考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷2（共225题）

考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷2（共9套）（共225题）考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第1套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设当x→0时，α是β的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：D知识点解析：故α是β的同阶但非等价的无穷小，应选(D)．2、设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是()A、若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．C、若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．标准答案：B知识点解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界．故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛．3、设f(x)为可导函数，且f’(x)严格单调增加，则在(a，b]内()A、有极大值。B、有极小值。C、单调递减。D、单调递增。标准答案：D知识点解析：由导数运算法则及拉格朗日中值定理得，其中a＜ξ＜x≤b。因f’(x)严格单调增加，所以f’(x)一f’(ξ)＞0，从而F’(x)＞0，即F(x)在(a，b]内单调递增。故选D。4、设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。标准答案：C知识点解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r(A)=4一1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)：A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。将(1，0，2，0)T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。所以选C。事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D也不正确。5、设f(x)连续可导，g(x)连续，且=0，又f’(x)=-2x2+∫01g(x-t)dt，则()．A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0既不是f(x)极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由∫0xg(x-t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=-2x2+∫0xg(t)dt，f’’(x)=-4x+g(x)，因为=-4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，即当x∈(-δ，0)时，f’’(x)＞0；当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)．6、设当χ→0时，(χ－sinχ)ln(1＋χ)是比－1高阶的无穷小，而－1是比(1－cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：当χ→0时，－1～χn，因为sinχ＝χ－＋o(χ3)，所以(χ－sinχ)ln(1＋χ)～，所以当χ→0时，，于是n＝3，选C．7、若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于()A、exln2．B、e2xln2．C、ex+ln2．D、e2x+In2．标准答案：B知识点解析：在等式，两端对x求导得f’(x)=2f(x)，则即f(x)=Ce2x．由题设知f(0)=ln2，则C=ln2,f(x)=e2xln2．选B．8、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()A、为正常数．B、为负常数．C、恒为零．D、不为常数．标准答案：A知识点解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而故选A．9、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。10、设α0是A的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是A、(A+E)2．B、－2A．C、AT．D、A*．标准答案：C知识点解析：由｜λE－AT｜=｜(λE－A)T｜=｜λE－A｜，知A与AT有相同的特征值，但方程组(λE－A)x=0与(λE－AT)x=0不一定同解，故A与AT特征向量不一定相同．故应选C．11、设向量组(I)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则()．A、若α1，α2，…，αr线性无关，则r≤sB、若α1，α2，…，αr线性相关，则r≤sC、若β1，β2，…，βs线性无关，则r≤sD、若β1，β2,…，βs线性相关，则r≤s标准答案：A知识点解析：因为(I)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr线性无关，即(I)的秩=r，则r≤(Ⅱ)的秩≤s，应选(A)．12、设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵．若AB=E，则()．A、B的行向量组线性无关B、B的列向量组线性无关C、A-1=BD、|AB|=|A||B|标准答案：B知识点解析：由AB=E得r(AB)=n，从而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量组线性无关，应选(B)．13、二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：按可微性定义f(x，y)在(0，0)可微题中的C项即A=B=0的情形．故选C．14、设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则=f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知f(x，y)dσ=πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，15、设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A、-f’(0)．B、f’(0)．C、2f’(0)．D、3f’(0)．标准答案：D知识点解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，从而f’(0)=16、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。所以应选C。17、设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)。记向量组(I)α1，α2，…，αn，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βn，向量组(Ⅲ)γ1，γ2，…，γn。已知向量组(Ⅲ)线性相关，则有()A、向量组(I)(Ⅱ)均线性相关。B、向量组(I)(Ⅱ)中至少有一个线性相关。C、向量组(I)一定线性相关。D、向量组(Ⅱ)一定线性相关。标准答案：B知识点解析：向量组(Ⅲ)线性相关，即r(AB)18、设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：方程组有齐次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故选(C)．19、设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则()．A、α1，α2，…，αm-1，β1线性相关B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关C、α1，α2，…，αm，β1＋β2线性相关D、α1，α2，…，αm，β1＋β2线性无关标准答案：D知识点解析：选项A不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，α3线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关；选项B不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关；选项C不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1＋β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1＋β2线性无关，选D．20、下列矩阵中与合同的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2一x22+x32=y12+y22一y32，故选B.21、设f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．22、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且f(x0)=D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；在，选(C)23、设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ中，令χ＝0，则y〞(0)＝2，于是，故选A．24、设常数λ＞0，且A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、收敛性与A有关．标准答案：C知识点解析：因为绝对收敛，由绝对收敛与收敛的关系，即绝对收敛的级数必收敛知应选(C)．25、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第2套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设函数则f(x)在x=0处()A、极限不存在。B、极限存在但不连续。C、连续但不可导。D、可导。标准答案：C知识点解析：显然f(0)=0，对于极限由于当x→0时，是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导。故选C。2、曲线()A、没有渐近线．B、仅有水平渐近线．C、仅有垂直渐近线．D、既有水平渐近线也有垂直渐近线．标准答案：D知识点解析：显然x=0是函数的间断点．因为，故x=0是该函数的无穷型间断点，即x=0是该曲线的垂直渐近线．又因故原曲线有水平渐近线y=1，因此选D．3、设当x→0时，(1一cosx)In(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是tt(ex2一1)高阶的无穷小，则正整数n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：B知识点解析：因当x→0时，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxu高阶的无穷小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高阶的无穷小，知n+1＞2，即n＞1．因此正整数n=2，故选B．4、x=－2是=0的A、充分必要条件．B、充分而非必要条件．C、必要而非充分条件．D、既不充分也非必要条件．标准答案：B知识点解析：对于范德蒙行列式因为x=－2时，行列式的值为0．但D=0时，x可以为1．所以x=－2是D=0的充分而非必要条件．故应选B．5、设随机变量X的概率密度为f(x)，且有f(一x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有()A、F(-a)=1一∫0af(x)dx．B、F(-a)=一∫0af(x)dx．C、F(-a)=F(a)．D、F(-a)=2F(a)-1．标准答案：B知识点解析：由分布函数的定义，将其用概率密度表示，再通过积分换元可得结果．因为f(-x)=f(x)，∫-∞0f(x)dx=∫0+∞f(x)dx=．而F(一a)=∫-∞-af(x)dx=∫-∞0f(x)dx+∫0-af(x)dx，令x=一t，则∫0-af(x)dx=一∫0af(一t)dt=一∫0af(t)dt=一∫0af(x)dx，所以F(一a)=一∫0af(x)dx，故应选B．6、设f(0)=0．则f(x)在点x=0可导的充要条件为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．标准答案：A知识点解析：本题考查矩阵的秩及其矩阵行、列向量组的线性相关性．注意向量组α1,α2……αr线性相关的充分必要条件是方程组x1α1+x2α2+…+xrαr=0有非零解，若令矩阵A=(α1,α2……αr)，则矩阵A的列向量组线性相关的充分必要条件Ax=0有非零解．本题的4个选项的差别在于行与列，所以应从已知条件出发进行分析，若举反例，则更容易找出正确选项．设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，当AB=O时，有r(A)+r(B)≤n，又A，B为非零矩阵，则必有r(A)＞0，r(B)＞0，可见r(A)＜n，r(B)＜n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．故选A．注：本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项．由于AB=O，则矩阵B的每一列向量均为方程组Ax=0的解，而B≠O，于是方程组Ax=0有非零解，所以矩阵A的列向量组线性相关．又BTAT=O，而AT≠O，于是方程组BTx=0有非零解，所以BT的列向量组，也即B的行向量组线性相关，选项A正确．本题还可以用取特殊值法：如若取A=(1，0)，，易知AB=O，且有A的行向量组线性无关，B的列向量组也线性无关．即选项B、C、D均不正确．8、设，则当x→0时，f(x)是g(x)的A、低阶无穷小．B、高阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但不等价的无穷小．标准答案：B知识点解析：暂无解析9、设f(x)=arctanx一(x≥1)，则()A、f(x)在[1，+∞)单调增加。B、f(x)在[1，+∞)单调减少。C、f(x)在[1，+∞)为常数。D、f(x)在[1，+∞)为常数0。标准答案：C知识点解析：按选项要求，先求f’(x)。又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。故选C。10、设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则()A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价。B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价。D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价。标准答案：B知识点解析：把矩阵A，C列分块：A=(α1，α2，…，αn)，B=(bij)n×n，C=(γ1，γ2，…，γn)。由于AB=C，即于是得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。同时由于B可逆，即A=CB—1。同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价，故选B。11、设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由已知条件可得由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+ρ(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。综上所述12、当χ→0时，χ－sinχ是χ2的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：因为＝0，所以χ－sinχ为χ2的高阶无穷小，应选B．13、已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则()A、A是正定矩阵。B、A是可逆矩阵。C、A是不可逆矩阵。D、以上结论都不对。标准答案：B知识点解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定，所以对任意x≠0，f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。所以选B。14、已知f’x(x0，y0)存在，则=()A、f’x(x0，y0)。B、0。C、2f’x(x0，y0)。D、f’x(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：由题意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故选C。15、设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫a+kla+(k+1)lf(x)dx之值()A、仅与a有关B、仅与a无关C、与a及k都无关D、与a及k都有关标准答案：C知识点解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此积分与a及k都无关．16、曲线y=f(x)=的拐点有A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：B知识点解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f"(x)=0，解得x1=0，x2=2；f"(x)不存在的点是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，f(x)在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．17、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B。18、设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到矩阵B，再将B的第一列的一1倍加到第二列得到矩阵C。记P=，则()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案：B知识点解析：令，则Q=P—1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则B=PA；Q是将单位矩阵第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩阵，则C=BQ；所以C=PAQ=PAP—1。故选B。19、设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)*=E，则(E+BA－1)－1=()A、(A+B)B。B、E＋AB－1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。标准答案：C知识点解析：因为(E+BA－1)－1=(AA－1+BA－1)－1=[(A+B)A－1]－1=(A－1)－1(A+B)－1=A(A+B)，所以应选C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)－1=(A+B)。20、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。标准答案：D知识点解析：因A为正交矩阵，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不为正交矩阵。所以选D。事实上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT为正交矩阵。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2为正交矩阵。由A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*为正交矩阵。21、设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性无关，且αi(i=1，2，…，s)不能由(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性表出，βi(i=1，2，…，t)不能由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则向量组α1，α2，…αs，β1，β2，…，βs()A、必线性相关B、必线性无关C、可能线性相关，也可能线性无关D、以上都不对标准答案：C知识点解析：只要对两种情况举出例子即可．(1)取线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关；(2)取线性无关，且显然不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关．由(1)，(2)知，应选(C)．22、设a＝，β＝，则当χ→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选C．23、设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是()．A、矩阵A与单位矩阵E合同B、矩阵A的特征值都是实数C、存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D、存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵标准答案：A知识点解析：根据实对称矩阵的性质，显然B、C、D都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选A．24、设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A、存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝BB、存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝BC、A，B与同一个对角矩阵相似D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B标准答案：D知识点解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选D．25、A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、等价无穷小标准答案：C知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第3套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、4阶行列式的值等于()A、a1a2a3a4一b1b2b3b4．B、a1a2a3a4+b1b2b3b4．C、(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)．D、(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．标准答案：D知识点解析：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第2、3行(列)展开，得所以应选D．2、设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因此，n=4．3、设则()A、f(x)在点x=1处连续，在点x=一1处间断B、f(x)在点x=1处间断，在点x=一1处连续C、f(x)在点x=1，x=一1处均连续D、f(x)在点x=1，x=一1处均间断标准答案：B知识点解析：由函数连续定义可知所以f(x)在x=1处间断。为有界量，，则所以f(x)在x=一1处连续。故选B。4、设f(χ)一阶连续可导，且f(0)＝0，f′(0)＝1，则＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3标准答案：B知识点解析：故选B．5、设A是三阶方阵，将A的第1列和第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据初等矩阵的性质，B=，所以故选D。6、已知四维向量组α1,α2,α3,α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2一α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)=()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：C知识点解析：将表示关系合并成矩阵形式有因4个四维向量α1,α2,α3,α4线性无关，故｜α1,α2,α3,α4｜≠0．A=(α1,α2,α3,α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5)故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此应选C．7、设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，A*x=0的基础解系为()A、α1,α3．B、α1,α2．C、α1,α2,α3．D、α2,α3,α4．标准答案：D知识点解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念．要求考生掌握：(1)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．(2)矩阵与其伴随矩阵的秩的关系．(3)线性相关的向量组增加向量的个数所得向量组仍然线性相关．由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，所以r(A)=3，从而r(A*)=1，于是A*x=0的基础解系解向量的个数为3，所以A、B不能选．又所以α1与α3线性相关，于是α1,α2,α3，线性相关．又r(A)=3，所以｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=0，所以α1,α2,α3,α4都是A*x=0的解，而α2,α3,α4又线性无关，因此是方程组A*x=0的基础解系，故选D．8、已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，其中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1,α2线性无关，有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．9、若由曲线，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：曲线y=在点处的切线方程为由于切线位于曲线的上方，所以由曲线，切线及x=1，x=3围成的面积为当t∈(0，2)时，S’(t)＜0；当t∈(2，3)时，S’(t)＞0，则当t=2时，S(t)取最小值，此时切线方程为，选(A)．10、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()A、二次型xTAx的负惯性指数为零B、存在可逆矩阵P使P—1AP=E。C、存在n阶矩阵C使A=CTCD、A的伴随矩阵A*与E合同。标准答案：D知识点解析：A选项是必要不充分条件。这是因为R(f)=p+q≤n。当q=0时，有R(f)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1，x2，x3)=x12+x32。B选项是充分不必要条件。这是因为P—1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值都是1属于不必要条件。C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如显然矩阵不正定。关于选项D，由于A正定A*与E合同，所以D选项是充分必要条件，故选D。11、(a＞0)，则积分域为()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcos0，即x2+y2=ax(a>0)。故选C。12、设A为三阶矩阵，，则｜4A一(3A*)—1｜=()A、。B、3。C、6。D、9。标准答案：D知识点解析：｜4A一(3A*)—1｜=｜4A一(3｜A｜A—1)—1｜=｜4A—A｜=｜3A｜=9。故选D。13、下列函数在(0，0)处不连续的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：直接证(C)中f(x，y)在(0，0)不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于(0，0)时因此f(x，y)在(0，0)不连续．故选(C)．14、极限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0标准答案：B知识点解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．15、设平面区域D由曲线y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、7cD、一7c标准答案：D知识点解析：如图1．5—1所示，用曲线y=一sinx(一≤x≤0)将区域D划分为D1和D2两部分，则D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，所围成矩形的面积相等，故SD=π，故应选(D)．16、曲线上t＝1对应的点处的曲率半径为()．A、B、C、10D、5标准答案：C知识点解析：故应选C．17、n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是()A、存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0。B、α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关。C、α1，α2，…，αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示。D、α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。标准答案：D知识点解析：向量组α1，α1，…，αs线性相关的充要条件是α1，α1，…，αs中至少存在一个向量能用其余向量线性表示，所以α1，α1，…，αs线性无关的充要条件是α1，α1，…，αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。故选D。18、已知实二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则()A、A是正定矩阵。B、A是可逆矩阵。C、A是不可逆矩阵。D、以上结论都不对。标准答案：B知识点解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。所以选B。19、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．A、A无负特征值B、A是满秩矩阵C、A的每个特征值都是单值D、A*是正定矩阵标准答案：D知识点解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．20、已知n维向量的向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量组α’1，α’2，…，α’s可能线性相关的是()A、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量加到第2个分量得到的向量B、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C、α’(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改为0的向量D、α’i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第n个分量后再增添一个分量的向量标准答案：C知识点解析：将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关．(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性．21、设A是n阶非零矩阵，Am＝0，下列命题中不一定正确的是A、A的特征值只有零．B、A必不能对角化．C、E＋A＋A2＋…＋Am-1必可逆．D、A只有一个线性无关的特征向量．标准答案：D知识点解析：设Aα＝λα，α≠0，则Amα＝λmα＝0．故λ＝0．选项A正确．因为A≠0，r(A)≥1，那么Aχ＝0的基础解系有n－r(A)个解，即λ＝0有n－r(A)个线性无关的特征向量．故选项B正确，而选项D不一定正确．由(B－A)(E＋A＋A2＋…＋Am-1)＝E－Am＝E，知选项C正确．故应选D．22、设a=，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)．23、设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．A、β4不能由β1，β2，β3线性表示B、β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C、β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D、β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定标准答案：C知识点解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一线性表示，选(C)．24、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m>n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B、当m>n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C、当n>m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D、当n>m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解标准答案：A知识点解析：AB为m阶方阵，当m>n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)25、设φ(x)为区间[0，1]上的正值连续函数，a，b为任意常数，区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，则A、a．B、b．C、a+b．D、标准答案：D知识点解析：由于积分区域D关于y=x对称，则故应选(D)．考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第4套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设A，B，C是同一个试验的随机事件，则事件(A∪B)(A∪∪B)可以化简为()A、A∪B．B、A—B．C、AB．D、．标准答案：C知识点解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.摩根律和吸收律．把握这些特征，有利于化简复杂事件．2、设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因此，n=4．3、设4阶行列式的第2列元素依次为2，m，k，3，第2列元素的余子式依次为1，—1，1，—1，第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，则m，k的取值为()A、m=—4，k=—2B、m=4，k=—2C、D、标准答案：A知识点解析：由行列式展开定理及推论，得解得m=—4，k=—2，故选A。4、已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是()A、n![f(x)]n+1。B、n[f(x)]n+1。C、[f(x)]n。D、n![f(x)]2n。标准答案：A知识点解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]3。假设f(k)(x)=k![f(x)]k+1，则f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由数学归纳法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1对一切正整数成立。故选A。5、设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解β1和β2，其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为A、c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B、c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C、c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D、c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)标准答案：B知识点解析：因α1，α1-α2是与基础解系α1，α2等价的线性无关向量组，故α1，α1-α2也是Ax=0的基础解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确．6、设X服从N(μ，σ2)，且P{X＜σ}＞P{x＞σ}，则()A、μ＜σB、μ＞σ．C、μ=σD、μ，σ的大小关系不能确定．标准答案：A知识点解析：7、下列广义积分中发散的是【】A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点ξ，使()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：设F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，1)，使得[xf(x)]’｜x=ξ=0，即ξf’(ξ)+f(ξ)=0，有f’(ξ=一，所以选(A)．选项(B)，(C)，(D)可用反例y=1一x排除．9、设f(χ)＝｜χ3－1｜g(χ)，其中g(χ)连续，则g(1)＝0是f(χ)在χ＝1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)＝0，f′-(1)＝＝0，f′+＝(χ2＋χ＋1)g(χ)＝0，因为f′-(1)＝f′+(1)＝0，所以f(χ)在χ＝1处可导．设f(χ)在χ＝1处可导，因为f′-(1)＝f′+(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(1)＝0为f(χ)在χ＝1处可导，应选C．10、设f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，则()A、F(x)在x=0处不连续。B、F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。C、F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。D、F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足F’(x)=f(x)。标准答案：B知识点解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；③F’(c)必不存在，且F＋’(c)=f(c＋)，F－’(c)=f(c－)。直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项B正确。11、已知fx(x0，y0)存在，则=()A、fx(x0，y0)．B、0．C、2fx(x0，y0)．D、(x0,y0)．标准答案：C知识点解析：故选C．12、设f(χ)可导，则当△χ→0时，△y－dy是△χ的()．A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：A知识点解析：因为f(χ)可导，所以f(χ)可微分，即△y＝dy＋o(△χ)，所以△y－dy是△χ的高阶无穷小，选A．13、设函数f(χ)＝则在点χ＝0处f(χ)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：因为f(χ)＝0，f(χ)＝f(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续；由得f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝0；当χ＞0时，f′(χ)＝3χ2sin－χcos；当χ＜0时，f′(χ)＝2χ，因为＝f′(0)，所以f(χ)在χ＝0处导数连续，选D．14、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，必有｜AB｜≠0B、当m＞n时，必有｜AB｜=0C、当n＞m时，必有｜AB｜≠0D、当n＞m时，必有｜AB｜=0标准答案：B知识点解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．15、方程y′sinχ＝ylny，满足条件y()＝e的特解是A、B、esinχ．C、D、标准答案：D知识点解析：这是变量分离的方程．因此选D．16、设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1,α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()A、α1+α2。B、kα1。C、k(α1+α2)。D、k(α1一α2)。标准答案：D知识点解析：因为A是秩为n一1的忍阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非零向量。又因为α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以α1一α2必为方程组Ax=0的一个非零解，即α1一α2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1一α2)。选D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项A不正确；若α1=0，则选项B不正确；若α1=一α2≠0，则α1+α2=0，此时选项C不正确。17、已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，冥中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即，γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n一r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1,α2线性无关，故r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n一r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系。所以应选B。18、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是19、设A，B，C都是n阶矩阵，满足B＝E＋AB，C＝A＋CA，则B－C为A、E．B、－E．C、A．D、－A．标准答案：A知识点解析：暂无解析20、设A=，则(P一1)2016A(Q2011)一1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：易知P2=E，故P一1=P，进一步有(P一1)2016=P2016=(P2)1008=E．由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将A第2列的2011倍加到第1列，计算可知应选(B)．21、n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．A、如果(Ⅰ)线性无关，则r≤s．B、如果(Ⅰ)线性相关，则r＞s．C、如果(Ⅱ)线性无关，则r≤s．D、如果(Ⅱ)线性相关，则r＞s．标准答案：A知识点解析：(C)和(D)容易排除，因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系的．(A)是定理3．8的推论的逆否命题．根据该推论，当向量组(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示时，如果r＞s，则(Ⅰ)线性相关．因此现在(Ⅰ)线性无关，一定有r≤s．(B)则是这个推论的逆命题，是不成立的．也可用向量组秩的性质(定理3．8)来说明(A)的正确性：由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s又因为(Ⅰ)线性无关，所以r(Ⅰ)=r．于是r≤s．22、假设A是n阶方阵，其秩(A)＝r＜n，那么在A的n个行向量中()．A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量线性无关C、任意r个行向量都构成极大线性无关向量组D、任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示标准答案：A知识点解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)＝r得A一定有r个行向量线性无关，应选A．23、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则()A、存在且等于零。B、存在但不一定为零。C、一定不存在。D、不一定存在。标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故A、B排除。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但可见C不正确。故选D。24、A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、等价无穷小标准答案：C知识点解析：暂无解析25、已知F(x)是f(x)的原函数，则A、F(x)－F(a)B、F(t)－F(a)C、F(x＋a)－F(x－a)D、F(x＋a)－F(2a)标准答案：D知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第5套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①A是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A+B)2=A2+2AB+B2．④AB=cE．⑤(AB)2=A2B2．则其中可推出AB=BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．标准答案：D知识点解析：①和③的成立是明显的．②是不对的，如④AB=cE，在c≠0时可推出AB=BA，但是c=0时则推不出AB=BA．如⑤(AB)2=A2B2推不出AB=BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．2、设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为()A、fX(x)．B、fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C、．D、考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．标准答案：A知识点解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．3、若随机变量X与Y满足Y=1一，且D(X)=2，则cov(X，Y)=()A、1．B、2．C、一1．D、一2．标准答案：C知识点解析：由于cov(X，Y)=cov(X，X)，注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而cov(X，Y)=一DX=一1．4、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A、α1-α2，α2-α3,α3-α1．B、α1+α2，α2+α3,α3+α1．C、α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．D、α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1．标准答案：A知识点解析：暂无解析5、曲线，当x→-∞时，它有斜渐近线()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x—1标准答案：C知识点解析：因此有斜渐近线y=一x一1，应选(C)．6、关于次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A、是正定的。B、其矩阵可逆。C、其秩为1。D、其秩为2。标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵所以r(A)=1，故选项C正确，而选项A，B，D都不正确。7、曲线y=e－xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为()A、－∫03πe－xsinxdx。B、∫03πsinxdx。C、∫0πsinxdx一∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。D、∫02πe－xsinxdx一∫2π3πe－xsinxdx。标准答案：C知识点解析：当0≤x≤π或2π≤x≤3π时y≥0，当π≤x≤2π时y≤0。所以y=e－xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积为∫0πe－xsinxdx－∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。故选C。8、设f(χ)在(χ，b)定义，χ0∈(a，b)，则下列命题中正确的是A、若f(χ)在(a，b)单调增加且可导，则f′(χ)＞0(χ∈(a，b))．B、若(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点，则f〞(χ)＝0．C、若f′(χ0)＝0，f〞(χ0)＝0，f″′(χ0)≠0，则χ0一定不是f(χ)的极值点．D、若f(χ)在χ＝χ0处取极值，则f′(χ0)＝0．标准答案：C知识点解析：选项A、B、D涉及到一些基本事实．若f(χ)在(a，b)可导且单调增加推出f′(χ)≥0(χ∈(a，b))．若(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点，则f〞(χ0)可能不存在．若χ＝χ0是f(χ)的极值点，则f′(χ0)可能不存在．因此选项A、B、D均不正确(如图4．1所示)．故选C．9、设函数f(t)连续，则二重积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故选B。10、设A，B，A＋B，A－1＋B－1均为n阶可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于A、A－1＋B－1．B、A＋B．C、A(A＋B)B－1．D、(A＋B)－1．标准答案：C知识点解析：暂无解析11、设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A*是A的伴随矩阵，则()A、A*x=0的解均是Ax=0的解。B、Ax=0的解均是A*x=0的解。C、Ax=0与A*x=0没有非零公共解。D、Ax=0与A*x=0恰好有一个非零公共解。标准答案：B知识点解析：由题设知n一r(A)≥2，从而有r(A)≤n一2，故A*=O，任意n维向量均是A*x=0的解，故正确选项是B。12、利用变量替换u=x，可将方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法于是又u=x，故13、若曲线y＝χ2＋aχ＋b与曲线2y＝－1＋χy2在(1，－1)处相切，则()．A、a＝3，b＝1B、a＝1，b＝3C、a＝－1，b＝－1D、a＝1，b＝1标准答案：C知识点解析：由y＝χ2＋aχ＋b得y′＝2χ＋a；2y＝－1＋χy3两边对χ求导得2y′＝y3＋3χy2y′，解得y′＝．因为两曲线在(1，－1)处相切，所以解得a＝－1，b＝－1，应选C．14、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为()．A、y’’’-y’’-y’+y=0B、y’’’+y’’-y’-y=0C、y’’’+2y’’-y’-2y=0D、y’’’-2y"-y’+2y=0标准答案：A知识点解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)．15、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项C是秩为1的矩阵，由｜λE一A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(OE一A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE一A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D。16、设A为n阶实对称矩阵，则()A、A的n个特征向量两两正交。B、A的n个特征向量组成单位正交向量组。C、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n-k。D、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E—A)=k。标准答案：C知识点解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E一A)=n一k。选项C正确。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。17、设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B、向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C、向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D、矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价标准答案：D知识点解析：因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为m，所以选(D)．18、A是m×n矩阵，r(A)=r＜min{m，n)，则A中必()A、没有等于零的r一1阶子式，至少有一个r阶子式不为零B、有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零C、有等于零的r一阶子式，没有不等于零的r+1阶子式D、任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式全为零标准答案：B知识点解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r是A中最大的不等于零的子行列式的阶数，故A中有不等于零的(至少一个)r阶子式，而r阶以上子式都等于零，这只需所有r+1阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，请读者自行说明理由．19、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故选B。20、设A是n阶实矩阵，将A的第i列与j列对换，然后再将第i行和第j行对换，得到B，则A，B有()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意，EijAEij=B．其中因Eij是可逆阵，EijAEij=B，故A≌B；Eij可逆，且Eij=Eij-1，则EijAEij=Eij-1AEij=B，故A～B；Eij是对称阵，Eij=EijT，则EijAEij=EijTAEij=B，故AB；故A～B，AB，A≌B．21、设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则()A、当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例B、当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例C、当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例D、当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例标准答案：D知识点解析：当λ1=λ2时，α1与α2可以线性相关也可以线性无关，所以α1，α2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ1≠λ2时，α1，α2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)．22、设则A、A与B既合同又相似．B、A与B合同但不相似．C、A与B不合同但相似．D、A与B既不合同又不相似．标准答案：A知识点解析：A与B都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同．此题中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，从而A与B既合同又相似．23、设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α3，α2，α1，β1+β2｜为()．A、m+nB、m-nC、-(m+n)D、n-m标准答案：D知识点解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜-｜α1，α2，α3，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m，选(D)．24、设x→0时，ax2+bx+c—cosx是x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由题意得得c=1，又因为所以b=0,故选C。25、设常数k＞0，函数在(0，+∞)内零点个数为()A、3B、2C、1D、0标准答案：B知识点解析：因令f’(x)=0，得唯一驻点x=e，且在f(x)的定义域内无f’(x)不存在的点，故f(x)在区间(0，e)与(e，+∞)内都具有单调性。又f(e)=k＞0，而因此f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别有唯一零点，故选B。考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第6套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、曲线r=aebθ的(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。2、设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A、2。B、一1。C、D、一2。标准答案：D知识点解析：将题中等式两端同乘2，得所以由导数定义可知，f’(1)=一2。故选D。3、设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A、若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C、若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则()A、E—A不可逆，E+A不可逆B、E—A不可逆，E+A可逆．C、E—A可逆，E+A可逆．D、E—A可逆，E+A不可逆．标准答案：C知识点解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E．故E—A，E+A均可逆．故应选C．5、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于A、A-1+B-1．B、A+B．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有()A、f(0)=0B、f(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0标准答案：A知识点解析：由于7、设函数f(χ)二阶可导，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)，其中△χ＜0，则()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：D知识点解析：根据微分中值定理，△y＝f(χ＋△χ)－(fχ)＝f′(ξ)△χ＜0(χ＋△χ＜ξ＜χ)，dy＝′(χ)△χ＜0，因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，而ξ＜χ，所以f′(ξ)＜f′(χ)，于是f′(ξ)△χ＞f′(χ)△χ，即dy＜△y＜0，选D．8、设α1,α2,α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：根据线性方程组解的结构性质，易知2α1一(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解，所以应选C．9、下列矩阵中，正定矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：二次型正定的必要条件是：aij＞0。在选项D中，由于a33=0，易知f(0，0，1)=0，与x≠0，xTAx＞0相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项A中，二阶主子式△2==0，在选项B中，三阶主子式△3=｜A｜=一1。因此选项A、B、D均不是正定矩阵。故选C。10、如图1-3—2，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于()A、曲边梯形ABOD面积。B、梯形ABOD面积。C、曲边三角形ACD面积。D、三角形ACD面积。标准答案：C知识点解析：因为∫0axf’(x)dx=∫0axf(x)=xf(x)｜0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以∫0axf’(x)dx为曲边三角形ACD的面积。11、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1,α2,α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P一1AP=()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量．当P一1AP=A时，P由A的特征向量所构成，A由A的特征值所构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵A应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C．由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵A中应当是第2列，所以应选A．12、关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A、是正定的．B、其矩阵可逆．C、其秩为1．D、其秩为2．标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵所以r(A)=1，故选项C正确，而选项A，B，D都不正确．13、设函数f(μ)连续，区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于()A、∫－11dxf(xy)dy。B、2∫02dyf(x，y)dx。C、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。D、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr标准答案：D知识点解析：积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}(如图1—4—3)。在直角坐标系下，故排除A、B两个选项。在极坐标系下f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，因此正确答案为D。14、设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关标准答案：A知识点解析：设A，B分别为m×n及n×s矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)＜n，r(B)＜n，故A的列向量组线性相关，B的行向