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文档简介
2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高中名校高三下期中数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①以为直径的圆与抛物线准线相离;②直线与直线的斜率乘积为;③设过点,,的圆的圆心坐标为,半径为,则.其中,所有正确判断的序号是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③2.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.3.已知集合,,则()A. B.C. D.4.点为不等式组所表示的平面区域上的动点,则的取值范围是()A. B. C. D.5.方程的实数根叫作函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”为,那么满足()A. B. C. D.6.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.8.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.29.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对10.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.11.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是12.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.14.在的展开式中,项的系数是__________(用数字作答).15.在棱长为的正方体中,是正方形的中心,为的中点,过的平面与直线垂直,则平面截正方体所得的截面面积为______.16.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角、、所对的边长分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,点是线段的中点,,求的面积.18.(12分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(其中为参数),直线的参数方程为(其中为参数)(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,点的坐标为,求的值.20.(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.21.(12分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
对于①,利用抛物线的定义,利用可判断;对于②,设直线的方程为,与抛物线联立,用坐标表示直线与直线的斜率乘积,即可判断;对于③,将代入抛物线的方程可得,,从而,,利用韦达定理可得,再由,可用m表示,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,可得a,即可判断.【详解】如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以①正确.由题意可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所以.则直线与直线的斜率乘积为.所以②正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,.根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以过点,,的圆的圆心在轴上.由上,有,,则.所以,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正确.故选:D本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.2.C【解析】
将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.3.C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.4.B【解析】
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用的几何意义即可得到结论.【详解】不等式组作出可行域如图:,,,的几何意义是动点到的斜率,由图象可知的斜率为1,的斜率为:,则的取值范围是:,,.故选:.本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.5.D【解析】
由题设中所给的定义,方程的实数根叫做函数的“新驻点”,根据零点存在定理即可求出的大致范围【详解】解:由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”,对于函数,由于,,设,该函数在为增函数,,,在上有零点,故函数的“新驻点”为,那么故选:.本题是一个新定义的题,理解定义,分别建立方程解出存在范围是解题的关键,本题考查了推理判断的能力,属于基础题..6.C【解析】
化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.7.D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.8.D【解析】
分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.9.C【解析】
画出该几何体的直观图,易证平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,从而可选出答案.【详解】该几何体是一个四棱锥,直观图如下图所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,则有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可证:平面平面,由三视图可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.本题考查了空间几何体的三视图,考查了四棱锥的结构特征,考查了面面垂直的证明,属于中档题.10.B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.11.D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.12.A【解析】
设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.5【解析】
执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.14.【解析】的展开式的通项为:.令,得.答案为:-40.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.15.【解析】
确定平面即为平面,四边形是菱形,计算面积得到答案.【详解】如图,在正方体中,记的中点为,连接,则平面即为平面.证明如下:由正方体的性质可知,,则,四点共面,记的中点为,连接,易证.连接,则,所以平面,则.同理可证,,,则平面,所以平面即平面,且四边形即平面截正方体所得的截面.因为正方体的棱长为,易知四边形是菱形,其对角线,,所以其面积.故答案为:本题考查了正方体的截面面积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16.【解析】
真数有最小值,根据已知可得的范围,求出函数的最小值,建立关于的不等量关系,求解即可.【详解】,且(且)有最小值,,的取值范围为.故答案为:.本题考查对数型复合函数的性质,熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边化角公式,结合两角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由题意得出,两边平方,化简得出,根据三角形面积公式,即可得出结论.【详解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因为点是线段的中点,所以两边平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面积本题主要考查了正弦定理的边化角公式,三角形的面积公式,属于中档题.18.(1)(2)【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解,数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点,要注意掌握.(1)设等比数列{an}的公比为q,则q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1•qn-1=2n-1,结合数列的特点,考虑利用错位相减可求数列的和解:(1)(2),两式相减:19.(1)(2)5【解析】
(1)首先消去参数得到曲线的普通方程,再根据,,得到曲线的极坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线的参数方程中参数的几何意义得解;【详解】解:(1)曲线:消去参数得到:,由,,得所以(2)代入,设,,由直线的参数方程参数的几何意义得:本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化,以及直线参数方程的几何意义的应用,属于中档题.20.(1)(2)详见解析【解析】
(1),在上,因为是减函数,所以恒成立,即恒成立,只需.令,,则,因为,所以.所以在上是增函数,所以,所以,解得.所以实数的最大值为.(2),.令,则,根据题意知,所以在上是增函数.又因为,当从正方向趋近于0时,趋近于,趋近于1,所以,所以存在,使,即,,所以对任意,,即,所以在上是减函数;对任意,,即,所以在上是增函数,所以当时,取得最小值,最小值为.由于,,则,当且仅当,即时取等号,所以当时,.21.(1);(2).【解析】
(1)求导得到有两个不相等实根,令,计算函数单调区间得到值域,得到答案.(2),是方程的两根,故,化简得到,设函数,讨论范围,计算最值得到答案.【详解】(1)由题可知有两个不相等的实根,即:有两个不相等实根,令,,,,;,,故在上单增,在上单减,∴.又,时,;时,,∴,即.(2)由(1)知,,是方程的两根,∴,则因为在单减,∴,又,∴即,两边取对数,并整理得:对恒成立,设,,,当时,对恒成立,∴在上单增,故恒成立,符合题意;当时,,时,∴在上单减,,不符合题意.
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