考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共267题）

考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共9套）（共267题）考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(χ)可导，则当△χ→0时，△y－dy是△χ的()．A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：A知识点解析：因为f(χ)可导，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高阶无穷小，选A．2、设函数f(χ)＝则在点χ＝0处f(χ)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：因为f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续；由得f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝0；当χ＞0时，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；当χ＜0时，f′(χ)＝2χ，因为＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0处导数连续，选D．3、设f(χ)＝则在χ＝1处f(χ)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：因为(χ2＋χ＋1)＝3＝f(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续．因为＝3，所以f(χ)在χ＝1处可导．当χ≠1时，f′(χ)＝2χ＋1，因为f′(χ)＝3＝f′(1)，所以f(χ)在χ＝1处连续可导，选D．4、若f(－χ)＝－f(χ)，且在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则在(－∞，0)内()．A、f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B、f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C、f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D、f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0标准答案：C知识点解析：因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，故在(－∞，0)内有f′(χ)＞0．因为f〞(χ)为奇函数，所以在(－∞，0)内f〞(χ)＜0，选C．5、f(χ)在(－∞，＋∞)内二阶可导，f〞(χ)＜0，＝1，则f(χ)在(－∞，0)内()．A、单调增加且大于零B、单调增加且小于零C、单调减少且大于零D、单调减少且小于零标准答案：B知识点解析：由＝1，得f(0)＝0，f′(0)＝1，因为f〞(χ)＜0，所以f′(χ)单调减少，在(－∞，0)内f′(χ)＞f′(0)＝1＞0，故f(χ)在(－∞，0)内为单调增函数，再由f(0)＝0，在(－∞，0)内f(χ)＜f(0)＝0，选B．6、若f(χ)在χ＝0的某邻域内二阶连续可导，且＝1，则下列正确的是()．A、χ＝0是f(χ)的零点B、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐点C、χ＝0是f(χ)的极大值点D、χ＝0是f(χ)的极小值点标准答案：D知识点解析：由＝1得f′(0)＝0，由1＝＝f〞(0)得χ＝0为极小点，应选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、设f(χ)＝，且f′(0)存在，则a＝_______，b＝_______，c＝_______．标准答案：2；－2；2．知识点解析：f(0＋0)＝f(χ)＝a，f(0)＝2，f(0－0)＝c，因为f(χ)在χ＝0处连续，所以f(0＋0)＝f(0)＝f(0－0)，从而a＝2，c＝2，即因为f(χ)在χ＝0处可导，即f′+(0)＝f′-(0)，故b＝－2．8、设f(χ)在χ＝2处可导，且＝2，则f(2)＝_______，f′(2)＝_______．标准答案：0；8．知识点解析：因为＝2，所以f(χ)＝0，再由f(χ)在χ＝2处的连续性得f(2)＝0．由＝2，得f′(2)＝8．9、设f(χ)二阶连续可导，且＝1，f〞(0)＝e，则＝_______．标准答案：知识点解析：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1，于是10、设f(u)可导，y＝f(χ2)在χ0＝－1处取得增量△χ＝0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f′(1)＝_______．标准答案：知识点解析：由dy＝2χf′(χ2)△χ得dy｜χ＝－1＝－2f′(1)×0．05＝－0．1f′(1)，因为△y的线性部分为dy，由－0．1f′(1)＝0．15得f′(1)＝．11、设y＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：12、设则＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、求常数a，b使得f(χ)＝在χ＝0处可导．标准答案：因为f(χ)在χ＝0处可导，所以f(χ)在χ＝0处连续，从而有f(0＋0)＝2a＝f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(χ)在χ＝0处可导，则3＋2a＝10＋6b，解得知识点解析：暂无解析14、设f(χ)＝求f′(χ)并讨论f′(χ)在χ＝0处的连续性．标准答案：当χ≠0时，f′(χ)＝当χ＝时，所以f′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析15、设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．标准答案：因为f(χ)在[0，3]上连续，所以f(χ)在[0，2]上连续，故f(χ)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)＋f(1)＋f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)＝1．因为f(χ)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)＝f(3)＝1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析16、设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0．标准答案：令φ(χ)＝f(χ)∫χbg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，φ(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ′(χ)＝[f′(χ)∫χbg(t)dt－f(χ)g(χ)]＋[g(χ)f(χ)＋g′(χ)∫aχf(t)df]＝f′(χ)∫χbg(t)dt＋g′(χ)∫aχf(t)dt，因为φ(a)＝φ(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)＝0，即f′(ξ)∫ξbg(t)dt＋g′(ξ)∫aξf(t)dt＝0，由于g(b)＝0及g′(χ)＜0，所以区间(a，b)内必有g(χ)＞0，从而就有∫χbg(t)dt＞0，于是有＝0．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．标准答案：令φ(χ)＝f(b)lnχ－f(χ)lnχ＋f(χ)lna，φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝－f′(χ)lnχ＋f′(χ)lna，所以[f(b)－f(ξ)]－f′(ξ)(lnξ－lna)＝0，即ξf′ξ．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令F(χ)＝f(χ)g(b)＋f(a)g(χ)－f(χ)g(χ)，则F(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)＝F(b)＝f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F′(ξ)＝0，而F′(χ)＝f′(χ)g(b)＋f(a)g′(χ)－f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)，所以知识点解析：暂无解析19、设f(χ)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．标准答案：令φ(χ)＝χ∫0χf(t)dt－∫0χf(t)dt．因为φ(0)＝φ(1)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝∫0χf(t)dt＋(χ－1)f(χ)，故∫0ξf(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析20、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．标准答案：不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f()＜0，今φ(χ)＝e-χf(χ)，则φ′(χ)＝e－χ[f′(χ)－f(χ)]．因为φ(a)＞0，φ()＜0，φ(b)＞0，所以存在使得φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，即e－ξ[f′(ξ)－f(ξ)]＝0，因为e－ξ≠0，所以f′(ξ)＝f(ξ)．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η(0，1)，使得f′(ξ)＋f′(η)＝0．标准答案：存在ξ∈(0，)，η∈(，1)，使得因为f(0)＝f(1)，所以f′(ξ)＝－f′(η)，即f′(ξ)＋f′(η)＝0．知识点解析：暂无解析22、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f′(η)．标准答案：令F(χ)＝χ2，F′(χ)＝2χ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得整理得再由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝f′(ξ)，故f′(ξ)＝知识点解析：暂无解析23、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y＝f(χ)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．标准答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因为点A，B，C共线，所以f′(ξ1)＝f′(ξ2)，又因为f(χ)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．标准答案：因为f(χ)在[a，b]上不恒为常数且f(a)＝f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)＝f(b)，不妨设f(c)＞f(a)＝f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析25、设b＞a＞0，证明：标准答案：令f(t)＝lnt,由微分中值定理得f(b)＝－f(a)＝f′(ξ)(b－a)＝，其中ξ∈(a，b)．因为0＜a＜ξ＜b，所以，从而即知识点解析：暂无解析26、设f(χ)在[a，b]上满足｜f〞(χ)｜≤2，且f(χ)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．标准答案：因为f(χ)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(χ)在[a，b]上的最小值，从而f′(c)＝0．由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，两式取绝对值得两式相加得｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)＝f(1)，又｜f〞(χ)｜≤M，证明：｜f〞(χ)｜≤．标准答案：由泰勒公式得f(0)＝f(χ)＋f′(χ)(0－χ)＋(0－χ)2，ξ∈(0，χ)，f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋(1－χ)2，η∈(χ，1)，两式相减得f′(χ)＝[f〞(ξ)χ2－f〞(η)(1－χ)2]，取绝对值得｜f′(χ)｜≤[χ2＋(1－χ)2]，因为χ2≤χ，(1－χ)2≤1－χ，所以χ2＋(1－χ)2≤1，故f′(χ)≤．知识点解析：暂无解析28、设函数f(χ)，g(χ)在[a，＋∞)上二阶可导，且满足条件f(a)＝g(a)，f′(a)＝g′(a)，f〞(χ)＞g〞(χ)(χ＞a)．证明：当χ＞a时，f(χ)＞g(χ)．标准答案：令φ(χ)＝f(χ)－g(χ)，显然φ(a)＝φ′(a)＝0，φ〞(χ)＞0(χ＞a)．由得φ′(χ)＞0(χ＞a)；再由得φ(χ)＞0(χ＞a)，即f(χ)＞g(χ)．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、若f(x)在开区间(a，b)内可导，且x1，x2是(a，b)内任意两点，则至少存在一点ξ，使下列诸式中成立的是()A、f(x2)一f(x1)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ∈(a，n)B、f(x1)一f(x2)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ在x1，x2之间C、f(x1)一f(x2)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2D、f(x2)一f(x1)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2标准答案：B知识点解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又由x1与x2的大小关系未知，故(D)不正确．2、在区间[0，8]内，对函数罗尔定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0标准答案：C知识点解析：因为f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(0)=f(8)，故f(x)在[0，8]上满足罗尔定理条件．令得f’(4)=0，即定理中ξ可以取为4．3、函数在x=π处的()A、右导数B、导数C、左导数D、右导数标准答案：D知识点解析：f(x)在x=π处的左、右导数为：因此f(x)在x=π处不可导，但有4、设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=()A、n[f(x)]n+1B、n![f(x)]n+1C、(n+1)[f(x)]n+1D、(n+1)![f(x)]n+1标准答案：B知识点解析：由f’(x)=[f(x)]2得f"(x)一[f(x)]’={[f(x)]2}’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]3，当n=1，2时，f(n)=n![f(x)]n+1成立．假设n=k时，f(k)(x)=k![f(x)]k+1成立．则当n=k+1时，有f(k+1)(x)={k![f(x)]k+1}’=(k+1)![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)．5、函数()A、只有极大值，没有极小值B、只有极小值，没有极大值C、在x=一1处取极大值，x=0处取极小值D、在x=一1处取极小值，x=0处取极大值标准答案：C知识点解析：令f’(x)=0，得x=一1，f(x)在x=一1左侧导数为正，右侧导数为负，因此在x=一1处取极大值；当x=0时，f’(x)不存在，在x=0左侧导数为负，右侧导数为正，因此在x=0处取极小值．6、若f(x)在x0点至少二阶可导，且则函数f(x)在x=x0处()A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、不一定有极值标准答案：A知识点解析：由于则存在δ＞0，当0＜1|x-x0|＜δ时，由于(x—x0)2＞0，于是f(x)一f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)，x0为极大值点，故选(A)．7、设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、一1D、一2标准答案：D知识点解析：因为函数f(x)周期为4，所以曲线在点(5，f(5))处的切线斜率与曲线在点(1，f(1))处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率即为函数f(x)在点x=1处的导数．又即f’(1)=一2．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设y=ln(1+3-x)，则dy=___________．标准答案：知识点解析：复合函数求导故9、设其中f可导，且f’(0)≠0，则标准答案：2．26．3知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、设则y’=__________．标准答案：知识点解析：12、设则标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)13、试证明：曲线恰有三个拐点，且位于同一条直线上．标准答案：令y"=0，得x1=一1，于是可列表如下所以A(一1，一1)，均为此曲线的拐点，又因所以这三个拐点在一条直线上．知识点解析：暂无解析14、求曲线的斜渐近线．标准答案：当t→1，t→一1或t→∞时，都有x→∞．当t→1时，当t→一1时，当t→∞时，所以曲线有三条斜渐近线，分别是知识点解析：暂无解析15、求极坐标系下的曲线的斜渐近线．标准答案：写为参数方程形式当且仅当时，才有x→∞，所以曲线至多有一条斜渐近线．由于所以曲线有斜渐近线知识点解析：暂无解析16、作函数的图形．标准答案：①定义域为(一∞，0)∪(0，+∞)，无周期性无奇偶性．y’=0的根为y"=0的根为x=一1．③列表由表可知函数的极小值点在处取得，拐点为(一1，0)．④铅直渐近线：无斜渐近线．⑤作图(如图1．2—2)．知识点解析：暂无解析17、求函数y=excosx的极值．标准答案：y’=ex(cosx一sinx)=极值可疑点n=0，±1，…(均为驻点)．又y"=一2exsinx，当时，y"＜0，所以xk=2kn+为极大值点，极大值为k=0，±1，±2，…；当时，y"＞0，所以为极小值点，极小值为k=0，±1，…．知识点解析：暂无解析18、设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．所以f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．知识点解析：f(x)的两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x1，x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(ex)’=ex可以得到启发，令F(x)=f(x)ex．设函数f(x)在[(a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．求证：19、存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；标准答案：设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析20、存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．标准答案：设则F(x)在[a，b)上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使即ηf(η)+f’(η)=0．知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．标准答案：根据拉格朗日中值定理有f(0)一f(-2)=2f’(ξ1)，一2＜ξ1＜0，f(2)一f(0)=2f’(ξ2)，0＜ξ2＜2．由|f(x)|≤1知令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在点ξ∈[ξ1，ξ2](一2，2)处取到，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有φ(ξ)=0，即2f(ξ)．f’(ξ)+2f’(ξ)．f"(ξ)=0．因为|f(x)|≤1，且φ(ξ)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f”(ξ)=0，ξ∈(一2，2)．知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导．试证：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式成立．标准答案：令F(x)与G(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且满足柯西中值定理的三个条件．于是在(a，b)内至少有一点ξ，使得知识点解析：暂无解析23、设f(x)在上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，使得标准答案：因f(x)和g(x)=cos2x在上连续，在内可导，且g’(x)=(cos2x)’=一2sin2x≠0，故由柯西中值定理知，存在使得即因f(x)在上具有连续的二阶导数，故存在使得再由f’(0)=0知由式①和式②知取则式③可以写成其中ω，η，知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(a)≠f(b)．试证：存在η,ξ∈(a，b)，使得标准答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(a)=f’(η)(b一a)，η∈(a，b)，又由柯西中值定理知所以则即知识点解析：暂无解析25、求曲线y=ex上的最大曲率及其曲率圆方程．标准答案：由y’=ex，y"=ex得曲线y=ex上任意点P(x，y)处的曲率令得唯一的驻点因当时，当时，故为曲率K=K(x)的极大值点，亦是最大值点，且其最大曲率为其中，当时，且曲线y=ex上具有最大曲率的点(x0，y(x0))处的曲率圆的曲率半径则曲率圆的圆心(ξ，η)为所以它的曲率圆方程为知识点解析：暂无解析26、设一质点在单位时间内由点A从静止开始做直线运动至点B停止，A，B两点间距离为1，证明：该质点在(0，1)内总有某一时刻的加速度的绝对值不小于4．标准答案：设质点运动的距离y关于时间t的函数为y=y(t)，0≤t≤1，则有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0与t=1处的一阶泰勒展开式分别为若则由上述①式得y"(ξ1)≥4；若由上述②式得y"(ξ2)＜一4．证毕．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在(a，b)内存在ξ，使得标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．则对于任意x∈[a，b]有m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②①+②+…+mm≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可知存在ξ∈(a，b)，使得知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．标准答案：函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，23上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈(0，2)，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析设f(x)，g(x)在[a，b]k-阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(n)=g(b)=0，证明：29、在(a，b)内，g(x)≠0；标准答案：反证法．设存在一点c∈(a，b)，且g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分别运用罗尔定理可得g’(ξ)=g’(ξ)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)．对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)，与已知g"(x)≠0矛盾，故得证．知识点解析：暂无解析30、在(a，b)内至少存在一点ξ，使标准答案：令F(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x)，则有F(a)=0，F(b)=0．F(x)在[a，b]上运用罗尔定理，可知存在ξ∈(a，b)，使知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)连续，且＝－2，则()．A、f(χ)在χ＝0处不可导B、f(χ)在χ＝0处可导且f′(0)≠0C、f(χ)在χ＝0处取极小值D、f(χ)在χ＝0处取极大值标准答案：D知识点解析：＝－2得f(0)＝1，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＜0，即f(χ)＜1＝f(0)，故χ＝0为f(χ)的极大值点，应选D．2、设f(χ)具有二阶连续导数，且＝2，则()．A、χ＝1为f(χ)的极大值点B、χ＝1为f(χ)的极小值点C、(1，f(1))为y＝f(χ)的拐点D、χ＝1不是f(χ)的极值点，(1，f(1))也不是y＝f(χ)的拐点标准答案：C知识点解析：由＝2及f(χ)二阶连续可导得f〞(1)＝0；因为＝2＞0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ－1｜＜δ时，＞0，从而故(1，f(1))是曲线y＝f(χ)的拐点，应选C．3、设f(χ)二阶连续可导，f′(0)＝0，且＝－1，则()．A、χ＝0为f(χ)的极大值点B、χ＝0为f(χ)的极小值点C、(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D、χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点．标准答案：A知识点解析：因为＝－1＜0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＜0，注意到χ3＝o(χ)，所以当0＜｜χ｜＜δ时，f〞(χ)＜0，从而f′(χ)在(－δ，δ)内单调递减，再由f′(0)＝0得故χ＝0为f(χ)的极大值点，应选A．4、设y＝y(χ)由χ－＝0确定，则f〞(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2－1D、e-2－1标准答案：A知识点解析：当χ＝0时，由－∫1ydt＝0得y＝1，χ－dt＝0两边对χ求导得1－＝0，解得，且＝e－1，由得y〞(0)＝＝2e2应选A．5、设函数f(χ)二阶可导，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)，其中△χ＜0，则()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：D知识点解析：根据微分中值定理，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)＝f′(ξ)△χ＜0(χ＋△χ＜ξ＜χ)，dy＝f′(χ)△χ＜0，因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，而ξ＜χ，所以f′(ξ)＜f′(χ)，于是f′(ξ)△χ＞f′(χ)△χ，即dy＜△y＜0，选D．6、设f〞(χ)连续，f′(0)＝0，＝1，则()．A、f(0)是f(χ)的极大值B、f(0)是f(χ)的极小值C、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐点D、f(0)非极值，(0，f(0))也非y＝f(χ)的拐点标准答案：B知识点解析：＝1及f〞(χ)的连续性，得f〞(0)＝0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＞0，从而f〞(χ)＞0，于是f′(χ)在(－δ，δ)内单调增加，再由f′(0)＝0，得当χ∈(－δ，0)时，f′(χ)＜0，当χ∈(0，δ)时，f′(χ)＞0，χ＝0为f(χ)的极小值点，选B．7、设函数f(χ)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，f(0)＝0，f〞(χ)＜0，则在(0，a]上()．A、单调增加B、单调减少C、恒等于零D、非单调函数标准答案：B知识点解析：令h(χ)＝χf′(χ)＝－f(χ)，h(0)＝0，h′(χ)＝χf〞(χ)＜0(0＜χ≤a)，由得h(χ)＜0(0＜χ≤a)，于是＜0(0＜χ≤a)，故在(0，a]上为单调减函数，选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、＝________．标准答案：知识点解析：由得9、设周期为4的函数f(χ)处处可导，且，则曲线y＝f(χ)在(－3，f(－3))处的切线为________．标准答案：y＝－2χ－4知识点解析：由得f(1)＝2，再由得f′(1)＝－2，又f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝2，f′(－3)＝f′(－4＋1)＝f′(1)＝－2，故曲线y＝f(χ)在点(－3，f(－3))处的切线为y－2＝－2(χ＋3)，即y＝－2χ－4．10、设f(χ)为偶函数，且f′(－1)＝2，则＝_______．标准答案：－8知识点解析：因为f(χ)为偶函数，所以f′(χ)为奇函数，于是f′(1)＝－2，11、设f(χ)在χ＝a处可导，则＝_______．标准答案：10f(a)f′(a)知识点解析：因为f(χ)在χ＝a处可导，所以f(χ)在χ＝a处连续，于是12、设f′(a)存在且不等于零，则＝_______．标准答案：知识点解析：13、设f(χ)为奇函数，且f′(1)＝2，则f(χ3)｜χ＝－1＝_______．标准答案：6知识点解析：因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，由f(χ3)＝3χ2f′(χ3)得f(χ3)＝｜χ＝－1＝3f′(－1)＝3f′(1)＝6．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)14、设f(χ)＝，求f(n)(χ)．标准答案：令f(χ)＝由A(2χ＋1)＋B(χ－2)＝4χ－3得，解得A＝1，B＝2，即f(χ)＝故f(n)(χ)＝知识点解析：暂无解析15、设f(χ)＝∫01｜χ－y｜sindy(0＜χ＜1)，求f〞(χ)．标准答案：则f′(χ)＝知识点解析：暂无解析16、设f(χ)连续，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)＋(y)＋2χy，f′(0)＝1，求f(χ)．标准答案：当χ＝y＝0时，f(0)＝2f(0)，于是f(0)＝0．对任意的χ∈(－∞，＋∞)，则f(χ)＝χ2＋χ＋C，因为f(0)＝0，所以C＝0，故f(χ)＝χ＋χ2．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)＝讨论函数f(χ)在χ＝0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(χ)｜＝｜χ｜.≤｜χ｜得f(χ)＝0＝f(0)，故f(χ)在χ＝0处连续．由＝1得f′－＝(0)＝1，再由∞0得f′+(0)＝0，因为f′－(0)≠f′+(0)，所以f(χ)在χ＝0处不可导．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，设u(χ)为曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))处的切线在z轴上的截距，求．标准答案：曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))的切线为Y－f(χ)＝f′(χ)(X－χ)，令Y＝0，则u(χ)＝X＝χ－，则知识点解析：暂无解析19、设f(χ)在χ＝a处二阶可导，证明＝f〞(a)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(χ)连续，f(0)＝0，f′(0)＝1，求[∫-aaf(χ＋a)dχ－∫-aaf(χ－a)dχ]．标准答案：∫－aaf(χ＋a)dχ－∫－aaf(χ－a)dχ＝∫－aaf(χ＋a)d(χ＋A)－∫－aaf(χ－a)d(χ－a)＝∫02af(χ)dχ－∫－2a0f(χ)dχ＝∫02a(χ)dχ＋∫0-2af(χ)dχ，又由ln(1＋a)＝a－＋o(a2)得a→0时a－ln(1＋a)～，于是知识点解析：暂无解析21、设，求．标准答案：方程两边对χ求导数得知识点解析：暂无解析22、设f(χ)连续，且g(χ)＝∫0χχ2(χ－t)dt，求g′(χ)．标准答案：g(χ)＝－χ2∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ2∫χ0f(u)du＝χ2∫0χf(u)du，g′(χ)＝2χ∫0χf(u)du＋χ2f(χ)．知识点解析：暂无解析23、证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．标准答案：设f(χ)在[a，b]上连续，令g(χ)＝｜f(χ)｜，对任意的χ0∈[a，b]，有0≤｜g(χ)－g(χ0)｜＝｜｜f(χ)｜－｜f(χ0)｜｜≤｜f(χ)－f(χ0)｜，因为f(χ)在[a，b]上连续，所以f(χ)＝f(χ0)，由迫敛定理得｜f(χ)｜＝｜f(χ0)｜，即｜f(χ)｜在χ＝χ0处连续，由χ0的任意性得｜f(χ)｜在[a，b]上连续．设f(χ)＝χ，则f(χ)在χ＝0处可导，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝0处不可导．知识点解析：暂无解析24、举例说明函数可导不一定连续可导．标准答案：令f(χ)＝当χ≠0时，f′(χ)＝，当χ＝0时，f′(0)＝＝0，即因为f′(χ)不存在，而f′(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处可导，但f′(χ)在χ＝0处不连续．知识点解析：暂无解析25、设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．标准答案：(1)对任意的χ∈0[a，b]，由已知条件得0≤｜f(χ)－f(χ0)｜≤M｜χ－χ0｜k，f(χ)＝f(χ0)，再由χ0的任意性得f(χ)在[a，b]上连续．(2)对任意的χ0∈[a，b]，因为k＞1，所以0≤＜M｜χ－χ0｜k-1由夹逼定理得f′(χ0)＝0，因为χ0是任意一点，所以f′(χ)≡0，故f(χ)≡常数．知识点解析：暂无解析26、设f(χ)＝处处可导，确定常数a，b，并求f′(χ)．标准答案：由f(χ)在χ＝0处连续，得b＝0．由f(χ)在χ＝0处可导，得a＝2，所以f(χ)＝则f′(χ)＝知识点解析：暂无解析27、设对一切的χ，有f(χ＋1)＝2f(χ)，且当χ∈[0，1]时f(χ)＝χ(χ2－1)，讨论函数f(χ)在χ＝0处的可导性．标准答案：当χ∈[－1，0]时，f(χ)＝f(χ＋1)＝(χ＋1)(χ2＋2χ)，因为f′－(0)≠f′+(0)，所以f(χ)在χ＝0处不可导．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)＝求f′(χ)并讨论其连续性．标准答案：当χ＞0时，f′(χ)＝，当χ＜0时，f′(χ)＝cosχ，由f′－(0)＝＝1，f′+(0)＝＝1得f′(0)＝1，则容易验证＝1＝f′(0)，所以f′(χ)连续．知识点解析：暂无解析29、设＝∫0χcos(χ－t)2dt确定y为χ的函数，求．标准答案：∫0χcos(χ－t)2dt∫χ0cosu2(－du)＝∫0χcost2dt，等式＝∫0χcost2dt两边对χ求导，得＝cosχ2，于是知识点解析：暂无解析30、设f(χ)二阶可导，f(0)＝0，令g(χ)＝(1)求g′(χ)；(2)讨论g′(χ)在χ＝0处的连续性．标准答案：(1)因为＝f′(0)＝g(0)，所以g(χ)在χ＝0处连续．当χ≠0时，g′(χ)＝；当χ＝0时，由得g′(0)＝f〞(0)，即(2)由题意得：所以g′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析31、设f(χ)＝求f′(χ)．标准答案：当｜χ｜＜1时，f′(χ)＝；当χ＜－1时，f′(χ)＝－1；当χ＞1时，f′(χ)＝1；又＝2，＝0，则f(χ)在χ＝－1处不连续，故也不可导．由f(1＋0)＝f(1－0)＝f(1)＝得f(χ)在χ＝1处连续．因为所以f(χ)在χ＝1处也不可导，故f′(χ)＝知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、函数y=xx在区间上()A、不存在最大值和最小值B、最大值是C、最大值是D、最小值是标准答案：D知识点解析：y’=xx(Inx+1)，令y’=0，得当时，y’＞0，函数单调增加，故选(D)．2、设函数则()A、在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的B、在点x1及x2处有定义，且当x1＜x2时，必有f(x1)＞f(x2)C、在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的D、在点x1及x2处有定义，且当x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x2)标准答案：A知识点解析：f(x)的定义域是(一0(3，3)∪(3，+∞)，其导数则f(x)在区间(一∞，3)及(3，+∞)上均是单调减少的，(B)，(D)可举反例，设x一2，x一4可排除(B)，设x一4，x一5可排除(D)．3、设函数f(x)在x=0处连续，且则()A、f(0)=0且f’-(0)存在B、f(0)=1且f’-(0)存在C、f(=)=0且f’+(0)存在D、f(0)=1且f’+(0)存在标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x一0处连续，且所以f(0)=0．从而有4、设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意x，f’(x)＞0B、对任意x，f’(一x)≤0C、函数f(一x)单调增加D、函数一f(一x)单调增加标准答案：D知识点解析：根据单调性的定义直接可以得出D项正确．5、若f(x)在点x0处可导，则|f(x)|在点x0处()A、必可导B、连续，但不一定可导C、一定不可导D、不连续标准答案：B知识点解析：若取f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，排除(A)．若取f(x)=x2在x=0处可导，则|f(x)|=|x2|在x=0处也可导，排除(C)，(D)．故选(B)．6、设函数则f(x)在点x=0处()A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：不存在，故f’(0)不存在．7、设其中f(x)在x=0处可导，f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的()A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、连续点或间断点不能由此确定标准答案：B知识点解析：F(0)=f(0)=0，二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、曲线的斜渐近线为_____________．标准答案：y=2x+1知识点解析：所以斜渐近线为y=2x+1．9、若则f’(t)=_________．标准答案：(2t+1)e2t知识点解析：故f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t．10、设函数且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=____________.标准答案：知识点解析：由于f(x)在x=0处可导，则在该点处连续，利用洛必达法则，所以b=f(0)=一1，再由导数的定义及洛必达法则，有11、若函数在处取得极值，则a=__________．标准答案：2知识点解析：f’(x)=acosx+cos3x，因为极值点，则a=2．这时f"(x)=-2sinx-3sin3x，故为极大值点．12、已知a，b＞e，则不等式成立的条件是_________．标准答案：e＜a＜b知识点解析：令则由得x=e．当x＞e时，f’(x)＜0，函数f(x)单调递减，因此有e＜a＜b．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数．标准答案：由f(一x)=f(x)，而故f’(x)为奇函数．由f(一x)=一f(x)，而故f’(x)为偶函数．知识点解析：暂无解析14、用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变．标准答案：设f(x)的周期为T，即f(x+T)=f(x)，而所以f’(x)仍是周期为T的周期函数．知识点解析：暂无解析15、求函数的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设y=y(x)是由确定的隐函数，求y’(0)和y"(0)的值．标准答案：在方程中令x=0可得将方程两边对x求导，得将x=0，y(0)=e2代入式①，有即y’(0)=e—e4．将式①两边再对x求导数，得将x=0，y(0)=e2和y’(0)=e—e4代入式②，有故y"(0)=e3(3e3一4)．知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)在=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，求f(n)(2)．标准答案：由f’(x)=ef(x)两边对x求导，得f"(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，两边再对x求导，得f’"(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，两边再对x求导，得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上规律可得n阶导数f(n)(x)=(n一1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n一1)!en．知识点解析：暂无解析18、设a，b，c是三个互不相等的常数，求y(n)．标准答案：运用高阶导数公式，得知识点解析：暂无解析19、曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?标准答案：先求曲线在点处的切线方程．因为函数导数为所以切线斜率切线方程为切线与x轴，y轴的交点坐标分别为A(3a，0)，于是△AOB的面积为当切点沿x轴正向趋于无穷远时，有当切点沿y轴正向趋于无穷远时，有知识点解析：暂无解析20、设又函数f(x)可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．标准答案：当x≠1时，用复合函数求导法则求导得当x=0时(分段点)，因φ(0)=0，又f(x)在x=0处可导，于是根据复合函数的求导法则，有F’(0)=f’(0)．φ’(0)=0，所以知识点解析：暂无解析设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．21、证明方程fn(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根xn；标准答案：fn(x)连续，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理可得，存在xn∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)严格单调递增，因此xn是fn(x)一1在[0，+∞)内的唯一实根．知识点解析：暂无解析22、标准答案：由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．又因为fn(xn)一1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以xn+xn2+…+xnnxn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1，即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1(n=2，3，…)，即{xn}严格单调递减．于是由单调有界准则知存在，记由xn+xn2+…+xnn=1得因为0＜xn＜1，所以于是解得即知识点解析：暂无解析设fn(x)=1一(1一cosx)n，求证：23、对于任意正整数n，中仅有一根；标准答案：因为fn(x)连续，又fn(0)=1，所以由介值定理知存在使得又因为f’n(x)=一n(1一cosx)n-1sinx＜0，所以fn(x)在内严格单调递减．因此，满足方程的根ξ是唯一的，即在中仅有一根．知识点解析：暂无解析24、设有满足则标准答案：因为所以由保号性知，存在N＞0，当n＞N时，有由fn(x)的单调递减性质知由夹逼准则知知识点解析：暂无解析25、在数中求出最大值．标准答案：先考查连续函数令得x=e，且有当x＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(e)为f(x)的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在中取到，又因为所以即最大值为知识点解析：暂无解析26、证明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．标准答案：令f(x)=lnx-xα(α＞0)，则f(x)在(0，+∞)上4连续，f(1)=-1＜0，故对任意M＞0，存在X＞1，当x＞X时，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，则f(1)f(x0)＜0，根据零点定理知，存在ξ∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一实根．又lnx在(0，+∞)上单调递增，因α＜0，一xα也单调递增，从而f(x)在(0，+∞)上单调递增，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一个实根．知识点解析：暂无解析27、设0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．标准答案：令则而所以f(x)在处取极小值，因f(0)=0，则又由f(x)的连续性，知在中有一个零点x0，另外f(0)=0，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故这样的零点是唯一的．知识点解析：暂无解析28、f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．标准答案：令F(x)=f(x)一x0，则F(x)在(一∞，+∞)上连续，且由知存在a＜x0，使得F(a)＞0；存在b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零点定理知存在x1∈(a，x0)，使得F(x1)=0；存在x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]，即f[f(x)]至少在两点处取得最小值．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、方程3x=2x2+1的实根个数是()A、3B、4C、5D、6标准答案：A知识点解析：由观察法知x=0，1和2均满足方程，因此实根个数不小于3．又设f(x)=3x一2x2一1．则f(x)=3x(ln3)3＞0．因此f’"(x)=0无实根，故由罗尔定理可知f(x)=0至多有3个实根，故选(A)．2、设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：用洛必达法则，所以k=3，选(C)．其中②洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．3、设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g’(0)=0，设则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导函数不连续D、可导且导函数连续标准答案：D知识点解析：因所以f(x)在x=0处连续．又根据导数定义当x≠0时，则所以f(x)的导函数在x=0处连续．4、曲线的渐近线有()A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：曲线y=f(x)有水平渐近线曲线y=f(x)有铅直渐近线x=0．曲线y=f(x)无斜渐近线．5、设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=()A、(一1)n-1(n—1)!B、(一1)n(n一1)!C、(一1)n-1n!D、(一1)nn!标准答案：A知识点解析：方法一用导数定义．方法二用乘积的求导法则．含因子ex一1的项在x=0处为0，故只留下了一项．于是6、设函数y=f(x)连续，除x=a外f"(x)均存在，一阶导函数y’=f’(x)的图形如图1．2—2所示，则y=f(x)()A、有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B、有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C、有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D、有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点标准答案：D知识点解析：如图1．2—3所示，添x1，x2，x3，x4，在x=x1处y’=0，左侧y’＜0，右侧y’＞0．故x=x1为极小值点．在x=x2处(y’)’=0，左侧(y’)’＞0，右侧(y’)’＜0，所以点(x2，f(x2))是曲线y=f(x)的拐点．类似地可知x=x3是极大值点，x=x4又是拐点，又是极小值点．故其有2个极小值点，1个极大值点，2个拐点，选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设f(x)在x=0处连续，且则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为___________．标准答案：知识点解析：方法一由极限与无穷小的关系，有其中于是因所以由于f(x)在x=0处连续，所以所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y一f(0)=f’(0)(x一0)，即方法二将sinx按皮亚诺余项泰勒公式展至n=3，有代入原极限式，有可见即有于是以下与方法一相同．8、设y=y(x)由方程确定，则曲线y=y(x)上x=0对应的点处的曲率半径R=__________．标准答案：知识点解析：由知，当x=0时，推知y(0)=0．将所给方程两边对x求导得2x=e-(y-x)2(y’一1)，以x=0，y(0)=0代入，得y’(0)=1．两边再次对x求导得2=e-(y-x)2[y"一2(y—x)(y’一1)2]．以x=0，y(0)=0，y’(0)=1代入，得y"(0)=2．所以所求曲率曲率半径9、设函数y=y(x)由方程x2一xy+y2=1所确定，则标准答案：知识点解析：由x2一xy+y2=1，有2x—xy’一y+2yy’=0，则10、设y=y(x)是由所确定的函数，则标准答案：知识点解析：将t=0代入，得x=3，y=1，得三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、求函数f(x)=nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及标准答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一n)n-1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n-2．令f’(x)=0，得驻点且有则为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值且有知识点解析：暂无解析12、在区间[0，a]上|f"(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．标准答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f’(c)=0．f’(x)在区间[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，得f’(c)一f’(0)=cf"(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)一f’(c)=(a一c)f"(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以|f’(0)|+|f’(a)|=c|f"(ξ)|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a一c)M=aM．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．标准答案：把所证等式中的ξ改为x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，两边同时除以x2，得即令F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由罗尔定理知，存在ξ∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知识点解析：暂无解析14、f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：因为两式相比，得即知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使标准答案：利用泰勒公式将f(x)在x=a处展开，得同理令②一①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1)|，|f"(ξ2)|}，则故原命题得证．知识点解析：暂无解析16、设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在闭区间[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限标准答案：因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint有知识点解析：暂无解析17、若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．标准答案：令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．同理可证u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψ(n-2)(x)＞0．归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．知识点解析：暂无解析18、设k是常数，讨论f(x)=(1—2x)xx+x+k的零点的个数．标准答案：依题意有，f’(x)=一(1+2x)ex+1．易见f’(0)=0．当x＜0时，f’(x)=(1一ex)一2xex＞0，f(x)严格单增；当x＞0时，f’(x)=-2xex一(ex一1)＜0，f(x)严格单减．所以f(0)为f(x)的最大值，又因，所以当1+k＞0即k＞一1时，f(x)有且仅有两个(实)零点；当k=一1时，f(x)有且仅有一个(实)零点；当k＜一1时，f(x)无(实)零点．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．试证明：19、拉格朗日微分中值定理：至少存在一点ξ∈(a，b)使标准答案：作函数易见，φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，φ(a)=0，φ(b)=0，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即证毕．知识点解析：暂无解析20、若再添设f(x)不是一次式也不为常函数的条件，则至少存在一点ξ∈(a，b)使标准答案：作φ(x)如上，并且不妨设f(b)一f(a)≥0．易知φ(a)=φ(b)=0，因f(x)不是一次式也不为常函数，故至少存在一点x1∈(a，b)使或至少存在一点x2∈(a，b)使若为前者，在区间[a，x1]上对φ(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使即从而知存在ξ1∈(a，b)使若为后者，在区间[x2，b]上对φ(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ2∈(x2，b)(a，6)，使不论哪种情形皆有若f(b)一f(a)＜0，证明类似．知识点解析：暂无解析21、设k是常数，讨论函数f(x)=(2x一3)ln(2一x)一x+k在它的定义域内的零点个数．标准答案：f(x)的定义域为一∞＜x＜2，且可见f’(1)=0，且当一∞＜x＜1时，f’(x)＞0；当1＜x＜2时，f’(x)＜0．所以f(1)=k一1为最大值．故当k＜1时，f(x)无零点；当k=1时，f(x)有唯一零点=1；当k＞1时，f(1)＞0，且但从而知在区间(一∞，1)与(1，2)内f(x)分别恰有唯一零点．知识点解析：暂无解析22、设一∞＜x＜+∞，y＞0．证明xy≤ex-1+ylny，并指出何时等号成立．标准答案：由于y＞0，令f(x)=xy—ex-1-ylny，一∞＜x＜+∞，有f(x)=y一ex-1．令f’(x)=0，得唯一驻点x0=1+lny．又f"(x)=一ex-1＜0，所以f(x0)=y(1+lny)-y--ylny=0为f(x)的最大值，所以xy—ex-1一ylny≤0，当且仅当x=1+lny时等号成立．证毕．知识点解析：暂无解析23、已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．标准答案：设该旋转体的半径为x，高为y，则x+y=p．该圆柱体体积V=πyx2．方法一化成一元函数极值问题．V=πyx2=π(p一x)x2=πpx2一πx3，0＜x＜p．V’=2πpx一3πx2，V"=2πp一6πx．令V’=0，得所以当半径时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当时V最大．方法二用拉格朗日乘数法，令F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y一p)，由有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y一p=0．容易解得唯一解由于存在最大值，故当半径为高为时，该旋转体体积最大．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．标准答案：由f(0)=f(1)知，存在η∈(0，1)使f’(η)=0．令F(x)=x2f’(x)，有F(0)=0，F(η)=η2f’(η)=0，故知存在ξ∈(0，η)(0，1)使F’(ξ)=0．而F’(x)=2xf’(x)+x2f"(x)，于是有2ξf’(ξ)+ξ2f"(ξ)=0．又ξ≠0，所以2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．证毕．知识点解析：暂无解析设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，且当x(1+x)≠0时，25、求f(0)与f(一1)的值；标准答案：由题设f(x)在(一∞，+∞)上连续，所以知识点解析：暂无解析26、讨论f(x)的单调区间、极值．标准答案：考虑f(x)的单调性．当x≠一1且x≠0时，有令g(x)=(1+x)ln2|1+x|—x2，有g(0)=0，并且可得g’(x)=2ln|1+x|+ln2|1+x|一2x，有g’(0)=0，由泰勒公式，有又g(0)=0．所以当x＞一1且x≠0时f’(x)＜0．又因f(x)在x=0处连续，所以f(x)在区间(一1，+∞)内严格单调减少．此外，由f’(x)的表达式直接可知，当x＜一1时，分子小于0，分母亦小于0，所以f’(x)＞0．从而知f(x)在区间(一∞，一1)内严格单调增加．所以f(一1)=1是f(x)的极大值，也是唯一的极值．知识点解析：暂无解析27、设x＜1且x≠0，证明：标准答案：因又当0＜x＜1时，xln(1一x)＜0；当x＜0时，仍有xln(1-x)＜0．于是证等价于证明，当x＜1且x≠0时，ln(1一x)+x—xln(1一x)＞0．令f(x)=ln(1-x)+x—xln(1-x)，有f(0)=0，且因f’(0)=0，f"(0)=1＞0，所以f(0)=0是f(x)的唯一极小值，是最小值，所以当x＜1时，f(x)≥0，当且仅当x=0时，f(x)=0．证毕．知识点解析：暂无解析28、设f(x)在=0处连续且求f(0)并讨论f(x)在x=0处是否可导?若可导，请求出f’(0)．标准答案：因题设所以其中从而f(x)=ln(ax+cosx--sinx)．因为f(x)在=0处连续，所以所以f’(0)=一1．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设函数，则f(x)在(一∞，+∞)内()A、处处可导。B、恰有一个不可导点。C、恰有两个不可导点。D、至少有三个不可导点。标准答案：C知识点解析：本题可以先求出f(x)的表达式，再讨论其不可导点。｜x｜＜1时，f(x)==1；｜x｜=1时，f(x)==1；｜x｜＞1时，f(x)==｜x｜3。即f(x)的表达式为可见f(x)仅在x=±1两点处不可导。故选C。2、设函数则f(x)在x=0处()A、极限不存在。B、极限存在但不连续。C、连续但不可导。D、可导。标准答案：C知识点解析：显然f(0)=0，对于极限由于当x→0时，是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导。故选C。3、设f(x)在[a，b]可导，则()A、f’+(a)=0。B、f’+(a)≥0。C、f’+(a)<0。D、f’+(a)≤0。标准答案：D知识点解析：由f(x)在[a，b]上可导可知，f’+(a)=。显然，x一a＞0，又f(a)=，故f(x)一f(a)≤0，从而有再由极限的局部保号性可知，即f’+(a)≤0。故选D。4、设则()A、f(x)在x=x0处必可导，且f’(x0)=a。B、f(x)在x=x0处连续，但未必可导。C、f(x)在x=x0处有极限，但未必连续。D、以上结论都不对。标准答案：D知识点解析：本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f’—(x0)和f’+(x0)与f’(x)在x=x0处的左、右极限和区分开。只能得出，但不能保证f(x)在x0处可导，以及在x0处连续和极限存在。例如显然，x≠0时，f’(x)=1，因此但是，因此不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。故选D。5、设g(x)可微，h(x)=esin2x+g(x)，则=()A、一ln2—1。B、ln2—1。C、一ln2—2。D、ln2—2。标准答案：A知识点解析：h’(x)=esin2x+g(x)·[2cos2x+g’(x)]，则即，故。故选A。6、已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是()A、n![f(x)]n+1。B、n[f(x)]n+1。C、[f(x)]n。D、n![f(x)]2n。标准答案：A知识点解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]3。假设f(k)(x)=k![f(x)]k+1，则f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由数学归纳法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1对一切正整数成立。故选A。7、设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A、2。B、一1。C、D、一2。标准答案：D知识点解析：将题中等式两端同乘2，得所以由导数定义可知，f’(1)=一2。故选D。8、设f(x)在(0，+∞)二阶可导，且满足f(0)=0，f’’(x)＜0(x＞0)，又设b＞a＞0，则a＜x＜b时恒有()A、af(x)＞xf(a)。B、bf(x)＞xf(b)。C、xf(x)＞bf(b)。D、xf(x)＞af(a)。标准答案：B知识点解析：将选项A、B分别改写成于是，若能证明或xf(x)的单调性即可。令g(x)=xf’(x)—f(x)，则g(0)=0，g’(x)=xf’(x)＜0(x＞0)，因此g(x)＜0(x＞0)，所以有故在(0，+∞)内单调减小。因此当a＜x＜b时，。故选B。9、设f(x)=｜x(1一x)｜，则()A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。C、x=0是f(x)的极值点，(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。D、x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：C知识点解析：一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论x=0两边f’(x)，f’’(x)的符号。可以选择区间(一1，1)来讨论。可见f’(x)在x=0两边异号，因此(0，0)是极值点；f’’(x)在x=0两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选C。10、已知函数y=f(x)对一切的x满足xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1一e—x，若f’(x0)=0(x0≠0)，则()A、f(x0)是f(x)的极大值。B、f(x0)是f(x)的极小值。C、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：B知识点解析：由f’(x0)=0知，x=x0是y=f(x)的驻点。将x=x0代入方程，得x0f(x0)+3x0[f’(x0)]2=1一ex0，即得f’’(x0)=＞0(分x0＞0与x0＜0讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在x0处取得极小值。故选B。11、设f(x)在[a，6]上可导，f’(a)f’(b)＜0，则至少存在一点x0∈(a，b)使()A、f(x0)＞f(a)。B、f(x0)＞f(b)。C、f’(x0)=0。D、f(x0)=[f(a)+f(b)]。标准答案：C知识点解析：根据题意，不妨设f’(a)＜0，f’(b)＞0。由可知，存在x=a的右邻域x1∈时，f(x1)＜f(a)=>f(a)不是f(x)在[a，b]上最小值。同理可证f(b)也不是f(x)在[a，b]上最小值。所以f(x)在[a，b]上的最小值点x=x0∈(a，b)，由极值的必要条件知f’(x0)=0。故选C。二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)12、设函数则f’(x)=______。标准答案：知识点解析：当x≠0时，有当x=0时，有因此13、设函数y’=f[f(x)]，则=______。标准答案：4知识点解析：由已知而x＜1时，f’(x)=2，所以f’(一1)=