析4、将长为a的一段铁丝截成两段，用二段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?标准答案：设围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a－x，于是圆的半径r=x／2π，正方形边长1／4(a－x)，问题是求面积．S(x)=π(x／2π)2+[1／4(a－x)]2，x∈(0，a)的最小值点．由时面积和最小．知识点解析：暂无解析5、求极限标准答案：原式==0。知识点解析：暂无解析6、求函数f(x，y)=x3一y3+3x2+3y2一9x的极值。标准答案：由已知得，f’x(x，y)=3x2+6x一9，f’y(戈，y)=一3y2+6y。令进而得到驻点为M1(1，0)，M2(1，2)，M3(一3，0)，M4(一3，2)。又f"xx(x，y)=6x+6，f"xy(x，y)=0，f"yy(x，y)=一6y+6。在点M1(1，0)处，A=12，B=0，C=6。则AC—B2=72＞0且A＞0，故f(1，0)=一5为极小值；在点M2(1，2)处，A=12，B=0，C=一6。则AC—B2=一72<0，故f(1，2)不是极值；在点M3(一3，0)处，A=一12，B=0，C=6。则AC—B2=一72＜0，故f(一3，0)不是极值；在点M4(一3，2)处，A=一12，B=0，C=一6。则AC—B2=72＞0且A＜0，故f(一3，2)=31为极大值。知识点解析：暂无解析7、将函数f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和。标准答案：f(x)为偶函数，由傅里叶级数的系数公式，得a0=2∫01(2+x)dx=5，an=2∫01(2+x)cos(nπx)dx=(n=1，2，3’…)，bn=0(n=1，2，3，…)。因为f(x)=2+｜x｜在区间[一1，1]上满足狄利克雷收敛定理条件，所以知识点解析：暂无解析8、将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1，2，…，n．将这n个小球随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球．问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?标准答案：知识点解析：暂无解析9、设在D=[a，b]×[c，d]上连续，求并证明：I≤2(M一m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：令C=，则由AC-CA=B得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC-CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为即C=(其中c1，c2为任意常数)。知识点解析：暂无解析11、设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么又因｜λE-A｜==(λ-2)(λ-5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，-4。对λ=5，由(5E-A)x=0得基础解系α2=(1，-1，1)T。对λ=-4，由(-4E-A)x=0得基础解系α3=(-1，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即知识点解析：暂无解析12、计算标准答案：2πa2知识点解析：暂无解析13、设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．标准答案：知识点解析：暂无解析飞机以匀速ν沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2ν．14、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得知识点解析：暂无解析15、导弹运行方程．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析2、求下列函数的导数y’：标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)当x≠0时，由求导法则得f’(x)=；当x=0时，由导数定义得知识点解析：暂无解析3、讨论函数f(x)=的连续性．标准答案：当x≠0时，函数f(x)连续，x=0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析4、设α1，α2，…，αs是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．标准答案：设c1α1＋c2α2＋…＋csαs＝0，对每个i，ci‖αi‖＝(αi，c1α1＋c2α2＋…＋csαs)＝0，而‖αi‖≠0，于是ci＝0．从而α1，α2，…，αs线性无关．知识点解析：暂无解析5、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上的均匀分布，试求Z=∣X一Y∣的数学期望与方差。标准答案：如图4—2所示，(X，Y)的概率密度为f(x，y)=因此E(Z)=E(∣X—Y∣)=∫-∞+∞∫-∞+∞∣x一y∣f(x，y)dxdyE(Z2)=E[(X一Y)2]=∫-∞+∞∫-∞+∞(x一y)2(x，y)dxdy=∫02dx∫02(x一y)2.故D(Z)=E(Z2)一[E(Z)]2=知识点解析：暂无解析6、求标准答案：方法一知识点解析：暂无解析7、设Γ：x=x(t)，y=y(t)(α＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)在(α，β)内有连续的导数且x’2(t)+y’2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数．若P0∈Γ是函数f(x，y)在Γ上的极值点，证明：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向的方向导数为零．标准答案：其中cosα，cosβ为切线r的方向余弦．当(x，y)∈Γ时，f(x，y)为t的一元函数f[x(t)，t(t)]，记P0对应的参数为t0．因为t0为一元函数f[x(t)，y(t)]的极值点，所以d／dtf[x(t)，y(t)]=0．Г在点P0处的切向量为{x’(t0)，y’(t0)}，其对应的单位向量为知识点解析：暂无解析8、设={一1，4，2}，求△ABC的面积．标准答案：=｛一2，一1，一3｝×｛一1，4，2｝=｛10，7，一9｝，则△ABC的面积为S=．知识点解析：暂无解析9、设平面薄片所占的区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在(x，y)处的面密度ρ(x，y)=x2y，求此薄片的重心．标准答案：设此薄片的重心为，则知识点解析：暂无解析10、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x一3e2x为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1=e2x，y2=2e－x一3e2x为特解，所以e2x，e－x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=一1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程为y’’－y’一2y=0．知识点解析：暂无解析11、设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα1=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．标准答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0；由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1；由Aα3=α1+α3得(A—E)α3=α2，令k1α1+k2α2+k3α3=0，(1)(1)两边左乘A—E得k2α1+k3α2=0，(2)(2)两边左乘A—E得k3α1=0，因为α1≠0，所以k3=0，代入(2)、(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析12、设A是3阶实对称矩阵，A的特征值是6，一6,0，其中λ=6与λ=0的特征向量分别是(1，a，1)T及(a，a+1，1)T，求矩阵A．标准答案：因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交(5．12)，所以1×a+a(a+1)+1×1=0a=－1．设属于λ=－6的特征向量是(x1，x2，x3)T，它与λ=6，λ=0的特征向量均正交，于是解得(1，2，1)T是λ=－6的特征向量．那么，A～知识点解析：暂无解析设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且an≠0，若Aα1=α2，Aα22=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．13、证明：α1，α2，…，αn线性无关；标准答案：令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0x1α2＋x2α3+…+xn－1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…＋xn－1Aαn=0x1α3+x2α4+…+xn－2αn=0…x1αn=0因为αn≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．知识点解析：暂无解析14、求A的特征值与特征向量．标准答案：A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，令P=(α1，α2，…，αn)，则P－1AP==λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。附表：t分布表标准答案：设该次考试的考生成绩为X，则X～N(μ，σ2)，设X为从总体X抽取的样本容量为n的样本均值，S为样本标准差，则在显著性水平α=0．05下建立检验假设：H0：μ=μ0=70，H1：μ≠70，由于σ2未知，故用t检验。选取检验统计量在μ=μ0=70时，X～N(70，σ2)，T～t(35)。选择拒绝域为R={|T|≥λ}，其中λ满足：P{|T|≥λ)=0．05，即P{|T|≤A}=0．975，λ=t0．975(35)=2．0301。由n=36，=66．5，μ0=70，s=15，可算得统计量T的值所以接受假设H0：μ=70，即在显著性水平为0．05时，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。知识点解析：暂无解析2、设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．标准答案：设有数x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β．对此方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵可见(1)当(4一k)(k+1)≠0，即k≠4且k≠=—1时，r(A)==3，方程组有唯一解．此时，对矩阵B作初等行变换，可得方程组的唯一解为：。(2)当k=一1时，r(A)=2，而=3，方程组无解，故此时β不能由α1，α2，α3线性表示．(3)当k=4时，对矩阵B作初等行变换：由此得方程组的通解为x1=一3c，x2=4一c，x3=c，其中c为任意常数，故此时有β=一3cα1+(4一c)α2+cx3(c为任意常数)．知识点解析：暂无解析3、已知的一个特征向量．(1)试确定参数a、b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．标准答案：(1)由从而λ=一1对应的线性无关特征向量只有1个，故A不能相似于对角阵．知识点解析：本题主要考查特征值与特征向量的定义，特征值的计算及方阵相似于对角阵的条件．注意，如果方阵A的特征值都是单特征值，则A必相似于对角阵；如果A有重特征值，则A相似于对角阵对应于A的每个特征值的线性无关特征向量个数，正好等于该特征值的重数．4、将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：如图9．5，x2+y2=2ax与x2+y2=2ay，是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对x求积分，则知识点解析：暂无解析5、设函数f(u)具有二阶连续导数，函数z=f(exsin)，)满足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求函数f(u)的表达式。标准答案：代入=(z+1)e2x，得f’’(u)-f(u)=1。此方程对应的齐次方程f’’(u)-f(u)=0的通解为f(u)=C1eu+C22e-u方程的一个特解为f(u)=-1。所以方程f’’(u)-f(u)=1的通解为f(u)=C1eu+C2e-u-1，其中C1，C2为任意常数。由f(0)=0，f’(0)=0得C1=C2=，从而函数f(u)的表达式为f(u)=(eu+e-u)-1。知识点解析：暂无解析6、设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析7、已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。标准答案：由Aαi=iαi(i=1，2，3)，且αj(i=1，2，3)非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，所以(α，Aα，A2α)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故｜P｜=2≠0，所以α，Aα，A2α线性无关。知识点解析：暂无解析8、假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记(Ⅰ)求U和V的联合分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数ρ．标准答案：(Ⅰ)(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且P{U=0，V=0}=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y}=1／4，P{U=1，V=0}=P{X＞Y，X≤2Y}=P{Y＜X≤2Y}=1／4，P{U=1，V=1}=P{X＞Y，X＞2Y}=P{X＞2Y}=1／2．于是(X，Y)的联合分布为(Ⅱ)从(Ⅰ)中分布表看出EU=3／4，DU=3／16，EV=1／2，DV=1／4；EUV=P{U=1，V=1}=1／2，Cov(U，V)知识点解析：暂无解析9、(1)用x=et化简微分方程(2)求解标准答案：本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题．(1)令x=et，则(2)对应的齐次方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0，特征根r1，2=－1±2i，所以y齐通(t)=e－t(C1cos2t+C2sin2t)．令y*(t)=(at+b)et，代入原方程，得a=2，b=－1．故y通(t)=e－t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t－1)et，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析10、设x=x(t)由．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．知识点解析：暂无解析设随机变量X1，X2，…，Xm＋n(m＜n)独立同分布，其方差为σ2，令Y=Xi，Z=Xm＋k．求：12、D(Y)，D(Z)；标准答案：因为X1，X2，…，Xm＋n相互独立，所以知识点解析：暂无解析13、ρYZ．标准答案：Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm＋1+…+Xn)，Xm＋1+…+Xm－n]=Cov(X1+…+Xm，Xm＋1+…+Xm＋n)+Cov(Xm＋1+…+Xn，Xm＋1+…+Xm＋n)=D(Xm＋1+…+Xn)+Cov(Xm＋1+…+Xn，Xn＋1+…+Xm＋n)=(n一m)σ2则ρYZ=．知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设y=y(x)由标准答案：知识点解析：暂无解析2、求一块铅直平板如图3．1所示在某种液体(比重为γ)中所受的压力．标准答案：液体中深度为h处所受的压强为p=hγ，从深度为a到x之间平板所受的压力记为P(x)，任取[x，x+△x]上小横条，所受压力为△P=P(x+△x)－P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，总压力为P=(b2－a2)=γ.(a+b)c(b－a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面积．【注】近似公式△F≈f(x)△x转化为等式dF(x)=f(x)dx的关键是：△F与f(x)△x的误差是△x的高阶无穷小(△x→0时)知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?标准答案：(1)用矩阵分解：A(α1，α2，α3)＝(α1＋2α2＋2α3，2α1＋α2＋2α3，2α1＋2α2＋α3)＝(α1，α2，α3)B，这里B＝从α1，α2，α3线性无关的条件知道，(α1，α2，α3)是可逆矩阵．于是A相似于B．的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的特征值为－1，－1，5．则A的特征值也为－1，－1，5．(2)B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．知识点解析：暂无解析5、求极限I=．标准答案：知识点解析：暂无解析6、已知矩阵A＝与对角矩阵∧相似，求a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP＝∧．标准答案：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－3)2＝0，得到矩阵A的特征值λ1＝λ2＝3，λ3＝－1．由矩阵A的特征值有重根，而A与对角矩阵相似，可知λ＝3必有2个线性无关的特征向量，因而秩r(3E－A)＝1．于是由得a＝－3v对λ1＝λ2＝3，解齐次线性方程组(3E－A)χ＝0，得基础解系：α1＝(1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T．对λ3＝－1，解齐次线性方程组(－E－A)χ＝0，得基础解系：α3＝(1，－3，0)T．令P＝(α1，α2，α3)＝得P-1AP＝∧＝知识点解析：暂无解析7、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，标准答案：知识点解析：暂无解析8、交换积分次序并计算(a＞0)．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设u=yf(x／y)+xg(y／x)，求x标准答案：知识点解析：暂无解析10、下列矩阵是否相似于对角阵?为什么?标准答案：(1)是．因该3阶方程有3个两两不同的特征值1，2，3；(2)否．因该4阶方阵A的线性无关特征向量只有2个：特征值为λ1=λ2=λ3=λ4=1，而E-A的秩为2，故(E一A)x=0的基础解系含2个向量，即A的线性无关特征向量只有2个．知识点解析：暂无解析11、设A=(x－z，x3+yz，－3xy3)，求其中曲面∑为锥面在xOy面的上方部分，其单位法向量n指向锥面∑外侧。标准答案：设曲线L为xOy面上的圆周x2+y2=4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有知识点解析：暂无解析12、求幂级数xn的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设可逆，其中A，D皆为方阵，证明A，D可逆，并求M－1．标准答案：M可逆=>｜M｜=｜A｜.｜D｜≠0=>｜A｜≠0且｜D｜≠0=>A，D可逆．设M的逆矩阵为知识点解析：暂无解析设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：14、a≤EX≤b；标准答案：因为a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．知识点解析：暂无解析15、DX≤标准答案：因为对于任意的常数C有DX≤E[(X-C)2]，取知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设f(χ)是周期为3的连续函数，f(χ)在点χ＝1处可导，且满足恒等式f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)，其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量．求曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程．标准答案：曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程是y＝f(4)＋f′(4)(χ－4)．由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ＝1处的可导性知f(4)＝f(1)，f′(4)：f′(1)，代入即得所求切线方程为y＝f(1)＋f′(1)(χ－4)．由f(χ)的连续性可知[f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)]＝[26χ＋g(χ)]f(1)－4f(1)＝0f(1)＝0．再由f(χ)在χ＝1处的可导性与f(1)＝0可得在①式左端中作换元tanχ＝t，则有而①式右端从而有f′(1)＝2．于是曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程为y＝2(χ－4)，即y＝2χ－8．知识点解析：暂无解析2、设(a＞0，b＞0)，求y’．标准答案：两边取对数知识点解析：暂无解析3、设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．标准答案：设凸弧的方程为y＝f(x)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(x)]，故两边对x求导，则得y＝f(x)所满足的微分方程为xy’一y＝一6x2一1．(原方程中令x＝0得0＝0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5x—6x2＋1．知识点解析：暂无解析4、设问λ取何值时，(1)β不能由α1，α2，α3线性表示?(2)β可由α1，α2，α3线性表示且表达式唯一?(3)β可由α1，α2，α3线性表示但表达式不唯一?标准答案：设有一组数x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β，该方程组的系数行列式为△=|α1α2α3|=λ2(λ+3)．故当λ≠0且λ≠一3时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时β可由α1知识点解析：暂无解析5、求∫arctan(1+)dx．标准答案：令=t，则知识点解析：暂无解析6、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．标准答案：设变量代换u=cosy，则原微分方程就化为这是n=2时的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得这是线性微分方程．利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为其中c为任意常数．利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为代入到线性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，线性微分方程的通解为其中c为任意常数．最后，再将变量代换z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为其中c为任意常数．另外，当u=0时，(n取整数)也是原微分方程的解．知识点解析：本题主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中．这时，就需要按原微分方程的结构来判定．7、假设G={(x，y)｜x2+y2≤r2}是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和y的联合分布是在圆G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．标准答案：(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数f1(x)和Y的密度函数f2(y)相应为由于f(x，y)≠f1(x)f2(y)，可见随机变量X和Y不独立．(2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0．因此，有于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．知识点解析：暂无解析8、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设α=[a1，a2，…，a2]T≠0，A=ααT，求可逆矩阵P，使P－1AP=Λ．标准答案：(1)先求A的特征值．利用特征值的定义．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=αTαξ=λξ．(*)若αTξ=0，6则λξ=0，又ξ≠0，故λ=0；若αTξ≠0，(*)式两端左边乘αT，得αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．因αTξ≠0，故λ=αTα=(2)再求A的对应于λ的特征向量．因为A=ααT，当λ=0时，(λE－A)X=－ααTX=0，因为满足αTX=0的X必满足ααTX=0，故当λ=0时，对应的特征方程是a1x1+a2x2+…+anxn=0．对应λ=0的n－1个特征向量为ξ1=[a2，－a1，…，0]T，ξ2=[3，0，－a1，0]T，……ξn－1=[an，0，0，…，－a1]T．当λ==αTα时，对矩阵λE－A=αTαE－ααT两端右边乘α，得(λE－A)α=(αTαE－ααT)α=(αTα)α－α(αTα)=0，故知α=[a1，a2，…，an]T即是所求ξn．(3)最后由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆矩阵P．知识点解析：暂无解析10、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及标准答案：U=X－Y的概率密度为fU(u)=∫－∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．当u≤－1或u≥1时，fU(u)=0；当－1＜u≤0时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u11dy=1+u；当0＜u＜1时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以Z=｜X－Y｜=｜U｜的概率密度为知识点解析：暂无解析设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi—(i=1，2，…，n)．求：11、D(Yi)(i=1，2，…，n)；标准答案：知识点解析：暂无解析12、Cov(Y1，Yn)；标准答案：Cov(Y1，Yn)=知识点解析：暂无解析13、P(Y1+Yn≤0)．标准答案：Y1+Yn=X1+Xn一，因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，E(Y1+Yn)=．知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第6套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设．标准答案：将该式对x求导．右端先对t求导再乘上得知识点解析：暂无解析3、设函数y=f(x)在[a，b](a＞0)连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及戈轴围成的平面图形(如图3．12)绕y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式．标准答案：用微元法．任取[a，b]上小区间[x，x+dx]，相应得到小曲边梯形，它绕y轴旋转所成立体的体积(见图3．12)为dV=｜f(x)｜2πxdx，于是积分得旋转体的体积为V=2πx｜f(x)｜dx．知识点解析：暂无解析4、设f(x)=且f"(0)存在，求a，b，c．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在[a，b]内存在ξ，使得标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②……m≤f(xn)≤M，(n)①+②+…+(n)mm≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可得ξ∈[a，b]，使得知识点解析：暂无解析6、设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。标准答案：根据题意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中P=，则｜P｜=-2且P-1=，所以｜B｜=｜A｜．｜P｜=-2。于是B*A=B｜.B-1.A=-2P-1.(A-1A)=-2P-1=知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数un收敛，则vn也收敛．证明你的判断．标准答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：un与vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取则即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．这个例子说明：对正项级数的比较判别法的极限形式不能用于判定任意项级数的条件收敛性．要注意变号级数与正项级数的区别．知识点解析：暂无解析9、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析10、已知随机变量X的分布函数FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．(Ⅰ)求Y的概率密度fY(Y)；(Ⅱ)计算P{Y≥k}．标准答案：(Ⅰ)由题设知X的概率密度fX(x)=所以Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)．由于P{X＞1}=1，故当y≤0时FY(y)=0；当y＞0时，FY(y)=P{1＜X＜ey}=λx－λ－1dx=1一e－λy．于是故Y=lnX的概率密度(Ⅱ)P{Y≥k}=λe－λydy=e－λk，由于λ＞0，0＜e－λ＜1，故知识点解析：暂无解析11、设f(x)二阶可导，=1且f’’(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．标准答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由’’(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知识点解析：暂无解析设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=一2，λ3=一l的特征向量．12、求A；标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2一2a+1=0，解得a=1．知识点解析：暂无解析13、求｜A*+3E｜．标准答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，一1，一2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、考虑一个试验中，一位机械师从一批零件中逐个拿出零件，直到拿到符合要求的零件为止．拿出零件不符合要求记为F，符合要求记为S．(1)写出这一试验的样本空间；(2)记X=试验终止时取出的零件个数，写出随机变量X作为样本空间上的函数的表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第7套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、确定正数a，b的值，使得=2．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x，y)=证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．标准答案：知识点解析：暂无解析3、判断下列曲线积分在指定区域D是否与路径无关，为什么?(I)f(x2＋y2)(xdz＋ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面．(II)，D＝｛(x，y)｜全平面除去一∞＜z≤0，y＝0｝．标准答案：(I)f(x2＋y2)(xdx＋ydy)d[(x2＋y2)]即被积表达式f(x2＋y2)(xdx＋ydy)原函数，因此该线积分在全平面与路径无关．(Ⅱ)如图10．9，L＝∫LPdx＋Qdy，(X，Y)∈D．D为单连通区域，因此积分在D与路径无关．知识点解析：暂无解析4、(Ⅰ)记力(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，求dxdy；(Ⅱ)证明∫—∞+∞．标准答案：(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)=I(R)．作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得I(R)=∫02πdθ∫0R．．通过求∫—RRdx再求极限的方法行不通，因为∫dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤．知识点解析：暂无解析5、求曲线积分I=∫L2yzdx+(2z－z2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中L为闭曲线从原点向L看去，L沿顺时针方向．标准答案：用斯托克斯公式．平面x+y+z=上L围成的平面区域记为∑，按右手法则，法向量n朝上．且n=(1，1，1)=(cosα，cosβ，cosγ)，于是其中σ是∑的面积．这里把坐标轴的名称互换，∑的方程不变，于是L是平面(x+y+z=)与球面(x2+y2+z2=1)的交线，它是圆周．现求它的半径r，原点O到平面x+y+z=因此I=π．知识点解析：暂无解析6、计算标准答案：知识点解析：暂无解析7、设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是λ属于λ=6的特征向量，求矩阵A。标准答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α1，α2，α3必线性相关，显然α1，α2线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系α=(-1，1，1)T。根据A(α1，α2，α3)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)-1知识点解析：暂无解析8、设A～B，A=(1)求a，b；(2)求可逆矩阵P，使得P—1AP=B．标准答案：(1)因为A～B，所以A，B有相同的特征值，λ1=λ2=2，因为A相似于对角阵，所以r(2E—A)=1，而2E—A=，于是a=5，再由tr(A)=tr(B)得b=6．(2)由(2E—A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为ξ1=由(6E—A)X=0得λ=6对应的线性无关的特征向量为ξ3=令P=，则P—1AP=B．知识点解析：暂无解析9、求(x+2)y’’+xy’2=y’的通解．标准答案：令y’=p，有，原式成为两边同除以p2，化为①当C1＞0时，得②当C1=0时，得③当C1＜0时，得知识点解析：暂无解析10、已知A～B，A2=A，证明B2=B．标准答案：因为A～B，有P－1AP=B，那么B2=P－1A2P=P－1AP=B．知识点解析：暂无解析11、试确定常数a与n的一组值，使得当x→0时，一ln[e(1+x2)]与axn为等价无穷小．标准答案：a=1，n=4(利用泰勒公式)知识点解析：暂无解析12、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析已知f(x)为周期函数，那么下列各函数是否都是周期函数?13、f2(x)标准答案：因为f(x)为周期函数，设T为函数周期，则f2(x＋T)一[f(x＋T)]2＝[f(x)]2＝f2(x)∴f22(x)为周期函数，且周期为T．知识点解析：暂无解析14、f(x＋2)标准答案：f(x＋2＋T)＝f(x＋T＋2)＝f(x+2)∴f(x+2)为周期函数，且周期为T．知识点解析：暂无解析15、f(x)＋2标准答案：f(x)＋2＝g(x)，则f(x＋T)＝f(x)g(x＋T)＝f(x+T)＋2＝f(x)＋2＝g(x)∴f(x)＋2为周期函数，且周期为T.知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第8套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(x)，g(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函数y=f(x)在点x=x0处连续，且有=∞．标准答案：(Ⅰ)曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切．(Ⅱ)点x=x0是f(x)的不可导点．曲线y=f(x)在点M0(x0，f(x0))处有垂直于x轴的切线x=x0(见图2．1)．知识点解析：暂无解析2、设A，B为同阶方阵，如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；标准答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故丨λE-B丨=丨λE-P-1AP丨=丨P-1AEP-P-1AP丨=丨P-1(λE-A)P丨=丨P-1丨丨λE-A丨丨P丨=丨λE-A丨．知识点解析：暂无解析3、直线L1：x一1＝，L2：x＋l＝y一1＝z，(I)若L1⊥L2，求λ；(Ⅱ)若L1与L2相交，求λ．标准答案：(I)｛1，2，λ｝·｛1，1，1｝＝01＋2＋λ＝0λ＝一3．(II)L1通过点(1，1，1)，以(1，2，λ)为方向向量，L2通过点(一1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，则L1与L2共面此时L1与L2不平行．因此，．知识点解析：暂无解析4、证明：当时，不等式成立．标准答案：当而cosx＜0，所以不等式成立．知识点解析：暂无解析5、设，求du及．标准答案：u是u＝f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得进一步由知识点解析：暂无解析6、设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)；(2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫0Tf(x)dx=0．标准答案：(1)∫aa+Tf(x)d=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx，其中∫TT+af(x)dx=∫TT+af(x－T)dx∫0af(s)ds=∫0af(x)dx．代入上式得∫aa+Tf(x)=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0x+Tf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)只需注意∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数．知识点解析：暂无解析7、设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分标准答案：积分区域D为右半单位圆，且关于x轴对称，函数是变量y的偶函数，函数是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0}，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有故知识点解析：暂无解析8、求幂级数的收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．标准答案：设变量代换u=cosy，则原微分方程就化为这是n=2时的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得这是线性微分方程．利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为其中c为任意常数．利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为代入到线性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，线性微分方程的通解为其中c为任意常数．最后，再将变量代换z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为其中c为任意常数．另外，当u=0时，(n取整数)也是原微分方程的解．知识点解析：本题主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中．这时，就需要按原微分方程的结构来判定．10、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。标准答案：选取沉放点为原点O，Oy轴正句取铅直向下，则根据牛顿第二定律得这是一个可降阶的二阶微分方程，其中由，因此原方程可化为分离变量得积分得结合初始条件v｜y=0=0，得因此所求的函数关系为知识点解析：暂无解析11、求微分方程y－y’cosx=y2(1－sinx)cosx的通解。标准答案：原微分方程可变形为令y－1=u，则即代入变形后的方程，得此为一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程通解公式，得因此原方程的通解为即知识点解析：暂无解析12、证明：对于曲线积分的估计式为｜∫LPdx+Qdy｜≤lM，式中l为积分曲线段长度，并证明标准答案：因为∫LPdx+Qdy=∫LF.ds，这里F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，｜F｜=，｜ds｜=ds所以在曲线x2+y2=R2上，知识点解析：暂无解析13、已知α=[1，k，1]T是A－1的特征向量，其中求k及α所对应的A的特征值．标准答案：由题设有A－1α=λα，λ是A－1的对应于α的特征值，两端左边乘A，得α=λAα，A－1可逆，λ≠0，由对应分量相等，得得2+2k=k(3+k)，k2+k－2=0，得k=1或k=－2．当k=1时，α=[1，1，1]T，μ=4；当k=－2时，α=[－1，－2，1]T，μ=1．知识点解析：暂无解析甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．14、甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；标准答案：设A=｛甲击中目标｝，B=｛乙击中目标｝，C=｛击中目标｝，则C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)P(B)=0．6+0．5—0．6×0．5=0．8．知识点解析：暂无解析15、甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．标准答案：设A1=｛选中甲｝，A2=｛选中乙｝，B=｛目标被击中｝，则P(A1)=P(A2)=，P(B｜A1)=0．6，P(B｜A2)=0．5，知识点解析：暂无解析考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷第9套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组AX=0的基础解系，记β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα3，β4=α4+tα1．实数t满足什么条件时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的基础解系?标准答案：t≠±1．知识点解析：暂无解析2、求函数y=的导数。标准答案：由复合函数求导的链式法则