新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.4　函数的对称性（原卷版）

§2.4函数的对称性考试要求1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．()(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．()(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．()教材改编题1．函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)图象的对称中心为()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,0) D．(1,1)2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.题型一轴对称问题例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)成轴对称．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥eq\f(1,2)时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为()A．2B．3C．4D．－1题型二中心对称问题例2(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是()A．f(x)＝f(－x)B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(－x)＝－f(x＋4)D．f(x＋2)＝f(x－2)(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq\f(1,x)＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．思维升华函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．跟踪训练2(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于()A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称(2)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称．跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称课时精练1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点()A．(－1,2) B．(1,2)C．(－1，－2) D．(－2,1)2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于()A．1B．2C．0D．－23．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于()A．－1B．1C．0D．34．若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1C．f(x)－1 D．f(x)＋15．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0(x1≠x2)，则不等式f(lnx)>f(1)的解集为()A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)C．(e，e3) D．(e，＋∞)6．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有()A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．8．写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.9．已知函数f(x)＝eq\f(a·2x－2－x,2x＋2－x)是奇函数．(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>eq\f(1,3)；(2)求函数g(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心．10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是()A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x>0，,－x2－4x，x≤0，))则此函数图象上关于原点对称的点有()A．0对B．1对C．2对D．3对14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4