【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题04】平面向量

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题04】平面向量专题目录【问题一】平面向量基本定理的应用问题【问题二】平面向量中的范围、最值问题【问题三】平面向量在解析几何中的应用【问题四】高考题中向量数量积的若干种求法平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现，它很好的体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础，是联系几何和代数的桥梁，本文从不同角度介绍定理的应用．平面向量基本定理的内容：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、使，平面内选定两个不共线向量为基底，可以表示平面内的任何一个向量．【例1】如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，，若（、），则（）A．，B．，C．，D．，【练习1】在中，若点满足，则（）A．B．C．D．平面向量基本定理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示，利用坐标相等列方程，寻找变量的等量关系，进而表示目标函数，转化为函数的最值问题．【例2】已知向量、满足，，（、），若为的中点，并且，则的最大值是（）A．B．C．D．【练习2】如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为______________．设、、是共线三点，是平面内任意一点，则，其特征是“起点一致，终点共线，系数和为1”，利用向量式，可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．【例3】如图，已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，，则的值为___________．【练习3】若点是所在平面内一点，且满足：．（1）求与的面积之比．（2）若为中点，与交于点，设，求、的值．【例4】设双曲线（，）的右焦点为，过点与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，与双曲线的其中一个交点为，设坐标原点为，若（、），且，则该双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．【练习4】已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．与的取值有关1、如图，在平行四边形中，，，，则（）A．B．C．D．2、已知向量，，若（），则的最小值为（）A．B．1C．D．3、直线过抛物线（）的焦点，且交抛物线于、两点，交其准线于点，已知，，则（）A．2B．C．D．44、已知、是两个单位向量，且，若点在内，且，则（、），则（）A．B．3C．D．5、在中，为边上任意一点，为中点，，则的值为（）A．B．C．D．16、已知，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是（）A．B．2C．D．47、过坐标原点作单位圆的两条互相垂直的半径、，若在该圆上存在一点，使得（、），则以下说法正确的是（）A．点一定在单位圆内B．点一定在单位圆上C．点一定在单位圆外D．当且仅当时，点在单位圆上8、在平面上，，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．9、在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于、两点，，若点在圆上，则实数（）A．B．C．0D．110、如图，在扇形中，，点为上的一个动点．若，则的取值范围是______________．11、如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设（、），则的最大值等于______________．12、在中，点、满足，．若，则______________；______________．平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量叫做和的数量积（或内积），记作．即，规定，数量积的表示一般有三种方法：①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即；②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，，则；③运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算．【例1】在边长为2的等边中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为______________．【练习1】已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21设，则，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量、、满足，，与的夹角为，，则的最大值为（）A．B．C．D．【练习2】已知、是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．设，，且、的夹角为，则．【例3】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（）A．B．C．D．【练习3】非零向量、满足，，则与的夹角的最小值是______________．平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围．【例4】已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______________．【练习4】设向量、满足：，，、的夹角是，若与的夹角为钝角，则的范围是（）A．B．C．D．1、已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A．B．C．D．2、在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是（）A．2B．C．D．3、已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．44、若、、均为单位向量，，（、），则的最大值是（）A．1B．C．D．25、已知向量、满足：，，，则在上的投影长度的取值范围是（）A．B．C．D．6、已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1B．2C．D．7、已知向量，，则的最大值和最小值分别是（）A．和0B．4和C．16和0D．4和08、已知、是单位向量，．若向量满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．9、设、为单位向量，非零向量（、），若、的夹角为，则的最大值等于______________．10、如图，边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是______________．11、平面上四点、、、满足，，，，则面积的最大值为______________．12、已知非零向量、、满足，，，则的最小值是______________，最大值是______________．13、设是的三边中垂线的交点，、、分别为角、、对应的边，已知，则的范围是______________．14、在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为______________．15、如图，在等腰直角中，，，是的重心，是内的一点（含边界），则的最大值为______________．16、已知的面积满足，且，与的夹角为，则的取值范围______________．17、在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是______________．向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势，平面向量在解析几何的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理，其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，本文从以下几个方面加以阐述．两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同，由于向量坐标的唯一性，故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等．【例1】椭圆（），作直线交椭圆于、两点，为线段的中点，为坐标原点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．【练习1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．两个非零向量、垂直的充要条件是，如，，则．【例2】设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，则点的横坐标为（）A．1B．C．D．【练习2】已知椭圆（）的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围．向量与非零向量平行的充要条件是存在唯一实数，使得，若，，则：．【例3】如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆于、两点，在线段上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在，请说明理由．【练习3】设椭圆（）的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，为定点，连接的直线交轴于点，若，求直线的斜率．两个非零向量、夹角范围为，由数量积定义可以推出，当（）时，、夹角为锐角；当（）时，、夹角为钝角，所以当排除和的情况，的范围与三角形内角范围一致，利用向量夹角可以灵活处理解析几何中的角的问题．【例4】已知抛物线（），为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；（2）设点在轴上，若要使总为锐角，求的取值范围．【练习4】已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切．（1）求直线被圆所截得的弦的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为、，求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点、，若为钝角，求直线纵截距的取值范围．1、已知两个动点、和一个定点均在抛物线（）上（、与不重合）．设为抛物线的焦点，为其对称轴上一点，若，且、、成等差数列．（1）求的坐标（可用、和表示）；（2）若，，、两点在抛物线的准线上的射影分别为、，求四边形面积的取值范围．2、如图，已知椭圆的方程为（），双曲线的两条渐近线为、，过椭圆的右焦点作直线，使，与交于点，设与椭圆的两个焦点由上至下依次为、．（1）若与的夹角为，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆的离心率．3、如图，过椭圆（）内一点的动直线与椭圆相交于、两点，当平行于轴和垂直于轴时，被椭圆所截得的线段长均为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对任意过点的动直线都满足？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．4、椭圆（）的左、右焦点分别是、，过斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）设点，，求椭圆的方程．5、已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，．设、是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求此椭圆的方程；（2）求直线的斜率的取值范围．6、已知椭圆（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．7、已知点是椭圆（）的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足，若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．8、已知、是椭圆上的两点，且，其中为椭圆的右焦点．（1）当时，求直线的方程；（2）设点，求证：当实数变化时，恒为定值．9、平面内动点与两定点、连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点直线交曲线于、两点．（1）求曲线的方程，并证明：是一定值；（2）若四边形的面积为，求的最大值．10、如图，椭圆（）的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长，与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于点、．（1）求、的方程；（2）求证：；（3）记、的面积分别为、，若，求的取值范围．11、已知椭圆（）的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点、．（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值．12、设、分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是椭圆在第一象限上一点，且，求点坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点、，且为锐角（其中为原点），求直线的斜率的取值范围．13、已知点、和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图：（1）证明：为定值；（2）若的面积为，求向量与的夹角；（3）证明：直线恒过一个定点．平面向量的数量积是向量知识中的重要内容，考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题，是高考题的热点和重点，那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述，以期给同学们启发．，根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提．【例1】如图，正六边形的边长为1，则（）A．B．C．3D．【练习1】若等腰底边上的中线长为1，底角，则的取值范围是______________．设，，则，用此法求平面向量数量积时，必须先建立恰当的平面直角坐标系，把向量坐标化，特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果．【例2】在中，内角、、的对边分别为、、，，，点是边上的一个三等分点，则（）A．0B．6C．9D．12【练习2】已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建系的情况下，通过向量运算得到解题结果，