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文档简介
2024-2025学年陕西师范大学附中高三高考适应性测试(一)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.3 C. D.42.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.3.已知集合,则集合()A. B. C. D.4.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.5.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.6.已知,,,,.若实数,满足不等式组,则目标函数()A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值7.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.16008.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-819.已知,则()A. B. C. D.10.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线11.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()A. B. C. D.12.若,满足约束条件,则的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.四边形中,,,,,则的最小值是______.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生中的甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为______.(用数字作答)15.给出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,结果为的式子的序号是_____.16.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)中国古代数学经典《数书九章》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).(1)证明:平面,并判断四面体MCDA是否是鳖臑,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)使得,求实数的取值范围.19.(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?20.(12分)已知函数的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.22.(10分)在数列中,,(1)求数列的通项公式;(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
首先把三视图转换为几何体,该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,如图所示:故:.故选:C.本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式,考查了空间想象能力,属于基础题.2.A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.3.D【解析】
弄清集合B的含义,它的元素x来自于集合A,且也是集合A的元素.【详解】因,所以,故,又,,则,故集合.故选:D.本题考查集合的定义,涉及到解绝对值不等式,是一道基础题.4.D【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;【详解】函数在内都有两个不同的零点,等价于方程在内都有两个不同的根.,所以当时,,是增函数;当时,,是减函数.因此.设,,若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.设其解为,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.因为,方程在内有两个不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因为,所以,代入,得.设,,所以在上是增函数,而,由可得,得.由在上是增函数,得.综上所述,故选:D.本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题5.D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.6.B【解析】
判断直线与纵轴交点的位置,画出可行解域,即可判断出目标函数的最值情况.【详解】由,,所以可得.,所以由,因此该直线在纵轴的截距为正,但是斜率有两种可能,因此可行解域如下图所示:由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选:B本题考查了目标函数最值是否存在问题,考查了数形结合思想,考查了不等式的性质应用.7.B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.8.B【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.9.B【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】,本题正确选项:本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.10.C【解析】
根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,
故选C.本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.11.C【解析】
首先求出等差数列的首先和公差,然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d,由题知,,解得,,所以数列为,故.故选:C.本题主要考查了等差数列的基本量的求解,属于基础题.12.B【解析】
根据约束条件作出可行域,找到使直线的截距取最值得点,相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域,如图所示:由图可知,当直线经过点时,取得最小值-5;经过点时,取得最大值5,故.故选:B本题考查根据线性规划求范围,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
在中利用正弦定理得出,进而可知,当时,取最小值,进而计算出结果.【详解】,如图,在中,由正弦定理可得,即,故当时,取到最小值为.故答案为:.本题考查解三角形,同时也考查了常见的三角函数值,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中档题.14.1【解析】
由排列组合及分类讨论思想分别讨论:①设甲参加,乙不参加,②设乙参加,甲不参加,③设甲,乙都不参加,可得不同的选法种数为9+9+5=1,得解.【详解】①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为5,综合①②③得:不同的选法种数为9+9+5=1,故答案为:1.本题考查了排列组合及分类讨论思想,准确分类及计算是关键,属中档题.15.①②③【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案为:①②③本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.16.1【解析】
写出茎叶图对应的所有的数,去掉最高分,最低分,再求平均分.【详解】解:所有的数为:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,平均分为,故答案为1.本题考查茎叶图及平均数的计算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根据是球的直径,则,又平面,得到,再由线面垂直的判定定理得到平面,,进而得到,再利用线面垂直的判定定理得到平面.(2)以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,设,由,解得,得到,从而得到,然后求得平面的一个法向量,代入公式求解.【详解】(1)因为是球的直径,则,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根据证明可知,四面体是鳖臑.它的每个面的直角分别是,,,.(2)如图,以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,则,,,,.M为中点,从而.所以,设,则.由,得.由得,即.所以.设平面的一个法向量为.由.取,,,得到.记与平面所成角为θ,则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18.(1);(2)或.【解析】
(1)分段讨论得出函数的解析式,再分范围解不等式,可得解集;(2)先求出函数的最小值,再建立关于的不等式,可求得实数的取值范围.【详解】(1)因为,所以当时,;当时,无解;当时,;综上,不等式的解集为;(2),又,或.本题考查分段函数,绝对值不等式的解法,以及关于函数的存在和任意的问题,属于中档题.19.(1)(2)选择方案二更为划算【解析】
(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,,则.因为,所以选择方案二更为划算.本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由题意,f(x)的最大值为所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+
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