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文档简介
关键词:数学广角植树香蕉一、背景新课标强调数学教学的内容要能反映现实需要,凸显数学学科特点。“数学广角”中涉及的数学知识,与学生前几个单元所学的数学内容紧密相关,而其中问题解决的方法又蕴含多重数学思想。所以用好数学广角,重视思想方法挖掘,可促进学生知识理解与思想方法应用融会贯通,是提高数学育人效果的重要一环。植树问题作为数学教材中的经典问题,可演化为多种问题形式,其中还蕴含了数形结合、转化思想、数学建模等多元思维方法。用好数学广角,将数学知识与思想方法有机结合,是培养学生学习创新意识,推动学生实践创新,加强学以致用的重要一环。现以植树问题为例,探索“数学广角”中蕴含的丰富思想方法,激发学生体会数学与现实之间的紧密关联性。二、目标分析“数学广角”作为数学教材中的一个特色模块,不以知识传授为主要目标,重在启发学生感悟思想精髓,推进实践应用。“数学广角”的内容灵活度高,是需要让学生自主探究、合作对话、实践应用有效掌握的特色模块。植树问题在生活中的应用非常广泛,与学生日常生活紧密相关,如花盆的摆放、广场上插红旗问题以及路灯问题都属于植树问题的一些生活化演变。结合植树问题,让学生有效探究,要对棵树和间隔数建立模型意识。对应每一个问题,都要构建直观化的数学模型,并应用类比、转化、数形结合、模型等思想方法,实现问题的针对性解答。学习植树问题,重在让学生构建数学模型,在准确理解植树规律的前提下解决一些实际性问题。三、教法研究植树问题是数学中的经典问题,其中蕴含了丰富的数学思想方法,教师要以问题提出为明线,以数学思想方法探究为暗线,让学生获得丰富的学习体验,把握数学思想方法的精髓。教师可以先带领学生从简单的问题入手,通过模型转化,由易到难实现一些复杂问题的针对性引导,提高教学效率。在问题呈现的同时,教师要引导学生数形结合,突破知识重难点,使学生的思维更加敏捷。同时,教师要引导学生不断比较,发现其中的相同点和差异点。通过数形互补,助力学生理解数学思维规律。结合一些综合问题,有效构建模型抽象,提炼求解模型,结果验证,从而实现对植树类问题的综合性解决,助力学生理解数学思维本质,领悟数学思想方法,实现对植树问题的深度理解。四、教学过程植树问题蕴含的内容丰富多元,要想让学生深度领悟数学思维本质,教师要在课堂上穿针引线,为学生提供任务指引。还以植树活动为例,将一些典型问题,让学生合作探究,参悟其中的精髓。所以,整个教学过程以问题为主导,以学生探究为主线,教师对各个环节整体把控。◆第一步,情境创设,引出新课结合教材中出现的植树插图,教师可以与学生一起回顾植树节期间,学校组织的植树活动,让学生说一说,自己在植树节种了几棵树,它们是如何排列的,植树有哪些意义,以讨论的方式引出话题,让学生回顾自己真实的植树经验,接着画面切换展示一个具体问题,让学生探索应如何用数学的思维方法解答。问题一:一条全长100米的小路,每隔5米栽一棵树,两端都要栽,一共需要多少棵樹苗?结合这一问题,引导学生先圈画关键信息:“全长100米”“间隔5米”“两端都要栽”。然后让学生想一想,这些词语分别是什么意思?“间隔”应该怎么解释?“两端都要栽”是强调的哪个部分?教师可进一步结合“香蕉、苹果、香蕉、苹果、香蕉、苹果”的排列方式,让学生理解间隔的意义。如果已知有20个水果,让学生试着说一说香蕉有几个,苹果有几个,进而对间隔排列有更直观的理解。在这个部分,还有一个核心词汇“两端”。如何理解两端,还是以“香蕉、苹果、香蕉、苹果……香蕉”为例,进一步让学生观察,如果两端都是香蕉,那么香蕉和苹果的数量之间有什么关系?学生很容易就能发现:香蕉数量=苹果数量+1。无论这一排有多长,如果两端都是香蕉,那么香蕉一定比苹果多1个。回归最开始的植树问题,在这100米长的小路旁边植树,如果两端都栽,那么树之间间隔的距离就是间距,两端都栽,就代表这条小路的两端都要种树。再让学生用画图的方式呈现植树后的效果:用线段表示间隔,用小点表示一棵树,进而找到问题解决的方案:100÷5=20,然后再加1。也就是在这个问题解答的过程中,两端都栽的数量=间隔数+1。这样转化后,植树问题与前面学生所学的平均分问题比较相似,只需要把握好两端的处理方式即可。设计思路:在解答数学问题的过程中,读题是关键的一步。读题不是简单的文字阅读,而是要抓取题目中的关键信息,头脑中还要建立初步的模型意识,找到解决问题的关键,并套用已经学习的知识实现问题模型的化繁为简。教师穿针引线,结合对数与形转化规律的分析,帮助学生找到答题的切入点,就能实现一些复杂问题的简单化,学生学习自然事半功倍。◆第二步,小组合作,规律探索植树问题涵盖的类型多种多样,教师带领学生探索一个类型后,就可以将学生分成不同的小组,让他们套用引导过程中所采用的方法进行各类不同问题模型的提炼,将数学的语言有效分析,整合提炼为直观模型,进一步探索问题解决的一般规律,并将植树问题适用范围有效扩大,让学生在细致观察的前提下合作探寻,丰富尝试,真正通过提炼、思考、碰壁、探究、合作、解答、验证,深入理解植树问题的本质,对多种不同形式理性区分。教师将需要探究的问题,通过大屏幕呈现,让学生对各种不同情况进行有效探究。问题二:在一条200米的公路一边植树,每隔5米栽一棵,如果两端都不栽,总共需要多少棵树苗?问题三:在一条200米的小路一边植树,每隔5米栽一棵,如果只有一端栽,另一端不栽,需要多少棵树苗?问题四:一个湖泊已知周长为100米,在湖的四周栽树,每隔5米栽一棵,请问需要多少棵树苗?问题五:在一条全长100米的小路两边植树,每隔5米栽一棵,两端都栽,总共需要多少棵树苗?这些问题基本囊括了植树问题的所有案例,教师引导学生以小组为单位,一个一个探究、运用、转化,结合模型思想总结发现,将自己所得的结果在小组内部进行有效交流,并引导学生抽象出棵数、间隔数与总长度之间的一般化数学模型,为下一步迁移应用奠定良好的基础。在小组讨论的前提下,教师还要让各个小组积极汇报自己的学习成果。通过组与组之间的展示交流,发现学生的思维盲点,助力学生对数学模型方法深度掌握。跳出一般的问题性解答,让学生学会根据问题构建模型,对两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽、两边栽、环形栽等多种情况进行深刻理解。通过合作讨论,学生对棵数与端数之间的关系真正理解,这样学生在遇到一些其他问题时,也会理清模型,探索问题解决的一般方法。设计思路:数学模型的构建,需要学生对问题进行有效提炼,还可以结合图形的绘制,综合将直线栽树、环形栽树、两边栽树等各种情况进行有效的转化。通过小组合作,学生对比思考,将一些易错问题集中呈现,将数与形之间的对应关系深刻理解,也能通过直观易懂的方式帮助学生突破知识重难点。加上小组竞技,分析展示,还能锻炼学生语言表达能力,让学生尝试将自己头脑中的理解用清晰的语言阐述,防止学生出现理解了,但是不会说、不会用的情况。小组合作,分类探究,尊重学生的主体性价值,可以避免对植树问题的生硬记忆,也能通过一些变式练习,引导学生举一反三,方法迁移。◆第三步,当堂学练,巩固提升如果植树问题只能解决与植树相关的问题,那么就会让学生感觉学习过程非常枯燥,为了给学生带来更多学习挑战感,提高学生思维的缜密性,在学习植树问题的过程中,教师还要同步为学生设计一些衍生问题,进一步提高学生思维的灵活性。练习1:32棵树平均栽成4行,每行能够栽几棵树?这个问题虽然也屬于植树问题,但是它并不属于前面几种探究案例,属于平均分的问题。而且这里不需要考虑一端栽、两端栽的情况,主要考虑在植树过程中数量的分配,主要涉及将总的平均分成几个部分的问题。练习2:如果将一根木头锯成5段,每锯下一段需要8分钟,那么锯完这根木头总共需要多少分钟?这个问题看似和植树问题毫不相关,但是在这个问题解答的过程中,每次锯的段数,恰好符合栽树过程中的间隔问题,而且锯木头的过程两端都不需要锯,所以这个问题是植树过程中的两端都不栽的情况。学生如果能够结合问题来画出图像,就能快速找到这个问题的解答思路。练习3:在一条总长度为3000米的道路两旁,需要架设电线杆,已知相邻两根电线杆之间的距离为200米。请问这段路总共需要架设多少根电线杆?这个问题一出现,学生就知道这属于两边都栽的植树问题,而且为了让电线两头不落地,电线杆架设中也需要两端都要架,问题解决的难度显著降低。不过,这里需要考虑两边都需要架设电线杆,所以最后的结果还要乘以2。这也是学生容易忽略的一个易错点。练习4:元旦期间,需要在一个圆形的广场周边装上路灯照明,已知广场的周长为280米,如果每隔7米装一盏路灯,请问广场周围需要安装多少路灯照明?这个问题属于植树问题中的环形封闭植树问题,结合前期学生所理解的总长度、间隔数和棵数的关系,也能很容易获得这一问题的答案。五、教法提炼植树问题作为数学综合实践过程中的典型问题,与实际问题的关联非常紧密,而且植树问题的转化非常灵活。在教学这部分内容时,教师不宜过度为学生进行模型讲解和规律提炼,而是要给予学生充分的探究空间,鼓励学生在理解主题的前提下动手实践,在问题转化中实现有效的模型构建。为了让学生有轻松、乐观的学习心态,教师可探索从以下几个角度增强育人魅力。首先,引导学生化繁为简,把握问题内涵。解答植树问题,先要让学生进行问题的探究,通过数形结合思想,将复杂的文字转化为简单直观的模型,重点分析这一模型下两端应该如何处理,把握问题的核心内涵后,再进行模型构建,列式解答,一些烦琐问题就能迎刃而解。其次,在动手实践中,领悟数形结合思想精髓。数学问题的解答不仅需要进行准确的数据运算,还需要构建直观的数据模型,所以在数学问题解答的过程中,教师需要将数形结合思想贯穿其中,通过数与形的有效融合,促进学生理解数量关系,把握答题切入点。在植树问题解答过程中,教师要引导学生对每一个问题都绘制直观图片,提炼问题模型,对间隔数与两端情况进行针对性分
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