考研数学二（线性方程组）模拟试卷1（共241题）

考研数学二（线性方程组）模拟试卷1（共9套）（共241题）考研数学二（线性方程组）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若=r(A)，则线性方程组()A、Ax=α必有无穷多解。B、Ax=α必有唯一解。C、=0仅有零解。D、=0必有非零解。标准答案：D知识点解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组=0有n+1个变量，而由题设条件知，=r(A)≤n＜n+1。所以该方程组必有非零解，故选D。2、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解。C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解。D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解。标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(Ab)，所以选项A、B均不正确。而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(Ab)＜n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。所以应选D。3、设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2—4α3，可以作为导出组Ax=0的解向量有()个。A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[(α1一α3)]=(Aα1一Aα3)=(b一b)=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b一4b=0。这四个向量都是Ax=0的解，故选A。4、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。标准答案：B知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此选项A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，也即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2线性表示。所以应选B。5、设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。标准答案：C知识点解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r(A)=4一1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)：A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。将(1，0，2，0)T代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。所以选C。事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D也不正确。6、设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2，…，ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n—m。标准答案：C知识点解析：r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。7、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+。B、k1α1+k2(α1一α2)+。C、k1α1+k2(β1+β2)+。D、k1α1+k2(β1一β2)+。标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为(b一b)=0，所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。对于选项D，虽然β1一β2是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B。事实上，对于选项B，由于α1，α1一α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1一α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由(Aβ1+Aβ2)=(b+b)=b，可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确。8、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An＋1x=0，现有四个命题：①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。以上命题中正确的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。标准答案：A知识点解析：若Anα=0，则An＋1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。如果An＋1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An＋1α=0时，必有A2α=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。所以应选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、方程组有非零解，则k=________。标准答案：一1知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(k+1)=0，因此得k=一1。10、已知方程组有无穷多解，则a=________。标准答案：3知识点解析：n元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)=＜n，对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。11、，方程Ax=β无解，则a=________。标准答案：1或3知识点解析：已知方程组无解，所以r(A)≠r(A，β)。又因为r(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0a=1或3。12、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是________。标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常数知识点解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n—r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=｜A｜E=0，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T。13、设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为________。标准答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知识点解析：该线性方程组的系数矩阵为A=。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，也即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式=一2≠0，所以r(A)≥2。故r(A)=2。因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、已知齐次线性方程组有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是__________。标准答案：k(13，一3，1，5)T，k为任意常数知识点解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解代入(2)的第三个方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，k2为任意常数。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)设A=，ξ1=。15、求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；标准答案：对增广矩阵(Aξ1)作初等行变换，则得Ax=0的基础解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T。故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T，其中k为任意常数。A2=作初等行变换，有得A2x=0的基础解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T和A2x=ξ1的特解(，0，0)T。故ξ3=(，0，0)T+t1(一1，1，0)T+t2(0，0，1)T，其中t1，t2为任意常数。知识点解析：暂无解析16、对(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。标准答案：因为｜ξ1，ξ2，ξ3｜=≠0，所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。知识点解析：暂无解析17、设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有当a=0时，r(A)=1＜n，方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为η1=(一1，1，0，…，0)T，η2=(一1，0，1，…，0)T，…，ηn－1=(一1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn－1ηn－1，其中k1，…，kn－1为任意常数。当a≠0时，对矩阵曰作初等行变换，有当a=时，r(A)=n一1＜n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析设n元线性方程组Ax=b，其中18、当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；标准答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。当a≠0时，Dn≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为=Dn－1=nan－1，所以由克拉默法则得x1=。知识点解析：暂无解析19、当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。标准答案：当a=0时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析20、设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：令C=，则由AC—CA=B得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=一1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为x=，即C=(其中c1，c2为任意常数)。知识点解析：暂无解析21、设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b(k1+…+ks)=b，由此可见x也是方程组的解。知识点解析：暂无解析22、已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。标准答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤l，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2为任意常数。若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T，k1为任意常数。②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为x=k1(，1，0)T+k2(，0，1)T，k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析23、设方程组与方程(2)x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(a一1)(a—2)=0。当a=1时，，此时方程组(3)的通解为k(一1，0，1)T(k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时，，此时方程组(3)有唯一解(0，1，一1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。24、求方程组(1)的一个基础解系；标准答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则n—r(A)=4—2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系。知识点解析：暂无解析25、当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。标准答案：设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2—l1α1一l2α2=0，得齐次方程组对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当a≠一1时，方程组(3)的系数矩阵变为。可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。当a=一1时，方程组(3)系数矩阵变为，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以当a=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是，则自由变量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．标准答案：A知识点解析：自由未知量选择的原则是：其他未知量可用它们唯一确定．如果选择x4，x5，对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选(A)．2、设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是A、如m＜n，则Ax=b有无穷多解．B、如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．标准答案：B知识点解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．3、已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3-η4．C、η1，η2，η3，η4的一个等价向量组．D、η1，η2，η3，η4的一个等秩的向量组．标准答案：B知识点解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确．η1，η2，η3，η4，η1+η2与η1，η2，η3，η4等价．但前者线性相关，故(C)不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确．选(B)．4、设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，-2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．标准答案：C知识点解析：由Aη1=0，知α1+α2-2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因为n-r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4线性相关．故应排除(B)．把②代入①得α1-2α3=0，即α1，α3线性相关，排除(A)．如果α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)=r(-2α3，α2，α3，-α2)=r(α2，α3)=1与r(A)=2相矛盾．所以选(C)．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)5、已知齐次方程组同解，a______，b_______，它们的通解________．标准答案：1；2；c1(1，-1，1，0)T+c2(-1，0，0，1)T，c1，c2任意知识点解析：暂无解析6、构造非齐次方程组______，使得其通解为(1，0，0，1)T+c1(1，1，0，-1)T+c2(0，2，1，1)T，c1，c2任意．标准答案：知识点解析：暂无解析7、已知方程组有无穷多解，则a=______.标准答案：-5知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有当a=-5时，r(A)=＜3，方程组有无穷多解．8、已知方程组总有解，则λ应满足_______．标准答案：λ≠1且λ≠知识点解析：对任意b，b，b，方程组有解r(A)=3｜A｜≠0．而由=(5λ+4)(λ-1)≠0，可知λ≠1且λ≠.9、四元方程组的一个基础解系是_______．标准答案：(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)T知识点解析：n-r(A)=4-2=2．取x4，x5为自由变量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=-1，所以基础解系是(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)T．10、四元方程组Ax=b的三个解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是______．标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知识点解析：由(α2+α3)-2α1=(α2-α1)+(α3-α1)=(2，3，4，5)T-2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(a)=3，n-r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．11、设A为三阶非零矩阵，B=，且AB=0，则Ax=0的通解是______.标准答案：c1(1，4，3)T+c2(-2，3，1)T，c1，c2任意知识点解析：由AB=0得r(A)+r(B)≤3．显然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)=1，n-r(A)=2．又AB=0说明B的每个到向量都是AX=0的解，取它的1，3两列作为基础解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(-2，3，1)T，c1，c2任意．12、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*X=0的通解是_______．标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知识点解析：因为秩r(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．13、已知α1，α2，…，αt都是非齐次线性方程组Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，则c1+c2+…+ct=______．标准答案：1知识点解析：因为αi是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，则A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．14、已知方程组的通解是(1，2，-1，0)T+k(-1，2，-1，1)T，则a=_____.标准答案：3知识点解析：因(1，2，-1，0)T是Ax=b的解，则将其代入第2个方程可求出b=1．因(-1，2，-1，1)T是Ax=0的解，则将其代入第1个方程可求出a=3．15、已知ξ1=(-3，2，0)T，ξ2=(-1，0，-2)T是方程组的两个解，则此方程组的通解是_______．标准答案：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T知识点解析：由于矩阵A中有2阶子式不为0，故秩r(A)≥2．又ξ1-ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n-r(A)=1．所以方程组通解是：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)16、已知齐次方程组同解，求a，b，c．标准答案：本题可以用上例的方法，先求出其中一个方程组的解，代入另一个方程组求参数．但是由于两个方程组都有参数，先求一个方程组的解时，参数会使得计算复杂．可先从概念上着眼，两个方程组同解可推得它们的系数矩阵的秩相等．左边方程组系数矩阵的秩不会小于2，右边方程组系数矩阵的秩不会大于2，于是它们的系数矩阵的秩为2．这样参数口可先求得，再求左边方程组的解，代入右边方程组求b，c．(计算过程略)下面我们用一个更加简单的方法．这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为2．由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求a，b，c．于是a-2=0，c-b-1=0，c-b2-1=0．则a=2，b，c有两组解①b=0，c=1；②b=1，c=2．可是b=0，c=1时右边方程组系数矩阵的秩为1，因此两个方程组不会同解，这组解应该舍去．得a=2，b=1，c=2．知识点解析：暂无解析17、设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T．证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．标准答案：分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵．(Ⅰ)的未知量有2n个，它的基础解系含有n个解，则r(A)=n，即A的行向量组α1，α2，…，αn线性无关．由于β1，…，βn都是(Ⅰ)的解，有ABT=(Aβ1，Aβ2，…，An)=0，转置得BAT=0，即BαiT=0，i=1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n个线性无关的解．又因为r(B)=n，(Ⅱ)也有2n个未知量，2n-r(B)=n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一个基础解系．从而(Ⅱ)的通解为c1α1+c2α2+…+cnαn，c1，c2，…，cn可取任意数．知识点解析：暂无解析18、构造齐次方程组，使得η1=(1，1，0，-1)T，η2=(0，2，1，1)T构成它的基础解系．标准答案：所求AX=0要满足：4维向量η是AX=0的解η可用η1，η2线性表示．设η=(c1，c2，c3，c3)T，(η1，η1｜η)=于是η可用η1，η2线性表示c2-c1-2c3=0且c4+c1-c3=0η是齐次方程组的解．这个齐次方程组满足要求．知识点解析：暂无解析19、设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．标准答案：用定义法证．设c1Aβ1+c2Aβ2+…+ctAβt=0．则A(c1β1+c2β2+…+ctβt)=0即c1β1+c2β2+…+cTβT是AX=0的一个解．于是它可以用α1，α2，…，αs线性表示：c1β1+c2β2+…+ctβt=x1α1+t2α2+…+tsαs，再由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，得所有系数都为0．知识点解析：暂无解析20、设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)=n-3，证明η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．标准答案：因为r(A)=n-3，所以AX=0的基础解系包含3个解．设γ1，γ2，γ3是AX=0的一个基础解系，则条件说明γ1，γ2，γ3可以用η1，η2，η3线性表示．于是有下面的关于秩的关系式：3=r(γ1，γ2，γ3)≤r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3)≤3，从而r(γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3)，这说明η1，η2，η3和γ1，γ2，γ3等价，从而η1，η2，η3也都是AX=0的解；又r(η1，η2，η3)=3，即η1，η2，η3线性无关，因此是AX=0的一个基础解系．知识点解析：暂无解析21、n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n-r(A)+1．标准答案：记s=n-r(A)，则本题要说明两点．(1)存在AX=β的s+1个线性无关的解．(2)AX=β的s+2个解一定线性相关．(1)设ξ为(Ⅰ)的一个解，η1，η2，…，ηs为导出组的基础解系，则ξ不能用η1，η2，…，ηs线性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs线性无关．ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(Ⅰ)的s+1个解，并且它们等价于ξ，η1，η2，…，ηs于是r(ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs)=r(ξ，η1，η2，…，ηs)=s+1，因此ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(I)的s+1个线性无关的解．(2)AX=β的任何s+2个解都可用ξ，η1，η2，…，ηs这s+1向量线性表示，因此一定线性相关．知识点解析：暂无解析22、设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2．a+2b)T．β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时，(1)β不能用α1，α2，α3线性表示；(2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式；(3)β能用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．标准答案：记A=(α1，α2，α3)，则问题化归线性方程组AX=β解的情形的讨论及求解问题了．(1)a=0(b任意)时方程组AX=β无解，β不能用α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)=r(A)=3，方程组AX=β唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一表示．AX=β的解为(3)当a=b≠0时r(A｜β)=r(A)=2，AX=β有无穷多解，即β可用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一．AX=β有特解，而(0，1，1)T构成AX=0的基础解系，AX=β的通解为+c(0，1，1)T，c任意，即β=α2+cα3，c任意．知识点解析：暂无解析23、已知平面上三条直线的方程为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0．l3：cx+2ay+3b=0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．标准答案：l1，l2，l3交于一点即方程组有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2．记则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B)，于是l1，l2，l3交于一点r(A)=r(B)=2．必要性由于r(B)=2，则｜B｜=0．计算出｜B｜=-(a+b+c)(a2+b2+c2-ac-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]．a，b，c不会都相等(否则r(A)=1)，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0．得a+b+c=0．充分性当a+b+c=0时，｜B｜=0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再证r(A)=2，就可得到r(A)=r(B)=2．用反证法．若r(A)＜2，则A的两个列向量线性相关．不妨设第2列是第1列的λ倍，则b=λa，c=λb，a=λc．于是λ3a=a，λ3b=b，λ3c=c，由于a，b，c不能都为0，得λ3=1，即λ=1，于是a=b=c．再由a+b+c=0，得a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾．知识点解析：暂无解析24、设A=①a，b取什么值时存在矩阵X，满足AX-AX=B?②求满足AX-AX=B的矩阵X的一般形式．标准答案：X一定是2阶矩阵．设X=①AX=，XA=AX-XA=B即x1，x2，x3，x4是线性方程组：的解．得a=-3，b=-2．②把a=-3，b=-2代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵解得通解为(-3，-2，0，0)T+c1(1，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则满足AX-CX=B的矩阵X的一般形式为知识点解析：暂无解析25、设A=(1)求方程组AX=0的一个基础解系．(2)a，b，c为什么数时AX=B有解?(3)此时求满足AX=B的通解．标准答案：对AX=B的增广矩阵(A｜B)作初等行变换化阶梯形矩阵：得到AX=0的同解方程组：求得基础解系：(-2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T．(2)AX=B有解r(A｜B)=r(A)=2，得a=6，b=-3，c=3．(3)建立3个线性方程组，它们的系数矩阵都是A，常数列依次为B的各列．则X的各列依次是它们的解．它们的导出组都是AX=0，已经有了基础解系(-2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T，只用再各求一个特解就可得到通解．可以一起用矩阵消元法求它们的特解：于是(3／2，3／2，0，0)T，(-3／2，3／2，0，0)T，(0，1，0，0)T依次是这3个方程组的特解．AX=B的通解为：其中c1，c2，c3，c4，c5，c6任意．或者表示为：其中H为任意2×3矩阵．知识点解析：暂无解析26、求齐次方程组的基础解系．标准答案：对系数矩阵作初等变换，有当a≠1时，r(A)=3，取自由变量x4得x4=1，x3=0，x2=-6，x1=5．基础解系是(5，-6，0，1)T．当a=1时，r(A)=2．取自由变量x3，x4，则由x3=1，x4=0得x2=-2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=-6，x1=5，知基础解系是(1，-2，1，0)T，(5，-6，0，1)T．知识点解析：暂无解析27、求线性方程组的通解，并求满足条件x12=x22的所有解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．导出组的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=1．即η2=(-1，0，0，1)T．因此方程组的通解是：(2，1，0，0)v+k1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1)T．而其中满足x12=x22的解，即(2+k1-k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1-k2=1+3k1或2+k1-k2=-(1+3k1)，即k2=1-2k1或k2=3+4k1．所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，-2)T和(-1，1，0，3)T+k(-3，3，1，4)T为满足x12=x22的所有解．知识点解析：暂无解析28、当a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解(Ⅱ)当a=0时，方程组均无解．(Ⅲ)当n≠0，b=3时，方程组有无穷多解+k(0，-3，2)T．知识点解析：暂无解析29、已知a，b，c不全为零，证明方程组只有零解．标准答案：因为系数行列式=-(a2+bv+c2)≠0，所以齐次方程组只有零解．知识点解析：暂无解析30、设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．标准答案：必要性．对矩阵A按列分块A=(α1，α2，…，αn)，则，Ax=b有解α1，α2，…，αn可表示任何n维向量bα1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)Tr(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=nr(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故，Ax=b总有解．知识点解析：暂无解析31、证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．标准答案：设Ax=0的基础解系是α1，α2，…，αt．若β1，β2，…，βs线性无关，β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αt等价．由于βj(j=1，2，…，s)可以由α1，α2，…，αt线性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以βj(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因为α1，α2，…，αt线性无关，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又α1，α2，…，αt与β1，β2，…，βs等价，所以r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αt)=t．又因β1，β2，…，βs线性无关，故s=t．因此β1，β2，…，βt是Ax=0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是()A、A的列向量线性无关。B、A的列向量线性相关。C、A的行向量线性无关。D、A的行向量线性相关。标准答案：A知识点解析：Ax=0仅有零解<=>r(A)=n<=>A的列向量线性无关。故选A。2、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()A、r=m时，方程组Ax=b有解。B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。D、r＜n时，方程组有无穷多个解。标准答案：A知识点解析：对于选项A，r(A)=r=m。由于r(A，b)≥m=r，且r(A，b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A，b)=r，从而r(A)=r(A，b)，此时方程组有解。由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。故选A。3、已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+2α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3，中，对应齐次线性方程组Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α1—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)—Aα1—3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1一3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。故选A。4、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为，则自由变量可取为①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正确的共有()A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，则n—r(A)=5—3=2，故应当有两个自由变量。由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量。同理，x3，x5不能是自由变量。而x1，x5与x2，x3均可为自由变量，因为行列式与都不为0。故选B。5、设η1，η2，η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是()A、η1一η2，η2+η3，η3一η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1一η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1。标准答案：D知识点解析：方法一：由已知条件知AX=0的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项B中仅三个解向量，个数不合要求，故排除B项。选项A和C中，都有四个解向量，但因为(η1一η2)+(η2+η3)一(η3一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0，说明选项A、C中的解向量组均线性相关，因而排除A项和C项。故选D。方法二：由(η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2，η3，η4)因为知η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1线性无关，又因η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量个数为4。故选D。6、已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)AT是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)AT，γ3=(2，3，1，2)AT均是Ax=β的解，则η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ1=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系。故选B。7、η1，η2是n元齐次方程组Ax=0的两个不同的解，若r(A)=n一1，则Ax=0的通解为()A、kη1。B、kη2。C、k(η1+η2)。D、k(η1一η2)。标准答案：D知识点解析：因为r(A)=n—l，所以Ax=0的基础解系只含有一个解向量，η1一η2为Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解为k(η1一η2)。故选D。8、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。标准答案：B知识点解析：由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。下面证明①③正确。对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B))，故r(A)≥r(B)。对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其基础解系包含的解向量的个数相同，即n—r(A)=n一r(B)，从而r(A)=r(B)。故选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知方程组无解，则a=______。标准答案：一1知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以a=一1。10、已知齐次方程组有非零解，则λ=______。标准答案：一3或一1知识点解析：系数矩阵的行列式｜A｜==一(λ+3)(λ+1)，所以当λ=一3或一1时，方程组有非零解。11、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=______。标准答案：0知识点解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n一r(A)≥2，即r(A)≤3。又因为A是五阶矩阵，所以｜A｜的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0。12、设，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是______。标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数知识点解析：因为矩阵A的秩是2，所以｜A｜=0，且r(A*)=1。再由A*A=｜A｜E=O可知，A的列向量为A*x=0的解，因此A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数。13、设n阶矩阵A的秩为n一2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为______。标准答案：α1+k1(α1一α2)+k2(α3一α2)，k1，k2为任意常数知识点解析：α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n—r(A)=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1(α2一α1)+k2(α3一α1)，k1，k2为任意常数。14、已知方程组与方程(2)x1+5x2=0，则(1)与(2)的公共解是______。标准答案：k(一5，3，1)T，k为任意常数知识点解析：将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组(3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得由于A的秩为2，所以自由变量有一个，令自由变量x3=1，代入可得x2=3，x1=一5，所以(3)的基础解系为η=(一5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解为k(一5，3，1)T，k为任意常数。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、已知4×5矩阵A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α2，α3，α4，α5均为四维列向量，α1，α2，α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=2α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。标准答案：由于α1，α2，α3线性无关，α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，所以r(A)=3。由已知β=2α1+α2一α3+α4+α5，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ1，ξ2为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组求：16、方程组(1)与(2)的基础解系；标准答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换分别取和，其基础解系可取为对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换分别取和，其基础解系可取为undefined知识点解析：暂无解析17、方程组(1)与(2)的公共解。标准答案：设x=(x1，x2，x3，x4)T为(1)与(2)的公共解，用两种方法求x的一般表达式。方法一：x是(1)与(2)的公共解，因此x是方程组(3)的解，方程组(3)为(1)与(2)合并的方程组，即其系数矩阵取其基础解系为(一1，1，2，1)T，于是(1)与(2)的公共解为x=k(一l，1，2，1)T，k∈R。方法二：将(1)的通解x=(c1，一c1，c2，一c2)T代入(2)得c2=一2c1，这表明(1)的解中所有形如(c1，一c1，一2c2，一c2)T的解也是(2)的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与(2)的公共解为x=k(一1，1，2，1)T，k∈R。知识点解析：暂无解析18、设方程组与方程(2)x1+2x2+x3=a一l有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。当a=1时，，此时方程组(3)的通解为k(一1，0，1)T(k为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时，，此时方程组(3)有唯一解(0，1，一1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，A+8)T。19、求方程组(1)的一个基础解系；标准答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则n—r(A)=4—2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系。知识点解析：暂无解析20、当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。标准答案：设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2一l1α1一l2α2=0，得齐次方程组对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当a≠一1时，方程组(3)的系数矩阵变为。可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。当a=一1时，方程组(3)系数矩阵变为，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以当a=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，其中l1，l2为任意常数。知识点解析：暂无解析设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=(1，一1，一1，1，1)T。求：21、线性方程组(3)的通解；标准答案：线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k1α1+k2α2+k3α3；线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l1β1+l2β2+l3β3；线性方程组(3)的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，将其系数矩阵作初等行变换，即则方程组(4)的一个基础解系是(一2，0，2，一1，0，1)T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础解系ξ=一2α1+2α2=一β1+β2=(0，一2，0，2，0)T。所以方程组(3)的通解为x=k(0，一1，0，1，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析22、矩阵C=(AT，BT)的秩。标准答案：线性方程组(3)与线性方程组xT(AT，BT)=0等价，而方程组(3)的基础解系只含一个向量，故矩阵C=(AT，BT)的秩r(C)=5—1=4。知识点解析：暂无解析23、已知齐次线性方程组和同解，求a，b，c的值。标准答案：因为方程组(2)中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组(2)必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1)的系数行列式为0，即所以a=2。对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(1)的通解是k(一l，一1，1)T。因为(一1，一1，1)T是方程组(2)的解，所以故b=1，c=2或b=0，c=1。当b=1，c=2时，方程组(2)为其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程组(1)与(2)同解。当b=0，c=1时，方程组(2)为由于方程组(2)的系数矩阵的秩为1，而方程组(1)的系数矩阵的秩为2，故方程组(1)与(2)不同解，则b=0，c=1应舍去。综上，当a=2，b=1，c=2时，方程组(1)与(2)同解。知识点解析：暂无解析24、已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。试证明线性方程组有解。标准答案：由已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程组(1)与方程组有相同的解。故(1)的系数矩阵与(3)的系数矩阵的秩相同，即r(A)=r(B)。又方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组有解。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=βA、在r=m时有解．B、在m=n时有唯一解．C、在r＜n时有无穷多解．D、在r=n时有唯一解．标准答案：A知识点解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质．在判别法则中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A｜β)的上限．因此，当r(A)=m时，必有r(A｜β)=r(A)，从而方程组有解，A正确．C和D的条件下不能确定方程组有解．B的条件下对解的情况不能作任何判断．2、A=，r(A)=2，则()是A*X=0的基础解系．A、(1，－1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，－1，0)T．C、(1，－1，0)T，(2，－2，a)T．D、(2，－2，a)T，(3，－3，b)T．标准答案：A知识点解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0的基础解系应该包含n－1=2个解，A满足．(1，－1，0)T，(0，0，1)T显然线性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=｜A｜E=0，于是A的3个列向量(1，－1，0)T，(2，－2，a)T，(3，－3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T=(2，－2，a)T=2(1，－1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．3、设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为()A、k1η1+k2η2+(ξ1－ξ2)／2．B、k1η1+k2(η1－η2)+(ξ1+ξ2)／2．C、k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1－ξ2)／2．D、k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．标准答案：B知识点解析：用排除法．先看特解．(ξ1－ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，从而A，C都不对．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．在看导出组的基础解系．在B中，η1，η1－η2是AX=0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它们也无关，从而可作出AX=0的基础解系，B正确．在D中，虽然η1，ξ1－ξ2都是AX=0的解，但不知道它们是否无关，因此D作为一般性结论是不对的．4、设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n－2，n是未知数个数，则()正确．A、对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B、2γ1－3γ2+γ3是导出组AX=0的解；C、γ1，γ2，γ3线性相关；D、γ1－γ2，γ2－γ3是AX=0的基础解系．标准答案：B知识点解析：Aγi=β，因此A(2γ1－3γ2+γ3)=2β－3β+β=0，即2γ1－3γ2+γ3是AX=0的解，B正确．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解<=>c1+c2+c3=1，A缺少此条件．当r(A)=n－2时，AX=0的基础解系包含两个解，此时AX=β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．C不成立．γ1－γ2，γ2－γ3都是AX=0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此D不成立．5、设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是A、如m＜n，则AX=b有无穷多解．B、如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．标准答案：B知识点解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(a｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故B不正确．关于D，Ax=b有唯一解<=>r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=nr(A｜b)=n，例子同上．可见D只是必要条件，并不充分．C为何正确?除用排除法外，你如何证明．6、设A是5×4矩阵，A=(η1，η2，η3，η4)，若η1=(1，1，－2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是AX=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．标准答案：C知识点解析：由Aη1=0，知α1+α2－2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因为n－r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除D．由②知，α2，α4线性相关．故应排除B．把②代入①得α1－2α3=0，即α1，α3线性相关，排除A．如果α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)=r(－2α3，α2，α3，－α2)=r(α2，α3)=1与r(A)=2相矛盾．所以选C．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、已知方程组总有解，则λ应满足_________．标准答案：λ≠1且λ≠知识点解析：对任意b1，b2，b3，方程组有解铮r(A)=3<=>｜A｜≠0．而由可知λ≠1且λ≠8、四元方程组Ax=b的三个解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是_________．标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知识点解析：由(α2+α3)－2α1=(α2－α1)+(α3－α1)=(2，3，4，5)T－2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n－r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．9、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_________．标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知识点解析：因为秩r(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．10、已知方程组的通解是(1，2，－1，0)T+k(－1，2，－1，1)T，则a=________．标准答案：3知识点解析：因(1，2，－1，0)T是Ax=b的解，则将其代入第2个方程可求出b=1．因(－1，2，－1，1)T是Ax=0的解，则将其代入第1个方程可求出a=3．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、已知(1，a，2)T，(－1，4，b)T构成齐次线性方程组的一个基础解系，求a，b，s，t．标准答案：此齐次线性方程组的基础解系包含2个解，未知数有3个，则系数矩阵的秩为1，立刻得到s=2，t=－1．于是方程组为把(1，a，2)T，(－1，4，b)T代入，得a=2，b=1．知识点解析：暂无解析12、讨论p，t为何值时，方程组无解?有解?有解时写出全部解．标准答案：①用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当t≠－2时，有r(A｜β)＞r(A)，此时方程组无解．当t=－2时(p任意)，r(A｜β)=r(A)≤3＜4，此时有无穷多解．②当t=－2，p=－8时，得同解方程组令x3=x4=0，得一特解(－1，1，0，0)T．导出组有同解方程组对x3，x4赋值得基础解系(4，－2，1，0)T，(－1，－2，0，1)T．此时全部解为(－1，1，0，0)T+c1(4，－2，1，0)T+c2(－1，－2，0，1)T，其中c1，c2可取任何数。③当t=－2，p≠－8时，得同解方程组令x4=0，得一特解(－1，1，0，0)T．导出组有同解方程组令x4=1，得基础解系(－1，－2，0，1)T．此时全部解为(－1，1，0，0)T+c(－1，－2，0，1)T，其中c可取任何数．知识点解析：暂无解析13、设①计算行列式｜A｜．②实数a为什么值时方程组AX=β有无穷多解?在此时求通解．标准答案：如果顺题目要求，先做①，算得｜A｜=1－a4，再做②时，由无穷多解=>｜A｜=0，a=1或－1．然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解．这个过程工作量大．下面的解法要简单些．解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第3类初等行变换化为阶梯形①｜A｜=｜B｜=1－a4．②AX=β有无穷多解的条件是1－a4=－a－a2=0，即a=－1．此时求出通解(0，－1，0，0)T+c(1，1，1，1)T，c为任意常数．知识点解析：暂无解析14、已知线性方程组有解(1，－1，1，－1)T．(1)用导出组的基础解系表示通解；(2)写出x2=x3的全部解．标准答案：(1，－1，1，－1)1代入方程组，可得到λ=μ，但是不能求得它们的值．(1)此方程组已有了特解(1，－1，1，－1)T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解．对系数矩阵作初等行变换：①如果2λ－1=0，则(1，－3，1，0)T和(－1／2，－1，0，1)T为导出组的基础解系，通解为(1，－1，1，－1)T+c1(1，－3，1，0)T+c2(－1／2，－1，0，1)T，c1，c2任意．②如果2λ－1≠0，则用2λ－1除B的第三行：(－1，1／2，－1／2，1)T为导出组的基础解系，通解为(1，－1，1，－1)T+c(－1，1／2，－1／2，1)T，c任意．(2)当2λ－1=0时，通解的x2=－1－3c1－c2，x3=1+c1，由于x2=x3，则有－1－3c1－c2=1+c1，从而c2=－2－4c1，因此满足x2=x3的通解为(2，1，1，－3)T+c1(3，1，1，－4)T．当2λ－1≠0时，－1+c／2=1－e／2，得c=2，此时解为(－1，0，0，1)T．知识点解析：暂无解析15、已知ξ=(0，1，0)T是方程组的解，求通解．标准答案：把ξ=(0，1，0)T代入方程组可求得b=1，d=3，但是a和c不能确定．于是要对它们的取值对解的影响进行讨论．记系数矩阵为A．看r(A)，一定有r(A)≥2(因为1，2两行无关)．则当n+c≠3时r(A)=3，则方程组唯一解ξ．则当a+c=3时r(A)=2，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组求得(1，－1，1)T构成基础解系．方程组的通解为：(0，1，0)T+c(1，－1，1)T，c任意．知识点解析：暂无解析16、设非齐次方程组AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．标准答案：ξ1是AX=β的一个特解，只用再找AX=0的基础解系．从解是4维向量知，AX=β的未知数个数n=4．r(A)=3，于是，它的AX=0的基础解系由1个非零解构成．由解的性质，2ξ1－(ξ2+ξ3)：(2，3，4，5)T是AX=0的解．于是，AX=β的通解为(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，c可取任何常数．知识点解析：暂无解析17、已知3阶矩阵A的第一行为(a，b，c)，a，b，c不全为0，矩阵B=，并且AB=0，求齐次线性方程组AX=0的通解．标准答案：由于AB=0，r(A)+r(B)≤3，并且B的3个列向量都是AX=0的解．(1)若k≠9，则r(B)=2，r(A)=1，AX=0的基础解系应该包含两个解．(1，2，3)T和(3，6，k)T都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为：c1(1，2，3)T+c2(3，6，k)T，其中c1，c2任意．(2)如果k=9，则r(B)=1，r(A)=1或2．①r(A)=2，则AX=0的基础解系应该包含一个解，(1，2，3)T构成基础解系，通解为：c(1，2，3)T，其中c任意．②r(A)=1，则AX=0的基础解系包含两个解，而此时B的3个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系．由r(A)=1，A的行向量组的秩为1，第一个行向量(a，b，c)(≠0！)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而AX=0和方ax1+bx2+cx3=0同解．由于(1，2，3)T是解，有a+2b+3c=0，则a，b不都为0(否则a，b，c都为0)，于是(b，－a，0)T也是ax1+bx2+cx3=0的一个非零解，它和(1，2，3)T线性无关，一起构成基础解系，通解为：c1(1，2，3)T+c2(b，－a，0)T，其中c1，c2任意．知识点解析：暂无解析18、设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齐次线性方程组，已知ξ1=(1，0，1，1)T，ξ2=(－1，0，1，0)T，ξ3=(0，1，1，0)T是(Ⅰ)的一个基础解系，η1=(0，1，0，1)T，η2=(1，1，－1，0)T是(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．标准答案：用例4．24的第二种思路解．现在(Ⅰ)也没有给出方程组，因此不能用例4．24的代入的方法来决定c1，c2应该满足的条件了．但是(Ⅰ)有一个基础解系ξ1，ξ2，ξ3，c1η1+c2η2满足(Ⅰ)的充分必要条件为c1η1+c2η2能用ξ1，ξ2，ξ3线性表示，即r(ξ1，ξ2，ξ3，c1η1+c2η2)=r(ξ1，ξ2，ξ3)．于是可以通过计算秩来决定c1，c2应该满足的条件：于是当3c1+c2=0时c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解．从而(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为：c(η1－3η2)，其中c可取任意常数．知识点解析：暂无解析19、设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，－1，a+2，1)T，η2=(－1，2，4，a+8)T．(1)求(Ⅰ)的一个基础解系；(2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．标准答案：(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到(Ⅰ)的同解方程组对自由未知量x3，x4赋值，得(Ⅰ)的基础解系γ1=(5，－3，1，0)T，γ3=(－3，2，0，1)T．(2)(Ⅱ)的通解为c1η1+c2η2=(2c1－c2，－c1+2c2，(a+2)c1+4c2，c1+(a+8)c2)T．将它代入(Ⅰ)，求出为使c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件(过程略)为：于是当a+1≠0时，必须c1=c2=0，即此时公共解只有零解．当a+1=0时，对任何c1，c2，c1η1+c2η2都是公共解．从而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1+c2η2，c1，c2不全为0．知识点解析：暂无解析20、已知两个线性方程组同解，求m，n，t．标准答案：m，n，t分别在方程组(Ⅰ)的各方程中，(Ⅱ)的系数及常数项中无参数，可先求出