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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足,则()A. B. C. D.2.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为()A.2 B.3 C.4 D.53.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.144.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=﹣x﹣2,则()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)6.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.7.已知复数满足,且,则()A.3 B. C. D.8.定义:表示不等式的解集中的整数解之和.若,,,则实数的取值范围是A. B. C. D.9.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.10.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出,的值,则()A.6 B.8 C.10 D.1211.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加12.为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于、两点,(在、之间)与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在的零点个数为_________.14.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题:“今有共买物,人出八,盈三钱;人出七,不足四,问人数物价各几何?”借用我们现在的说法可以表述为:有几个人合买一件物品,每人出8元,则付完钱后还多3元;若每人出7元,则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格?答:一共有_____人;所合买的物品价格为_______元.15.已知随机变量服从正态分布,,则__________.16.设,满足约束条件,若的最大值是10,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,椭圆的左、右顶点分别为,,上、下顶点分别为,,且,为等边三角形,过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形面积的取值范围.18.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.19.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.20.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.21.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρcos2θ=4asinθ (a>0),直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.2.A【解析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为,故选:A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.3.D【解析】
做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.4.B【解析】
由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题5.B【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函数f(x)在定义域上的图象,由此结合选项判断即可.【详解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函数且周期为2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]时的图象,然后根据周期为2依次平移,并结合f(x)是偶函数作出f(x)在R上的图象如下,选项A,,所以,选项A错误;选项B,因为,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),选项B正确;选项C,,所以,即,选项C错误;选项D,,选项D错误.故选:B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用,考查函数值的大小比较,考查数形结合思想,属于中档题.6.B【解析】
由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.7.C【解析】
设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.8.D【解析】
由题意得,表示不等式的解集中整数解之和为6.当时,数形结合(如图)得的解集中的整数解有无数多个,解集中的整数解之和一定大于6.当时,,数形结合(如图),由解得.在内有3个整数解,为1,2,3,满足,所以符合题意.当时,作出函数和的图象,如图所示.若,即的整数解只有1,2,3.只需满足,即,解得,所以.综上,当时,实数的取值范围是.故选D.9.C【解析】
根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.10.D【解析】
根据程序框图判断出的意义,由此求得的值,进而求得的值.【详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数,的取值为成绩大于等于60且小于90的人数,故,,所以.故选:D【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力和数学应用意识.11.C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.12.D【解析】
过点作,可得出点为的中点,由可求得的值,可计算出的值,进而可得出,结合可知点为的中点,可得出,利用勾股定理求得(为双曲线的右焦点),再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示,过点作,设该双曲线的右焦点为,连接.,.,,,为的中点,,,,,由双曲线的定义得,即,因此,该双曲线的离心率为.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,解题时要充分分析图形的形状,考查推理能力与计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题,在同一直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】问题函数在的零点个数,可以转化为曲线交点个数问题.在同一直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:由图象可知:当时,两个函数只有一个交点.故答案为:1【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题,考查了转化思想和数形结合思想.14.753【解析】
根据物品价格不变,可设共有x人,列出方程求解即可【详解】设共有人,由题意知,解得,可知商品价格为53元.即共有7人,商品价格为53元.【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用,属于中档题.15.0.22.【解析】
正态曲线关于x=μ对称,根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题.16.【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示:目标函数可转化为与直线平行,数形结合可知当且仅当目标函数过点,取得最大值,故可得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)根据坐标和为等边三角形可得,进而得到椭圆方程;(2)①当直线斜率不存在时,易求坐标,从而得到所求面积;②当直线的斜率存在时,设方程为,与椭圆方程联立得到韦达定理的形式,并确定的取值范围;利用,代入韦达定理的结论可求得关于的表达式,采用换元法将问题转化为,的值域的求解问题,结合函数单调性可求得值域;结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】(1),,为等边三角形,,椭圆的标准方程为.(2)设四边形的面积为.①当直线的斜率不存在时,可得,,.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,联立得:,,,.,,,,面积.令,则,,令,则,,在定义域内单调递减,.综上所述:四边形面积的取值范围是.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题,涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题;关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数,将问题转化为函数值域的求解问题.18.(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差数列可求得,从而数列的通项公式;(2)求(1)得,然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解.【详解】(1)∵是等比数列,且成等差数列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查并项求和法及等差数列的项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法,求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外,还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,、为平面内二相交直线,平面平面,平面DMN,平面;(2)设中点为,连接、为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,、、共线,,,,,平面平面.平面平面平面,交线为,平面平面.设,则在中,由余弦定理,得:又,,,,,为中点,,建立直角坐标系(如图),则,,,.,,设平面的法向量为,则,,取,则,,平面的法向量为,,二面角为锐角,二面角的余弦值大小为.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力和空间想象能力,是中档题.20.(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先计算其逆事件,即人都认为不很幸福的概率,再用减去人都认为不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根据题意,随机变量,列出分布列,根据公式求出期望即可.【详解】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的,则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意,随机变量,的可能的取值为;;;所以随机变量的分布列为:所以的期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列,数学期望的求解,概率分布中的二项分布问题,属于常规题型.21.(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】
(1)当时,,求得其导函数,,可求得函数的图象在处的切线方程;(2)由已知得,得
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