2022年山西省省际名校高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“若，则”的逆命题为真命题C．，使成立D．“若，则”是真命题2．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（）A．1 B． C．2 D．33．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．4．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强5．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B． C． D．6．集合的真子集的个数为()A．7 B．8 C．31 D．327．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．在等差数列中，若，则（）A．8 B．12 C．14 D．1010．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户11．已知数列{an}满足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-112．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（）A．（） B．（）C．（） D．（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.14．已知函数，对于任意都有，则的值为______________.15．已知，，，，则______.16．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．18．（12分）如图，在平面四边形中，，，.（1）求；（2）求四边形面积的最大值.19．（12分）设函数.（1）求的值；（2）若，求函数的单调递减区间.20．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：①点的极角；②面积的取值范围.22．（10分）已知在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．2．C【解析】

连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.【详解】连接AO，由O为BC中点可得，，、、三点共线，，.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.3．B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.4．D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为，乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.6．A【解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.【详解】，故真子集个数为：.故选：.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.7．A【解析】

先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数，所以函数是偶函数.，即，又，所以，.函数的定义域为，所以，则函数在上为单调递增函数.又在上，，所以为偶函数，且在上单调递增.由，可得，对恒成立，则，对恒成立，，得，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.8．B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.9．C【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得解得，，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.10．D【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.11．D【解析】试题分析：因为an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考点：数列的通项公式．12．B【解析】

根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值为.因为，所以（）.又，所以，所以，令（），则（）.因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.故选：B【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．【详解】9元的支付有两种情况，或者，①当9元采用方式支付时，200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；②当9元采用方式支付时：200元的支付方式为，或者或者共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有种支付方式；所以总的支付方式共有种．故答案为：1．【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．14．【解析】

由条件得到函数的对称性，从而得到结果【详解】∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴f＝±2.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.15．【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】，，，，，，，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.16．①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①；②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④.【详解】①∵，∴平面

，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确；

②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:，，所以，设面的法向量为，则，即，令，则，设面的法向量为，，即，，由图示可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以③不正确；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值.因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正确.

故答案为：①②④.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.18．（1）；（2）【解析】

（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数（2）设根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值.【详解】（1），则由同角三角函数关系式可得，则，则，所以.（2）设在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，由三角形面积公式可得，所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.19．（1）（2）的递减区间为和【解析】

（1）化简函数，代入，计算即可；（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.【详解】（1），从而.（2）令.解得.即函数的所有减区间为，考虑到，取，可得，，故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.20．（1）（2）【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设，，则，设，由得．又由于，化简得的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线．，令，则，由于，，．所以，的取值范围为．【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.21．（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②【解析】

（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.（2）①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），因为则曲线的参数方程所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.所以的极坐标方程为，即.（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点极径为，且，所以为等腰三角形，又直线的普通方程为，又点的极角为锐角，所以，所以，所以点的极角为.②解法1：直线的普通方程为.曲线上的点到直线的