5升6奥数拓展：长方体和正方体-数学六年级上册人教版

5升6奥数拓展：长方体和正方体-数学六班级上册人教版一、选择题1．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（

）的切法增加的表面积最小。A． B． C． D．2．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。则此时容器内的水有（

）。A．13.5升 B．18升 C．22.5升 D．27升3．某部门规定：旅客随身携带的行李的长、宽、高的和不能超过150厘米。请问，旅客所带的长方体箱子体积不能超过多少立方厘米？（

）。A．100000 B．125000 C．150000 D．1800004．用小正方体搭成如下图的大正方体，假如（

）块小正方体，剩下图形的表面积最大。A．拿走A B．拿走B C．拿走C D．拿走任意5．下图长方体侧面4个面的总面积是70cm2，它的高是（

）cm。A．3 B．4 C．5 D．66．把棱长是5cm的正方体的表面涂色后，再锯成棱长是1cm的小正方体（无剩余，损耗不计），那么，只一面涂色的有（

）块。A．6 B．24 C．36 D．54二、填空题7．一个棱长为8分米的正方体水缸，水深6分米，假如放入一块石头完全浸入水中，水溢出25升，则这块石头的体积是()立方分米。8．用三个完全相同的正方体拼成一个长方体，它的表面积是126cm2，那么这个长方体的体积是()cm3。9．把一个长7dm、宽6dm、高4dm的长方体切成两个同样大小的小长方体，表面积最多增加()，最少增加()。10．将小正方体按如图方式摆放在地上，依据摆放规律填写表格。小正方体的个数12345…n露在外面的面的个数5811()()…()11．一个长方体的底面是一个正方形，高是3.6dm，它的体积是14.4dm3，则长方体的表面积是()dm2。12．把一个长方体的高削减2dm后，就变成一个正方体，这时表面积削减了56dm2，变成的正方体的体积是()dm3。13．一块长方体木块，沿着高锯掉2cm后，成为一个正方体，表面积削减40平方厘米。求原来长方体木块的体积是()。14．一个长方体，假如长增加2厘米，则体积增加40立方厘米，假如宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米，假如高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，原长方体的表面积是()平方厘米？三、解答题15．做一个无盖的长方体铁桶，共用铁皮192平方分米。已知桶底是边长10分米的正方形，请问桶高几分米？16．如图，张叔叔有一个长为60厘米，宽为40厘米，高为50厘米的无盖长方体水槽。（1）做这样一个长方体水槽至少需要多少平方厘米的玻璃？（2）张叔叔把这个长方体水槽装入30厘米深的水，装入的水是多少毫升？（3）张叔叔在这个已有30厘米深的水的水槽中，放入一个长是20厘米，宽是20厘米，高是30厘米的长方体石块浸没在水槽中，水槽中的水将上升多少厘米？17．把四个大小、外形相同的盒子包装在一起，假如每个盒子的长、宽、高分别是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？18．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高5dm，水深4.5dm，假如投入一块棱长为4dm的正方体铁块（完全沉没），这个正方体铁块的体积是多少？缸里会溢出多少L水？19．小明的爸爸被称为“制作小能手”。爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一个长0.6米，宽0.5米，高0.4米的无盖鱼缸。现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。请你依据上面的信息解决下面的问题：（1）请你挂念小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？（3）要使这个鱼缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？20．下图是用24个棱长2cm的小正方体粘合而成的几何体。（1）在A、B、C三个缺口中选一处补入一个小正方体，补在（

）处，能使这个几何体的表面积保持不变。（2）在这三个缺口处都补入一个小正方体，这个几何体的表面积会增加还是会削减？增加（或削减）多少cm2？

参考答案：1．C【分析】不论是哪一种切法，都是增加两个长方形的面，比较长方形的面积大小，即可确定哪一种切法增加的表面积最小。【详解】A．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，（平方厘米）；B．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是4厘米，（平方厘米）；C．增加两个长方形的面，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，（平方厘米）；D．增加两个长方形的面，长方形的长大于8厘米，宽是6厘米，增加的面积大于96平方厘米；表面积增加最少的是增加48平方厘米，故答案选：C。【点睛】本题考查的是立体几何的切割问题，每切一刀，都会增加两个面。2．C【分析】由于是长方体容器，依据长方体的体积公式：长×宽×高，求出容器的体积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再依据棱柱的体积公式：底面积×高，求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积。【详解】容器体积：4×3×3＝12×3＝36（立方分米）无水部分体积：3×3÷2×3＝9÷2×3＝4.5×3＝13.5（立方分米）容器内水的体积：36－13.5＝22.5（立方分米）22.5立方分米＝22.5升故答案为：C。【点睛】本题主要考查体积的计算，本题容器内水的体积＝容器的容积－无水部分的体积，重点是把无水部分看作是底面是直角三角形的棱柱。3．B【解析】可以设箱子的长、宽、高分别为x、y、z厘米，则x＋y＋z≤150。由于，当且仅当x＝y＝z＝50厘米时，等式成立。因此体积最大为50×50×50＝125000立方厘米。【详解】解：设箱子的长、宽、高分别为x、y、z厘米，x＋y＋z≤150解得：x＝y＝z＝50因此V最大＝503＝125000（立方厘米）故答案为：B。【点睛】本题也可直接依据几何学问推断，长、宽、高之和在肯定的状况下正方体的体积最大。因此可直接得出棱长为150÷3＝50（厘米），从而解决问题。4．C【分析】表面积：是立体图形各个面积的总和。如正方体有六个面，且每个面的面积都相等。所以正方体的表面积是：棱长×棱长×6。据此进行分类争辩。【详解】①拿走A，少了3个正方形面积，同时也增加了3个正方形的面积，即表面积不发生变化；②拿走B，少了2个正方形面积，同时也增加了4个正方形的面积，即表面积比原来增加了2个正方形的面积；③拿走C，少了1个正方形面积，同时也增加了5个正方形的面积，即表面积比原来增加了4个正方形的面积。所以拿走C块小正方体，剩下图形的表面积最大。故选：C。【点睛】娴熟把握表面积的概念，再依据此概念进行分类争辩得出答案。5．C【分析】长方体的侧面开放是一个大长方形，大长方形的长＝长×2＋宽×2，用侧面总面积÷大长方形的长＝高。【详解】70÷（4×2＋3×2）＝70÷（8＋6）＝70÷14＝5（厘米）故答案为：C【点睛】本题考查了长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。6．D【解析】将正方体的表面涂色后，只有一面涂色、两面涂色……的小正方体的个数是有规律可循的，故我们先找到这个规律，再结合题意计算即可。【详解】依题意，只一面涂色的小正方体位于每个面除去四条棱剩下的面上，故每个面有（5－2）×（5－2）＝3×3＝9（个）这样的小正方体。那6个面共有9×6＝54（个）这样的小正方体。故答案为D。【点睛】本题属于“涂色的小正方体”的问题，有肯定的难度，同样需要较强的空间思维力量，只要能分析出“只一面涂色的”小正方体的位置的特征，问题就迎刃而解了。7．153【分析】由题意得石头的体积等于上升的水的体积加上溢出水的体积，依据长方体的体积计算公式：长方体体积长宽高计算即可。【详解】25升立方分米（立方分米）【点睛】关键是利用转化思想，将不规章物体的体积转化成规章的长方体体积进行计算。8．81【分析】用三个完全相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积比三个正方体表面积和削减4个面，据此求出长方体中正方形的数量，求出一个正方形面积，通过正方形面积确定正方体棱长，依据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体体积，再×3即可。【详解】6×3－4＝18－4＝14（个）126÷14＝9（平方厘米）9＝3×33×3×3×3＝81（立方厘米）【点睛】关键是先求出正方体一个面的面积，确定棱长，进而求出拼成的长方体体积。9．84平方分米48平方分米【分析】以长乘宽作为横截面增加的最多，增加两个这样的面；以宽乘高作为横截面增加的最少，增加两个这样的面。据此计算即可。【详解】（1）7×6×2＝42×2＝84（平方分米）（2）4×6×2＝24×2＝48（平方分米）【点睛】把握用哪个面作为横截面会增加的最多或最少是解决此题的关键。10．1417（3n＋2）【分析】依据图示，1个小正方体露在外面的面的个数是5个；2个小正方体露在外面的面的个数是5＋3＝8（个）；3个小正方体露在外面的面的个数是：5＋3＋3＝11（个）；……；n个小正方体露在外面的面的个数是：5＋3（n－1）＝（3n＋2）个。据此解答。【详解】1个小正方体露在外面的面的个数是5个2个小正方体露在外面的面的个数是5＋3＝8（个）3个小正方体露在外面的面的个数是：5＋3＋3＝11（个）4个小正方体露在外面的面的个数是：5＋3＋3＋3＝14（个）5小正方体露在外面的面的个数是：5＋3＋3＋3＋3＝17（个）……n个小正方体露在外面的面的个数是：5＋3（n－1）＝（3n＋2）个如表：小正方体的个数12345…n露在外面的面的个数58111417…（3n＋2）【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是依据所给图示及表格发觉这组图形变化的规律；解答此类题目，要依靠细心的观看及平常积累的阅历。11．36.8【分析】长方体的体积等于底面积乘高，依据高和体积可以求出底面积，然后求出底面的边长，计算四个侧面的面积，加上两个底面的面积，即为长方体的表面积。【详解】（dm2）正方形面积是4，那么边长是2厘米；（dm2）所以长方体的表面积是36.8dm2。【点睛】本题考查的是长方体的表面积和体积，当长方体中有两个面是正方形时，其余的四个面是完全一样的长方形。12．343【分析】削减部分的面积正好是以2dm为长方体的高、以原来长方体的长和宽的为长和宽的新长方体的前、后、左、右四个面的面积，又由于剩下部分是正方体，说明长方体的长＝宽，说明四个面完全相同，用表面积56除以4即可求出一个面的面积，再除以削减的高2即可求出长或宽，据此解答即可。【详解】56÷4＝14（dm）14÷2＝7（dm）7×7×7＝343（dm3）【点睛】理解削减面积就是以2dm为高，以原来长方体的长和宽的为长和宽的新长方体的前、后、左、右四个面的面积并且长和宽相等四个面的面积相等是解决此题的关键。13．175立方厘米【分析】首先关注长方体沿高锯掉2厘米前后的变化——表面积削减40平方厘米，实际上，削减的是与原长方体同长同宽，但高为2里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右4个面，4个面面积为40平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为2厘米，则每个面的长也可求，列式为40÷4÷2，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是5厘米。由于是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有转变，只是高削减了2厘米，则原长方体的体积＝5×5×（5＋2），计算即可。【详解】40÷4÷2＝10÷2＝5（厘米）5×5×（5＋2）＝25×7＝175（立方厘米）【点睛】长方体中有6个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉2厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体削减的面积入手，层层突破，解决问题。14．148【分析】由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2＝40立方厘米，则宽×高＝40÷2＝20平方厘米；同理可知长×高＝30平方厘米，长×宽＝24平方厘米，依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2列式解答即可。【详解】表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝（96÷4＋90÷3＋40÷2）×2＝（24＋30＋20）×2＝74×2＝148（平方厘米）故答案为：148【点睛】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变，依据长方体的表面积公式解答即可。15．2.3分米【分析】铁皮面积－底面积＝前后左右4个面的面积和，将前后左右4个面开放是长方形，长方形的宽就是长方体的高，长方体的长是长方体底面周长，用前后左右4个面的面积和÷底面周长＝长方体的高，据此分析。【详解】（192－10×10）÷（10×4）＝（192－100）÷40＝92÷40＝2.3（分米）答：桶高2.3分米。【点睛】关键是生疏长方体特征，能想明白无盖长方体铁通开放的外形。16．（1）12400平方厘米（2）72000毫升（3）5厘米【分析】（1）求做一个无盖的长方体水槽需要的玻璃面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，即“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。（2）求30厘米深的水的容积，依据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，结果要换算单位，进率：1立方厘米＝1毫升。（3）在水槽中浸没一个长方体石块，则水上升部分的体积就是石块的体积，依据长方体的体积＝长×宽×高，计算出石块的体积；再依据长方体的高＝体积÷底面积，其中底面积是水槽的“长×宽”，代入数据计算，求出水上升的高度。【详解】（1）60×40＋60×50×2＋40×50×2＝2400＋6000＋4000＝12400（平方厘米）答：做这样一个长方体水槽至少需要12400平方厘米的玻璃。（2）60×40×30＝2400×30＝72000（立方厘米）72000立方厘米＝72000毫升答：装入的水是72000毫升。（3）20×20×30＝400×30＝12000（立方厘米）12000÷（60×40）＝12000÷2400＝5（厘米）答：水槽中的水将上升5厘米。【点睛】机敏运用长方体的表面积、体积公式，以及把石块的体积转移到水上升部分的体积是解题的关键。17．592cm2【分析】依据题意，要使需要的包装纸最少，就要把四个盒子的最大面重合在一起；由于8×6＞8×5＞6×5，所以要把8×6的面、8×5的面分别重合起来，拼成一个长为8cm，宽为（6×2）cm，高为（5×2）cm的长方体，这样包装纸用的最少；依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。【详解】如图：6×2＝12（cm）5×2＝10（cm）（8×12＋8×10＋12×10）×2＝（96＋80＋120）×2＝296×2＝592（cm2）答：最少需要592cm2的包装纸。【点睛】本题考查立体图形的拼组，先找出盒子的哪些面的面积大，把它们重合起来，这样拼成的长方体用的包装纸最少；把握长方体的表面积公式并机敏运用。18．；40L【分析】依据正方体体积＝边长×边长×边长，求出正方体的体积；溢出的水的体积等于放入的正方体木块的体积减去高为5−4.5＝0.5分米的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，计算即可。【详解】4×4×4＝16×4＝64（dm3）64－8×6×（5－4.5）＝64－48×0.5＝64－24＝40（dm3）40dm3＝40L答：这个正方体铁块的体积是64dm3，缸里的水会溢出40L。【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式的应用，关键数熟记公式。19．（1）2块②号、2块③号、1块④号；（2）1.18平方米；（3）105升【分析】（1）无盖玻璃鱼