考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷1（共180题）

考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷1（共6套）（共180题）考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足=－1，则x=0A、是f(x)的驻点，且为极大值点．B、是f(x)的驻点，且为极小值点．C、是f(x)的驻点，但不是极值点．D、不是f(x)的驻点．标准答案：C知识点解析：本题应先从x=0是否为驻点入手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．由=0，从而f(0)=0，f’(0)==－1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内＜0；由于1－cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选C．2、设f(x)在x=a处连续，且=2，则f(x)在x=a处A、不可导．B、可导且f’(a)≠0．C、有极大值．D、有极小值．标准答案：D知识点解析：由f(x)在x=a连续=>=(a)．又根据极限的保号性，即f(x)－f(a)＞0．因此f(a)为极小值．故选D．3、设f(x)可导，恒正，且0＜a＜x＜b时恒有f(x)＜xf’(x)，则A、bf(a)＞af(b)．B、abf(x)＞x2f(b)．C、af(a)＜xf(x)．D、abf(x)＜x2f(a)．标准答案：C知识点解析：A，B，D分别改写为因此要考察的单调性．因为=>A，B，D均不对．选C．或由正值函数在[a，b]单调上升=>xf(x)=在[a，b]单调上升=>C对．选C．4、曲线y=f(x)=的拐点有A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：B知识点解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f"(x)=0，解得x1=0，x2=2；f"(x)不存在的点是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，f(x)在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)5、曲线y=(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐点是________．标准答案：(0，0)知识点解析：这里y(x)在(－∞，+∞)连续，(y’(0)，y"(0)均不)，y(x)在x=0两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点．三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)6、求函数y=x+的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点．标准答案：(Ⅰ)定义域x≠±1，间断点x=±1，零点x=0，且是奇函数．(Ⅱ)求y’，y"和它们的零点．由y’=0得驻点x=0，；由y"=0得x=0，由这些点及间断点x=±1把函数的定义域按自然顺序分成．由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点．因此，单调增区间是，单调减区间是；极大值点是x=，对应的极大值是，极小值点是，对应的极小值是；凸区间是(－∞，－1)，(0，1)，凹区间是(－1，0)，(1，+∞)；拐点是(0，0)．知识点解析：暂无解析7、在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?标准答案：设外切圆锥体的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO=φ，则tanφ=，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求f(r)=的最小值点．由于因此，当时圆锥体体积最小．知识点解析：暂无解析8、证明函数f(x)=在(0，+∞)单调下降．标准答案：f(x)=，则下证2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)＜0(x＞0)．令t=2x，则x＞0时t＞1，2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)=tlnt－(1+t)ln(1+t)g(t)．由于g’(t)=lnt－ln(1+t)＜0(t＞0)=>g(t)在(0，+∞)单调下降，又=0=>g(t)＜0(t＞0)．知识点解析：暂无解析9、设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1，则正确的是(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(－1)f"(x)－xf’(x)=ex－1，则下列说法正确的是(A)f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．(B)f(0)是f(x)的极小值．(C)(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．(D)f(0)是f(x)的极大值．标准答案：(Ⅰ)由条件=1及f’(x)在x=0连续即知=f’(0)=0．用洛必达法则得型未定式极限因=f"(0)，若f"(0)≠0，则J=∞与J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"’(0)的定义得=>f"’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，现考察f"(0)．由方程得又f"(x)在x=0连续=>f"(0)=3＞0．因f(0)是f(x)的极小值．应选(B)．知识点解析：暂无解析10、设a＞0，求f(x)=的最值．标准答案：f(x)在(－∞，+∞)上连续且可写成如下分段函数由此得x∈(－∞，0)时f’(x)＞0，故f(x)在(－∞，0]单调增加；x∈(a，+∞)时f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)单调减少．从而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(－∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a－x)2－(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(－∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(－∞，0)单调增加，在(a，+∞)单调减少，又f(x)在[0，a]的最小值=0，因此f(x)在(－∞，+∞)上无最小值．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?标准答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f’(x)－．两边乘积分因子μ=(取其中一个)，得，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件得2=，则C=4－a．因此，f(x)=ax2+(4－a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．a，有f(0)=0，f(1)=．又f’(x)=3ax+4－a，由此易知－8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋转体的体积．(Ⅳ)求V(a)的最小值点，由于则当a=－5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．知识点解析：暂无解析12、当x≥0，证明∫0x(t－t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．标准答案：令f(x)=∫0x(t－t2)sin2ntdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x－x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t，于是当x≥0时有f(x)≤f(1)=∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt=知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．标准答案：要证f(x)＞0<=>exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)=>exf(x)在[0，+∞)单调上升=>exf(x)＞exf(x)｜x=0=0(x＞0)=>f(x)＞0(x＞0)．知识点解析：暂无解析14、求证：(x∈(0，1))．标准答案：改写右端对f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]区间用柯西中值定理：注意函数在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立．知识点解析：暂无解析15、设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：(Ⅰ)ap+bp＞21－p(a+b)p(p＞1)；(Ⅱ)ap+6p＜21－p(a+b)p(0＜p＜1)．标准答案：将ap+bp＞21－p(a+b)p改写成．考察函数f(x)=xp，x＞0，则f’(x)=pxp－1，f"(x)=p(p－1)xp－2．(Ⅰ)若p＞1，则f"(x)＞0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，其中t=得：a＞0，b＞0，a≠b，有(Ⅱ)若0＜p＜1，则f"(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，其中知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f’(x)在(a，b)至少有两个零点．标准答案：f(x)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到．由f(x)的可导性，必有f’+(a)≤0，条件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到．同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到．因此，f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点．又f(x)在[a，b]可导，在极值点处f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有两个零点．知识点解析：暂无解析17、设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=axx+bx+c的交点不超过三个．标准答案：令f(x)=ex－axx－bx－c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4．由于f(x)在[x1，x4]上可导，由罗尔定理可知f’(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)内至少各有一个零点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f’(x)在[ξ1，ξ3]上可导，由罗尔定理可知f"(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)内至少各有一个零点η1，η2．同样地，由于f"(x)在[η1，η2]上可导，由罗尔定理可知f"’(x)在(η1，η2)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(－∞，+∞)使得f"’(ζ)=0，而f"’(x)=ex＞0(x∈(－∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[x1，x2]可导，0＜x1＜x2，证明：ξ∈(x1，x2)使得标准答案：令F(x)=，则f(x)在[x1，x2]可导，又因此，由罗尔定理，ξ∈(x1，x2)，使得即f(ξ)－ξf’(ξ)=1．知识点解析：暂无解析19、求证：方程lnx=在(0，+∞)内只有两个不同的实根．标准答案：即证f(x)=在(0，+∞)只有两个零点．先考察它的单调性：由于f(x)在(0，e)与(e，+∞)分别单调上升与下降，又f(e)=＞0，故只需证明：x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因则x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别只有一个零点，即在(0，+∞)内只有两个零点．知识点解析：暂无解析20、求函数y=的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．标准答案：定义域：x≠1．=>单调增区间(0，1)；单调减区间(－∞，0)∪(1，+∞)；极小值点x=0．知识点解析：暂无解析21、证明：arctanx=(x∈(－∞，+∞))．标准答案：令f(x)=arctanx－，则=>f(x)为常数．又f(0)=0=>f(x)≡0，x∈(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．标准答案：若不然=>x∈(a，b)，f’(x)≤0=>f(x)在[a，b]单调不增=>x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)=>f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]为常数，矛盾了．知识点解析：暂无解析23、设当x＞0时，方程kx+=1有且仅有一个解，求k的取值范围．标准答案：设f(x)=kx+－1，则(Ⅰ)当k≤0时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又故f(x)此时只有一个零点．(Ⅱ)当k＞0时，由f’(x)=0得x=，由于f"(x)＞0，x=是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当时，有k=，此时方程有且仅有一个根；当k≠时，方程无根或有两个根．因此，k的取值范围为k≤0及k=知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[1，+∞)可导，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．标准答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，要证f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1=>F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，又F(x)在[1，+∞)连续=>F(x)在[1，+∞)单调下降=>F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x>1)．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]可导且f(1)=，求证：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．标准答案：令F(x)=f(x)，则F(x)在[0，1]可导，且因此，由罗尔定理，，使得F’(ξ)==0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f"(0)存在．求证：标准答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由于当x＞0时，有＜1；当－1＜x＜0时，有1＜，故由夹逼定理知，．于是知识点解析：暂无解析27、(Ⅰ)设f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])连续，在(x0，x0+δ)((x0－δ，x0))可导，又，求证：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)设f(x)在(x0－δ，x0+δ)连续，在(x0－δ，x0+δ)／｛x0｝可导，又=A，求证：f’(x0)=A．(Ⅲ)设f(x)在(a，b)可导，x0∈(a，b)是f’(x)的间断点，求证：x=x0是f’(x)的第二类间断点．标准答案：(Ⅰ)f’+(x0)=A．另一类似．(Ⅱ)由题(Ⅰ)=>f’+(x0)=f’－(x0)=A=>f’(x0)=A．或类似题(Ⅰ)，直接证明(Ⅲ)即证中至少有一个不．若它们均存在，，由题(Ⅰ)=>f’±(x0)=A±．因f(x)在x0可导=>A+=A－=f’(x0)=>f’(x)在x=x0连续，与已知矛盾．因此，x=x0是f’(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析28、设f(x)在(－∞，+∞)可导，且=A，求证：c∈(－∞，+∞)，使f’(c)=0．标准答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图4．3)．若f(x)≡A，显然成立．若f(x)≠A，必存在x0，f(x0)≠A，不妨设f(x0)＜A．由极限不等式性质，b＞x0，f(b)＞f(x0)；a＜x0，f(a)＞f(x0)．f(x)在[a，b]有最小值，它不能在x=a或a=b处达到，必在(a，b)内某点c处达到，于是f’(c)=0．知识点解析：暂无解析29、将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?标准答案：设围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a－x，于是圆的半径r=，正方形边长(a－x)，问题是求面积S(x)=，x∈(0，a)的最小值点．由=>x=时面积和最小．知识点解析：暂无解析30、要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V0m3．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低?标准答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m2，水池造价为y，则y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa(+r2)，0＜r＜+∞．现求y(r)在(0，+∞)上的最小值点．求y’(r)：因此，当时，y取最小值，即水池造价最低．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷第2套一、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)1、作函数y=的图形．标准答案：定义域：x＞0．(Ⅰ)由由得(Ⅱ)渐近线：只有间断点x=0．由可知，有垂直渐近线x=0；由可知，有水平渐近线y=0．知识点解析：暂无解析2、设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且(a，b))．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．标准答案：因为所以存在常数c，使得，即f(x)=cg(x)(∈(a，b))．知识点解析：暂无解析3、证明：arctanx=(x∈(-∞，+∞))．标准答案：令f(x)=arctanx-arcsin，则知识点解析：暂无解析4、设P(x)在[0，+∞)连续且为负值，y=y(x)在[0，+∞)连续，在(0，+∞)满足y’+P(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．标准答案：由y’+P(x)y＞(x＞0)[e∫0xP(t)dty(x)]’＞0((x＞0)，又e∫0xP(t)dty(x)在[0，+∞)连续，e∫0xP(t)dty(x)在[0，+∞]单调e∫0xP(t)dty(x)＞[e∫0xP(t)dty(x)｜x0=y(0)≥0y(x)＞0(x≥0)y’(x)＞-P(x)y(x)＞0(x＞0)y(x)在[0，+∞)单调增加．知识点解析：暂无解析5、设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对(a≤x≤b)满足f’’(x)+g(x)-f’(x)-f(x)=0．求证：f(x)≡0(x∈[a，b])．标准答案：若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值．不妨设f(x0)=f(x)＞0，则x0∈(a，v)且f’(x0)=0，f’’(x0)≤0f’’(x0)+g(x0)f’(x0)-f(x0)＜0与已知条件矛盾．同理，若f(x1)=f(x)＜0，同样得矛盾．因此f(x)≡0∈[a，b])．知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．标准答案：若不然∈(a，b)，f’(x)≤0f(x)在[a，b]单调不增∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]为常数，矛盾了．知识点解析：暂无解析7、证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．标准答案：考察f(x)=x-asinx-b，即证它在(0，a+b]有零点．显然，f(x)在[0，a+b]连续，且f(0)=-b＜0，f(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，则该方程有正根x=a+b．若f(a+b)＞0，则由连续函数零点存在性定理∈(0，a+b)，使得f(c)=0．知识点解析：暂无解析8、求证：ex+e-x+2eosx=5恰有两个根．标准答案：即证f(x)=ex+e-x+2cosx-5在(-∞，+∞)恰有两个零点．由于f’(x)=ex-e-x-2sinx，f’’(x)=ex+e-x-2cosx＞2-2cosx≥0(x≠0)，f’(x)在(-∞，+∞)↑．又因f’(0)=0f(x)在(-∞，0]单调下降，在[0，+∞)单调上升．又f(0)=-1＜0，=+∞，因此f(x)在(-∞，0)与(0，+∞)各唯一零点，即在(-∞，+∞)恰有两个零点．知识点解析：暂无解析9、设当x＞0时，方程kx+=1有且仅有一个解，求k的取值范围．标准答案：设f(x)=kx+-1(x＞0)，则(Ⅰ)当k≤0时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又故f(x)此时只有一个零点．(Ⅱ)当k＞0时，由f’(x)=0得，由于f’’(x)＞0，x=是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当时，有k=，此时方程有且仅有一个根；当k≠时，方程无根或有两个根．因此，k的取值范围为k≤0及k=.知识点解析：暂无解析10、讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．标准答案：令f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由令g(x)=x+lnx-1令f’(x)=0可解得唯一驻点x0=1∈(0，+∞)．当0＜x＜1时f’(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)内唯一的极小值点，且为(0，+∞)上的最小值点．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关．当f(1)＞0即k＞-2时f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点．当f(1)=0即k=-2时f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x0=1．当f(1)＜0即k＜-2时需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限：由连续函数的零点定理可得，x1∈(0，1)与x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)与(1，+∞)内单调可知f(x)在(0，1)内与(1，+∞)内最多各有一个零点，所以当k＜-2时，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点．知识点解析：暂无解析11、证明：x-x2＜ln(1+x)＜x(＞0)标准答案：(Ⅰ)令F(x)=x-ln(1+x)(x＞0)．又F(0)=0，F(x)在[0，+∞)连续F(x)在[0，+∞)F(x)＞F(0)=0(＞0)．(Ⅱ)令G(x)=ln(1+x)-x2，则故G(x)在[0，+∞)↑，即有G(x)＞G(0)=0．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[1，+∞)可导，[xf(x)]≤-kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．标准答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，要证f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子区间上不恒为零，又F(x)在[1，+∞)连续F(x)在[1，+∞)单调下降F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x＞1)．知识点解析：暂无解析13、设a＞e，0＜x＜y＜，求证ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．标准答案：把不等式改写成注意到(ax)’=axlna，(cosx)’=-sinx，而｜sinx｜≤1．对f(t)=at，g(t)=cost，在区间[x，y]上应用柯西中值定理，即知存在满足0＜x＜ξ＜y＜的ξ，使得由于ax＜aξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．知识点解析：暂无解析14、设0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可导，证明：在(x1，x2)内至少一个c，使得标准答案：记[ex1f(x2)-ex2f(x1)]，要证f’(x)-f(x)+k在(x1，x2)零点e-x[f’(x)-f(x)+k]=[e-x(f(x)-k)]’在(x1，x2)零点．令F(x)=e-x[f(x)-k]，则F(x)在[x1，x2]可导．考察F(x1)-F(x2)=e-x1[f(x1)-k]-e-x2[f(x2)-k]=e-x1-x2[(ex2f(x1)-ex1f(x2))+k(ex1-ex2)]因此，由罗尔定理∈(x1，x2)，F’(c)=0.知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx，求证：∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．标准答案：即证f’(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点e-x2[f’(x)-2xf(x)]在(0，1)存在零点[e-x2f(x)]’在(0，1)存在零点．作辅助函数F(x)=e-x2f(x)时，按题设还要找一个η∈(0，1)，使得F(1)=F(η)，即e-1f(1)=e-η2f(η)．由题设及积分中值定理，．使得f(1)=e1-x2f(x)dx=e-η2+1f(η)=e-η2+1f(η)．于是F(1)=F(η)．令F(x)=e-x2f(x)，则F(x)g=[0，1]可导，且F(1)=e-1f(1)=2e-1e1-x2f(x)dx因此，由罗尔定理，∈(0，η)(0，1)，使得F’(ξ)=e-ξ2，f’(ξ)-2ξf(ξ)e-ξ2=0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析16、已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．标准答案：首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明，使得F’’(x0*)=0即可．显然F(0)==0，于是由罗尔定理知，，使得F’(x1)=0．又F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f’(x)，对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈，使得F’’(x0*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是x0=2π+x0*，即x0∈，使得F’’(x0)=F’’(x0*)=0．知识点解析：暂无解析17、设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得标准答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，∈(a，b)，使将②式代入①式，即得f’(ξ)=(a+b).知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f’’(0)存在．求证：标准答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(-1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由此可得由于当x＞0时，有；当-1＜x＜0时，有故由夹逼定理知，，于是知识点解析：暂无解析19、设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．标准答案：(Ⅰ)=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，，π时为零x是t的单调(减)函数，反函数t=t(x)y=sin3t(x)=y(x)，x∈[-1，1]．(Ⅱ)记当t≠0，反函数t=t(x)可导y=y(x)可导注意y=y(x)在[-1，1]连续，t与x的对应关系：于是0≤x≤1时y(x)单调下降，-1≤x≤0时y(x)单调上升．(Ⅲ)由y=y(x)在[-1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的图形如图4．2．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数)，(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求证：标准答案：(Ⅰ)先求f’(x)=n(1-x)n-1[1-(n+1)x]，得唯一驻点x=xn=.又(Ⅱ)注意单调下降极限为知识点解析：暂无解析21、(Ⅰ)设f(x)在[x0，x0+δ)((x0-δ，x0])连续，在(x0，x0+δ)((x0-δ，x0))可导，又，求证：f’+(x0)=A(f’-(x0)=A)．(Ⅱ)设f(x)在(x0-δ，x0+δ)连续，在(x0-δ，x0+δ)／{x0}可导，又f’(x)=A，求证：f’(x0)=A．(Ⅲ)设f(x)在(a，b)可导，x0∈(a，b)是f’(x)的间断点，求证：x=x0是f’(x)的第二类间断点．标准答案：(Ⅰ)f’+(x0)．另一类似．(Ⅱ)由题(Ⅰ)f’+(x0)=f’-(x0)=Af’(x0)=A．或类似题(Ⅰ)，直接证明(Ⅲ)即证f’(x)中至少有一个不．若它们均存在，f’(x)=A±，由题(Ⅰ)f’±(x0)=A±.因f(x)在x0可导A+=A-=f’(x0)f’(x)在x=x0连续，与已知矛盾．因此，x=x0是f’(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：(Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥a＞0(x＞x0)，则=+∞：(Ⅱ)若=+∞．标准答案：(Ⅰ)＞x0，由拉格朗日中值定理，∈(x0，x)，f(x)=f(x0)+f’(ξ)x-x0))＞f(x0)+α(x-x0)，又因[f(x0)+α(x-x0)]==+∞.(Ⅱ)因，由极限的不等式性质x0∈(a，+∞)，当x＞x0时f’(x)＞＞0，由题(Ⅰ)得=+∞.知识点解析：暂无解析23、证明奇次方程a0x2n+1+a1x2n+…+a2x+a2n+1=0一定有实根，其中常数a0≠0．标准答案：记方程左端为函数f(x)，设a0＞0，只需证明：=-∞即得结论．不妨设a0＞0．令f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1x，则又f(x)在(-∞，+∞)连续，因此在(-∞，+∞)内f(x)至少存在一个零点．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在(-∞，+∞)可导，且=A，求证：∈(-∞，+∞)，使得f’(c)=0．标准答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图4．3)．若f(x)≡A，显然成立．若f(x)≠A，必存在x0，f(x0)≠A，不妨设f(x0)＜A．由极限不等式性质，＞x0，f(b)＞f(x0)；＜x0，f(a)＞f(x0)．f(x)在[a，b]有最小值，它不能在x=a或x=b处达到，必在(a，b)内某点c处达到，于是f’(c)=0．知识点解析：暂无解析25、设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；(Ⅲ)令xn=，考察f’(xn)是正的还是负的，n为非零整数；(Ⅳ)证明：对，f(x)在(-δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．标准答案：(Ⅰ)当x≠0时按求导法则得当x=0时按导数定义得(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x2＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x=0是f(x)的极大值点．(Ⅲ)令xn=(n=±1，±2，±3，…)，则sin=(-1)n，于是f’(xn)=(Ⅳ)对＞0，当n为负奇数且｜n｜充分大时xn∈(-δ，0)，f’(xn)＜0f(x)在(-δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时xn∈(0，δ)，f’(xn)＞0f(x)在(0，δ)不单调下降．知识点解析：暂无解析26、求函数f(x)=(x∈(-∞，+∞))的最小值．标准答案：先求导数并得驻点．由f’(x)=0即再求由于f(x)在(-∞，+∞)内可导，且有唯一的极小值点x=，因而必是最小值点，f(x)的最小值为.知识点解析：暂无解析27、将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?标准答案：设围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a-x，于是圆的半径r=，正方形边长(a-x)，问题是求面积S(x)=，x∈(0，a)的最小值点．由时面积和最小．知识点解析：暂无解析28、求从点A(10，0)到抛物线y2=4x的最短距离．标准答案：抛物线上点到A(10，0)的距离的平方(如图4．4)为d(y)=+y2．问题是求d(y)在[0，+∞)上的最小值(d(y)在(-∞，+∞)为偶函数)．由于在(0，+∞)解d’(y)=0得于是=36，d(0)=100.又在[0，+∞)的最小值为36，即最短距离为6．知识点解析：暂无解析29、求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2-2所围面积取最小值，并求此最小值．标准答案：如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是，于是切线方程是它与y=x2-2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x2+xcotθ-2-=0的根，并且切线与抛物线所围面积为∫αβ[-xcotθ+-(x2-2)]dx=-∫αβ(x2+xcotθ-2-)dθ=-∫αβ(x-α)(x-β)dx=∫αβ(x-α)d(x-β)2=∫αβ(x-β)2dx=(β-α)3．为求(β-α)3最小值，只要求(β-α)2最小值，由一元二次方程根与系数关系得(β-α)2=(β+α)2-4αβ所以，当+2=0时取最小值3．由因此，所围面积最小值为所求切线有两条：知识点解析：暂无解析30、要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V0m3．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低?标准答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m2，水池造价为y，则y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa，0＜r＜+∞．现求y(r)在(0，+∞)上的最小值点．求y’(r)：因此，当时，y取最小值，即水池造价最低．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足，则x=0A、是f(x)的驻点，且为极大值点．B、是f(x)的驻点，且为极小值点．C、是f(x)的驻点，但不是极值点．D、不是f(x)的驻点．标准答案：C知识点解析：本题应先从x=0是否为驻点入手，即求f’(0)是否为0；若是．再判断是否为极值点．由=0，从而f(0)=0，f’(0)==-1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内；由于1-cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选(C)．2、设f(x)满足f(x)在x=0处三阶可导，且，则正确的是A、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)是f(x)的极大值．标准答案：C知识点解析：由条件=1及f’(x)在x=0连续且=f’(0)=0．用洛必达法则得型未定式极限因=f’’(0)，若f’’(0)≠0，则J=∞与J=1矛盾，故必有f’’(0)=0．再由f’’(0)的定义得f’’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．3、设f(x)满足f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且f’’(x)-xf’(x)=ex-1，则下列说法正确的是A、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)是f(x)的极大值．标准答案：B知识点解析：已知f’(0)=0，现考察f’’(0)．由方程得又f’’(x)在x=0连续f’’(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选(B)．二、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)4、证明函数恒等式arctanx=，x∈(-1，1)．标准答案：令f(x)=arctanx，g(x)=，要证f(x)=g(x)当x∈(-1，1)时成立，只需证明：1°f(x)，g(x)在(-1，1)可导且当x∈(-1，1)时f’(x)=g’(x)；2°x0∈(-1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函数的性质知f(x)与g(x)都在(-1，1)内可导，计算可得即当x∈(-1，1)时f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此当x∈(-1，1)时f(x)=g(x)，即恒等式成立．知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)，g(x)在x=x0有连续的二阶导数且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)，f’’(x0)=g’’(x0)≠0，说明这一事实的几何意义．标准答案：曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切，在点M0的某邻域有相同的凹凸性．因f’’(x)，g’’(x)在x0处连续，f’’(x0)=g’’(x)＞0(或＜0)x0的某邻域(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)时f’’(x)＞0，g’’(x)＞0(或f’’(x)＜0，g’’(x)＜0)．又由曲率计算公式知，这两条曲线在点M0处有相同的曲率知识点解析：暂无解析6、设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(a)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)标准答案：必要性：设(*)成立，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2-x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1-x2)．两式相加[f’(x1)-f’(x2)](x2-x1)＞0f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)单调减少．充分性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)-[f(x0)+f’(x0)(x-x0)]=[f’(ξ)-f’(x0)](x-x0)＜0，其中ξ在x与x0之间，即(*)成立．知识点解析：暂无解析7、求函数y=x+的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点．标准答案：(Ⅰ)定义域x≠±1，间断点x=±1，零点x=0，且是奇函数.(Ⅱ)求y’，y’’和它们的零点．由y’=0得驻点x=0，；由y’’=0得x=0，由这些点及间断点x=±1把函数的定义域按自然顺序分成．由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点．因此，单调增区间是，单调减区间是；极大值点是x=，对应的极大值是，极小值点是x=，对应的极小值是；凸区间是(-∞，-1)，(0，1)，凹区间是(-1，0)，(1，+∞)；拐点是(0，0)．知识点解析：暂无解析8、求曲线y=+ln(1+ex)的渐近线方程．标准答案：只有间断点x=0，因，故有垂直渐近线x=0．又因此，x→+∞时有斜渐近线y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→-∞时有水平渐近线y=0．知识点解析：暂无解析9、运用导数的知识作函数y=x+的图形．标准答案：求渐近线．只有两个间断点x=±1，=±∞，则x=1为垂直渐近线．又=±∞，则x=-1也是垂直渐近线．又所以y=x是斜渐近线，无水平渐近线．综上所述，作函数图形如图4．7所示．知识点解析：暂无解析10、在椭圆内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积.标准答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x=，因S(0)=S(a)=0，=2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即内接矩形最大面积为2ab．知识点解析：暂无解析11、在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?标准答案：设外切圆锥体的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO=φ，则，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求的最小值点．由于因此，当时圆锥体体积最小．知识点解析：暂无解析12、设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函数．标准答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx-af(a)，对a求导得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)-af’(a)-f(a)，由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知识点解析：即证对a有函数恒等式∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx=af(a)成立．13、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，ff(x)≥0，f(x)≥f’(x)(＞0)，求证：f(x)≡0．标准答案：由f’(x)-f(x)≤0，得e-x[f’(x)-f(x)]=[e-xf(x)]’≤0．又f(x)e-x｜x=0=0，则f(x)e-x≤f(x)e-x｜x=0=0．进而f(x)≤0(x∈[0，+∞))，因此f(x)≡0(∈[0，+∞))．知识点解析：暂无解析14、证明函数f(x)=在(0，+∞)单调下降．标准答案：下证2xln2x-(1+2x)ln(1+2x)＜0(＞0)．令t=2x，则x＞0时t＞1，2xln2x-(1+2x)ln(1+2x)=tlnt-(1+t)ln(1+t)=g(t)．由于(xlnx)’=lnx+1＞0(x＞1)xlnx在(1，+∞)单调上升tlnt=(1+x)ln(1+t)＜0，2xln2x-(1+xx)ln(1+2x)＜0．因此f’(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)单调下降．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)=0，f’’(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．标准答案：要证在(0，a]单调下降，只需证明导数为此令F(x)=xf’(x)-f(x)，则只需证F(x)＜0(∈(0，a])．对F(x)求导得F’(x)=xf’’(x)＜0(∈(0，a])．又F(0)=0，则F(x)＜0(∈(0，a])，即xf’(x)-f(x)＜0(0＜x≤a)．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f’’(x0)=f’’’(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．标准答案：由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f’’’(x)在(a，b)单调上升．又因f’’’(x0)=0，故从而f’’(x)在(a，x0]单调下降，在[x0，b)单调上升．又f’’(x0)=0，故f’’(x)＞0(x∈(a，b)，x≠x0)，因此f(x)在(a，b)为凹函数．知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?标准答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得6y2y’-4yy’+2xy’+2y-2x=0，整理得(Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得2x3-2x2+2xx-x2=1，即x3-x2+x3-1=0，(x-1)(2x2+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y2-2y+x≠0．因此求得驻点x=1．(Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y2-2y+x)y’=x-y．②将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=1，得2y’’(1)=1，y"(1)=＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．知识点解析：暂无解析18、求函数y=(x∈(0．+∞))的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．标准答案：函数在定义域(0，+∞)上处处连续，先求y’，y’’和它们的零点及不存在的点．y’=(x3-y"=.3(x2-1)2+2x(x3-=-2(x3-[(x2-1)2-x(x3-3x)]由y’得x=1；x=时y’不存在；x=时y’’不存在；无y’’=0，的点．现列下表：因此得单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+∞)，x=1是极小值点，凹区间是，凸区间是是拐点．最后求渐近线．因，所以无垂直渐近线．由于因此只有斜渐近线y=x．知识点解析：暂无解析19、设a＞0，求f(x)=的最值．标准答案：f(x)在(-∞，+∞)上连续且可写成如下分段函数由此得x∈(-∞，0)时f’(x)＞0，故f(x)在(-∞，0]单调增加；x∈(a，+∞)时f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)单调减少．从而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(-∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a-x)2-(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(-∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(-∞，0)单调增加，在(a，+∞)单调减少，又f(x)在[0，a]的最小值因此f(x)在(-∞，+∞)上无最小值．知识点解析：暂无解析20、求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值．标准答案：由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得f’(x)=2x(2-x2)e-x2．解f’(x)=0得x=0与x=，于是从而，f(x)的最大值是=∫02(2-t)e-tdt=∫02(2-t)de-t=(t-2)e-t｜02-∫02e-tdt=2+e｜02=1+e-2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与的大小．由于=∫0+∞(2-t)e-tdt=[(t-2)e-t+e-t]｜0+∞=1＞f(0)=0．因此f(0)=0是最小值．知识点解析：暂无解析21、在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．标准答案：过椭圆上任意点(x0，y0)的切线的斜率y’(x0)满足切线方程为y-y0=(x-x0)．分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为S(x0)=πab．问题是求：S(x)=(0＜x＜a)的最小值点，其中，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x2(a2-x2)在闭区间[0，a]上的最大值点．由f’(x)=2x(a2-2x2)=0(x∈(0，a))得a0-2x0=0，x=x0=．注意f(0)=f(a)=0，f(x0)＞0，故x0=是f(x)在[0，a]的最大值点．因此为所求的点．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?标准答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程．两边乘积分因子(取其中一个)，得ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件得2=∫01(ax2+Cx)dx=，则C=4-a．因此，f(x)=ax2+(4-a)x，其中a为任意常数使得(x)＞0(x∈(0，1))．，有f(0)=0，f(1)=a+4-a=4+．又f’(x)=3ax+4-a，由此易知-8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋转体的体积．V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01[ax2+(4-a)x]2dx=π∫01[(x4+x2-3x3)a2+(12x3-8x2)a+16x2]dx(Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于则当a=-5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图4．10中阴影部分的面积最大?最小?标准答案：由于S(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx+∫tb[f(x)-f(t)]dx=t(ft)-∫0tf(x)dx+∫tbf(x)dx+(t-b)f(t)在[0，b]可导，且S’(t)=tf’(t)+f(t)-f(t)-f(t)+f(t)+(t-b)f’(t)则S(t)在时，S(t)取最小值．S(t)在[0，b]连续，也一定有最大值，且只能在t=0或t=b处取得．S(0)=∫∫0bf(x)dx-bf(0)，S(b)=bf(b)-∫0bf(x)dx，S(b)-S(0)=不能肯定．最大值点不确定但只能在t=0或t=b处取得．知识点解析：暂无解析24、证明：当x＞1时0＜(x-1)2．标准答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+-2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即lnx+-2＞0.令g(x)=(x-1)3，则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即lnx+(x-1)2当x＞1时成立．知识点解析：暂无解析25、当x≥0，证明∫0x(t-t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．标准答案：利用定积分的性质来证明．由于f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt=∫01(t-t2)sin22ntdt+∫1x(t-t2)sin2ntdt，因为当t≥1时t-t2≤0，所以∫1x(t-t2)sin2ntdt＜0．于是f(x)≤∫01(t-t2)sin2ntdt≤∫01(t-t2)t2ndt=.知识点解析：暂无解析26、求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．标准答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，则有f(0)=0，f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0，f’’(x)=2-[x-ln(1+x)]，f’’(0)=0，f’’’(x)=，f’’’(0)=0．于是f’’(x)当x≥0时单调增加，又f’’(0)=0，所以当x＞0时f’’(x)＞f’’(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．知识点解析：暂无解析27、求证：x∈(0，1)时标准答案：令，当x＞0时有故g(x)在(0，1)内单调下降．又g(x)在(0，1]连续，且g(1)=-1，g(x)在x=0无定义，但若补充定义g(0)=，则g(x)在[0，1]上连续．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]单调下降．所以，当0＜x＜1时g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立．知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞-f(x)，∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．标准答案：要证f(x)＞0exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)exf(x)在[0，+∞)单调上升exf(x)>exf(x)｜x=0=0(x＞0)f(x)＞0(x＞0)．知识点解析：暂无解析29、求证：x∈[0，11]时，≤xp+(1-x)p≤1，p＞1；1≤xp+(1-x)p≤，0＜p＜1．标准答案：令f(x)=xp+(1-x)p，则f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且有f’(x)=p[xp-1-(1-x)p-1]．令f’(x)=0得x=易知f(0)=f(1)=1，当p＞1时，1＞f(x)在[0，1]的最大值为1，最小值为≤f(x)≤1，x∈[0，1]．当0＜p＜1时，1＜f(x)在[0，1]的最大值为，最小值为11≤f(x)≤，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)-f(x2)｜＜标准答案：联系f(x1)-f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形：1)若x2-x1＜，直接用拉格朗日中值定理得｜f(x1)-f(x2)｜=｜f’(ξ)(x1-x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2-x1｜＜2)若x2-x1≥，当0＜x＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得｜f(x1)-f(x2)｜=｜[f(x1)-f(0)]-[f(x2)-f(1)]｜≤｜f(x1)-f(0)｜+｜f(1)-f(x2)｜=｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1-x2)｜＜x1+(1-x2)=1-(x2-x1)≤①当x1=0且x2≥时，有｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(0)-f(x2)｜=｜f(1)-f(x2)｜=｜f’(η)(1-x2)｜＜②当x1≤且x2=1时，同样有｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(x1)-f(1)｜=｜f(x1)-f(0)｜=｜f’(ξ)(x1-0)｜＜因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有｜f(x1)-f(x2)｜＜知识点解析：暂无解析31、求证：(x∈(0，1))．标准答案：改写右端对f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]区间用柯西中值定理：余下只需证注意函数在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、若xf"(x)+3x[f’(x)]2=1－ex且f’(0)=0，f"(x)在x=0连续，则下列正确的是A、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．B、f(0)是f(x)的极小值．C、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．D、f(0)是f(x)的极大值．标准答案：D知识点解析：由f’(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f"(0)，把方程改写为f"(x)+3[f’(x)]2=令x→0，得f"(0)==－1＜0=>f(0)为极大值．故选D．2、若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)A、没有零点．B、至少有一个零点．C、只有一个零点．D、有无零点不能确定．标准答案：C知识点解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0(事实上只需x＞)，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f’(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选C．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、f(x)=的极大值点是x=________，极小值点是x=________．标准答案：x=0；x=和x=知识点解析：0＜｜x｜＜1时f(x)＜0，按定义x=0是极大值点，x＞0时=>x=是极小值点．由于f(x)是偶函数，x=也是极小值点．4、数列1，，…的最大项为________．标准答案：知识点解析：考察函数f(x)=(x≥1)，求f(x)在[1，+∞)上的最大值．由=>f(x)在[1，e]单调上升，在[e，+∞)单调下降，f(x)=在x=e取最大值，它的相邻两点是x=2，3．现比较f(2)=，因此，最大项是：．三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)5、设函数f(x)，g(x)在x=x0有连续的二阶导数且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)，f"(x0)=g"(x0)≠0，说明这一事实的几何意义．标准答案：曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切，在点M0的某邻域有相同的凹凸性．因f"(x)，g"(x)在x0处连续，f"(x0)=g"(x0)＞0(或＜0)=>x0的某邻域(x0－δ，x0+δ)，当x∈(x0－δ，x0+δ)时f"(x)＞0，g"(x)＞0(或f"(x)＜0，g"(x)＜0)．又由曲率计算公式知，这两条曲线在点M0处有相同的曲率知识点解析：暂无解析6、求曲线y=+ln(1+ex)的渐近线方程．标准答案：只有间断点x=0，因=∞，故有垂直渐近线x=0．又因此，x→+∞时有斜渐近线y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→－∞时有水平渐近线y=0．知识点解析：暂无解析7、设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函数．标准答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx－af(a)，对a求导得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)－af’(a)－f(a)，由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)=0，f"(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．标准答案：对F(x)求导得F’(x)=xf"(x)＜0(x∈(0，a])．又F(0)=0，则F(x)＜0(x∈(0，a])，即xf’(x)－f(x)＜0(0＜x≤a)．知识点解析：暂无解析9、设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?标准答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得6y2y’－4yy’+2xy’+2y－2x=0，整理得y’=①(Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得2x3－2x2+2xx－x2=1，即x3－x2+x3－1=0，(x－1)(2x2+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y2－2y+x≠0．因此求得驻点x=1．(Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y2－2y+x)y’=x－y．②将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=1，得2y"(1)=1，y"(1)=＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．知识点解析：暂无解析10、求函数f(x)=(2－t)e－tdt的最值．标准答案：由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得f’(x)=2x(2－x2)解f’(x)=0得x=0与x=，于是从而f(x)的最大值是=∫02(2－t)e－tdt=－∫02(2－t)de－t=(t－2)e－t｜02－∫02e－tdt=2+e－t｜02=1+e－2由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与的大小．由于=∫0+∞(2－t)e－tdt=[(t－2)e－t+e－t]｜0+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图4．10中阴影部分的面积最大?最小?标准答案：由于S(t)=∫0t[f(t)－f(x)]dx+∫tb[f(x)－f(t)]dx=tf(t)－∫0tf(x)dx+∫tbf(x)dx+(t－b)f(t)在[0，b]可导，且S’(t)=tf’(t)+f(t)－f(t)－f(t)+f(t)+(t－b)f’(t)则S(t)在时，S(t)取最小值．S(t)在[0，b]连续，也一定有最大值，且只能在t=0或t=b处取得．S(0)=∫0bf(x)dx－bf(0)，S(b)=bf(b)－∫0bf(x)dx，S(b)－S(0)=不能肯定．最大值点不确定但只能在t=0或t=b处取得．知识点解析：暂无解析12、求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．标准答案：令f(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，则有f(0)=0，f’(x)=2x－ln2(1+x)－2ln(1+x)，f’(0)=0，f"(x)=，f’(0)=0，f"’(x)=，f"’(0)=0．于是f"(x)当x≥0时单调增加，又f"(0)=0，所以当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．知识点解析：暂无解析13、求证：x∈[0,1]时，≤xp+(1－x)p≤1，p＞1；1≤xp+(1－x)p≤，0＜p＜1．标准答案：令f(x)=xp+(1－x)p，则f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且有f’(x)=p[xp－1－(1－x)p－1]．令f’(x)=0得x=．易知f(0)=f(1)=1，当p＞1时，1＞=>f(x)在[0，1]的最大值为1，最小值为=>≤f(x)≤1，x∈[0，1]．当0＜p＜1时，1＜=>f(x)在[0，1]的最大值为，最小值为1=>≤f(x)≤，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．标准答案：即证[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0．考察F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，若能证明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．这可用单调性方法．令F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，易知F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，F’(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]．由条件知，f(x)在[0，1]单调上升，f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F’(x)与g(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)同号．再考察g’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(x∈(0，1))，g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此F(1)=[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0．即结论成立．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在(－∞，a)内可导，，求证：f(x)在(－∞，a)内至少有一个零点．标准答案：由极限的不等式性质，δ＞0，当x∈[a－δ，a)时＞0，即f(x)＜0，也就有f(a－δ)＜0．x0＜a－δ，当x≤x0时f’(x)≤＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x0，ξ∈(x，x0)使得f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x－x0)≥f(x0)+(x－x0)，由此可得使得f(z1)>0．在[x1，a－δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x1，a－δ)上至少存在一个零点．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在(a，b)内可导，且=A．求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．标准答案：设g(x)=则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于g(x)即知存在ξ∈(a，b)使得g’(ξ)=f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f(m)(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点．标准答案：(Ⅰ)令F(x)=，显然，F’(x)=f(x)．由于F’(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在[0，2π]上连续，从而必有最大值与最小值．设F(x)