新高考数学一轮复习讲义第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理（原卷版）

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．()教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于()A．8 B．4C．eq\f(8\r(3),3) D．eq\f(4\r(3),3)3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，则C＝.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；(2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周长．题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形延伸探究将本例(2)中的条件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改为“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cosC)＝eq\r(3)csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为eq\f(49π,3).(1)求边c的长；(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝eq\f(\r(21),7)，求BM.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形C．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形(2)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝eq\r(2)这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面积．(3)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③eq\f(2\r(3),3)acsinB＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B的大小；②求sinA＋sinC的取值范围；③如图所示，当sinA＋sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．课时精练1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c等于()A.eq\r(35)B.eq\r(31)C．6D．52．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，a＝7，则△ABC外接圆的直径为()A．14B．7C.eq\f(7\r(3),3)D.eq\f(14\r(3),3)3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若eq\r(3)asinB＝bcosA，且b＝2eq\r(3)，c＝2，则a的值为()A．2eq\r(7) B．2C．2eq\r(3)－2 D．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(2\r(39),3)B.eq\f(26\r(3),3)C.eq\f(8\r(3),3)D．2eq\r(3)5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC，eq\r(2)sinA－2sinB＝0，则sinC等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq\f(AC,AB)取得最小值时，BD＝.8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知eq\r(3)bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝asinB.(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是()A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若A>B，则sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是()A．abc＝16eq\r(2)B．若a＝eq\r(2)，则A＝eq\f(π,3)C．△ABC外接圆的半径R＝2eq\r(2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinA)＋\f(1,sinB)))2≥32sinC13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝eq\r(3)acosC，c＝2eq\r(3)，ab＝8，则a＋b的值是．14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝eq\f(7,2)，那么BC＝.15．(多选)已知△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq\r(7