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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则等于()A. B. C. D.2.已知集合,,则等于()A. B. C. D.3.波罗尼斯(古希腊数学家,的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点M满足=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.4.若满足约束条件则的最大值为()A.10 B.8 C.5 D.35.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.6.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.7.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则∁R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)8.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.9.设,且,则()A. B. C. D.10.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.11.集合,,则()A. B. C. D.12.设是虚数单位,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(为虚数单位),则复数________.14.三对父子去参加亲子活动,坐在如图所示的6个位置上,有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如:B与D、B与C是相邻的,A与D、C与D是不相邻的).15.已知为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上移动时,的内心的轨迹方程为__________.16.已知等边三角形的边长为1.,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.20.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知:,:,:.(1)求与的极坐标方程(2)若与交于点A,与交于点B,,求的最大值.21.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线交曲线于两点,为中点.(1)求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程;(2)若,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.2.A【解析】
进行交集的运算即可.【详解】,1,2,,,,1,.故选:.【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.3.D【解析】
求得定点M的轨迹方程可得,解得a,b即可.【详解】设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵动点M满足=2,则=2,化简得.∵△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴,解得,∴椭圆的离心率为.故选D.【点睛】本题考查了椭圆离心率,动点轨迹,属于中档题.4.D【解析】
画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5.A【解析】
由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.6.D【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查柱体和锥体的体积公式,属于基础题.7.D【解析】
求函数的值域得集合,求定义域得集合,根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故选:D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.8.A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.9.C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.10.B【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.11.A【解析】
解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.12.A【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
解:故答案为:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,属于基础题.14.192【解析】
根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,安排在相邻的位置上,②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,有3种选法,由图可得相邻的位置有4种情况,将选出的1对父子安排在相邻的位置,有种安排方法;②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,有种安排方法,则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种;故答案为:【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.15.【解析】
考查更为一般的问题:设P为椭圆C:上的动点,为椭圆的两个焦点,为△PF1F2的内心,求点I的轨迹方程.解法一:如图,设内切圆I与F1F2的切点为H,半径为r,且F1H=y,F2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,则.直线IF1与IF2的斜率之积:,而根据海伦公式,有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义,可得I点的轨迹是以F1F2为长轴,离心率e满足的椭圆,其标准方程为.解法二:令,则.三角形PF1F2的面积:,其中r为内切圆的半径,解得.另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:从而有.消去θ得到点I的轨迹方程为:.本题中:,代入上式可得轨迹方程为:.16.【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】
(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,即|4m﹣29|=2.因为m为整数,故m=2.故所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=2.(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.18.(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】
(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所以数列是等差数列,又,∴,,公差,所以.(II).【点睛】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道容易题.19.(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.20.(1)的极坐标方程为;的极坐标方程为:(2)【解析】
(1)根据,代入即可转化.(2)由:,可得,代入与的极坐标方程求出,从而可得,再利用二倍角公式、辅助角公式,借助三角函数的性质即可求解.【详解】(1):,,的极坐标方程为:,,的极坐标方程为:,(2):,则(为锐角),,,,当时取等号.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质,属于基础题.21.见解析【解析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.(1),;(2)或
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