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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.3.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()A. B.C. D.4.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()A. B. C. D.5.若实数x,y满足条件,目标函数,则z的最大值为()A. B.1 C.2 D.06.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.7.已知,,,,.若实数,满足不等式组,则目标函数()A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为() A.45 B.60 C.75 D.1009.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.410.若,则的虚部是()A. B. C. D.11.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.412.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.14.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.15.已知,满足约束条件则的最小值为__________.16.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.18.(12分)已知等差数列满足,.(l)求等差数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.21.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.22.(10分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解:,则复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为:,位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义,属于基础题.2.C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.3.C【解析】试题分析:由题意知,当时,由,当且仅当时,即等号是成立,所以函数的最小值为,当时,为单调递增函数,所以,又因为,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故选C.考点:函数的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查,试题思维量大,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键.4.D【解析】
由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,,从而可知的最小值为,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,,得,解得,得.当时,;当时,,则的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.5.C【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最大值.【详解】若实数x,y满足条件,目标函数如图:当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴截距最小时,z值最小;当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.6.C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.7.B【解析】
判断直线与纵轴交点的位置,画出可行解域,即可判断出目标函数的最值情况.【详解】由,,所以可得.,所以由,因此该直线在纵轴的截距为正,但是斜率有两种可能,因此可行解域如下图所示:由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选:B【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题,考查了数形结合思想,考查了不等式的性质应用.8.B【解析】
根据程序框图中程序的功能,可以列方程计算.【详解】由题意,.故选:B.【点睛】本题考查程序框图,读懂程序的功能是解题关键.9.C【解析】
将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.10.D【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.【详解】由题可知,所以的虚部是1.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题.11.A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.750【解析】因为0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00514.1【解析】
根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查均值的概念,属于基础题.15.【解析】
画出可行域,通过平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知:可行域是由三点,,构成的三角形及其内部,当直线过点时,取得最小值.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.16.【解析】
结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.18.(1);(2).【解析】试题分析:(1)设等差数列满的首项为,公差为,代入两等式可解。(2)由(1),代入得,所以通过裂项求和可求得。试题解析:(1)设等差数列的公差为,则由题意可得,解得.所以.(2)因为,所以.所以.19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.20.(1);(2)4【解析】
(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.21.(1);(2)16.【解析】
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线
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