考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷11（共89题）

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷11（共6套）（共89题）考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．标准答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．知识点解析：暂无解析2、设A，B均为n阶矩阵，E+AB可逆，化简(E+BA)[E－B(E+AB)－1A]．标准答案：(E+BA)[E－B(E+AB)－1A]=E+BA－B(E+AB)－1A－BAB(E+AB)－1A=E+BA－B(E+AB)(E+AB)－1A=E+BA－BA=E．知识点解析：暂无解析3、求函数F(x)=的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，F(x)=在x=1处没有定义，且极限不存在．故x=1是函数F(x)的振荡间断点．，k=0，1，2，…处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对点故是函数F(x)的可去间断点；而点xk=一kπ一，k=1，2，…，显然是函数F(x)的无穷间断点．知识点解析：暂无解析4、求y＝f(χ)＝的渐近线．标准答案：因为f(χ)＝∞，所以y＝f(χ)没有水平渐近线，由f(χ)＝－∞得χ＝0为铅直渐近线，由f(χ)＝∞得χ＝2为铅直渐近线，得y＝χ＋3为斜渐近线．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[0，+∞]连续，且=0。证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。标准答案：作函数F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)＋x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因为＋1=1，所以，由极限的保号性，存在b＞a，使＞0，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知识点解析：暂无解析6、已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．标准答案：因为0为A的特征值，所以解得a=1．由|λE—A|==λ(λ一2)2=0得λ1=0，λ2=λ3=2．λ1=0代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(2E—A)X=0，λ2=λ3=2对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析7、将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?标准答案：设围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a－x，于是圆的半径r=，正方形边长(a－x)，问题是求面积S(x)=，x∈(0，a)的最小值点．由=>x=时面积和最小．知识点解析：暂无解析8、设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；标准答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可设k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．知识点解析：暂无解析9、变换二次积分的积分次序：。标准答案：如图1．5—8所示，D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析10、设f(x)和g(x)在[a，b]上连续．试证：(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx．∫abg2(x)dx.标准答案：考虑[f(x)+λg(x)]2dx≥0.知识点解析：暂无解析11、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．标准答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得令u＝，则原方程化为，积分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即u＋＝Cχ，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由＝即满足初始条件的特解为y＝．知识点解析：暂无解析12、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(-x)=1，求标准答案：知识点解析：暂无解析已知函数13、求a的值；标准答案：即a=1。知识点解析：暂无解析14、若x→0时,f(x)一a与xk是同阶无穷小，求常数k的值。标准答案：当x→0时，又因为当x→0时，是等价无穷小，故由题设，x→0时f(x)一a与xk是同阶无穷小，所以k=1。知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限，其中n为给定的自然数．标准答案：；知识点解析：暂无解析2、计算二重积分，其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区域，a＞0，b＞0。标准答案：积分区域D如图1—4—17的阴影部分所示。知识点解析：暂无解析3、求常数a，b使得f(x)=在x=0处可导．标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，知识点解析：暂无解析4、试确定常数a与n的一组值，使得当x→0时，一ln[e(1+x2)]与axn为等价无穷小．标准答案：a=1，n=4(利用泰勒公式)知识点解析：暂无解析5、解下列微分方程：(Ⅰ)y"－7y’+12y=x满足初始条件的特解；(Ⅱ)y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；(Ⅲ)y"’+y"+y’+y=0的通解．标准答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ2－7λ+12=0，它有两个互异的实根：λ1=3，λ2=4，所以，其通解为=C1e3x+C2e4x．由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程，可得，所以，原方程的通解为y(x)=+C1e3x+C2e4x．代入初始条件，则得因此所求的特解为y(x)=(Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为=C1cosax+C2sinax．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论：①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程，则得所以，通解为y(x)=cosbx+C1cosax+C2sinax,其中C1，C2为任意常数．②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程，则得A=0．B=原方程的通解为y(x)=xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2为任意常数．(Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ3+λ2+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ2+1)=0，其特征根为λ1=－1，λ2，3=±i，所以方程的通解为y(x)=C1e－x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．知识点解析：暂无解析6、设L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e－χ、χ轴、y轴及χ＝a(a＞0)所围成平面区域绕χ轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)＝V(a)，求c．标准答案：(1)V(a)＝π∫0ae2χdχ＝(1－e-2a)．(2)由V(c)＝(1－e-2c)，解得c＝ln2．知识点解析：暂无解析7、设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy-y=0与ez-xz=0确定，求标准答案：，方程exy-y=0两边对x求导得方程ez-xz=0两边对x求导得则知识点解析：暂无解析8、已知A＝，求A的特征值、特征向量，并判断A能否相似对角化，说明理由．标准答案：由特征多项式｜λE－A｜＝(λ－2)(λ＋1)2，得到矩阵A的特征值λ1＝2，λ2＝λ3＝－1．由(2E－A)χ＝0得基础解系α1＝(5，－2，9)T，即λ＝2的特征向量是k1α1(k1≠0)．由(－E－A)χ＝0得基础解系α2＝(1，－1，0)T，即λ＝－1的特征向量是k2α2(k2≠0)．因为矩阵A只有2个线性无关的特征向量，所以A不能相似对角化．知识点解析：暂无解析9、用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3标准答案：则f(x1，x2，x3)2y1x2-2y2x2+8y1x3+4y2x3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，f(x1，x2，x3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32知识点解析：暂无解析10、设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所确定，其中厂是可微函数，计算并化成最简形式．标准答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对χ求偏导得2χ＋2z＝yf(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对y求偏导得2y＋2z＝χf(z2)＋2χyzf′(z2)，知识点解析：暂无解析11、设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有｜(fx)-f(y)｜≤｜x-y｜．证明：｜∫abf(x)dx-(b-a)f(a)｜≤(b-a)2标准答案：因为(b-a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫ab(x)dx-(b-a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)-f(a)dx｜≤∫ab｜f(x)-f(a)｜dx≤知识点解析：暂无解析设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴一周所得旋转曲面为S．12、求旋转曲面的方程；标准答案：={-1，1，1)，直线AB的方程为设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜，得x2+y2=x02+y02，因为M0在直线AB上，所以有从而代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程为S：x2+y2=(1-z)2+z2，即S：x2+y2=2z2-2z+1．知识点解析：暂无解析13、求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．标准答案：对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为A(z)=π(x2+y2)=π(2z2-2z+1)知识点解析：暂无解析14、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设A，B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A—B)2=A+B，证明：AB=BA=O。标准答案：因为(A—B)2=A2—AB—BA+B2=A+B—(AB+BA)，所以AB+BA=O，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=O，即有AB=—ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=D，则有BA=—ABA。故有AB=BA=O。知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．标准答案：令φ(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-a[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，故f”(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析4、设f(x)=x3+4x2一3x一1，试讨论方程f(x)=0在(一∞，0)内的实根情况．标准答案：因为f(一5)=一11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上满足零点定理的条件，故存在ξ1∈(一5，一1)及ξ2∈(一1，0)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)内存在两个不等的实根．又因为f(1)=1＞0，同样f(x)在[0，1]上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点ξ3，使得f(ξ3)=0，而f(x)=0为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)内只有两个不等的实根．知识点解析：暂无解析5、设闭区域D：x2＋y2≤v，x≥0，f(x，y)为D上的连续函数，且求f(x，y)．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)标准答案：(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，[x一ln(1+x)]＞0．则φ’(x)单调递增．从而φ’(x)＞φ‘(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．由(1)得，当x∈(0，1)时f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=又因为当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，且f(x)＜f(0+)=所以知识点解析：暂无解析7、求微分方程y"＋2y’－3y＝e－3x的通解．标准答案：；知识点解析：暂无解析8、求曲线y=+ln(1+ex)的渐近线方程．标准答案：只有间断点x=0，因=∞，故有垂直渐近线x=0．又因此，x→+∞时有斜渐近线y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→－∞时有水平渐近线y=0．知识点解析：暂无解析9、设f(χ)在χ＝a处二阶可导，证明＝f〞(a)．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设D是由点O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算标准答案：将区域向x轴投影，令D1={(x，y)｜0≤x≤1，≤y≤2x}，D2=(x,y)｜1≤x≤2，≤y≤3-x}，则知识点解析：暂无解析11、(1)设D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy与f"yx在D上连续，证明：(2)设D为xOy平面上的区域，若f"xy与f"yx都在D上连续，证明：f"xy与f"yx在D上相等．标准答案：(1)f"xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx=∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx=f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，f"yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf"yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．结论成立．(2)用反证法．设存在P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)．不妨设f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0，由于[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]=f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由极限的保号性，ε0＞0，δ＞0，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)有，[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]dxdy=0，这与上述结论矛盾，故f"xy(x，y)与f"yx(x，y)在D上相等．知识点解析：暂无解析12、已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。标准答案：设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值A的特征向量，则Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A一Λ，则有A+E～Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．13、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为知识点解析：暂无解析14、导弹运行方程．标准答案：令知识点解析：暂无解析15、已知曲线上任一点切线的斜率为2x，并且曲线经过点(1，－2)，求此曲线的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?标准答案：(1)是，因该方阵的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3互不相同；(2)因A的特征值为λ1=λ2=λ3=λ4=1，但r(E-A)=2，A的线性无关特征向量只有2个(或用反证法)．知识点解析：暂无解析2、设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．标准答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=.知识点解析：暂无解析3、设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T－T0成正比．又设T0＝20℃，当t＝0时，T＝100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃．标准答案：温度变化的速率即，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度T所满足的微分方程：＝－k(T－T0)，其中k为比例常数，且k＞0．其通解为T＝T0＋Ce-kt．再由题设：T0＝20，T(0)＝100，T(24)＝50，所以C＝80，k＝(ln8－ln3)．这样，温度T＝20＋80．若T＝95，则t＝＝1．58，即在1．58小时后热水的温度降为95℃．知识点解析：暂无解析4、计算不定积分∫[x]|sinπx|dx如(x≥0)，其中[x]表示不大于x的最大整数．标准答案：设原函数为F(x)，分别求出在区间[0，1)，[1，2)，[2，3)，…，[[x]，x)上满足F(0)=0的原函数F(x)的增量如下：在[0，1)上，∫0．sinπxdx=C1,F(1)一F(0)=0；从而，对于x≥0，得到∫[x]sinπx|dx=F(x)+C=(F(1)一F(0))+(F(2)一F(1))+(F(3)一F(2))+…+(F(x)一F([x]))+C知识点解析：暂无解析5、求标准答案：知识点解析：暂无解析6、设函数y＝y(χ)由2χy＝χ＋y确定，求dy｜χ＝0．标准答案：当χ＝0时，y＝1．2χy＝χ＋y两边关于χ求导得将χ＝0，y＝1代入得＝ln2－1，故dy｜χ＝0＝(ln2－1)dχ．知识点解析：暂无解析7、(1)求二元函数f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的极值．(2)求函数f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的极值．标准答案：(1)二元函数f(χ，y)的定义域为D＝{(χ，y)｜y＞0}，由得(χ，y)＝(0，)，因为AC－B2＞0且A＞0，所以为f(χ，y)的极小点，极小值为．由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)为f(χ，y)的极小值点，极小值为f(－1，0)＝－1．知识点解析：暂无解析8、设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求Ax=0的一个基础解系．标准答案：由，r(A)=2可知Ax=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而3α1+2α2-α3=0，因此ξ=为Ax=0的一个基础解系．知识点解析：暂无解析9、设C＝为正定矩阵，令P＝，(1)求PTCP；(2)证明：D－BA-1BT为正定矩阵．标准答案：(1)因为C＝为正定矩阵，所以AT＝A，DT＝D，(2)因为C与合同，且C为正定矩阵，所以为正定矩阵，故A与D－BA-1BT都是正定矩阵．知识点解析：暂无解析10、设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，求B．标准答案：由题设知(A—E)BA-1=3E，两端右边乘A，得(A—E)B=3A，两端左边乘A-1，得A-1(A-E)B=3E，即(E一A-1)B=3E，则其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，从而得(2E一A*)B=6E，B=6(2E一A*)-1，故知识点解析：暂无解析11、二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．标准答案：①f(x1，x2，x3)的矩阵为记B=．则A=B+aE．求出B的特征多项式｜λE-B｜=λ3+λ2-2λ=λ(λ+2)(λ-1)，B的特征值为-2，0，1，于是A的特征值为a-2，a，a+1．②因为f(x1，x2，x3)的规范形为y2+y2时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a=2．知识点解析：暂无解析12、设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明：A+E的行列式大于1．标准答案：A为n阶正定矩阵，则A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0．因而A+E的特征值分别为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，则|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．知识点解析：暂无解析13、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为u，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg．s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力Ry=kyv2，摩擦力为W=u(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有知识点解析：暂无解析设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。14、证明存在，并求该极限。标准答案：0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。由数学归纳法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。于是(因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限存在。设在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：因由(I)知该极限为1∞型。令t=xn，则n→∞，t→0，而知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限：标准答案：根据海涅定理,知识点解析：暂无解析2、已知，XA+2B=AB+2X，求X2017．标准答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A－2E)=(A－2E)B，即X=(A－2E)B(A－2E)－1，则X2017=(A－2E)B2017(A－2E)－1=(A－2E)B(A－2E)－1=X．再从关于X的矩阵方程X(A－2E)=(A－2E)B用初等变换法求解X：((A－2E)T｜B(A－2E)T)=(AT－2E｜B(AT－2E))知识点解析：暂无解析3、设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．标准答案：设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX(A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X[(A=aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1，设A、B的最小特征值分别为λ1和μ1，有s=≥λ1+μ1＞a+b．故A+B的特征值全大于a+b．知识点解析：暂无解析4、已知线性方程组的一个基础解系为(b11,b12,…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2…，bn,2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．标准答案：设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(I)的基础解系可知ABT=O，于是BAT=(ABT)T=O，所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量．由于(b11,b12，…，b1,2n)T，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bb,2n)T为方程组(I)的基础解系，所以该向量组线性无关，故r(B)=n，从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n—n=n．又由于方程组(I)的未知数的个数为2n，基础解系解向量的个数为n，所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是A的n个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系，于是方程组(Ⅱ)的通解为y=k1(a11，a12，…，a1,2n)T+k2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+kn(an1，an2，…，an,2n)T，其中k1，k2，…，kn为任意常数．知识点解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构以及方程组系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系．5、设标准答案：先求而且f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量；φ(xy)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量。由于方便，由复合函数求导法则得知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：∈(a，b)，使标准答案：将f(x)在x=a，x=b展开泰勒公式．f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(x-a)2知识点解析：暂无解析7、设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．标准答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为因为P为正交矩阵，所以即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足｜λE一A｜=0．当λ1=0，则由式(1)和(2)，可求得α=β=0．知识点解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A，由标准形f=y22+2y32，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．8、已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．标准答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9－a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1：得(A－E)X=0的同解方程组得属于1的一个特征向量η1=(0，1，－1)T，单位化得γ1=对于特征值2：得(A－2E)X=0的同解方程组得属于2的一个单位特征向量γ2=(1，0，0)T．对于特征值5：得(A－5E)X=0的同解方程组得属于5的一个特征向量η3=(0，1，1)T，单位化得γ3=令Q=(γ1，γ2，γ3)，则正交变换X=QY把原二次型化为y12+2y22+532．知识点解析：暂无解析9、试确定方程xe一x=a(a＞0)的实根个数．标准答案：令f(x)=xe一x一a，考虑f(x)的极值，最后结论是：当a＞时，无实根．当a=时，唯一实根．当a＜时，两个实根．知识点解析：暂无解析10、求由圆x2+y2=2y与抛物线y=x2所围成的平面图形的面积．标准答案：由所围成的面积为知识点解析：暂无解析11、求解标准答案：方程化为此为齐次方程，故令则x=uy，代入上述方程得整理得上式积分得ln|u+eu|=一ln|y|+C1，(u+eu)y=C，将代入得故原方程的通解为，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析12、已知齐次线性方程组其中≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时．(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．标准答案：方程组的系数行列式|A|=bn一1，故当|A|≠0，即b≠0且b+≠0时，方程组只有零解．当b=0或b+=0时，方程组有非零解．当b=0时，设a1≠0，由系统矩阵A的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，则方程组的基础解系可取为ξ=(1，1，…，1)T．知识点解析：暂无解析设矩阵A=13、若A有一个特征值为3，求a；标准答案：｜λE-A｜-(λ2-1)[λ2-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是知识点解析：暂无解析14、求可逆矩阵P，使得pTA2P为对角矩阵．标准答案：由｜λE-A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E-A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，-1，1)T；当λ=9时，由(9E-A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=，将α4规范化得β4=知识点解析：暂无解析15、设函数z＝z(x，y)由方程x2＋y2＋z2＝xf(y／x)确定，求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第6套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、确定正数a，b，使得＝2．标准答案：显然b＝1，且＝2，故a＝1．知识点解析：暂无解析2、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析3、已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X)(1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．标准答案：(1)设则由AP=PB得上式可写为Ax=a1x+b1Ax+c1A2x，(1)A2x=a2x+b2Ax+c2A2x，(2)A3x=a3x+b3Ax+c3A2x．(3)将A3x=3Ax一2A2x代入(3)式得3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x．(4)整理得a1x+(b1-1)Ax+c1A2x=0，a2x+b2Ax+(c2—1)A2x=0，a3x+(b3-3)Ax+(c3+2)A2x=0．由于x，Ax，A2x线性无关，故a1=c1=0，b1=1；a2=b2=0，c2=1；a3=0，b3=3，x3=-2．从而(2)由(1)知A与B相似，故A+E与B+E也相似，从而知识点解析：本题是向量与矩阵的综合题，主要考查向量组的线性相关性．4、f(x，y)=x3+y3一3xy的极小值．标准答案：由得(x，y)=(0，0)，(x，y)=(1，1)．fxx"=6x，fxy"=一3，fyy"=6y。当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=一3，C=0，因为AC—B2＜0，所以(0，0)不是极值点；当(x，y)=(1，1)时，A=6，B=一3，C=6，因为AC—B2＞0且A＞0，所以(1，1)为极小值点，极小值为f(1，1)=一1．知识点解析：暂无解析5、求标准答案：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得ln(1－2χ)＝－2χ－2χ2＋o(χ2)，于是arctan2χ[2χ＋ln(1－2χ)]～－2χ4；知识点解析：暂无解析6、求齐次方程组的基础解系．标准答案：对系数矩阵作初等变换，有当a≠1时，r(A)=3，取自由变量x4得x4=1，x3=0，x2=－6