考研数学一（高等数学）模拟试卷19（共245题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷19（共9套）（共245题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且anbn=0，则bn=0D、若an为无穷大，且anbn=0，则bn一定是无穷小标准答案：D知识点解析：(A)不对，如an=2+(－1)n，bn=2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；(B)、(C)都不对，如an=n[1+(－1)n]，bn=n[1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界且bn≠0；正确答案为(D)．2、设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则|f(x)|在x=a处()．A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在δ＞0，当|x－a|＜δ时，有f(x)＞0，于是=f’(a)，即|f(x)|在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，|f(x)|在x=a处也可导，选(A)．3、下列说法中正确的是()．A、若f’(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B、若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0－δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少C、f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D、f(x)为偶函数，f"(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：则f(x)在x=0的任意邻域内都不单调减少，(A)不对；f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻域内皆不单调，(B)不对；f(x)在x=1处取得极大值，但f(x)在x=1处不连续，(C)不对；由f(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f’(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选(D)．4、平面π与π1：x－2y+z－2=0和π2：x－2y+z－6=0的距离之比为1：3，则平面π的方程为()．A、x－2y+z=0B、x－2y+z－3=0C、x－2y+z=0或x－2y+z－3=0D、x－2y+z－4=0标准答案：C知识点解析：设所求平面为π：x－2y+z+D=0，在平面π：x－2y+z+D=0上取一点M0(x0，y0，z0)，d1因为d1：d2=1：3，所以D=0或D=－3，选(C)．5、累次积分∫0π／2dθ∫0cosθrf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、标准答案：1／4知识点解析：由∫0xtsin(x2－t2)dt=－1／2∫0xsin(x2－t2)d(x2－t2)=1／2sinudu，得7、设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=－2，则=_______．标准答案：1知识点解析：8、设f(lnx)=，则∫f(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：9、∫0πxdx=_______．标准答案：π／2知识点解析：10、设f(u)连续可导，且∫04f(u)du=2，L为半圆周y=，起点为原点，终点为B(2，0)，则I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_______．标准答案：1知识点解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，因为=2xyf’(x2+y2)，所以曲线积分与路径无关，故I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=1／2∫(0，0)(2，0)f(x2+y2)d(x2+y2)=1／2∫01f(t)dt=1．11、微分方程xy’=+y(x＞0)的通解为_______．标准答案：lnx+C知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而f(x)存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．标准答案：令f(x)=k＞0，取ε0=k／2＞0，因为f(x)=k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有|f(x)－k|≤k／2，从而f(x)≥k／2＞0，特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析14、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．标准答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，f(x)=－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=－1，再由费马定理知f’(c)=0，根据泰勒公式f(0)=f(c)+f’(c)(0－c)+(0－c)2，ξ1∈(0，C)f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+(1－c)2，ξ2∈(c，1)整理得f"(ξ1)=2／c2，f"(ξ2)=2／(1－c)2．当c∈(0，1／2]时，f"(ξ1)=2／c2≥8，取ξ=ξ1；当c∈(1／2，1)时，f"(ξ2)=2／(1－c)2≥8，取ξ=ξ2．所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．知识点解析：暂无解析设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：15、对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；标准答案：对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f"(x)∈C(－1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)内保号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知识点解析：暂无解析16、θ(x)=1／2．标准答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得θ(x)=1／2．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．标准答案：因为=f’+(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且f’(x)=M．证明：f’(x0)=M．标准答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)=f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0与x之间，即f’(x0)=M．知识点解析：暂无解析19、求x(4－x4)5／2dx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在(－∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，+∞)有|f(x)－f(y)|≤|x－y|．证明：|∫abf(x)dx－(b－a)f(a)|≤1／2(b－a)2．标准答案：因为(b－a)f(a)=∫abf(a)dx，所以|∫abf(x)dx－(b－a)f(a)|=|∫ab[f(x)－f(a)]dx|≤∫ab|f(x)－f(a)|dx≤∫ab(x－a)dx=1／2(x－a)2|ab=1／2(b－a)2知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f[tx1+(1－t)x2]≤tf(x1)+(1－t)f(x2)．证明：标准答案：因为∫abf(x)dx(b－a)∫01f(1－t)b]dt≤(b－a)[f(a)∫01dtd+f(b)∫01(1－t)dt]=(b－a)知识点解析：暂无解析22、f(x，y)在点(0，0)处是否连续?标准答案：因为0≤|f(x，y)|≤f(x，y)=0=f(0，0)，故f(x，y)在点(0，0)处连续．知识点解析：暂无解析23、f(x，y)在点(0，0)处是否可微?标准答案：所以f(x，y)在点(0，0)处不可微．知识点解析：暂无解析24、设z=(x2=y2标准答案：知识点解析：暂无解析25、设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得三个方程两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=1／2[∫abf(x)dx]2．标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b))－F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx－∫abf(x)F(x)dx=F2(b)－∫abF(x)dF(x)=F2(b)－F(x)|ab=1／2F2(b)=1／2[∫abf(x)dx]2知识点解析：暂无解析27、设函数f(x，y)在D：x2+y2≤1有连续的偏导数，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．证明：f(0，0)其中Dr：r2≤x2+y2≤1．标准答案：=∫02π[f(cosθ，sinθ)－f(rcosθ，rsinθ)]dθ=－∫02πf(rcosθ，rsinθ)dθ，再根据积分中值定理得I=－2πf(rcosξ，rsinξ)．其中ξ是介于0与2π之间的值．故原式=－[－2πf(rcosξ，rsinξ)]=f(rcosξ，rsinξ)=f(0，0)．知识点解析：暂无解析28、求幂级数x2n的和函数．标准答案：级数x2n的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(－∞，+∞)．=(2x2+1)－1(－∞＜x＜+∞)．知识点解析：暂无解析29、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．标准答案：因为曲线是上凸的，所以y"＜0，由题设得令y’=p，y"=dp／dx，则有dp／dx=－(1+p2)arctanp=C1－x．因为曲线y=y(x)在点(，1)处的切线方程为y=x+1，所以p|x=0=1，从而y’=tan(－x)，积分得y=ln|cos(－x)|+C2．因为曲线过点(0，1)，所以C2=1+知识点解析：暂无解析30、某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖的水量为V／3．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过m0／V．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为m／V，任取时间元素[t，t+at]，排入湖中污染物A的含量为×dt=m0／dt，流出湖的污染物A的含量为×dt=m／3dt，则在此时间元素内污染物A的改变量为dm=()dt．解得m=－Ce－t／3，又由m(0)=5m0，得C=－9m0／2，于是m=m0／2(1+9e－t／3)，令m=m0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．标准答案：B知识点解析：由y=x2+ax+b得y’=2x＋a，2y=xy3一1两边对x求导得2y’－y3＋3xy2y’，解得y’=，因为两曲线在点(1，一1)处切线相同，所以，应选(B)．2、设L为由y2=x＋3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于()．A、一2πB、2πC、πD、0标准答案：B知识点解析：取C：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，P(x，y)=设由L及Cr所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得3、设级数发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为正项级数=+∞．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、=________．标准答案：知识点解析：5、设f(x)连续，且F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)=________．标准答案：a2f(a)知识点解析：6、曲线ex＋y一sin(xy)=e在点(0，1)处的切线方程为_________．标准答案：y=(－1)x＋1知识点解析：exy—sin(xy)=e两边对x求导得ex＋y．(1+y’)一cos(xy)．(y+xy’)=0，将x=0，y=1代入得y’(0)=—1，所求的切线为y一1=(一1)x，即y=(一1)x+1．7、曲线y=(3x+2)的斜渐近线为_________．标准答案：y=3x＋5知识点解析：由=5得曲线的斜渐近线为y=3x+5．8、曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法线方程为．9、设y=2e－x+exsinx为y’’’+py’’+qy’+ry=0的特解，则该方程为________．标准答案：y’’’一2y’’+2y=0知识点解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为λ1=一1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程为y’’’一2y’’+2y=0．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))标准答案：所以原式=a1a2…an．知识点解析：暂无解析12、设f(x)=讨论f(x)在x=0处的可导性．标准答案：f(0)=f(0—0)=0，f(0+0)==0．由f(0一0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0处连续：由=0得f－’(0)=0．=0得f＋’(0)=0，因为f－’(0)=f＋’(0)=0，所以f(x)在x=0处可导．知识点解析：暂无解析13、设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：令f(x)=arctanx—ax，由f’(x)=，由f’’(x)=为f(x)的最大点，由=一∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有唯一实根，位于内．知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．标准答案：令A=∫01f(x)dx，f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx两边积分得A=∫01xe2xdx＋2A，解得A=∫01f(x)dx=一∫01xe2xdx=一∫01xd(e2x)=一．知识点解析：暂无解析17、求∫－22(3x+1)max｛2，x2｝dx．标准答案：∫－222(3x+1)max{2，x2}dx=∫－22max｛2，x2｝dx=2∫02max｛2，x2｝dx，由max｛2，x2｝=得∫－22(3x+1)max{2，x2}dx=．知识点解析：暂无解析18、求曲线y=cosx与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：Vx=．取[x，x+dx]，则dVy=2πxcosxdx，知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)，z=z(x)由．标准答案：两边对x求导得知识点解析：暂无解析20、求函数μ=x2+yz的梯度方向的方向导数．标准答案：x2＋yz的梯度为l=｛x，z，y｝，梯度的方向余弦为故所求的方向导数为．知识点解析：暂无解析21、设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤}，求｜x—y｜dxdy．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求(x+y)2dy．标准答案：令，则知识点解析：暂无解析23、计算I=被z=1和z=2截得部分的下侧．标准答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，=∫12ezdz∫02πdθ∫0zdr=2π∫12zezdz=2π(z－1)ez｜12=2πe2知识点解析：暂无解析24、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：，又当n充分大时，单调减少，且=0．所以级数条件收敛．知识点解析：暂无解析25、求微分方程(y+)dx一xdy=0(x＞0)的满足初始条件y(1)=0的解．标准答案：由(y＋)dx一xdy=0，得．令μ==lnx+lnC，即μ+=Cx，将初始条件y(1)=0代入得C=1．由，即满足初始条件的特解为y=．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上连续且满足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．标准答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a∫(x一1)e∫－1dxdx+C]e－∫－dx=Cex－ax由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex一ax．V(a)=π∫01f2(x)dx=，由V’(a)=π(一2+)=0得a=3，因为V’’(a)=＞0，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex一3x．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且=一1，则()．A、x=0为f(x)的极大点B、x=0为f(x)的极小点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：因为=一1＜0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，注意到x3=o(x)，所以当0＜｜x｜＜δ时，f’’(x)＜0，从而f’(x)在(一δ，δ)内单调递减，再由f’(0)=0得故x=0为f(x)的极大点，应选(A)．2、设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(z)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为()．A、π∫ab[2m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB、π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC、π∫ab[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD、π∫ab[m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx标准答案：B知识点解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]，dν=｛π[m一g(x)]2－π[m一f(x)]2dx=π[2m－f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，则V=∫abdν=π∫ab[2m—f(x)一g(x)][f(x)－g(x)]dx，选(B)．3、设直线L1：，L2：则直线L1，L2的夹角为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：s1=｛1，一2，1｝，s2=｛1，一1，0｝×｛0，2，1｝=｛一1，一1，2｝，设直线L1，L2的夹角为θ，则cosθ=，正确答案为(C)．4、级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与a有关标准答案：C知识点解析：5、设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2一1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则∫0y(x)dx为()A、一ln3B、ln3C、一ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：6、设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f＋’(a)与f－’(a)都存在，则()．A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f＋’(a)存在，所以，即f(x)在x=a处右连续，同理由f－’(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)7、=________．标准答案：知识点解析：8、=________．标准答案：知识点解析：9、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(-x)=1，则=__________．标准答案：1知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=x(x一1)(x+2)(x一3)…(x+100)，求f’(0)．标准答案：方法一由f’(x)=(x一1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x一1)…(x一99)得f’(0)=(一1)．2．(一3)．…．100=100！．方法二f’(0)=(x一1)(x+2)…(x+100)=100！．知识点解析：暂无解析13、证明方程lnx=在(0，+∞)内有且仅有两个根．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算∫3＋∞．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)=，讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x，y)=，其中D=｛(x，y)｜a≤x+y≤b｝(0＜a＜b)．标准答案：令D1={(x，y)｜0≤x≤a，a一x≤y≤b—x}，D2={(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b—x｝，则f(x，y)dxdy=∫0ae－x∫a－xb－xe－y+∫abe－xdx∫0b－xe－y=∫0ae－x(ex－a—ex－b)dx+∫abe－x(1一ex－b)dx=(a+1)(e－a—e－b)一(b一a)e－b．知识点解析：暂无解析18、设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx＋Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以=2x，于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，两边对t求导数得1＋φ(t)=2t，φ(t)=2t－1，所以Q(x，y)=x2+2y一1．知识点解析：暂无解析19、标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．标准答案：对任意的x0∈[0，1]，因为exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加，所以当x＜x0时，有，故f(x0)≤f(x)≤ex0－xf(x0)，令x→x0－，由夹逼定理得f(x0一0)=f(x0)；当x＞x0时，有故ex0－xf(x0)≤f(x)≤f(x0)，令x→x0＋，由夹逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续。由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．标准答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，显然x0∈[a，b]．因为f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，分别取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知识点解析：暂无解析设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设．22、求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；标准答案：设点M(x，y)∈L，则知识点解析：暂无解析23、求点P关于L的对称点Q的坐标．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)一f(0)=1．证明：∫01f’2(x)dx≥1．标准答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知识点解析：暂无解析25、设μ=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy＋z－t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)连续，F(t)=[z2+f(x2+y2)]dν，其中V=｛(x，y，z)｜x2+y2≤t2，0≤z≤h｝(t＞0)，求．标准答案：F(t)=∫02πdθ∫0trdr∫0h[z2＋f(r2)]dz=2π∫0tr[＋hf(r2)]dr，知识点解析：暂无解析27、，哪个级数一定收敛?标准答案：知识点解析：暂无解析28、设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．标准答案：(1)，代入原方程得y’’一y=sinx，特征方程为r2—1=0，特征根为r1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，，于是方程的通解为y=C1ex+C2e－x一sinx；(2)由初始条件得C1=1，C2=一1，满足初始条件的特解为y=ex—e－x一sinx．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)可导，函数y=f(x2)的自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)等于()．A、一1B、0．1C、1D、0．5标准答案：D知识点解析：由y’｜x=—1△x=0．1，得2xf’(x2)｜x=—1×(一0．1)=0．1，则故选D．若f(x)在x0处可微，则△y=f’(x0)△x+θ(△x)．2、设则F(x)等于()．A、0B、C、arctanxD、2arctanx标准答案：B知识点解析：故选B．本题可直接计算F(x)=arctanx+3、设积分区域D：x2+y2≤R2，其中Y≥0，则()．其中D1是积分区域D在x≥0的部分区域．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为积分区域D是关于变量y对称的，且f(x，y)=x是奇函数，所以而相应的右侧均不为0，故选B．本题用到了二重积分关于坐标轴的对称性．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)4、曲线(摆线)与x轴所围平面图形的面积是_____．标准答案：应填3πa2．知识点解析：t∈[0，2π]，曲线与x轴交点的横坐标是x=0，2πa，且曲线在x轴上方，所以面积为∫02πay(x)dx∫02πa2(1－cost)2dt=a2∫02πa(1－2cost+cos2t)dt=3πa2．5、函数在点A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为______．标准答案：应填知识点解析：先计算函数在点A处的各个偏导数，再计算向量的三个方向余弦．因为由此的其方向余弦为6、设则a2=______．标准答案：应填1．知识点解析：由于an是x2在[一π，π]上周期为2π的傅里叶系数，根据傅里叶系数的计算公式，有7、的通解为y=_____．标准答案：应填知识点解析：本题主要考查高阶方程的降阶以及一阶线性方程的解法．令y’’=u，则有解得u=y’’=x2+cx，故三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、求极限标准答案：因为所以知识点解析：若在求极限时，涉及等时，一定要考虑单侧极限．9、设f(x)在(一a，a)内连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．(1)求证：对任给的0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使(2)求极限标准答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，则F(0)=0，F(x)在[0，x]上可导，由拉格朗日中值定理F(x)一F(0)=F’(θx)x，0<θ<1，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)](2)将上式两边同除以2x2，得又f’(0)存在，且f’(0)≠0，所以，知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续，φ(x)=∫01f(x2t)dt，且存在，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．标准答案：在(一∞，+∞)内连续．知识点解析：令x2t=u，将参数x提至积分号外(或积分限上)再求导．11、设y=y(x)由方程确定，求y’(0)．标准答案：方程两边对自变量x求导，得知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)=0．标准答案：由f(x)在[0，2]上连续及由积分中值定理，存在点a∈使得在[a，2]上f(x)满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在一点b∈(a，2)，使得f’(b)=0，又f’(x)在[a，b]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点ξ∈(a，b)(0，2)，使f’’(ξ)=0．知识点解析：要证f’’(ξ)=0，对f(x)可用两次洛尔定理来证明．用两次洛尔定理的关键是在[0，2]内构造使f(a)=f(2)的区间和使f’(b)=f’(c)的区间[a，2]与[b，c]．[a，2]可由积分中值定理得到，[b，c]可由已知极限和洛尔定理获得．13、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ．标准答案：令g(x)=e3x,则g(x)=e3x在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件．由拉格朗日中值定理，存在点η∈(a，b)，使得令F(x)=exf(x)，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a，b)，使得=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]．由f(b)=f(a)=1，可得=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]．两边同乘(e2a+ea+b+e2b)，得=(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]，代入①式，可得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ．知识点解析：(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η－ξ<=>(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η<=>(e2a+ea+b+e2b)[exf(x)]’｜x=ξ=(e3x)’｜x=η，先对g(x)=e3x用拉格朗日中值定理，再对F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常数(e2a+ea+b+e2b)可得待证的等式．14、计算标准答案：原式知识点解析：15、设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01[∫x1f(t)dt+(1－x)f(x)dx．标准答案：令φ(x)=∫x1f(t)dt，则φ’(x)=一f(x)，φ(0)=∫01f(t)dt=A．于是，原式=∫01[φ(x)+(x一1)φ’(x)]dx=∫01[(x一1)φ(x)]’dx=(x一1)φ(x)｜01=φ(0)=A．知识点解析：本题也可分项计算．原式=∫01φ(x)dx+∫01(x一1)φ’(x)dx=∫01φ(x)dx+(x一1)φ(x)｜01－∫01φ(x)dx=(x一1)φ(x)｜01=φ(0)=A．16、设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)>0，求φ(x)=∫01｜f(x)一f(t)｜dt的极值点．标准答案：由f’(x)>0可知，f(x)单调增加．于是可知，所以φ(x)=∫0x[f(x)一f(t)]dt+∫x1[f(t)一f(x)]dt=xf(x)一∫0xf(t)dt+∫x1f(t)dt+xf(x)一f(x)=(2x－1)f(x)一∫0xf(t)dt一∫1xf(t)dt,φ’(x)=2f(x)+(2x一1)f’(x)一f(x)一f(x)=(2x一1)f’(x)．知识点解析：先去掉φ(x)的绝对值符号，再求极值．17、求曲线在其拐点处的切线方程．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求椭圆在第一象限部分的重心坐标．标准答案：设椭圆的面密度为ρ=1，则椭圆的质量为对x,y轴的静力矩分别为知识点解析：一般地，平面图形D={(x，y)｜a≤x≤b，g(x)≤y≤f(f)}的重心坐标可利用如下公式计算：19、设函数z=f(x，y)具有二阶连续的偏导数，且满足f’’xx=f’’yy．又由f(x，2x)=x，f’x(x，2x)=x2，试求二阶偏导数f’’xx(x，2x)，f’’xy(x，2x)．标准答案：因为f’x．1+f’y．2=1，所以2f’y=1一x2．对此式两边关于x求偏导，得2(f’’yx．1+f’’yy．2)=一2x①由条件f’x(x，2x)=x2，则有f’’x．1+f’’xy．2=2x．②联立①和②并由条件f’’xx=f’’yy可得知识点解析：此题的解法有一定的技巧性．20、试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．标准答案：根据分析，由坐标原点O至椭圆上的任意一点(x，y，z)的距离d=之最大、最小值，就是该椭圆的长、短半轴．为此，设拉朗格日函数为L(x,y,z,λμ)=x2+y2+z2+λ(x+y－z)－μ(x2+y2+z2－xy－yz－zx－1)．令方程组将上述方程组中的前三个式子分别乘以x、y、z后相加，得2(x2+y2+z2)+λ(x+y—z)一2μ(x2+y2+z2一xy一yz一zx)=0．再将上述方程组的后两个式子化为d2=x2+y2+z2μ．这充分说明μ就是d2的极值，从而说明就是d的极值．于是，问题就转化为求μ．由上述方程组的前四个式子消去参数λ，得由此可知，此式的两个根μ1、μ2就是d2的极大值、极小值，即a2与b2．由于μ1μ2=4，故所求的椭圆的面积是S=πab==2π．知识点解析：(1)若能求得该椭圆的长、短半轴a与6，则椭圆的面积为S=πab．(2)由圆柱面方程x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0可知，此圆柱关于坐标原点0是对称的，故此圆柱的中心轴为通过坐标原点0的某一直线．(3)由平面方程x+y—z=0可知，它也是通过坐标原点0的．所以，此平面上的椭圆截线必以坐标原点0为其中心点．若用解析几何的方法来求解，可知圆柱面方程x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0所表示圆柱的中心轴为直线L：x=y=z，且其纬圆半径为再由直线L与平面x+y—z=0法线间的夹角的余弦为以及面积的投影关系A=Scosθ，可得21、计算二重积分其中积分区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤2π)．标准答案：当0≤x+y≤π时，sin(x+y)≥0；当π≤x+y≤π时，sin(x+y)≤0；当π≤x+y≤π时，sin(x+y)≥0．故可将积分区域D分解成三个小区域D1，D2，D3，如图1—8—3所示．于是，知识点解析：本题主要考查绝对值函数的二重积分．本题的关键在于先确定被积函数在积分区域中的符号，从而将积分区域D分解成若干部分．22、设f(t)为连续函数，常数a>0，区域标准答案：因为知识点解析：因被积函数是复合的抽象函数，故应先作变量代换，再将二重积分化为累次积分．在计算二重积分时，要注意积分区域．23、计算曲线积分其中L为自点A(一1，0)沿曲线y=x2一1至点B(2，3)的一段弧．标准答案：由于构造一个单连通区域D：为坐标xOy平面去掉Oy正半轴及点O(0，0)的开区间．曲线积分在区域D内与路径无关．取两点C=(一1,一1)和D=(2,一1)，于是知识点解析：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件．若E=(一1，3)，则本题不能选取路径所围成的区域包含奇点O(0，0)．24、若对于x>0的任意空间内的分片光滑有向闭曲面∑，都有其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且求函数f(x)的表达式．标准答案：因为曲面∑是封闭的，由高斯公式，有由已知条件函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，得三重积分的被积函数是连续的．又由于空间区域Ω的任意性，从而当x>0时，有[f(x)+xf(x)]一xf’(x)一e2x=0，知识点解析：本题主要考查高斯公式的逆问题．本题的关键问题在于三重积分中的被积函数为0．25、已知函数y=y(x)满足关系式y’=x+y，且y(0)=1．试讨论级数的敛散性．标准答案：因为y’=x+y，所以y’’=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y’’(0)=2．根据麦克劳林公式，得知识点解析：因为y(x)是已知微分方程的一个特解，则由麦克劳林公式讨论级数的敛散性．26、将函数f(x)=ln(4—3x—x2)展开成x的幂级数．标准答案：因为函数f(x)=ln(4—3x—x2)=ln(4+x)+ln(1一x)，而所以，f(x)=ln(4—3x—x2)=知识点解析：暂无解析27、某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比．若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是20000人，试估计该地区最初的人口数．标准答案：设该地区在时刻t时的人口数为N，且最初的人口数为N0，则这是一个变量可分离的微分方程，其通解为N=cekt，其中c为任意常数．将初始条件t=0、N=N0代入，得c=N0．于是，N=N0ekt．当t=2时，N=2N0，将它们代入到上式中，得2N0=N0e2k，从而undefined知识点解析：本题主要考查如何根据实际问题，建立相应的微分方程，并求其对应的特解．28、设函数f(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．标准答案：考查初值问题y(0)=y0．对于固定的y0，由方程可得相应的特解．对于任意的y0，可得方程的一切解由于故由函数极限的保号性：存在M＞0，使得x＞M时，有由洛必塔法则，知故一切解｜y(x)｜在x∈[0，+∞)上皆有界．知识点解析：因函数p(x)和f(x)均未具体给出，则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的，故应当用变上限的定积分来表示其通解，以便讨论其性质．29、求解微分方程y’’+y’=2x2+1．标准答案：利用高阶可降阶的方法求解．在微分方程y’’+y’=2x2+1的两端同时积分，得y’+y=x3+x+c，这是一阶线性微分方程，其通解为知识点解析：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构．形如y’’+ay’+by=erxPn(x)的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特解的选取为y*=xkerxQn(x)，其中数r对应于特征方程λ2+aλ+b=0不是特征根、是特征单根、是特征重根，分别取得k=0，1，2．考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)连续且F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)，选(B)．2、平面π与π1：x一2y+z一2=0和π2：x一2y+z一6=0的距离之比为1：3，则平面π的方程为()．A、x一2y+z=0B、x一2y+z一3=0C、x一2y+z=0或x一2y+z一3=0D、x一2y+z一4=0标准答案：C知识点解析：设所求平面为π．x一2y+z＋D=0，在平面π：x一2y＋z＋D=0上取一点M0(x0，y0，Z0)，d1=，因为d1：d2=1：3，所以D=0或D=一3，选(C)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、设f(x)=，且f’(0)存在，则a=_________，b=_________，c=_________．标准答案：a=2，b=-2，c=2知识点解析：f(0+0)=f(x)=a，f(0)=2，f(0一0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，因为f(x)在x=0处可导，即f＋’(0)=－’(0)，故b=一2．4、=_________(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：5、过点(2，0，－3)且与直线垂直的平面方程为________．标准答案：一16x+14y+11z+65=0知识点解析：s1=｛1，一2，4｝，s2=｛3，5，一2｝，所求平面的法向量n=s1×s2=｛一16，14，11｝，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0．6、曲线L：绕y轴一周所得旋转曲面在点(0,-1,2)处指向外侧的单位法向量为_________．标准答案：知识点解析：曲线L：绕y轴一周所得的旋转曲面为4x2＋9y2＋4z2=25．n=｛8x，18y，8z｝(0，－1，2)=｛0，－18，16｝，所求的单位向量e=．7、∫01dycosx2dx=_________．标准答案：知识点解析：改变积分次序得8、∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=_______．标准答案：知识点解析：因为xy2dx+x2ydy=，所以∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=．9、微分方程y2dx+(x2一xy)dy=0的通解为________．标准答案：知识点解析：10、设F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=________．标准答案：知识点解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，因为当x→0时，F’(x)～x2，所以=1，而．11、=__________．标准答案：知识点解析：12、微分方程yy’’一2(y’)2=0的通解为_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、由方程sin(xy)+ln(y一x)=x确定函数y=y(x)，求．标准答案：x=0代入sin(xy)+ln(y—x)=x得y=1，sin(xy)+ln(y—x)=x两边关于x求导得cos(xy)．=1，将x=0，y=1代入得｜x=0=1．知识点解析：暂无解析15、设b＞a＞0，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求不定积分．标准答案：令sinx—cosx=a(sinx+2cosx)＋b(sinx+2cosx)’，则知识点解析：暂无解析17、求∫01．标准答案：知识点解析：暂无解析设L1：x一1=，L2：x+1=y一1=z．18、若L1⊥L2，求λ；标准答案：设L1：x－1=，L2：x+1=y一1=z垂直，则｛1，2，λ｝⊥｛1，1，1｝或1+2+λ=0，解得λ=一3．知识点解析：暂无解析19、若L1，L2共面，求λ．标准答案：s1=｛1，2，λ｝，s2=｛1，1，1｝，s1×s2=｛1，2，λ｝×｛1，1，1｝=｛2一λ，λ一1，一1｝，M1(1，1，1)∈L1，M2(一1，1，0)∈L2，=｛2，0，1｝，L1，L2共面的充分必要条件是(s1×s2)．．知识点解析：暂无解析20、设向量场A=｛xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2｝，求rotA及divA．标准答案：知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求y’’一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：原方程可化为y’’一2y’=e2x，特征方程为λ2一2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y’’一2y’=0的通解为y=C1+C2e2x，设方程y’’一2y’=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方知识点解析：暂无解析23、确定a，b，使得x一(a+bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y=x一(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x一(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’’(0)=0得，故当时，x一(a+bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析24、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．标准答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，f(x)=一1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由费马定理知f’(c)=0，根据泰勒公式知识点解析：在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开．25、∫02．标准答案：知识点解析：暂无解析26、已知f(x，y)=，设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．标准答案：当t＜0时，F(t)=0；知识点解析：暂无解析27、设L是不经过点(2，0)，(一2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就L的不同情形计算标准答案：I==I1＋I2．显然曲线积分I1，I2都满足柯西-黎曼条件．(1)当(2，0)，(一2，0)都在L所围成的区域之外时，I1=I2=0，因此I=0；(2)当(2，0)，(一2，0)都在L所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以r1，r2为半径的圆C1，C2，使它们都在L内，则I1==－2π，同理I2=一2π，因此I=－4π；(3)当(2，0)，(一2，0)有一个点在L围成的区域内，一个点在L围成的区域外时，I=－2π．知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设D为两个圆x2＋y2≤1及(x一2)2＋y2≤4的公共部分，则＝______．标准答案：0知识点解析：D关于x轴对称，被积函数对y为奇函数I＝0．2、设D为y＝x3及x＝一1，y＝1所围成的区域，则I＝＝______．标准答案：0知识点解析：D如图9．1所示．添加辅助线y＝一x3(x≤0)，将D分解成D＝D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数3、I＝｜xy｜dxdy＝______．标准答案：知识点解析：区域如图9．2所示，由对称性与奇偶性其中D1：0≤y≤1—x，0≤x≤1．于是4、设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则I＝＝______·标准答案：知识点解析：D关于直线y＝x对称与原式相加5、设I1＝，I2＝，I3＝，则这三个积分的大小顺序是______＜______＜______．标准答案：I3＜I1＜I2知识点解析：比较，I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2＋y2≤1)包含在正方形区域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比较I1与I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4＋y42x2y2I1＞I3因此I3＜I1＜I26、设D为圆域x2＋y2≤x，则I＝＝______．标准答案：知识点解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：于是7、设L是正方形边界：｜x｜＋｜y｜＝a(a＞0)，则I＝xyds＝______，J＝｜x｜ds＝______．标准答案：0，知识点解析：L如图9．4，它关于x(或y)轴对称，f(x，y)＝xy对y(或x)为奇函数L关于直线y＝x对称(变量的轮换对称性)J＝∫L｜x｜ds＝∫L｜y｜ds8、设∑为平面y＋z＝5被柱面x2＋y2＝25所截得的部分，则曲面积分I＝(x＋y＋z)dS＝______．标准答案：知识点解析：用∑的方程简化被积表达式得其中xdS＝0，因为∑关于yz平面对称，被积函数x对z为奇函数．∑的一个单位法向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)＝(0，1，1)，∑的面积＝．因此I＝5·∑的面积＝125π．二、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)9、若函数f(x，y)对任意正实数t，满足f(tx，ty)＝tnf(x，y)，(*)称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数(**)标准答案：设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得f(tx，ty)＝tnf(x，y)(t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得xf’1(tx，ty)＋yf’2(tx，ty)＝ntn—1f(x，y)(t＞0)，令t＝1，则xf’x(x，y)＋yf’y(x，y)＝nf(x，y)．现设上式成立．考察φ(t)＝，由复合函数求导法则可得φ’(t)＝[xf’1(tx＋ty)＋yf’2(tx，ty)]—f(tx，ty)[txf’1(tx，ty)＋tyf’2(tx，ty)—nf(tx＋ty)]＝0，即φ(t)为常数，φ(t)＝φ(1)＝f(x，y)，即f(tx，ty)＝tnf(x，y)知识点解析：暂无解析10、计算I＝dxdy，其中D为曲线y＝lnx与两直线y＝0，y＝(e＋1)一x所围成的平面区域．标准答案：y＝lnx与y＝(e＋1)一x的交点是(e，1)，D如图9．5所示，在Oxy坐标系中选择先x后y的积分顺序(D不必分块)得知识点解析：暂无解析11、计算，I＝dxdy，其中D是以O(0，0)，A(1，1)，B(一1，1)为顶点的三角形区域．标准答案：D如图9．6所示，D关于y轴对称，被积函数对x为偶函数．其中D1＝D∩{x≥0}．选择先x后y的积分顺序知识点解析：暂无解析12、计算I＝，其中D：1≤x2＋y2≤9，≤y≤·标准答案：令x＝rcosθ，y＝rsinθ，则D：1≤r≤3，．于是知识点解析：暂无解析13、计算I＝｜sin(x一y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π.标准答案：(内层积分作变量替换后用分部积分法)知识点解析：暂无解析14、计算I＝(x＋y)2dxdy，其中D：｜x｜＋｜y｜≤1.标准答案：D关于x，y轴均对称，它在第一象限部分记为D1，如图9．8．知识点解析：暂无解析15、计算I＝dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x＋y≤1.标准答案：极坐标变换x＝rcosθ，y＝rsinθ．D：知识点解析：暂无解析16、设a＞0为常数，求积分I＝xy2dσ，其中D：x2＋y2≤ax．标准答案：D是圆域(如图9．10)：．作极坐标变换x＝rcosθ，y＝rsinθ，并由D关于x轴对称，x轴上方部分为D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知识点解析：暂无解析改变二重积分的累次积分的顺序17、f(x，y)dy＋，f(x，y)dy；标准答案：如图9．11所示．原式＝f(x，y)dxddy＝f(x，y)dx．知识点解析：暂无解析18、f(x，y)dy＋，f(x，y)dy；标准答案：如图9．12所示．原式＝知识点解析：暂无解析19、f(x，y)dy；标准答案：如图9．13所示．当x∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是知识点解析：暂无解析20、极坐标系下的累次积f(rcosθ，rsinθ)rdr．标准答案：在直角坐标系Oθr中画出D’的草图(如图9．14)．原积分＝f(rcosθ，rsinθ)drdθ．由r＝得r2＝sin2θ．r2＝sin2θ—sin(π—2θ)．于是π—2θ＝arcsinr2，θ＝arcsinr2．因此原积分f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知识点解析：暂无解析求下列二重积分的累次积分21、标准答案：如图9．15所示．知识点解析：暂无解析22、标准答案：如图9．16所示．＝[R2ln(1＋R2)—R2＋ln(1＋R2)]＝[(1＋R2)ln(1＋R2)—R2]．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处()。A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选(C)．2、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f"(ξ)／2!(x－a)2≥f(a)+(x－a)2，其中ξ介于a与x之间．而(x－a)2=+∞，故f(x)=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．3、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()．A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与x有关标准答案：A知识点解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫－ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint－e－sintsint)dt=∫0π(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则标准答案：0知识点解析：－1～1／2f2(x)，∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncosc(x－t)d(x－t)=∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、两异面直线L1：之间的距离为_______．标准答案：7知识点解析：s1={4，－3，1}，s2={－2，9，2}，n={4，－3，1}×{－2，9，2}={－15，－10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：－15x－10(y+7)+30(z－2)=0，即π：3x+2y－6z+26=0，8、设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，则f(1，2)=_______．标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．9、标准答案：2(1－ln2)知识点解析：令S(x)=xn+1(－1＜x＜1)，三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、设a1n=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．标准答案：令f(x)=＞0(x＞0)，所以数列{an}单调．又因为a1=1，0≤an+1≤1，所以数列{an}有界，从而数列{an}收敛，令an=A，则有知识点解析：暂无解析12、标准答案：xx－(sinx)x当x→0时，1－(sinx／x)x知识点解析：暂无解析13、证明：当x＞0时，(x2－1)lnx≥(x－1)2．标准答案：令φ(x)=(x2－1)lnx－(x－1)2，φ(1)=0．φ’(x)=2xlnx－x+2－，φ’(1)=0．φ"(x)=2lnx+1+，φ"(1)=2＞0．故x=1为φ"(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2－1)lnx≥(x－1)2．知识点解析：暂无解析14、设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．标准答案：aex=x2等价于x2e－x－a=0．令f(x)=x2e－x－a，由f’(x)=(2x－x2)e－x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’(x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0，于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=－a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)=f(x)=－a＜0．(1)当－a＞0，即0＜a＜4／e2时，方程有三个根；(2)当－a=0，即a=4／e2时，方程有两个根．(3)当－a＜0，即a＞4／e2时，方程只有一个根．知识点解析：暂无解析设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足|AP|．|AQ|=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=x2／2，P点的坐标为(1／2，1)．15、求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；标准答案：设点M(x，y)∈L，则解得x=1，所以M的坐标为(1，1／2)．知识点解析：暂无解析16、求点P关于L的对称点Q的坐标．标准答案：y’=x，y"=1，曲率曲率中心为A(－1，5／2)，由|AP|．|AQ|=ρ2，解得t=－2／3，t=14／3(舍去)，则Q的坐标为(5／3，－1／6)．知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．标准答案：由∫x2xtf(2x－t)dt∫2xx(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=1／2arctanx2，等式两边对x求导得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)=取x=得2∫122f(u)du－f(1)=1／2，故∫12f(x)dx=3／4．知识点解析：暂无解析18、设f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求∫0π／2f(x)dx．标准答案：由∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2得∫0π／2f(x)dx=1．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令|f’(x)|=M．证明：|∫0af(x)dx|≤a2／2M．标准答案：由微分中值定理得f(x)－f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以|f(x)|=|f’(ξ)x|≤Mx，x∈[0，a]，从而|∫0af(x)dx|≤∫0a|f(x)|dx≤∫0aMxdx=a2／2M．知识点解析：暂无解析20、设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’y(0，0)，f’y(0，0)存在．所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，则f’x(0，0)=0．f’y(0，0)=0．即f(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析21、已知f(x，y)=，设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．标准答案：当t＜0时，F(t)=0；当0≤t＜1时，F(t)=1dxdy=1／21／t2；当1≤t＜2时，F(t)=f(x，y)dxdy=1－(2－t)2；知识点解析：暂无解析22、设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析23、在变力F={yz，xz，xy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．标准答案：设原点O到点M(ξ，η，ζ)的直线为L，L的参数方程为W=∫Lyzdx+xzdy+xydz=∫013ξηζt2dt=ξηζ当点M的坐标为()时，力F所做的功最大，且最大功为abc．知识点解析：暂无解析24、设an＞0(n=1,2，…)且{an}n=1∞单调减少，又级数(－1)nan发散，判断(1／1+an)n的敛散性．标准答案：因为{an}n=1∞单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以an=A，由(－1)nan发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy'+y=ex的满足y(x)=1的解．25、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：由xy’+y=ex得=ex／x，解得因为y(x)=1，所以C=－1，于是知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数1／n2的和．标准答案：显然函数f(x)是在[－1，1]上满足收敛定理的偶函数，则a0=2∫01f(x)dx=5，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2／n2π2[(－1)n－1](n=1，2，…)，bn=0(n=1，2，…)，又f(x)∈C[－1，1]，所以2+|x|=cos(2n+1)πx(－1≤x≤1)令x=0得知识点解析：暂无解析28、设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(－∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(－∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．标准答案：当x＜1时，y’－2y=2的通解为y=C1e2x－1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x－1；当x＞1时，y’－2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2