选修4-4第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)

第二讲参数方程圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。步骤：（1）消参；（2）求定义域；例4

思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？例4

小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：在椭圆的参数方程中，常数a、

b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b练习

把下列普通方程化为参数方程.

(1)(2)xyOxyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.d说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)()c2例1、已知椭圆上点M(x,y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线

l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：分析2：分析3：平移直线

l

至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例3、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。练习已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.例4求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是S、L当且仅当时，此时α存在。例6θ取一切实数时，连接

A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是

.A.圆B.椭圆C.直线D.线段例5四边形ABCD内接于椭圆其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。例7已知点A在椭圆上运动，点B(0,9)、点M在线段AB上，且,试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B(0,9),设A(),并且设M(x,y)(α是参数)消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:例6椭圆与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解:设椭圆上的点P的坐标是(α≠0且α≠π),A(a,0)而OP⊥AP，（舍去），因为所以可转化为解得于是B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ练习:

1θ取一切实数时，连接

A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是

.A.圆B.椭圆C.直线D.线段()B练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是

.解：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:双曲线的参数方程AB'BOyxM

A'以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。研究双曲线的参数方程

AB'BOyxM

A'•baoxy)MBA事实上(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4例1.求点M0(0,2)到双曲线x2－y2=1上点的最小距离。不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为

则直线MA的方程为

解得点A的横坐标为

平行四边形MAOB的面积为由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.例3例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．MOyx·B·A例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将代入上式,∴(∵A，B相异)，例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。抛物线的参数方程MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得由方程

(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.如果令则有（t为参数）

(α为参数)当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，（t为参数）就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．C练习例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？练习已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范围。代入得cos2φ+4cosφ+2m-1=0所以t2+4t+2m-1=0在[-1,1]内有解；

3已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.练习

4经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)

5已知椭圆上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|·|OQ|为定值。练习对于一切实数，若直线与曲线恒有公共点，则m的范围是：ABCD直线恒过点当直线与曲线恒有公共点时，必满足M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作x轴垂线,垂足为N,过点B作y轴垂线,BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON＝这是中心在原点O,焦点在x