【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题05】数列

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题05】数列专题目录【问题一】等差数列、等比数列的证明问题【问题二】数列中的最值问题【问题三】由复杂递推关系求解数列的通项公式问题【问题四】如何顺畅求解复杂数列的求和问题【问题五】数列与不等式相结合的问题【问题六】数列中探索性问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法．用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．【例1】在数列中，，（）．（1）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【练习1】已知数列满足，（）．（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求的前项和．若是等差数列，若（）是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．【例2】正数数列和满足：对任意自然数，、、成等差数列，、、成等比数列．证明：数列为等差数列．【练习2】设数列的前项为，已知，，，且，，其中、为常数．（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列．解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．【例3】设、是公比不相等的两等比数列，，证明数列不是等比数列．【练习3】设是公比为的等比数列．（1）推导的前项和公式；（2）设，证明数列不是等比数列．若数列通项能表示成（、为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成（、均为不为0的常数，）的形式，则数列是等比数列；若数列的前项和能表示成（、为常数）的形式，则数列等差数列；若数列的前项和能表示成（、均为不等于0的常数且）的形式，则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．【例4】若是数列的前项和，，则是（）A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等数列又非等差数列【练习4】已知正数数列对任意、，都有，若，则（）A．6B．9C．18D．20利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列1、若数列是公比为的等比数列，则：（1）数列、（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；（2）若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（3）数列是公比为的等比数列；（4）数列是公比为的等比数列；（5）在数列中，每隔（）项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（6）、、、、、等都是等比数列；（7）若、、（、、）成等差数列时，、、成等比数列；（8）、、、均不为零时，则、、、成等比数列；（9）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列．2、若数列是公差为等差数列，则：（1）成等差数列，公差为（其中、是实常数，且）；（2）（为常数，且）仍成等差数列，其公差为；（3）若、都是等差数列，公差分别为、，则是等差数列，公差为；（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；（5）、、（、、）成等差数列时，、、成等差数列．证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法；但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．【例5】数列的前项和记为，已知，（）．证明：数列是等比数列．【练习5】已知数列满足．（1）写出、、，并推测的表达式；（2）用数学归纳法证明推测的结论．1、已知在正整数数列中，前项和满足：，则为（）A．等差数列B．等比数列C．常数列D．可能是等差数列也可能是等比数列2、等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（）A．130B．170C．210D．2603、已知数列的前项和（），则（）A．是递增的等比数列B．是递增数列，但不是等比数列C．是递减的等比数列D．不是等比数列，也不单调4、等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：①、、成等差数列，也可能成等比数列；②、、成等差数列，但不可能成等比数列；③、、可能成等比数列，但不可能成等差数列；④、、不可能成等比数列，也不可能成等差数列；其中，正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5、已知数列的前项和为，，，，其中为常数．（1）证明：；（2）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由．6、设数列的前项和为，已知，，其中．（1）求证：是等差数列；（2）求证：；（3）求证：．7、设数列满足：（）．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．8、设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．（1）证明：数列是等比数列；（2）当时，若数列满足：（），，求数列的通项公式．9、在数列中，已知，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，求的前项和．10、设数列满足：当时，，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）试问是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．11、已知数列的前项和为，若（），且．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，数列的前项和为，证明：（）．12、已知数列的各项均不为0，其前项和为，且满足：，．（1）求的值；（2）求证：是等差数列；（3）若，求数列的通项公式，并求．数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等．【例1】已知数列的通项公式为，求的最大项．【练习1】已知等差数列的前项和为，若，，则的最大值为_______________．【例2】已知数列的前项和（其中），且的最大值为8．（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和．【练习2】设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为_______________．【例3】数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，等于（）A．17B．16C．15D．14【练习3】已知数列的前项和，数列满足：，且．（1）求、；（2）设为数列的前项和，求，并求满足时的最大值．【例4】己知各项均不相等的等差数列的前四项和，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．【练习4】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为_______________．【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购辆．（1）求经过个月，两省新购校车的总数；（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．【练习5】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了（）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A．3B．4C．5D．61、设，则数列中的最大项的值是（）A．B．C．4D．02、等差数列中，，是前项和，且，则当（）时，最大．A．12B．13C．12或13D．13或143、等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是（）A．5B．6C．7D．84、数列满足，（），它的前项和为，则满足的最小值是（）A．9B．10C．11D．125、在数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（）A．与B．与C．与D．与6、已知函数，且，设等差数列的前项和为（），若，则的最小值为（）A．B．C．D．7、在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为________________．8、等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为________________．9、已知数列满足：，，则的最小值为________________．10、已知等差数列满足：，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．11、已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（），且、、成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设（），求数列的最大项的值与最小项的值．12、公差不为零的等差数列中，、、成等比数列，且该数列的前10项和为100．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最小值．13、已知数列满足：，，且（），记集合．（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值．14、设数列（）的前项和满足：，且、、成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值．递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理，如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项．【例1】在数列中，，，则该数列的通项公式________________．【练习1】在数列中，已知，当时，有（），求数列的通项公式．【例2】设是首项为1的正项数列，且（），则________________．【练习2】在数列中，已知，（），则数列的通项公式为________________．【例3】已知数列满足：，且，则________________．【练习3】已知数列、满足：，，（），则________________．【例4】设数列的前项和为，数列的前项和为，满足（）．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．【练习4】已知数列的前项和满足：，则________________．【例5】数列满足：（，），，，求数列的通项公式．1、待定系数法：先把原递推公式转化为，其中、满足．2、特征根法：对于由递推公式，、给出的数列，方程，叫做数列的特征方程．若、是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中、由、决定（即把、、、和、代入，得到关于、的方程组）；当时，数列的通项为，其中、由、决定（即把、、、和、代入，得到关于、的方程组）．【练习5】已知数列满足：，，（）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足：（），证明：是等差数列．1、已知，（），则数列的通项公式是（）A．B．C．D．2、数列中，，，（，），则________________．3、数列的首项为3，为等差数列且（）．若，，则（）A．0B．3C．8D．114、正项数列满足：，，（，），则________________．5、在数列中，，（），则的通项公式为________________．6、已知数列中，，，则的通项公式为________________．7、已知数列满足：，（，），则数列的通项公式为________________．8、在数列中，，（），则数列的通项通项________________．9、已知数列的前项和为，且（）．（1）求出数列的通项公式；（2）设数列满足：，若对于任意正整数都成立，求实数的取值范围．10、已知的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．11、已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设（），若，恒成立，求实数的取值范围．（3）设（），是数列的前项和，证明：．12、已知数列的首项，且满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．13、设数列的前项和为，已知，，且（）．（1）证明：；（2）求．14、已知数列和满足：，，（），（）．（1）求与；（2）记数列的前项和为，求．数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解．公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．【例1】设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：①等差数列前项和公式：；②等比数列前项和公式：；③自然数方幂和公式：；；．【练习1】计算：的值为（）A．B．C．D．将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题，运用这种方法的关键是将通项变形．“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简．【例2】已知数列中，，且，则数列的前100项和为（）A．2550B．2600C．2651D．2652【练习2】已知数列的通项公式为（），数列是以函数的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前项和．此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．特别要注意：①余下的项前后的位置前后是对称的，即前剩多少项则后剩多少项；②余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项公式：；；；；；．【例3】已知数列前项和为，首项为，且、、成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足：，求证：．【练习3】数列：1、、、、的前项和（）A．B．C．D．若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列对应项的乘积组成的新数列，当求该数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法，即错位相减法．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．特别注意：①要考虑当公比为1时为特殊情况；②错位相减时要注意末项．【例4】已知数列、满足：，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．【练习4】已知数列的首项，且满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【例5】在公差为的等差数列中，已知，且、、成等比数列．（1）求和；（2）若，求．【练习5】数列的前项和为，则_____________；数列的前10项和_____________．1、已知数列满足：，且，则的值为（）A．8B．9C．10D．112、已知函数过点，若数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．3、已知函数，且，则等于（）A．0B．100C．D．102004、已知数列的前项和为，令，记数列的前项为，则（）A．B．C．D．5、数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为（）A．B．C．200D．1006、设，若，则_____________．7、数列的通项为，前项和为，则_____________．8、已知数列满足，（），则_____________．9、数列的通项，其前项和为，则为_____________．10、数列满足，则的前60项和为_____________．11、设为数列的前项和，，，则：①_____________；②_____________．12、已知等差数列的公差，其前项和为，若，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记（），且数列的前项和为，证明：．13、直线与圆交于不同的两点、，，数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．14、在数列中，其前项和为，满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）设（为正整数），求数列的前项和．15、在等比数列中，（），公比，且，又4是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型．对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧．近年数列与不等式交汇题考查点：①以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇；②以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大；③将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．【例1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为____________．【练习1】已知等差数列的等差，且、、成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．4B．3C．D．求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：①若函数的定义域为，当时，有恒成立；恒成立；②利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．【例2】已知正项数列的首项，前项和满足（）．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【练习2】设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（）A．1006B．1007C．1008D．1009此类不等式的证明常用的方法：①比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；②分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；③放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．【例3】设数列满足，（），其中为实数．（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；（2）设，证明：（）；（3）设，证明：（）．【练习3】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记（），且数列的前项和为，证明：．数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果．【例4】已知等差数列满足：，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项和，是否存在正整数使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．【练习4】是否存在一个等比数列同时满足下列三个条件：①且；②（）；③至少存在一个（且），使得、、依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．【例5】对于数列，若、（），都有（为常数）成立，则称数列具有性质．（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为_____________；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是_____________．高考数学创新题型是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．创新题型大致有结构形式新、问题情境新、表达方式新、设问角度新、思维方式新、知识交汇新等．新颖的题目难度在“新”上，只要心态平和认真读题，按题目要求，运用所学知识分析问题、解决问题，应该能顺利完成．【练习5】若有穷数列、、、、（是正整数）满足：，，，，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列是项数为7的对称数列，且、、、成等差数列，，，试写出的每一项．（2）已知是项数为（）的对称数列，且、、、构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得1、2、、、成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和．1、已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若、、成等比数列，则（）A．，B．，C．，D．，2、设是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3、设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（）A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列5、函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6、设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为（）A．7B．8C．D．7、已知数列满足：，，，则（）A．B．C．D．8、已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数、，等式成立，若数列满足（），且，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．9、已知数列的通项公式为，其中、、均为正数，那么与的大小是（）A．B．C．D．与的取值有关10、已知（），设为数列的最大项，则_____________．11、已知数列和满足（），若为等比数列，且，．（1）求与；（2）设（），记数列的前项和为．①求；②求正整数，使得对任意，均有．12、在平面上有一点列、、、、，对每个自然数，点位于函数（）的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形．（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若对每个自然数，以、、为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设（），若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数．13、设、是函数的图象上的任意两点．（1）当时，求的值；（2）设，其中，求；（3）对应（2）中，已知（），设为数列的前项和，求证：．14、已知数列中，，函数．（1）若正项数列满足，试求出、、，由此归纳出通项，并加以证明；（2）若正项数列满足（），数列的前项和为，且，求证：．近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题．现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考．对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．【例1】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，若数列的公差为，求的所有可能取值之和．【练习1】数列满足：，（）．（1）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（2）求的取值范围，使数列是单调递增数列．探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论．它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．【例2】已知数列中，（为非零常数），其前项和满足（）．（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求、的值；（3）是否存在实数、，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．判定一个数列为等差数列的常见方法是：①验证时，为同一常数；②验证时，恒成立；③验证；④验证．【练习2】从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列．（1）写出数列的一个是等比数列的子列；（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中