高考数学二轮复习 10 算法、推理与证明、复数教学案 文

一.考场传真

1.【2013年高考陕西卷】设z是复数，则下列命题中的假命题是

()

A.若z2N0,贝Uz是实数B.若z2<0,则z是虚数

C.若z是虚数，则z2N0D.若z是纯虚数，则

z2<0

【答案】C

【解析】设2=a+加则z?=[a+加/=la?-川1+2次>，，因为z^NO,贝U

a?一/>0

<,

2ab=0

若a=0,则有02-/20=3=0,此时z=OeK；若8=0,则有a230=ae五成立，

此时z=aeR,故A选项正确；z?<0,则<一.若a=0,贝U0-〃>。，

2ab=0

3w0,此时z=bi为纯虚数；若小=0»则有a?—0<0=。2<0,这与ae7?矛盾！故

3选项正确；若z为虚数，则复数z2的虑部为2aL且其需部不一定为零，故z?不一定为

实数，则z?与零不能比较大小，故C-选项错误；若z为纯虚数，可设z

则z2=Ibii2=-b1<0,故D选项正确.

2.【2012年高考上海卷】若1+Jiz•是关于x的实系数方程％2+法+。=0的一个复数根，则

()

A.Z?=2,c=3B.Z?=—2,c=3C.Z?=—2,c=—lD.Z;=2,

c=-l

【答案】B

【解析】解法一：根据实系数方程的根的特点1-先也是该方程的另一个根，由韦达定理

得11+14-

11—在i1=2=-8=8=—2,11+VS111—＞j2i।=3=c,故选B；

解法二：由于1+0是关于x的实系数方程/+"+已=0的一个根，则

।l+VS।+41+VS।+c=0,

lr~-1=0b=—2

即13+c-1i+1+2*^^li=0,所以＜__,解得＜,故选3.

庭+2点=0[c=3

3.【2013年高考浙江卷】某程序框图如图1所示，则该程序运行后输出的值等于.

（开始）

5=1,k=l

（结束）

图I

I

9

【答案】

5

【解析】

试题解析：此题关键是明白这个程序框图的作用，此框图是求数列趣的前〃项

和，关屣是搞清楚最后程序运行到什么时候结束的.由图可知当上=5时程序运行结束，即最

后一次运行无=4,注意S的初始值是1,而不是0,所以

4.【2013年高考江西卷】阅读如图2所示的程序框图，如果输出，=4,那么空白的判断框中

应填入的条件是（）

A.S<8B.S<9C.S<10

D.s<n

t答案】3

【解析】

试题解析：由程序框图知前3次运售结果：Li=2,s=5；].i=3,s=8；3.i=4,s=9

因此终止条件为s<9,故选3.

5.【2013年高考新课标1卷】执行如图3所示的程序框图，如果输入的1,3],则输出的

s属于（）

A.[-3,4]B.[-5,2]C.[T3]

D.[-2,51

【答案】A

【解析】

试题解析：若则s=3^[—3,3i；若£©[1,3],s=4z—Pe[3,4].综上所述

s€[—3,4]>故选A

6.【2013年高考陕西卷】观察下列琴式：

(l+l)=2xl

(2+l)(2+2)=22xlx3

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5

照此规律，第九个等式可为.

【答案】5+1)(%+2)(%+3)…(%+%)=2*13-5...

【解析】

试题解析：第非个等式可为(»+1)(«+2)(»+3)■••(«+«)=2*1-3-5...(2»—1).

_I

7.【2012年高考湖北卷】定义在(-8,0)(0,*)。)上的函数/(%),如果对于任意给定的等

比数列｛4｝,｛/(4)｝仍是等比数列，则称"％)为“保等比数列函数”.现有定义在

(-00,0)(0,+3上的如下函数：①/(%)=%2；②4％)=2*；③/(%)=用；④

/(x)=ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的7(%)的序号为()

A.①②B.③④C.①③

D.②④

【答案】C

【解析】

试题解析：设等比数列｛%；的公比为"qwOi，对于①中的函数/xu/,则

=/(常数),①中的函数为“保等比函数对于②中的函数/ixi=2",如取/=23

则力：外|=2a=22，

则^^=号=22(不是常数)，故②中的函数不是"保等比函数”；对于③中的函数

力初22

亚(常数)，故③中的函数是“保等比函数”；对于④中的

函数/1xi=In\x\9

如取％=2,则〃a/=ln|2*|=Mn2,则'=""：?匕:四(不是常数),

故④中的函数不

是“保等比函数故选C.

8.【2012年高考浙江卷】定义：曲线C上的点到直线A/的距离的最小值称为曲线。到直线/的

距离，已知曲线G：y=炉+a到直线l;y=x的距离等于曲线。2:炉+(y+4)2=2到直线

/:y=x的距离，则实数

9

【答案】

4

【解析】

22

试题解析：C2：x+(y+41=2,圆心(0,-41,扇心到直线/：1y=x的距离为:

Q—।—411

d=71=20,故曲线C?到直线/:y=芯的距离为d'=d-r=d—我=啦.

V1+1)

另一方面：曲线(71：y=/+白，令y，=2x=l,得：x=\,曲线g:y=x'+a到直线

Iy=x的距离的点为|―,—•\-a,d'=

(24

阿二.高考研究

考纲要求.

1.算法初步

(1)算法的含义、程序框图

①了解算法的含义，了解算法的思想；

②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.

(2)基本算法语句

理解几种基本算法语句一一输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.

2.推理与证明

①了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的

作用；

②了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段

论”，能运用“三段论”进行一些简单推理；

③了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；

④了解反证法的思考过程和特点.

3.数系的扩充与复数的引入

①理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；

②了解复数的代数表示法及其几何意义；

③能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

4.框图

①通过具体实例进一步认识程序框图；

②通过实例了解工序流程图；

③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用；

④通过实例了解结构图；

⑤会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

命题规律

L题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序

框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5分;

推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选

择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为

10%〜13%

2.知识点分布均衡、重难点突出：以2013年全国新课标卷数学高考《考试说明》为参考，可

理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60%左右，其中对复数、算法、推理与证明等知

识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的

主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的

内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有

的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透

数列、函数以及统计等方面的内容.

推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主

要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命

题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，

加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.

复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复

数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.

3.设计新颖、形式多样、难易适度：复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一

般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何

形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力，这部分的难度基本控制在0.05~0.25之间；

推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的

理解，属于较难题.试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15-0.52,平均难度0.29,

解答题难度在0.11-0.30,平均难度0.17）.

算法与程序框图

1.算法：

(1)算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,

这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

(2)算法的特点：

①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是

模棱两可.

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确

定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都

准确无误，才能完成问题.

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过

有限、事先设计好的步骤加以解决.

2.程序框图

(1)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准

确、直观地表示算法的图形.

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字

说明.

(2)构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

表示一个算法的起始和结束，是任何流程图必

起止框

C)不可少的.

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

/__/中任何需要输入、输出的位置.

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内.

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框“是”或“y”；不成立时标明“否”或

“N”.

(3)算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.

①顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的

顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种

基本算法结构.

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法

步骤.在示意图中，A框和3框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执

行5框所指定的操作.

②条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断

根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构

条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论P条件是否成立，只能执行A框或8框之

一，不可能同时执行A框和3框，也不可能A框、3框都不执行.一个判断结构可以有多个

判断框.

条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问

题中，

常常用条件结构来设计算法.

③循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成

立为止；

（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，

执行循环体，直至条件第一次不成立为止.

循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常

用循环结构来解决.

3.算法语句：

（1）输入语句

①输入语句的一般格式

图形计算器

格式

INPUT"提示内容V变量INPUT"提示内容变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息,

变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数,

不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，

变量与变量之间用逗号“，”隔开.

（2）输出语句

①输出语句的一般格式

图形计算器

格式

PRINT"提示内容々表达Disp"提示内容变量

②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息,

表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.

（3）赋值语句

①赋值语句的一般格式

图形计算器

格式

变量=表达式表达式一变量

②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

③赋值语句中的“="称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能

对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；

④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式;

⑤对于一个变量可以多次赋值.

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式.如：2=X是错误的；

②赋值号左右不能对换.如“A=5”“5=A”的含义运行结果是不同的；

③不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等）；

④赋值号与数学中的等号意义不同.

（3）条件语句

条件语句的一般格式有两种：（a）IF—THEN—ELSE语句；（b）IF—THEN语句.2、IF—THEN—

ELSE语句IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2.

分析：在IF-THEN-ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足

条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语

句的结束.计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面

的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2.

IF—THEN语句

IF—THEN语句的一般格式为图c,对应的程序框图为图d.

是

IF条件THE、

语句

ENDIF（图c）

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，

结束程序；ENDIF表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果

条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句.

(4)循环语句

循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言

中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.

①WHILE语句

(a)WHILE语句的一般格式是

WHILE条件

循环体

WEND

(b)当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND

之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进

行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接

着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.

②UNTIL语句

(a)UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是

DO

循环体

LOOPUNTIL条件

(b)直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时,

先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再

进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP

UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.

分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）

（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循

环

推理与证明

1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.

（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这

些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.

（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一

类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.

2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到

特殊的推理.

基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）

结论.

3.直接证明：综合法、分析法

（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后

推导出所要证明的结论成立的证明方法.

（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明

的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.

4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最

后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

复数1.

复数的相关概念：

（1）形如。+万（aSeH）的数叫复数，其中，叫做复数的虚数单位，且产=-1,a叫做复

数的实部，b叫做复数的虚部.复数集用集合C表示.

（2）复数的分类：对于复数2=。+次（a*eR）

①当3=0时，z是实数；②当〃工0时，z是虚数；③当a=0且时，

z是纯虚数.

（3）复数相等：若Z[=a+bi（a,bcR）,z2=c+di（c,deR）,则z=Z2的充要条件是

a=。且b=d.

特别地：若a+4=0的充要条件是a=5=0.

2.复数的几何意义：

（1）复平面：x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上

的点都表示纯虚数.

（2）复数z=a+bi（aje©与复平面内的点Zia,加----对应.

（3）复数z=a+bita,beR＞与复平面内所有以原点0为起点的向量0Z----对应.

（4）复数的模：向量次的模叫做复数z=a+》的模，记作|z|或卜+加|,且

|Z|=42+、2.

3.复数的四则运算：

（1）共轨复数：实部相等，虚部互为相反数.若z=a+勿・（a,》eR）,则它的共轨复数

z—a-bi.

（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算:

a+bi_(a+_ac+bd^bc-ad.

除法法则:

c+di(c+dz)(c—di)c+dc~+d

4.重要性质：i1=i,z2=-l,z3=-z,z4=1.

二.高频考点突破

考点1复数的与实系数方程之间的关系

【例1】【广东省广州市2013届高三普通毕业班综合测试二】若1-id是虚数单位）是关于x

的方x2+

2px+q=0（p,qeR）的一个解，贝Up+q=

（）

A.-3B.-1C.1

D.3

【答案】C

【解析】

试题分析：本题是考查根与系数的关系，可将复数代入方程借助复数相等来进行求解，或者

利用复数与其共直复数为实系数方程的根并结合韦达定理求解.

试题解析：解法一：将1-i代入方程得+2Pli-it+g=O,即

-2i+2pil-ii+q=0,化为复数的一般形式得(2p+g)+(-2p-2叮=0,根据复数相

等得上+7。解得2=：】，“+”】.

-2p-2=0[(7=2

解法二：根据实系数方程的特点可知，1+工也是方程x2+2px+g=0的一根，由韦达定理

知(1-i)+(1+i)

=-2p,所以,二-1,(l-i)(l+ii=0=0=2,所以p+g=l.

【规律方法】根与实系数方程之间的关系体现在，一是根代入方程，相应的等式成立；二是

体现在韦达定理上，即实系数一元二次方程区+。=0(〃工(),〃也。£尺)的两根分别为

hc

再、/，则石+电=——，石•X'=—,不仅对△之0的情况成立，对A<0的情形(即方程

aa

的根为虚根)也成立.

【举一反三】【湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三三校11月联考】已知复数

z=-3+2i(i

为虚数单位)是关于x的方程2必+°%+4=0(p、q为实数)的一个根，则p+q的值为

A.22B.36C.38

D.42

【答案】C

【解析】解法一：由于z=-3+2是关于X的方程2-+px+g=Q（p、q为实数）的一

个根，则有

2f-3+2i『+p（-3+2ii+g=0,即（-3p+g+10i+（2p-244=0»贝II有

-3j>+q+10=0

，解得

2尸—24=0

p=12

<"所以，+q=38；

q=26

解法二：由实系数方程知，-3-4也是方程2-+px+g=0(p、g为实数)的一个根，

由韦达定理得

(-3+2ii+f-3-2zi=--=>r>=12,(-3+2,i(-3-2i)=2=g=26>所以

22

p+q=38,选C.

2

【例2】【广东省广州市海珠区2013届高三综合测试一】下面是关于复数2=——的四个命题:

:目=

Pi2,p2:z~=2i,

小：2的共软复数为—1+/p4：Z的虚部为1,

其中真命题为()

、、

A.p2、必B.Pip2C.p2p4

D.。3、p4

【答案】C

【解析】

试题分析：本题是考查复数的相关概念与计算，先将复数化为一般形式a+与，aJeKi,

然后利用相关知识求解.

试题解析：：z-~:~——=1+i>所以|z|=JF+1*=Vs，z2=il+z)2=2i>

z=\-i,z的虚部为1,故真命题为小、P>,1选C.

【规律方法】对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形

式，即2=。+庆

(a,b^R),实部为。，虚部为Z?.(1)复数的概念：①z为实数oZ?=0；②z为纯虚数

oaH0且Z，=O；③z为虚数oZ?#0.(2)复数的几何意义：①z=a+初oz在复平面

内对应的点Z(a,》)oz在复平面对应向量QZ=(a㈤；②复数z的模

|z|=|«+bi\=y/a2+b2.(3)共辗复数：复数z=a+次与2=a-切互为共物复数.

【举一反三】【河南省十所名校2013届高三第三次联考】对于任意复数z=a+切,(。/€尺)，

，为虚数单位，则下列结论中正确的是

()

A.z-z=2aB.z・z=|z「C.—=1

D.z2>0

【答案】3

【解析】'：z=a-^-bi,[OOz=a-bi,所以z-z=i：a+次i-(a-瓦।=,A选项错误

\a+bi\(a-bii=a2+b2=|z|2,3选项正确；若？=1,则

z

z=z=>a+bi=a-bi=^b=0,则z为实数：，矛盾，C选项错■误；

z2=।a+bi|2=a2—b2+2abi,若aBwO,则z?为虑数，不能与零比较大小，故选3.

考点3算法与数列综合

【例3】【2013年高考辽宁卷】执行如图4示的程序框图，若输入〃=8,则输出的5=

()

【答案】A

【解析】

试题分析：本题考查算法与数列裂项求和问题，先根据前几次的运算找出其规律，利用相应

的裂项公式进行求和.

试题解析框图运算的结果为

111111

s=o+22-l+4a-l+"+82-l-：U3+3^5++7^9

fin104

+-■•+故选A.

29

1

【规律方法】若数列｛q｝为公差为d(dwo)的等差数列，＜

aa

[,,n+kJ

般是利用裂项法，裂项公式为」1(1仆

，为了方便求出数列

a”％kN4

1

，(keN*)的前〃项和，可以采用将没数列中裂项后被减项写在一起，减数项写在一

a**

起，方便观察哪些项消去了，即

(11)1(11)1(11)

S"=：+—++—

\a\ak+\kd\a2ak+27kd\anan+k7

1/111(111)

—+——++—----+-----+H------，--但-是在处理算法与数列求和问题时,

kdCl]a?7Vak+\ak+2qn+kJ

一定要确定循环次数，即在数列中有求和的项数.

【举一反三】【河南省豫东豫北十所名校2014届高三阶段检测三】某程序框图如图5所示,

则输出的结果为

()

2012D20132014

A.----B.--------C.----

201320142015

2015

D.----

2016

【答案】D

【解析】

试题解析：由程序框图可知，s=」一H—--H-----b1

1x22x32015x2016

]_1_2015

1-2016=2016故选D.

考点4判断条件的选择

【例4】【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高

三第一次联考】若下边的程序框图输出的S是：126,则条件①可为

()

A.n<5B.n<6C.zz<7D.n<8

【答案】C

【解析】

试题分析：对数列求和式进行归纳，将其表示为用循环次数为变量的表达式，根据题中条件

对循环次数进行求解，从而确定判断条件.

试题解析:假设填入的条件为北二无，第一次循环，n工上成立，S=0+21=2］，«=1+1=2；

第二次循环，％W上成立,<?=21+22>万=2+1=3；

123

第三次循环，抬工上成立，（?=2+2+2,%=3+1=4；……

211—2^।

依此类推，第上次循环，阀工上成立，sr=21+22+23+-+2fc=-----------=211-2,

（1-2

»=^+1,然工上不成立，跳出循环体，输出S=2*+i—2=254,解得太=7,故选C.

【规律方法】等差数列｛«„｝的求和公式：Sn==叫+（d为等差数列

｛4｝的公差）;

等比数列｛4｝的求和公式：S"="J1—；）=%：a；（qwo,qw1）（q为等比数列｛%｝的

公比）.在判断条件的选择上，需要注意两方面的问题：一是控制变量是增大还是减小，从而

决定判断条件中对控制变量所使用的不等号；二是循环进行的次数，决定判断条件中临界值

的选择.

【举一反三】【湖北省恩施高中2014届高三第三次教学质量检测】如图7给出的是计算

——的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）

2014

A.z<2014?B.z>1007?C.z<1007?

D.z<1007?

【答案】3

【解析】

试题解析：第一次循环，s=5，7=2

试题解析：第一次循环，s=—,i=1+1=2；第二次循环，s=—+—>i=2+1=3；

224

第三次循环，s=-+-+~,i=3+l=4；…，依此类推，进行最后一次循环,

246

：=1007+1=1008,说明i=1007满足条件，而i=1008不满足条件，故选B.考

点5算法与函数综合

【例5】【湖北省孝感市2014届高三第一次统一考试】运行如图8所示的算法流程图，当输入

的x值为（）时，输出的y值为4.

A.1B.-1C.-2

D.-3

【答案】D

t解析】

试题分析：本题是考查算法与分段函数的综合问题，首先应该根据算法确定分段函数的解析

式，然后利用相应知识求解.

1-x,x<-1

试题解析：由程序框图所反映的算法可知，售法中的函数为1y=,xL-lWxWl.当x<-l

3+x,1

时，y=\-x,令y=4,即1一x=4=x=-3；当-iWxWl时，y=x2,令y=4,即

x?=4=x=±2（舍去）；当x>l时，y=3+x>令1y=4,即3+x=4=x=l（舍去）.

综上所述，当x=-3时，y=A,故选D.

【规律方法】分段函数问题的求解主要在于根据自变量的不同取值确定相应的函数解析式，

利用解析式来求解分段函数问题.对于分段函数的问题，一般有以下几种考查形式：①求分段

函数值，根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，对于复合函数的求值，计算时遵循

由内到外的原则；②由函数值求相应的自变量的取值，即令每个解析式等于相应的值求出自

变量的值，并对自变量的取值是否在区间进行取舍；③求解分段函数不等式，对自变量在相

应区间的取值下解不等式，并将解集与定义域取交集得到最终答案.

【举一反三】【四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试】已知xwR,根据如图9所示的

程序框图，则

不等式〃x）>|的解集是.

（开始）

『⑴=2|/卜)=2*+「/l>)=7-x

,/输出/（x，

dD

图9

13

【答案】-1,12.

L2j

【解析】

*2：x<0

试题解析:根据题中的程序框图所反映的算法知，函数为YIXI=<2X+1,0<XV3.当x£0

7-x,x>3

时，/xi=2".

解得故不等式在区间上的解集为

令即xN-l,/ix/giYO,0］

22

［-1,01；当0cxs3时，/1xi=2x+1>令/ixiiL即2X+1NL解得X2-L因

224

此，不等式力xiN」在区间电3］上的解集为（0,3］；当x>3时，令力XEL即

7-为之匕解得xV上，故不等式力工史」在区间0X0」的解集为3,-.综上所述，

222\2_

1「13*1

不等式力xi2］的解集为.

考点6归纳推理

【例6】【浙江省温州市2014届高三期初联考】用火柴棒摆“金鱼”，如图10所示：

>5>>»

①②③

图10

按照上面的规律，第九个“金鱼”图需要火柴棒的根数为.

【答案】6«+2.

【解析】

试题分析：本题考查的是归纳推理与数列，先根据前几项相对应的代数式结构特征，归纳出

一般规律，然后利用数列相关方法求解.

试题解析：第1个“金鱼”图需要火柴棒的根数的=8,第2个“金鱼”图需要火柴棒的根

数。2=8+6=14,第3个“金鱼”图需要火柴棒的根数&=14+6=20,则数列；端构

成以8为首项，以6为公差的等差数列，；.4=8+6!%-1，=6%+2.

【规律方法】归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理

中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应

关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘等基本

关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对于的等式或不等式中的项的结构保

持一致.

【举一反三】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题】已知整数按如下规

律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）、（3,1）、（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）、

,则第60个数对是

【答案】（5,7）.

【解析】

试题解析।在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如下图示，有（Lli为嘉1项，U2i

为第2项，（L3）为第4项，…、（"1，为第56项,因此第60项为，5,7i.

考点7类比推理

【例7】【陕西省西安市长安区长安一中2014届高三第二次质量检测】对于命题：如果。是线

段上一点，

贝103|-04+|。4「03=0；将它类比到平面的情形是：若O是AABC内一点，有

S&OBC，+^\OCA'OB

+SAOBA，OC=0；将它类比到空间的情形应该是：若。是四面体ABCD内一点，则有

【合案】Vo~BCD，°A+VQ_Ae°B+V'0_ASc，℃+V'Q_J^C，°口=Q.

【解析】

试题分析：根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将

这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.

试题解析：根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体

体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若。是四面体那CZ）内一点，

则有^0-3CD,。工+^O-ACD,OB

+，O-ABC,℃+^Q-JiSC，0。=°.|

【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度

——平面几何中平面图形的面积一一立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比

数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到

等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应

的量进行替换.

【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检】在等差数列｛4｝中，若用“=。，

%=b

nbma

(m,neN\n-m>l),则am+n=-.类比上述结论，对于等比数列

｛优｝仅0>O,〃eN*),若"=c,bn=d^n-m>2,m,n&N^,则可以得到或+“=

【答案】C

【解析】

试题解析：设公比为g,。*=瓦、刈1),吗=旷力1仃+*-1),8*杈=飞目=自/+*』

考点8新定义

【例8】【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】设“力与g(x)是

定义在同一区

间［a,可上的两个函数，若函数y=/(x)-g(x)在尤e［a,可上有两个不同的零点，则称

/(力和8⑴在

［a,句上是“关联函数”，区间［a,可称为“关联区间”.若/(x)=*—3x+4与

g(x)=2x+m在［0,3］上是“关联函数”，则用的取值范围为

()

D.一段

I4

【答案】A

r解析】

试题分析：根据题中的定义将问题进行转化为方程/，力-g，x，=O有两个实数根，再等价

转化为直线

V=冽与函数加xi=--+5x-4的图冢在区间［0,3］上有两个交点，再利用图象求出参数

活的取值范围；或者利用二次函数的零点分布的知识求出参数的取值范围.

试题解析：解法一：由于函数x।=/-3x+4与gixi=2"+活在［0,3］上是“关联函

数”，

则函数1y=力x—gix।=/-5x+4-冽在区间［0,3］上有两个零点，

令加Xi=x2-5x+4-m,其中xe［0,3］,则函数xi=x?-5x+4-w在区间［0,3］上

有两个零点，

・2

A=i-5i-414-wi>0

59

因此有<0<-<3，解得一二<