初中经典几何模型鉴赏

初中经典几何模型鉴赏

初中经典几何模型鉴赏

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行

延长相交

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

2

【例1】在菱形力笈CD和正三角形BE厂中，Z

力BC=60。，G是。尸的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在6C边上时，若45=10,

BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点尸在46的延长线上时，线

段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你

的猜想；并给予证明；

(3)如图3,当点尸在C5的延长线上时，(2)

问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证

明.

【例2】如图，在菱形45CD中，点£、尸分别

是BC、CD上一点，连接OE、EF,KAE=AF,

^DAE=NBAF,

(1)求证：CE=CF；

3

4

⑵若ZABC^nQPf点G是线段Ab的中点，连接

DG,EG,求证：DG±GE.

【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD,

E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线

于G,CD交EF于H.求证：ZBGE=ZCHE.

角平分线模型

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【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例4】如图，平行四边形A3CD中，AE平分

ZBAD交BC边于E,EF±AE交CD边于F,

交40边于延长R4到点G,使AG=CF,

连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF

的长为.

6

手拉手模型

【条件】OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

结论]

OAC^08D4助=/。48=/。。。（即都是旋转角）；OE平分ZAED；

巨石毋.3向

【例5】如图，正方形A4CD的边长为6,点。

是对角线4C、笈。的交点，点E在。。上，且

7

DEVICE,过点。作CF_LBE,垂足为人连接

OF,则。方的长为.

［例6］如图，ABC中，ZBAC=90°9AB=ACfAD

LBC于点。，点E在AC边上，连结KE,AG

L8E于尸，交BC于点G,求“FG

【例7】如图，在边长为6g的正方形ABCD中，

£是A5边上一点，G是4D延长线上一点，BE

8

=DGf连接EG,_LEG于点交AD于点

F,连接CE、BHO若BH=8,贝!IFG=.

SL邻边相等对角互补模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=ADf

NBAD+NBCD=ZABC+ZADC=180。

【结论】AC平分/BCD

9

【模型2】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=ADf

/BAD=/BCD=90°

【结论】®ZACB=ZACD=45°②BC+CD=血AC

【例8】如图，矩形AKCD中，AB=6,40=5,

G为CD中点,DE=DG,FGA

为.

10

【例9】如图，正方形A3c。的边长为3,延长

Q5至点M,使笈环=1,连接AM,过点笈作BN_LAM,

垂足为N,0是对角线AC.BD的交点，连接

ON,则ON的长为.

11

【例10］如图，正方形A3a）的面积为64,BCE

是等边三角形，尸是CE的中点，AE、BF交于

点G,则0G的长为.

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=ADf

ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,

/£4/=工/84。，点£：在直线5。上，

2

【结论】BE、DF、稗满足截长补短关系

【模型2】

【条件】在正方形A3CD中，已知E、尸分别是

边BC、CD上的点，且满足NEA尸=45。，AE.

4方分别与对角线笈。交于点M、N.

【结论】

(1)BE+DF=EF；Q)SXABE+SXADF=SXAEF;(3)

AH=AB；(4)C^ECF=2AB；

⑸BW+DN^MN2；

(6)AANMsADNFs/\BEMs/\AEFS/\

BNA^ADAM；

(由AO：AH=AO：AB=1：也可得至(JAANM和

△AEb的相似比为1：0)；

(7)S4AMN=S四边形MNbE；(8)^AOM^AADF,

AAON^AABE；

⑼AAEN为等腰直角三角形，NAEN=45。；

△AbM为等腰直角三角形，ZAFM=45°.

(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=1：五)；

(10)A>M、F.Z)四点共圆，A、B、E、N四点

13

共圆，M、N、F,C、E五点共圆.

【模型2变型】

【条件】在正方形A3co中，已知E、厂分别是

边。3、。。延长线上的点，且满

【结论】BE+EF=DF

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【模型2变型】

【条件】在正方形"CD中，已知昆尸分别是

边Q?、DC延长线上的点,

【结论】DF+EF=BE

【例11］如图，MBC和SEE是两个全等的等腰直

角三角形，/BAC=ZEDF=90°,NDEF的顶点E与AABC的

斜边3C的中点重合.将AD"绕点E旋转，旋转

过程中，线段OE与线段A3相交于点P,射线

EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于

点。.若AQ=12,BP=3,贝！|PG=______.

D

BC

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【例12］如图，在菱形A3CD中，AB=BDf点

£、F分另U在AB.AD上，且连接BF

与OE交于点G,连接CG与小遂王点号‘若

则S四边形BCOG=

一线三等角模型

【条件】NEDF=NB=NC,且DE=DF

【结论】BDE=CFD

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【例13］如图，正方形4BCD中，点、E、F、G

分别为A5、BC、CD边上的点，EB=3,GC=4,

连接用F、FG、GE恰好构成一个等边三角形，

则正方形的边长为.

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弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同心的正方形

【例14］如图，点后为正方形边A3上

一点，点方在OE的延长线上，AF=ABfAC与

FD交于点G,NE4b的平分线交哲7

过点D作HA的垂线交HA的好纳可.若

E

47=34,FH=2y/2f贝!|Z>G=

B

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【例15］如图，ABC中，ABAC=9019AB=ACfAD

J_笈。于点Z),点E是AC重点，连结KE,作

AG_L3£于后交BC于点G,连接EG,求证:

AG+EG=BE.

最短路径模型

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【两点之间线段最短】

1、将军饮马

2、费马点

【垂线段最短】

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【两边之差小于第三边】

【例16]

如图，矩形他8是一个长为1000米，宽为600

米的货场，入、。是入口.现拟在货场内建一个

收费站P,在铁路线火段上建一个发货站台“，

设铺设公路转、加以及叨之长度和为/.求/的最

小值.

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【例17】

如图，E、方是正方形A4CZ）的边AZ）上两个动

点，满足AE=O后连接Cb交加9

于G,连接8E交AG于点若正

方形的边长为2,则线段DH长度的

最小值是.

【例18】

E是

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,AO=4及f

沿

线段A3的中点，尸是线段8C上的动点,的

直线EF翻折到她石尸，连接阳，加最短为

22

23

【例19］如图1,oA3CZ)中，AELBC^E,

AE=ADfEGLABG,延长G£、Z>C交于点

F,连接4足

(1)^BE=2ECfAB”,求AD的长；

(2)求证：EG=BG+FC；

(3)如图2,若AF=5^9EF=2,点M是线段AG

上的一'个动点，连接ME,将AGME沿ME翻折得AG'ME,

连接DG，试求当DG取得最小值时GM的长.

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课后练习题

【练习11如图，以正方形的边43为斜边在正方

形内作直角二角形ABE,ZAEB=90°,弋BD交衣。

、

已知AEBE的长分别为3cm>5cmf的

面积.

DA

【练习2】

问题1：如图1,在等腰梯形ABCD中，AD//

BC,AB=BC=CD,点、M,N分另U在AO,CD±,

ZMBN=^ZABC,试探究线段MN,AM,CN

有怎样的数量关系？请直