考研数学三（微积分）模拟试卷11（共239题）

考研数学三（微积分）模拟试卷11（共9套）（共239题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、=__________.标准答案：知识点解析：2、设y=f(x)满足且f(0)=0，则∫01f(x)dx=__________．标准答案：知识点解析：3、设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，则∫abxf(x)f’(x)dx=__________．标准答案：知识点解析：4、已知f(x)连续,∫01f(x)dx=5，则∫01f(x)[∫x1(t)dx]dx=__________．标准答案：知识点解析：5、设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=__________．标准答案：知识点解析：由于F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt=x2∫0x(t)dt一∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)(x2f’(x)－x2f(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而6、已知f(x)=∫1x2e-t2dt，则∫01xf(x)dx=__________．标准答案：知识点解析：7、∫0+∞x7e-x2dx=__________．标准答案：3知识点解析：∫t33e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得t3e-t=e-t[一at3+(3a—b)t2+(2b—d)t+d—e]，比较两边t的同次幂项的系数得a=一1，b=一3，d=一6，e=一6．于是8、=__________．标准答案：知识点解析：9、=__________．标准答案：知识点解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，则dt=ex(x+1)dx，于是二、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)10、求下列积分(其中n=1，2，3，…)：标准答案：(I)(Ⅱ)建立Jn的递推公式．首先知识点解析：暂无解析11、设a＞0，f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，求极限标准答案：知识点解析：暂无解析12、求其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在(一∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，+∞)上连续；(Ⅱ)求F’(x)并讨论其连续性．标准答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x=0处连续，只要知识点解析：暂无解析14、设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足求f(x)．标准答案：由f(x)连续及xx可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(c)=f(x).2x→f’(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．知识点解析：暂无解析15、求函数在区间[e，e2]上的最大值．标准答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故知识点解析：暂无解析16、求下列平面图形的面积：(I)y=x，y=xlnx及x轴所围图形；(Ⅱ)y=sinx，y=cosx，x=0，x=2π所围图形．标准答案：(I)如图3．3．由x=xlnx，知两曲线的交点为(e，e)．由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积减去定积分∫1exlnxdx，即(Ⅱ)如图3．4．所求面积为知识点解析：暂无解析17、设由曲线与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0，x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．标准答案：由曲线与直线y=a(其中0＜a＜1)以及x=0，x=1围成的平面图形分为左、右两个部分区域，即(见图3．5)在D1绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状是圆形薄片，其半径为，厚度为dy,从而这个圆形薄片的体积dV=π(1一y2)dy，于是区域D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积在D2绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状为圆环形薄片，其内半径为，外半径为1，厚度为dy，从而这个圆环形薄片的体积为dV=π[1一(1一y2)]dy=πy2dy，故区域D2绕y轴旋转一周所得旋转体的体积把V1(a)与V2(a)相加，就得到了知识点解析：暂无解析18、设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x一t)dt=sin4x，求f(x)在148上的平均值．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且．证明：在(0，1)内至少存在一点c，使f’(c)=0．标准答案：由于，根据积分中值定理，因而根据题设f(x)在[0，ξ]上满足罗尔定理的条件，因此，使得f’(c)=0成立．知识点解析：暂无解析20、设f(x)为连续函数，证明：标准答案：在左端表达式中令x=2t，可得知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[A，B]上连续，A＜a＜b＜B，求证：标准答案：当x∈[a，b]，｜h｜充分小时，x+h∈[A，B]，因而f(x+h)一f(x)在[a，b]上连续．对∫ab(x+h)dx作积分变量替换，则有由于上式每一项对h可导且h→0时均趋于零．因此，由洛必达法则有知识点解析：暂无解析22、设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证：(I)若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．(Ⅱ)(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．标准答案：(I)F(x)在(一∞，+∞)上有定义，且F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，故F(一x)=2∫0-x(t)dt+x∫0-xf(t)dt．作换元t=一u，则当t：0→一x→u：0→x，且dt=一du，代入可得有F(一x)=2∫0x(一u)f(一u)(一du)+x∫0xf(一u)(一du)=一2∫0xu[一f(一u)]du+x∫0x[-f(一u)]du=2∫0xuf(u)du+x∫0xf(u)du=一[2∫0xuf(u)du—x∫0xf(u)du]=一F(u)，这表明F(x)是(一∞，+∞)上的奇函数．(Ⅱ)显然F(0)=0，由f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，且f’(0)≠0知使当｜x｜＜δ时f’(x)与f’(0)同号．为确定起见，无妨设f’(0)＞0，于是当｜x｜＜δ时f’(x)＞0．计算可得F’(x)=2xf(x)一∫0xf(x)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt，故(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．知识点解析：暂无解析23、证明：当x≥0且n为自然数时标准答案：令f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt，则f’(x)=(x一x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)时f’(x)=0外，均有f’(x)＜0，故f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时，sint≤t，于是当x≥0时有f(x)≤f(1)=∫01(t一t2)sin2ndt≤∫01(t一t2)t2ndt知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设an＞0，n=1，2，…，若(一1)n—1an收敛，则下列结论正确的是A、a2n发散．B、a2n—1发散．C、(a2n—1+a2n)收敛．D、(a2n—1—a2n)收敛．标准答案：D知识点解析：注意，级数(a2n—1—a2n)是把收敛级数(一1)n—1an各项不改变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选D．2、下述各选项中正确的是A、若(un+vn)2收敛．B、若vn都收敛．C、若正项级数．D、若级数un收敛，且un≥vn(n=1，2，…)，则级数vn也收敛．标准答案：A知识点解析：由于0≤(un+vn)2≤(｜un｜+｜vn｜)2=un2+2｜unvn｜+vn2≤2un2+2vn2，又级数，(2un2+2vn2)亦收敛．从而级数(un+vn)2收敛．故选A．对于(B)，只要令un=()n，vn=2n，易验证(B)错误．对于(C)，令un=，显然选项C错误．对于(D)，当un为正项级数，vn为负项级数时(如令vn=一1)，易验证(D)错误．3、设a为常数，则级数A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、收敛性与a的取值有关．标准答案：C知识点解析：由于．应选C．4、若级数an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：B知识点解析：由已知条件an(一2)n收敛，可知幂级数，antn的收敛半径R≥2，从而antn当t∈(一2，2)时绝对收敛．注意x=2时对应的t=x一1=1．故幂级数an(x—1)n在x=2处绝对收敛．故选B．5、设un=∫nπ(n+1)πun为A、发散的正项级数．B、收敛的正项级数．C、发散的交错级数．D、收敛的交错级数．标准答案：D知识点解析：令x=nπ+t，则所以交错级数un收敛，故选D．6、已知级数条件收敛，则常数p的取值范围是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：故当p+an收敛，从而原级数绝对收敛；当p+an发散，从而原级数不是绝对收敛的．当0＜p+时，显然an→0(n→∞)．令所以x充分大时f(x)单调增加，于是n充分大时，an=单调减少，应用莱布尼茨判别法推知当一时原级数条件收敛．故选D．当p+时原级数发散．7、下列命题中正确的是A、若幂级数anxn的收敛半径为R≠0，则．B、若极限anxn没有收敛半径．C、若幂级数anxn的收敛域为[一1，1]，则幂级数nanxn的收敛域也为[一1，1]．D、若幂级数anxn的收敛域为[一1，1]，则幂级数xn的收敛域也为[一1，1]．标准答案：D知识点解析：极限=ρ只足收敛半径为R=的一个充分条件，因此A不对．幂级数anxn的收敛半径存在而且唯一，所以B不对．取级数可以排除(C)．(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到，故选D．8、设幂级数(x一a)n在点x1=一2处条件收敛，则幂级数(x一a)n在点x2=处A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、其敛散性与口的取值有关．标准答案：C知识点解析：首先，幂级数收敛半径为R=1．其次，级数在x1=一2处条件收敛，则x1=一2必为收敛区间的端点．由｜x1一x2｜=必在收敛域之外．与a的取值无关．因此选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设级数(un+un+1+un+2)=___________．标准答案：知识点解析：因为S=un收敛，那么由级数的基本性质有=S+(S一u1)+(S—u1—u2)=3S一2u1—u2．由于u1=S1=1，u2=S2一u1=，则10、幂级数x2n—1的收敛半径为___________．标准答案：2知识点解析：当x=0时级数显然收敛．当x≠0时设un(x)=x2n—1，于是用比值判别法知，当x2＜1时幂级数绝对收敛，而当x2＞1时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为2．11、幂级数的收敛域是___________．标准答案：[一2，2)知识点解析：当x=0时级数必收敛．当x≠0时设un(x)=，于是故当＜1即｜x｜＜2时，幂级数绝对收敛，而当｜x｜＞2时幂级数发散．当x=2时，幂级数变为，显然发散；当x=一2时，幂级数变为交错级数，由莱布尼茨判别法易判断其收敛．故收敛域为[一2，2)．12、幂级数xn的收敛域为___________．标准答案：[一1，1)知识点解析：根据收敛半径的计算公式，幂级数，的收敛半径为1，收敛域为[一1，1)；幂级．数的收敛域为(一2，2)．因此原级数在[一1，1)收敛，在(一2，一1)∪[1，2)一定发散．又根据阿贝尔定理，原级数在(一∞，一2]∪[2，+∞)也一定发散．故原级数的收敛域为[一1，1)．13、幂级数102n(2x一3)2n—1的收敛域为___________．标准答案：(1．45，1．55)知识点解析：这是缺项幂级数，把一般项化成an(x一x0)2n—1的标准形再计算．所以当202=0．05时，级数绝对收敛；当｜x一｜＞0．05时，级数发散．故幂级数102n(2x一3)2n—1的收敛区间为(1．45，1．55)．又当｜x—｜=0．05时，原级数的一般项分别是un=一10和un=10，所以发散．因此幂级数102n(2x一3)2n—1的收敛域为(1．45，1．55)．14、幂级数(n2—1)xn的和函数是___________．标准答案：+1，(｜x｜＜1)知识点解析：当x=0时级数收敛，当x≠0时设un(x)=(n2—1)xn，由于可见幂级数的收敛半径R=1．当x=±1时原级数一般项不趋于零，故幂级数的收敛域为(一1，1)．求和函数得三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)判别下列级教的敛散性．15、标准答案：用比值判别法．故该级数发散．知识点解析：本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法．16、标准答案：un==0，所以un=e0=1≠0，故级数发散．知识点解析：暂无解析17、标准答案：此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法．比值判别法：＜1，故收敛．比较判别法：取v=收敛，所以原级数收敛．知识点解析：暂无解析18、(其中常数p＞1)．标准答案：用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数作比较．因为知识点解析：暂无解析判别下列级数的敛散性．若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛．19、标准答案：I(一I)n—1一1，利用正项级数比较判别法极限形式，我们取un=．因为对于原级数，令f(x)=，在区间[e，+∞)上有f’(x)=＜0，故f(x)=在区间[e，+∞)上单调递减，且满足莱布尼茨判别法的两个条件：un=0，un≥un+1．故得知原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析20、标准答案：由ln(1+x)≤x(x≥0)，可知ln(en+e-n)=lnen(1+e-2n)=n+ln(1+e-2n)＜n+e-2n．令f(x)=＜0．因此f(x)单调减少，故数列单调递减．又=0，由莱布尼茨判别法，知原级数收敛．故原级数条件收敛．知识点解析：暂无解析21、讨论级数的敛散性，其中{xn}是方程x=tanx的正根按递增顺序编号而得的序列。标准答案：令f(x)=x一tanx，x∈(nπ一)，则f’(x)=1一=一tan2x≤0，等号仅在x=nπ时成立，故f(x)单调减少．又故f(x)在(nπ一)有唯一的根，且xn∈(nπ一)，从而xn＞＞n一2，继而有xn＞(n—2)2，．由于收敛．知识点解析：暂无解析22、讨论级数的敛散性与参数p，x的关系．标准答案：当n充分大时．1一＞0，故级数为正项级数．故vn发散，故当p+x＞1时，un收敛；当p+x≤1时，un发散．知识点解析：暂无解析23、已知函数y=y(x)满足等式y’=x+y，且y(0)=1，试讨论级数的收敛性．标准答案：因为y’=x+y，所以y"=1+y’．由y(0)=1，得y’(0)=1，y"(0)=2．根据麦克劳林公式，就有知识点解析：y(x)是已知微分方程的一个特解，再由其麦克劳林公式讨论级数的收敛性．24、设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫-xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛．标准答案：由于f(x)在[一2，2]上有连续的导数，则｜f’(x)｜在[一2，2]上连续，设M为｜f’(x)｜在[一2，2]上的最大值，则x∈[一1，1]时，F(x)=∫-xxf(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u一2x)=f(u)(u一2x)｜02x一∫02xf’(u)(u一2x)du=一∫02xf’(u)(u一2x)du，由此可得｜F(x)｜≤M∫02x(2x—u)du=2Mx2，x∈[一1，1]．因此收敛，由比较判别法可得绝对收敛．知识点解析：暂无解析将下列函数在指定点处展开成幂级数：25、f(x)=lnx，分别在x=1与x=2处；标准答案：利用换元法与已知的幂级数展开式ln(1+x)=xn(一1＜x≤1)求解本题．首先设x一1=t→x=1+t，代入可得f(x)=lnx=ln(1+t)=(x—1)2，展开式的成立范围是一1＜t≤1即一1＜x一1≤1→0＜x≤2．其次设x—2=t→x=2+t，代入可得展开式的成立范围是一1＜≤1→一2＜x一2≤2→0＜x≤4．知识点解析：暂无解析26、f(x)=，在x=1处．标准答案：展开式成立的范围是＜1，即一2＜x＜4．知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)=在点x0=1处展开成幂级数，并求f(1)．标准答案：将f(x)视为(x一1)bn(x一1)n即可．因为利用公式(5．14)，并以代替其中的x，则有由于f(x)的幂级数an(x一1)n的系数an=，所以f(n)(1)=n!an=．知识点解析：“在点x0=1处展成幂级数”即展成x一1的幂级数．28、求幂级数的收敛半径与收敛域．标准答案：用比值判别法判别其敛散性．当x=0时幂级数收敛；当x≠0时有所以，当0＜｜x｜＜1时，幂级数绝对收敛；｜x｜＞1时幂级数发散；当｜x｜=1时，由于，un≠0，幂级数发散，故幂级数收敛域为(一1，1)．知识点解析：暂无解析29、求幂级数(2n+1)x2n+2的收敛域，并求其和函数．标准答案：(2n+1)x2n=x2(2n+1)x2n，记(2n+1)x2n的和函数为S(x)，则知识点解析：记un(x)=(2n+1)x2n“，消去每项中的系数(2n+1)便可化为等比级数．求下列幂级数的和函数：30、(n+1)2xn；标准答案：易知幂级数收敛域为(一1，1)．记S(x)=(n+1)2xn，则对上式两边求导，得和函数S(x)=(一1＜x＜1)．知识点解析：暂无解析31、标准答案：故只要消去系数中的因子n便可以使用ex的展开式求和．幂级数的收敛域为(一∞，+∞)．和函数把g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得所以g(x)=(xex)’=(1+x)ex，S(x)=xg(x)=(x+x2)ex(一∞＜x＜+∞)．知识点解析：暂无解析32、标准答案：利用逐项求导两次去掉幂级数的通项的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数的收敛半径R=1，收敛域是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则S(x)=，一1≤x≤1，且S(0)=0．为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数，这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则S1(x)==xS(x)，一1≤x≤1，且S1(0)=S’1(0)=0．在开区间(一1，1)内逐项求导两次可得S"1(x)=2(—1)nx2n—1=—2x(—x2)n—1=一，逐项积分就有S’1(x)=∫0xS"1(t)dt=一∫0xdt=—ln(1+x2)，一1＜x＜1，S1(x)=∫0xS’1(t)dt=一∫0xln(1+t2)dt=一xln(1+x2)+∫0xtdln(1+t2)=一xln(1+x2)+2∫0xdt=2x一2arctanx—xln(1+x2)，一1＜x＜1．由于幂级数在x=±1都收敛，且函数2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都连续，故和函数S1(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分别在x一1与x=1处也成立．由此即得知识点解析：暂无解析33、标准答案：设S(x)表示的和函数．由于因此幂级数的收敛半径R=1，且x∈(一1，1)时设S1(x)=，它们的收敛半径都是1，因此两幂级数(—1，1)内逐项求导，得S1(x)=∫0xS’(t)dt+S1(0)=∫0xdt=—ln(1—t)｜0x=一ln(1—x)，S2(x)=∫0xS’2(1)dt+S2(0)=∫0x(一1—t)dt=—ln(1一x)—x—，于是=xS1(x)=xln(1—x)x∈(—1，1)，，x∈(一1，0)∪(0，1)．因此S(x)=，x∈(一1，0)∪(0，1)．知识点解析：暂无解析设有两条抛物线y=nx2+和y=(n+1)x2+，记它们交点的横坐标的绝对值为an。34、求两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；标准答案：由y=nx2+．因图形关于y轴对称，所以知识点解析：暂无解析35、求级数的和．标准答案：知识点解析：暂无解析36、设an=∫01t2(1一t)ndt，证明级数an收敛，并求其和．标准答案：an=∫01t2(1一t)ndt=∫01(1一u)2undu=∫01(un—2un+1+un+2)du知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得()．A、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D、当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数标准答案：A知识点解析：因为f’(0)＞0，所以根据极限的保号性，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，有即f(x)＞f(0)，选A．2、28．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’－(a)都存在，则()．A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f’+(a)存在，所以即f(x)在x=a处右连续，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=处左连续，故f(x)在x=a处连续，选B．3、曲线的渐近线的条数为()．A、0条B、1条C、2条D、3条标准答案：D知识点解析：因为无水平渐近线；由有两条铅直渐近线；由有一条斜渐近线y=x，选D．4、设y(x)是微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y’’(0)=2，于是选A．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、=______．标准答案：知识点解析：∫0xsin(x－t)2dt∫x0sinu2(－du)=sinu2du，则6、=______．标准答案：知识点解析：7、设F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’0)=______．标准答案：知识点解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，因为当x→0时，F’(x)～x2，所以8、=______．标准答案：知识点解析：9、在区间[－1，1]上的最大值为______．标准答案：ln3知识点解析：令时，I’(x)＜0，当为I(x)在[－1，1]上的最小值点，又故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．10、设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’x(1，2)=1，f’y(1，2)=4，则f(1，2)______．标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xfx(6tx，ty)+yfy’(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’x(1，2)+2f’y(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3.11、设则∫0πf(x)dx=______．标准答案：2知识点解析：∫0πf(x)dx=∫0πdx∫0x=∫0πsintdt=2三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且=a＞0，令an=－∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn+1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])．所以{an}单调减少．因为an=[f(k)－f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n－1)且所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤≤f(1)．知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析14、求f(x)的间断点并分类．标准答案：x=k(k=0，－1，－2，…)及x=1为f(x)的间断点．因为f(0－0)≠f(0+0)，所以=0为跳跃间断点；由得x=－02为可去间断点；当x=k(k=－1，－3，－4，…)时，由得x=k(k=－1，－3，－4，…)为第二类间断点；由得x=1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析15、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．标准答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)=f(b)=1，得=eη[f’(η)+f(η)]，从而=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．证明：方程f’’(x)－f(x)=0在(0，1)内有根．标准答案：令φ(x)=e－x[f(x)+f’(x)]．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以方程f’’(c)－f(c)=0在(0，1)内有根．知识点解析：暂无解析17、设f(x)二阶连续可导，且f’’(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜0＜<1)证明：．标准答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+其中ξ介于x与x+h之间．由已知条件得两边同除以h，得知识点解析：暂无解析18、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)。标准答案：两边积分得由F(0)=1，F(x)＞0，得知识点解析：暂无解析19、设f(x)在(－∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，+∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．证明：｜∫abf(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．标准答案：因为(b－a)f(a)=∫abf(a)dx所以｜∫abf(x)dx(b－a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)－f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)－f(a)｜dx≤∫ab(x－a)dx=知识点解析：暂无解析设u=u(x，y，z)连续可偏导，令20、若证明：u仅为θ与φ的函数．标准答案：因为所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．知识点解析：暂无解析21、若证明：u仅为r的函数．标准答案：因为从而=t(r2cos2θcosφsinφ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(－r2sinφcosφ)=0，故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．知识点解析：暂无解析22、设且D：x2+y2≥2x，求f(x，y)dxdy．标准答案：令知识点解析：暂无解析23、证明：用二重积分证明标准答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(z，Y)｜0≤z≤R，0≤Y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，Y≥0}φ(x，y)=e－(x2+y2)，因为φ(x，y)=e－(x2+y2)≥0且D1D2，于是令R→+∞同时注意到∫0Re－x2dx＞0，根据夹逼定理得∫0+∞e－x2dx=知识点解析：暂无解析24、求幂级数的收敛域．标准答案：幂级数的收敛半径为当发散，所以幂级数当发散，所以知识点解析：暂无解析25、设u0＞0，且发散．标准答案：当q＞1时，取所以存在N＞0，当n＞N时，而收敛．当q＜l时，取所以存在N＞0，当n＞N时，所以有发散．知识点解析：暂无解析26、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力Ry=kyv2，摩擦力为w=μ(mg－Ry)，由牛顿第二定律，有记B=μg，显然A＞0，故有分离变量得又当t=0时，所以当v=0时，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：2、下列广义积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、设f(x)在x＝0的邻域内有定义，且f(0)＝0，则f(x)在x＝0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设f(x)＝＝0，而f(x)在x＝0处不可导，(A)不对；即存在只能保证f(x)在x＝0处右可导，故(B)不对；因为，所以h－tanh～h3，于是存在不能保证f(x)在x＝0处可导，故(D)不对；＝－f’(0)，选(C)．4、设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)＝()．A、在x＝0处无极限B、x＝0为其可去间断点C、x＝0为其跳跃间断点D、x＝0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x＝0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，显然x＝0为g(x)的间断点，因为＝f’(0)，所以x＝0为g(x)的可去间断点，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(x)连续，且F(z)＝∫axf(t)dt，则F(x)＝______．标准答案：a2f(a)知识点解析：7、曲线y＝x＋的斜渐近线为______．标准答案：y＝x知识点解析：斜渐近线为y＝x．8、设z＝＝______．标准答案：知识点解析：9、计算∫01dy∫0y2ycos(1－x)2dx＝______．标准答案：知识点解析：∫01dy∫0y2ycos(1－x2)dx＝∫01cos(1－x)2dxydy＝∫01(1－x)cos(1－x)2dx＝∫01cos(1－x)2d(1－x)2．10、设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝______，该微分方程的通解为______．标准答案：y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2为任意常数)知识点解析：显然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程为λ2＋λ－12＝0，特征值为λ1＝4，λ2＝3．因为x2＋3x＋2为特征方程y’’＋y’－12y＝Q(x)的一个特解，所以Q(x)＝2＋2x＋3－12(x2＋3x＋2)＝－12x2－34x－19，且通解为y＝C1e－4x＋C2e3x＋x2＋3x＋2(其中C1，C2为任意常数)．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设a1＝1，a2＝2，3an＋2－4an＋1＝0，n＝1，2，…，求an．标准答案：由3an＋2－4an＋1＋an＝0，得3(an＋2－an＋1)＝an＋1－an(n＝1，2…)令bn＝an＋1－an，则bn＋a／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即知识点解析：暂无解析14、设f(x)＝，讨论函数f(x)在x＝0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(x)｜＝f(x)在x＝0处连续．由得f’－(0)＝1，再由得f’＋(0)＝0，因为f’－(0)≠f’＋(0)，所以f(x)在x＝0处不可导．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)＝f(b)，所以存在c∈(a,b)，使得f(c)≠f(a)＝f(b)，不妨设f(c)＞f(a)＝f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．标准答案：令φ(x)＝2x－∫0xf(t)dt－1，φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫01f(t)dt，因为f(x)＜1，所以∫01f(t)dt＜1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0．因为φ’(x)＝2－f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x－∫0xf(t)dt＝1有且仅有一个根．知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．标准答案：(1)设f(－x)＝f(x)，因为F(－x)＝∫0－x(－x－2t)f(t)dt∫0x(－x＋2u)f(－x)(－du)＝∫0x(x－2u)f(u)du＝F(x)，所以F(x)为偶函数．F(x)＝∫0－x(x－2t)f(t)dt＝∫0xf(t)dt－2∫0xtf(t)dt,F’(x)＝∫0xf(t)－xf(t)＝x[f(ξ)－f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．知识点解析：暂无解析19、求＋sin2x]cos2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)＝∫－1x(1一｜t｜)dt(x＞－1)，求曲线y＝f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．标准答案：当－1＜x≤0时，f(x)＝∫－1x(1－｜t｜)dt＝∫－1x(t＋1)dt当x＞0时f(x)＝∫－10(t＋1)dt＋∫0x(1－t)dt＝，知识点解析：暂无解析21、设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z＝f(2x－y)＋g(x，xy)，求．标准答案：＝2f’(2x－y)＋g’1(x，xy)＋yg’2(x，xy)，＝－2f’(2x－y)＋xg’’12(x，xy)＋g’2(x，xy)＋xyg’’22(x，xy)．知识点解析：暂无解析22、把二重积分f(x，y)dxdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x＋y＝1，x＝1，y＝1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求幂级数的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析25、(1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．(2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．标准答案：(1)由f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，得f(x)＝ex－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)＝ex－∫0xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)＋f(x)＝ex，其通解为f(x)＝C1cosx＋C2sinx＋．在f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt中，令x＝0得f(0)＝1，在f’(x)＝ex－∫0xf(t)dt中，令f’(0)＝1，于是有．(2)由f(x)－∫0xtf(t)dt＝1得(x＋1)f(x)－∫0xtf(t)dt＝x＋1，两边求导得f(x)＋(x＋1)f’(x)－xf(x)＝1，整理得f’(x)＋(－1＋，解得知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设y＝y(x)为微分方程2xydx＋(x2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则y(x)dx为()．A、－ln3B、ln3C、ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：由2xydx＋(x2－1)dy＝0得＝0，积分得ln(x2－1)＋lny＝lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，选(D)．2、设平面区域D：1≤x2＋y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则dxdy等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫12rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]标准答案：A知识点解析：dxdy＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr，选(A)．3、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜f(x)｜≤x2，则f(x)在x＝0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)＝0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：显然f(0)＝0，且f(x)＝0，所以f(x)在x＝0处连续．又由｜f(x)｜≤x2得0≤≤｜x｜，根据夹逼定理得，即f’(0)＝0，选(C)．4、设f(x)在x＝0的某邻域内连续，若＝2，则f(x)在x＝0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由＝2得f(0)＝0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，从而f(x)＞0＝f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、当x→0时，3x－4sinx＋sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n＝______．标准答案：5知识点解析：6、设周期为4的函数f(x)处处可导，且，则曲线y＝f(x)在(－3，f(－3))处的切线为______．标准答案：y＝－2x－4知识点解析：得f(1)＝2，再由得f’(1)＝－2，又f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝2，f’(－3)＝f’(－4＋1)＝f’(1)＝－2，故曲线y＝f(x)在点(－3，f(－3))处的切线为y－2＝－2(x＋3)，即y＝－2x－4．7、∫－11[x2ln(x＋)＋(x21)]dx＝______．标准答案：知识点解析：8、设z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝确定的函数，则＝______．标准答案：知识点解析：将代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，将x＝，y＝，z＝0代入得9、＝______．标准答案：2知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、．标准答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，知识点解析：暂无解析13、设f(x)＝g(a＋bx)－g(a－bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．标准答案：＝2bg’(a)．知识点解析：暂无解析14、设f(x)＝求f(x)并讨论其连续性．标准答案：当x＞0时，f’(x)＝，当x＜0时，f’(x)＝cosx，由f’－＝＝1，f’＋(0)＝＝1，得f’(0)＝1，则容易验证f’(x)＝1＝f’(0)，所以f’(x)连续．知识点解析：暂无解析15、证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有．标准答案：令f(t)＝et，因为f’’(t)＝et＞0，所以函数f(t)＝et为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的x，y∈R且x≠y，有．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．标准答案：对任意的x0，x2∈(a，b)且x1≠x2，取，由泰勒公式得f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x－x0)＋(x－x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)，“＝”成立当且仅当“x＝x0”，从而两式相加得f(x0)＜由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．知识点解析：暂无解析17、求∫arcsinxarccosxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、∫01x4dx标准答案：知识点解析：暂无解析19、证明：sinnxcosnnxdx＝2－nsinnxdx．标准答案：sinnxcosnxdx＝2－n－1sinn2xd(2x)＝2－n－1∫0πsinnsinnxdx＝2－nsinnxdx．知识点解析：暂无解析20、设直线y＝kx与曲线y＝所围平面图形为D1，它们与直线x＝1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求此时的D1＋D2．标准答案：(1)由方程组得直线与曲线交点为k≥1．知识点解析：暂无解析21、(1)设y＝f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)＝0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求．(2)设z＝z(x，y)由方程z＋lnz－∫yxe－t2dt＝1确定，求．标准答案：(1)将y＝f(x，t)与G(x，y，t)＝0两边对x求导得解得(2)当x＝0，y＝0时，z＝1．z＋lnz－∫xye－t2dt＝1两边分别对x和y求偏导得知识点解析：暂无解析22、计算(x＋y)2dxdy，其中D：ay≤x2＋y2≤2ay(a＞0)．标准答案：(x＋y)2dxdy＝x2＋2xy＋y2)dxdy＝(x2＋y2)dxdy．知识点解析：暂无解析23、设正项级数un收敛，证明收敛，并说明反之不成立．标准答案：因为0≤(un＋un＋1)而(un＋un＋1)收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知收敛，反之不一定成立，如级数1＋0＋1＋0＋…发散，因为unun＋1＝0(n＝1，2，…)，所以收敛．知识点解析：暂无解析24、将f(x)＝arctanx－x展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝0，f(x)＝f(x)－f(0)＝∫0xf’(dx)＝∫0x(｜x｜＜1)．知识点解析：暂无解析25、求y’’－2y’－e2x＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝1的特解．标准答案：原方程可化为y’’－2y’＝e2x，特征方程为λ2－2λ＝0，特征值为λ1＝0，λ2＝2，y’’－2y’＝0的通解为y＝C1＋C2e2x．设y’’－2y’＝e2x的特解为y*＝Axe2x，代入原方程得A＝，从而原方程的通解为y＝C1＋(C2＋)e2x．由y(0)＝1，y’(0)＝1得知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、下列各式中正确的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。对于A、C选项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因=e—1，故C不正确，选A。2、设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，则A、存在且等于零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，显然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但不存在，故A、B排除。再取φ（x）=f（x）=g（x）=1，同样有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但=1，可见C也不正确，故选D。3、设，则（）A、f（x）在x=x0处必可导且f’（x0）=aB、f（x）在x=x0处连续，但未必可导C、f（x）在x=x0处有极限但未必连续D、以上结论都不对标准答案：D知识点解析：本题需将f（x）在x=x0处的左、右导数f—’（x0），f+’（x0）与f’（x）在x=x0处的左、右极限区分开。但不能保证f（x）在x0处可导，以及在x=x0处连续和极限存在。例如显然，x≠0时，f’（x）=1，因此但是不存在，因此f（x）在x=0处不连续，不可导。故选D。4、设[0，4]区间上y=f（x）的导函数的图形如图1—2—1所示，则f（x）（）A、在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的B、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的C、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的D、在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的标准答案：B知识点解析：当x∈（0，1）或（3，4）时，f’（x）＜0，那么f（x）在[0，1]，[3，4]单调下降。当x∈（1，3）时f’（x）＞0，那么f（x）在[1，3]单调上升。又f’（x）在[0，2]单调上升，那么f（x）在[0，2]是凹的。f’（x）在[2，4]单调下降，那么f（x）在[2，4]是凸的。故选B。5、设f（x）有二阶连续导数，且f’（0）=0，则（）A、f（0）是f（x）的极大值B、f（0）是f（x）的极小值C、（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点D、f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点标准答案：B知识点解析：根据极限的保号性，由=1可知，存在x=0的某邻域使对任意x∈即f"（x）＞0。从而函数f’（x）在该邻域内单调增加。于是当x＜0时，有f’（x）＜f’（0）=0；当x＞0时，f’（x）＞f’（0）=0，由极值的第一判定定理可知f（x）在x=0处取得极小值。故选B。6、设I1=，则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有＜1。从而，可见有I1＞I2，可排除C、D，又由I2＜，可排除A，故应选B。7、已知f（x，y）=，则（）A、fx’（0，0），fy’（0，0）都存在B、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）存在C、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）不存在D、fx’（0，0），fy’（0，0）都不存在标准答案：B知识点解析：所以fy’（0，0）存在。故选B。8、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得9、dθ∫0acosθf（rcosθ，rsinθ）rdr（a＞0），则积分域为（）A、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2（x≥0）C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax（y≥0）标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax（a＞0），故选C。10、设pn=，n=1，2，…，则下列命题正确的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若an绝对收敛，即|an|收敛，由级数绝对收敛的性质知an收敛。而pn=，再由收敛级数的运算性质知，qn都收敛，故选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、数列xn==________。标准答案：知识点解析：利用等价无穷小因子代换，12、设函数f（x）==________。标准答案：4知识点解析：因为=f’[f（x）]f’（x），则|x=0=f’（一1）f’（0），而当x＜1时，f’（x）=2，因此f’（—1）=f’（0）=2，代入可得|x=0=4。13、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为________。标准答案：y=x—1知识点解析：由题干可知，所求切线的斜率为1。由y’=（lnx）’==1，得x=1，则切点为（1，0），故所求的切线方程为y—0=1．（x—1），即y=x—1。14、标准答案：知识点解析：令x=tant，则dx=sec2tdt，故15、标准答案：知识点解析：16、设函数z=z（x，y）由方程z=e2x—3z+2y确定，则=________。标准答案：2知识点解析：全微分法。利用全微分公式，得dz=e2x—3z（2dx—3dz）+2dy=2e2x—3zdx+2dy一3e2x—3zdz，即（1+3e2x—3z）dz=2e2x—3zdx+2dy。17、设f（x，y）连续，且f（x，y）=x+f（u，υ）dudυ，其中D是由y=，x=1，y=2所围成的区域，则f（x，y）=________。标准答案：知识点解析：首先令A=f（u，υ）dudυ，则A为常数，此时f（x，y）=x+Ay。18、幂级数的收敛域为________。标准答案：[4，6）知识点解析：幂级数的系数为an=，则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛区间为（4，6）。当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故幂级数的收敛域是[4，6）。19、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为________。标准答案：y=tan[（1+x）2+C]，C为任意常数知识点解析：将已知微分方程变形整理得，=（1+x）（1+y2），则=（1+x）dx，两边积分可得arctany=（1+x）2+C，因此y=tan[（1+x）2+C]，C为任意常数。20、微分方程y"+2y’+5y=0的通解为________。标准答案：y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2为任意常数知识点解析：由题干可知，方程y"+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0。解得则原方程的通解为y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、求函数f（x）=sinx的间断点，并指出类型。标准答案：函数f（x）的可疑间断点只有x=0和x=1。所以x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点。知识点解析：暂无解析22、设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。标准答案：将x=y=0代入f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，得f（0）=0，为证明f’（x）存在，则由导数的定义=f（x）+f’（0）ex=f（x）+aex。所以对任意x，f’（x）都存在，且f’（x）=f（x）+aex。解此一阶线性微分方程，得f（x）=e∫dx[∫aexe—∫dxdx+C]=ex（ax+C），又因f（0）=0，得C=0，所以f（x）=axex。知识点解析：暂无解析23、设e＜a＜b＜e2，证明ln2b一ln2a＞（b—a）。标准答案：对函数y=ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得ln2b一ln2a=（b—a），a＜ξ＜b。当t＞e时，φ’（t）＜0，所以φ（t）单调减少，从而有φ（ξ）＞φ（e2），即故ln2b—ln2a＞（b—a）。知识点解析：暂无解析24、设f（x）=（Ⅰ）证明f（x）是以π为周期的周期函数；（Ⅱ）求f（x）的值域。标准答案：故f（x）是以π为周期的周期函数。（Ⅱ）因为|sinx|的周期为π，故只需在[0，π]上讨论值域。因为所以f（x）的最小值是2—，最大值是，故f（x）的值域是知识点解析：暂无解析25、设z=f（z2一y2，exy），其中f具有连续二阶偏导数，求标准答案：因为由已知条件可得=2xf1’+yexyf2’，=—2yf1’+xexyf2’，=2x[f11"．（—2y）+f12"．xexy]+exyf2"+xyexyf2"+yexy[f21"．（—2y）+f22"?xexy]=—4xyf11"+2（x2一y2）exyf12"+xye2xyf22"+exy（1+xy）f2"。知识点解析：暂无解析26、求二重积分max（xy，1）dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。标准答案：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3（如图1—4—15）知识点解析：暂无解析27、求，其中D是由圆x2+y2=4和（x+1）2+y2=1所围成的平面区域（如图1—4—2）。标准答案：令D1={（x，y）|x2+y2≤4}，D2={（x，y）|（x+1）2+y2≤1}，（如图1—4—21所示）知识点解析：暂无解析28、设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。标准答案：（Ⅰ）设Tn为的部分和，则Tn=若正项级数若正项级数（Ⅱ）级数可整理为因正项级数的部分和数列Sn单调上升，将上式放缩由（Ⅰ）可知收敛，再由比较原理知，收敛，因此原级数绝对收敛。知识点解析：暂无解析29、将函数f（x）=展开成x一1的幂级数，并指出其收敛区间。标准答案：先进行变形知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)＝∫0sinxsint2dt，g(x)＝x3＋x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．2、f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)＝x在x＝0处可导，但｜f(x)｜＝｜x｜在x＝0处不可导，选(C)．3、设f(x)在[a，＋∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，＋∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)＝f(a)＋f’(a)(x－a)＋(x－a)2≥f(a)＋(x－a)2，其中ξ介于a与x之间．而(x－a)2＝＋∞，故f(x)＝＋∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，＋∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)＝0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，＋∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．4、设D＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，则sinxsiny．max{x，y}dσ等于().A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x)，sinxsiny．max{x,y}dσ＝2xsinxsinydσ＝2∫0πxsinxdx∫0xsinydy＝20πxsinx(1－cosx)dx＝2∫0πxsinxdx－2∫0πxsinxcosxdx＝π∫0πsinxdx－∫0πxd(sin2x)＝．选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、＝______．标准答案：1知识点解析：6、＝______．标准答案：知识点解析：7、若f(x)＝2nx(1－x)n，记Mn＝＝______．标准答案：知识点解析：由f’(x)＝2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1＝0得x＝，当x∈(0，)时，f’(x)＞0；当x∈(，1)时，f’(x)＜0，则x＝为最大点，8、＝______．标准答案：知识点解析：9、设，则a＝______．标准答案：ln2知识点解析：10、设f(x，y)在区域D：x2＋y2≤t2上连续且f(0，0)一4，则＝______．标准答案：8π知识点解析：由t－ln(1＋t)＝t－[t－＋ο(t2)]～t2(t→0)，由积分中值定理得f(x，y)dxdy＝f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，于是f(ξ，η)＝2πf(0，0)＝8π．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析13、f(x)＝求f(x)的间断点并分类．标准答案：x＝k(k＝0，－1，－2，…)及x＝1为f(x)的间断点．f(0－0)＝＝0，因为f(0－0)≠f(0＋0)，所以x＝0为跳跃间断点；由得x＝－2为可去间断点；当x＝k(k＝－1，－3，－4，…)时，由f(x)＝∞得x＝k(k＝－1，－3，－4，…)为第二类间断点；由f(x)＝∞得x＝1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：(1)对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；(2)．标准答案：(1)对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f’’(x)∈C(－1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(－1，1)内保号，不妨设f’’(x)＞0，则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式．得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2，其中ξ介于0与x之间，而f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得．知识点解析：暂无解析15、当x＞0时，证明：．标准答案：令f(x)＝arctanx，F(x)＝ln(1＋x)，f’(x)＝，显然f(0)＝0，F(0)＝0．由柯西中值定理，存在ξ∈(0,x)使得当x∈(0，－1)时，f’(x)＞0；当x∈(－1，＋∞)时，f’(x)＜0，则x＝－1为φ(x)在(0，＋∞)内的最大值点，最大值为M＝φ，所以知识点解析：暂无解析16、设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)＝a＜b－f(b)．证明：存在ξ1∈(a，b)(i＝1，2，…，n)，使得＝1．标准答案：令h＝，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)＝a＜b＝f(b)，所以f(a)＝a＜a＋h＜…＜a＋(n－1)h＜b＝f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)＝a＋h，f(c2)＝a＋2h，…，f(cn－1)＝a＋(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)＝f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)＝f’(ξ)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c1)，…f(b)－f(cn－1)＝f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，知识点解析：暂无解析17、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：两边积分得F2(x)＝dx，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝知识点解析：暂无解析18、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：∫01f(x)dx－．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f[tx1＋(1－t)x2]≤tf(x1)＋(1－t)f(x2)．证明．标准答案：因为∫abf(x)dx(b－a)∫01f[at＋(1－t)b]dt≤(b－a)[f(a)tdt＋f(b)∫01(1－t)dt]＝(b－a)，知识点解析：暂无解析20、求z＝x2＋12xy＋2y2在区域4x2＋y2≤25上的最值．标准答案：当4x2＋y2＜25时，由得驻点为(x，y)＝(0，0)．当4x2＋y2＝25时，令F＝x2＋12xy＋2y2＋λ(4x2＋y2－25)，因为z(0，0)＝0，所以目标函数的最大和最小值分别为和－50．知识点解析：暂无解析21、计算dxdy，其中D为单位圆x2＋y2＝1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设an＝∫01(1－x)ndx，讨论级数an的敛散性，若收敛求其和．标准答案：an＝∫01x2(1－x)ndx∫01(1－t)2tn(－dt)＝∫01(tn＋2－2tn＋1＋tn)dt知识点解析：暂无解析23、求幂级数．标准答案：＝0，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，＋∞)，知识点解析：暂无解析24、设二阶常系数线性微分方程y’’＋ay’＋by＝cex有特解y＝e2x＋(1＋x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y＝e2x＋(1＋x)ex代入原方程得(4＋2a＋b)e2x＋(3＋2a＋b)ex＋(1＋a＋b)xex＝cex，则有解得a＝－3，b＝2，c＝－1，原方程为y’’－3y’＋2y＝－ex．原方程的特征方程为λ2－3λ＋2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝2，则y’’－3y’＋2y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e2x，于是原方程的通解为y＝C1ex＋C2e2x＋e2x＋(1＋x)ex．知识点解析：暂无解析25、某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t＋dt]，排入湖中污染物A的含量为，流出湖的污染物A的含量为，则在此时间元素内污染物A的改变量为，于是，令m＝m0，得t＝6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第8套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列命题正确的是()．A、若｜f(x)｜在x＝a处连续，则f(x)在x＝a处连续B、若f(x)在x＝a处连续，则｜f(x)｜在x＝a处连续C、若f(x)在x＝a处连续，则f(x)在x＝a的一个邻域内连续D、若[f(a+h)－f(a－h)]＝0，则f(x)在x＝a处连续标准答案：B知识点解析：令f(x)＝显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)＝显然f(x)在x＝0处连续，但在任意x＝a≠0处函数f(x)都是间断的，故(C)不对；令f(x)＝显然[f(0＋h)－f(0－h)]＝0，但f(x)在x＝0处不连续，(D)不对；若f(x)在x＝a处连续，则f(x)＝f(a)，又0≤｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜，根据夹逼定理，｜f(x)｜＝｜f(a)｜，选(B)．2、设f(x)可导，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令f(x)＝x，显然f(x)＝＋∞，但f’(x)＝1，(A)不对，同理f(x)＝－∞，但f’(x)＝1，(B)也