考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷2（共278题）

考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷2（共9套）（共278题）考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、当χ→0时，χ－sinχ是χ2的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：因为＝0，所以χ－sinχ为χ2的高阶无穷小，应选B．2、设y＝f(χ)由cos(χy)＋lny－χ＝1确定，则＝()．A、2B、1C、－1D、－2标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、＝_______．标准答案：1知识点解析：4、设f(χ)＝aχ(a＞0，a≠1)，则＝_______．标准答案：lna知识点解析：5、若a＞0，，则a＝_______．标准答案：36知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：2ln2－1知识点解析：8、＝_______．标准答案：知识点解析：9、设f(χ)＝，则f(χ)的间断点为χ＝_______．标准答案：0知识点解析：当χ≠0时，f(χ)＝当χ＝0时，f(0)＝0，即f(χ)＝因为＝∞，所以χ＝0为f(χ)的间断点，且为第二类间断点．10、设f(χ)＝，在χ＝0处连续，则A＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)11、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析12、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、求极限ln(1＋χt)dt．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(χ)连续，且f(0)＝0，f′(0)＝2，求标准答案：知识点解析：暂无解析17、设F(χ)＝∫0χtisin(χ2－t2)dt，求标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f′(χ)连续，f(0)＝0，f′(0)≠0，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析22、设χn＝，求χn标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(χ)在χ＝0的某邻域内有连续导数，且＝2，求f(0)及f′(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(χ)在χ＝0处连续可导，且＝1，求f〞(0)．标准答案：由得f(0)＝0，得f〞(0)＝－1．知识点解析：暂无解析25、＝5，求标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(χ)在χ＝χ0处可导，且f(χ0)≠0，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(χ)＝，求f′(χ)．标准答案：则f′(χ)＝(1＋2χ)e2χ．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)＝且f(χ)存在，求a．标准答案：因为存在，所以f(0－0)＝f(0＋0)，故a＝．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)＝，研究f(χ)．标准答案：f(0－0)＝f(χ)＝1，f(0＋0)＝f(χ)＝－1，因为f(0－0)≠f(0＋0)，所以f(χ)不存在．知识点解析：暂无解析30、设f(χ)＝，求f(χ)的连续区间及间断点．标准答案：f(χ)＝，f(χ)的连续区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)．因为f(χ)＝＋∞，所以χ－1为f(χ)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析31、求函数y＝的间断点，并进行分类．标准答案：χ＝0，χ＝1及χ＝2为函数的间断点．由＝－1，得χ＝0为函数的可去间断点；由＝0得χ＝1为函数的可去间断点；由＝∞得χ＝2为函数的第二类间断点．知识点解析：暂无解析32、设f(χ)在(0，1)内有定义，且eχf(χ)与e－f(χ)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(χ)在(0，1)内连续．标准答案：对任蒽的c∈(0，1)，当χ＜c时，由eχf(χ)≤ecf(c)及e－f(χ)≤e－f(c)得f(c)≤f(χ)≤ec－χf(c)，令χ→c－得f(c－0)＝f(c)；当χ＞c时，由eχf(χ)≥ecf(c)及e－f(χ)≥e－f(c)得f(c)≥f(χ)≥ec－χf(c)，今χ→c＋得f(c＋0)＝f(c)，因为f(c－0)＝f(c＋0)＝f(c)，所以f(χ)在χ＝c处连续，由c的任意性得f(χ)在(0，1)内连续．知识点解析：暂无解析33、设，若F(χ)＝f(χ)＋g(χ)在R上连续，求a，b．标准答案：F(－1)＝f(－1)＋g(－1)＝1－1＝0，F(－1－0)＝f(－1－0)＋g(－1－0)＝a－1，F(－1＋0)＝f(－1＋0)＋g(－1＋0)＝1－1＝0，由F(χ)在χ＝－1处连续，所以a＝1；F(1)＝f(1)＋g(1)＝－1＋b，F(1－0)＝f(1－0)＋g(1－0)＝－1＋1＝0，F(1＋0)＝f(1＋0)＋g(1＋0)＝－1＋b，由F(χ)在χ＝1处连续得b＝1，故a＝1，b＝1．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：因为当χn＝(n＝1，2，…)时，＝∞，当yn＝(n＝1，2，…)时，＝0，所以极限不存在但不是∞，选C．2、当χ→1时，f(χ)＝的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：显然＝2，因为f(χ)＝2＝＋∞，而＝0，所以f(χ)不存在但不是∞，选D．3、设f(χ)连续且F(χ)＝f(t)dt，则F(χ)为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：＝a2f(a)，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、＝_______．标准答案：－2知识点解析：5、＝_______．标准答案：ln6－知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：当χ→0时，7、＝_______．标准答案：知识点解析：由，得8、＝_______．标准答案：知识点解析：因为sinχ＝χ－＋o(χ3)，所以当χ→0时(1＋χ2)sinχ－χ～χ3故原式＝．9、＝_______．标准答案：2知识点解析：10、＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、若＝0，求．标准答案：得＝36知识点解析：暂无解析12、设＝A，求．标准答案：因为χ→时，，所以A＝即＝A．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：由arctanχ－χ－＋o(χ3)得当χ→0时，χ2(χ－arctanχ)～，知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：因为χ→0+时，所以知识点解析：暂无解析16、设f(χ)＝∫0tanχarctant2dt，g(χ)＝χ－sinχ，当χ→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：因为当χ→0时，g(χ)＝χ－sinχ＝χ－(χ－＋o(χ3))～χ3，所以当χ→0时，f(χ)＝∫0tanχarctant2dt与g(χ)＝χ－sinχ是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)连续，且＝e3，且f′(0)存在，求f′(0)．标准答案：由＝e3得f(0)＝0，则f′(0)＝3．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)二阶连续可导，f〞(0)＝4，＝0，求．标准答案：因为＝0，所以f(0)＝0，f′(0)＝0，又f(χ)二阶连续可导且f〞(0)＝4，所以f(χ)＝2χ2＋o(χ2)，所以＝e2知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、求标准答案：故原式＝知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、求标准答案：知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：所以＝e．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则()A、a=1，B、a=1，C、a=一1，D、a=一1，标准答案：A知识点解析：由泰勒公式知从而解得a=1，即a=1，2、设当x→0时，f(x)=ax3+bx与是等价无穷小，则()A、b=1B、a=3，b=0C、b=0D、a=1，b=0标准答案：C知识点解析：由于当b≠0时，该极限为∞，于是b=0，从而3、若在(一∞，+∞)上连续，且则()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0标准答案：D知识点解析：因故k＞0．若λ＞0，则必存在一个x使得λ—e-kx=0，即分母为0，矛盾，故λ≤0．4、设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因为因此n=4．5、设f2(x)=f1[f1(x)]，fk+1(x)=f1[fk(x)]，k=1，2，…，则当n＞1时，fn(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设则因此对任意n≥1，有故选(C)．6、设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上都有定义，且x=x1是f(x)的唯一间断点，x=x2是g(x)的唯一间断点．则()A、当x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x1B、当x1≠x2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2C、当x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x=x1D、当x1≠x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2标准答案：B知识点解析：反证法．令ω(x)=f(x)+g(x)．当x1≠x2时，若ω(x)在x=x1处连续，由f(x)=ω(x)一g(x)及题设g(x)仅在x=x2处间断，可以推知f(x)在x=x1处亦连续，与题干矛盾，故ω(x)在x=x1处间断．同理可推知ω(x)在x=x2处亦间断．所以(B)正确．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)7、标准答案：e-π知识点解析：因为所以8、设存在且不为零，则常数k=_____________．标准答案：100知识点解析：由此可知，极限存在且不为零的充要条件是99一k+1=0，即k=100．9、设则标准答案：知识点解析：由积分的定义知，因此三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)10、求极限：标准答案：因为又由夹逼准则得知识点解析：暂无解析11、求极限：标准答案：这是“∞一∞”型未定式极限，首先通分变成型未定式，然后使用洛必达法则求极限．或利用等价无穷小代换ex一1～x(x→0)，则知识点解析：暂无解析12、设f(x)的二阶导数在x=0处连续，且试求f(0)，f’(0)，f"(0)以及极限标准答案：依题意有故所以有所以这是“1∞”型未定式．由得f(0)=0．将原极限凑成第二个重要极限，其中所以必有于是有从而得f’(0)=0，f"(0)=4．则知识点解析：暂无解析13、设a＞0，x1＞0，n=1，2，…，试求标准答案：因为故{xn}有下界，又故{xn}单调递减，所以存在．令于是解得故知识点解析：暂无解析14、试讨论函数在点x=0处的连续性．标准答案：所以：当α＞0且β=一1时，有g(0-)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0处连续；当α＞0且β≠一1时，有g(0-)≠g(0+)，故点x=0是g(x)的跳跃间断点；当α≤0时，点x=0是g(x)的振荡间断点．知识点解析：暂无解析15、求函数的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故点x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，在x=1处没有定义，且振荡，不存在，故点x=1是函数F(x)的振荡间断点．当x＜0时，在点列处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对点有故点是函数F(x)的可去间断点；而点列显然是函数F(x)的无穷间断点．知识点解析：暂无解析16、设求f(x)的间断点并判定其类型．标准答案：因故x=0为可去间断点．又故x=一1为跳跃间断点．知识点解析：暂无解析17、设求f(x)的间断点，并说明间断点的类型．标准答案：f(x)在区间(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)上都是初等函数，且是连续的．f(0)无定义，故x=0是间断点．因为所以x=0为跳跃间断点．f(1)无定义，故x=1是间断点．因为所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)由下列表达式确定，求f(x)的连续区间和间断点，并判定间断点的类型．标准答案：显然x=1为间断点，连续区间为(一∞，1)∪(1，+∞)．由于所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上的一个点列，求标准答案：本题考虑夹逼准则．由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根据夹逼准则，得知识点解析：暂无解析20、(1)求函数的表达式，x≥0；(2)讨论函数f(x)的连续性．标准答案：(1)当时，有当时，有当x≥2时，有又故(2)因为f(x)在[2，+∞)上均连续，又所以f(x)在[0，+∞)上连续．知识点解析：暂无解析21、如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?标准答案：在题设两种情况下，{xnyn)的收敛性都不能确定．现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn)必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限的除法法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：①yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛．②yn=(一1)nn，则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾．若{xn}和{yn}都不是无穷大，且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：③xn=yn=(一1)n，有xnyn=1，于是{xnyn}收敛．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn)发散．知识点解析：暂无解析22、已知是连续函数，求a，b的值．标准答案：当x=1时，当|x|＜1时，当|x|＞1时，当x=一1时，于是只需讨论分界点处的连续性：在x=1处，有要使f(x)在x=1处连续，则a+b=1；在x=一1处，有f(-1)=要使f(x)在x=一1处连续，则a一b=一1．综上可得，当a=0，b=1时，是连续函数．知识点解析：暂无解析23、设为了使f(x)对一切x都连续，求常数a的最小正值．标准答案：当|x|＜1时，所以f(x)=sinax；当|x|＞1时，又f(1)=1，f(一1)=一1，所以由此可得，f(x)在(一∞，-1]，(一1，1)，[1，+∞)内连续，故只需f(x)在x=一1，x=1这两点处连续即可．因为所以即为常数a的最小正值．知识点解析：暂无解析24、设在0＜x≤1时函数f(x)=xsinx其他的x满足关系式f(x)+k=2f(x+1)，试求常数k使极限存在．标准答案：因求“00”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数u(x)v(x)化为复合函数ev(x)lnu(x)，故其中，(*)处通过等价无穷小代换与洛必达法则得根据题设的关系式知f(x)=2f(x+1)一k，得由上述结果可得f(x)在x=0处的右极限f(0+)=1，而其左极限要使极限存在，应有2一k=f(0-)=f(0+)=1，故k=1．知识点解析：暂无解析25、证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．标准答案：不妨设．f(x)在(a，b)内是单调递增的，x0∈(a，b)是f(x)的间断点．再设x∈(a，x0)，则x＜x0，由单调递增性知：f(x)＜f(x0)(为常数)，即f(x)在(a，x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：式中“≤”处若取“一”号，则f(x)在点x0处左连续，同理可证，当x＞x0时，单调增函数f(x)存在右极限x(x0)≥f(x0)，则f(x)在x0处右连续．反之点x0为跳跃间断点．综合之，单调增函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，故若x0是f(x)的间断点，则x0一定是f(x)的第一类间断点．同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形．知识点解析：暂无解析26、设y=y(x)是由方程y2+xy+x2一x=0确定，且满足y(1)=一1的连续函数，求标准答案：因为y(1)=一1，所以所给极限为由洛必达法则得对所给的方程两边求导得2yy’xy’+y+2x一1=0，即当x→1时y→一1，y’(x)→0．所以(*)式又是于是有又(**)式求导可得当x→1时y→一1，y’(x)→0，于是y"(x)→2．所以知识点解析：暂无解析27、(1)设k为正整数，证明：F(x)存在唯一的零点，记为xk；(2)对于(1)中的xk，证明：存在，且其极限值小于2．标准答案：(1)故F(x)至少存在一个零点．又故至多存在一个零点．所以F(x)有且仅有一个零点xk，且(2)因由单调有界定理知存在，且极限值小于2．知识点解析：暂无解析28、设a＞0，b＞0，a≠b，求标准答案：知识点解析：暂无解析29、求函数的所有间断点，并判断它们的类型．标准答案：考虑函数无定义的点，间断点有x=一2，一1，0，1．在点x1=一2处，由可知f(x)在点x1=一2的半径小于1的去心邻域内有界；同时，任一半径小于1的去心邻域内f(x)的函数值无限振荡，振幅不趋于0，所以x1=一2是f(x)的振荡间断点．在点x2=一1处，由于即在点x2=一1的半径小于1的去心邻域内有界；而所以从而可知x2=一1是f(x)的可去间断点．在点x3=0处，由于所以x3=0是f(x)的无穷间断点．在点x4=1处，由于所以x4=1是f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．证明30、当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1；标准答案：记F1(x)=ln(1+x)一x，则于是F1(x)在(0，1)内单调减少，由F1(0)=0，知F1(x)＜0，x∈(0，1)，从而ln(1+x)＜x；记F2(x)=x-ex+1，则F’2(x)=1一ex＜0，于是F2(x)在(0，1)内单调减少，由F2(0)=0，知F2(x)＜0，x∈(0，1)，从而x＜ex一1．故ln(1+x)＜x＜ex一1，0＜x＜1．知识点解析：暂无解析31、存在，并求该极限．标准答案：当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex一1．由01＜1，可知0＜ex2—1一ln(1+x1)＜x1＜1，从而0＜x2＜1．同理可证当0＜x＜k<1时，xk+1同样满足0＜xk+1＜1，由数学归纳法知对一切n=1，2，…，有0＜xn＜1，即数列{xn}是有界的．又当0＜xn＜1时xn+1＜exn+1一1=ln(1+xn)＜xn，即{xn}单调减少．由单调有界准则知存在．将该极限值记为a，则a≥0．对ln(1+xn)=exn+1一1两边取极限，得ln(1+a)=ea一1．设f(x)=ex一1一ln(1+x)，当0＜x＜1时，因此f(x)单调增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(χ)＝，则f(χ)()．A、无间断点B、有间断点χ＝1C、有间断点χ＝－1D、有间断点χ＝0标准答案：B知识点解析：当｜χ｜＜1时，f(χ)＝1＋χ；当｜χ｜＞1时，f(χ)＝0；当χ＝－1时，f(χ)＝0；当χ＝1时，f(χ)＝1．于是f(χ)＝，显然χ＝1为函数f(χ)的间断点，选B．2、设＝b其中a，b为常数，则()．A、a＝1，b＝1B、a＝1，b＝－1C、a＝－1，b＝1D、a＝－1，b＝－1标准答案：B知识点解析：因为＝∞，所以＝∞，即a＝1，又＝－1，选B．3、f(χ)在[－1，1]上连续，则χ＝0是函数g(χ)＝的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：显然χ＝0为g(χ)的间断点，因为f＝(0)，所以χ＝0为g(χ)的可去间断点，选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：当χ→0时，于是5、若f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：，因为f(χ)在χ＝0处连续，所以1＋＝a，故a＝2．6、设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：e-1知识点解析：因为＝e-1，所以a＝e-1．7、设f(χ)连续可导，f(0)＝0且f′(0)＝b，若F(χ)＝在χ＝0处连续，则A＝_______．标准答案：a＋b知识点解析：因为F(χ)在χ＝0处连续，所以A＝a＋b．8、设f(χ)连续，且F(χ)＝∫aχf(t)df，则F(χ)＝_______．标准答案：a2f(a)知识点解析：9、设f(χ)可导且＝2，又g(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：3知识点解析：由∫0χ(χ－t)dt∫0χf(u)du，当χ→0时，χ－arctanχ＝χ－[χ－＋o(χ3)]～得因为g(χ)在χ＝0处连续，所以a＝3．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、设f(χ)＝是连续函数，求a，b．标准答案：f(χ)＝，因为f(χ)是连续函数，所以f(－1－0)＝－1＝f(－1)＝(a－b－1)＝f(－1＋0)＝a－b，f(1－0)＝a＋b＝f(1)＝(a＋b＋1)＝f(1＋0)＝1，解得a＝0，b＝1．知识点解析：暂无解析11、确定正数a，b，使得＝2．标准答案：显然b＝1，且＝2，故a＝1．知识点解析：暂无解析12、求常数m，n，使得＝3．标准答案：由＝3得m＋n＋1＝0，得m＋2＝6，解得m＝4，n＝－5．知识点解析：暂无解析13、设an＝，证明：{an}收敛，并求．标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n＝1时，a1＝≤3，设n＝k时，ak≤3，当n＝k＋1时，ak+1＝＝3，由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以an存在．令an＝A，由an+1＝，得A＝，解得A＝3，即an＝3．知识点解析：暂无解析14、设a1＝1，an+1＋＝0，证明：数列{an}收敛，并求．标准答案：先证明{an}单调减少．a2＝0，a2＜a1；设ak+1，＜ak，ak+2＝－，由ak+1＜ak得1－ak+1＞1－ak，从而，即aa+2＜ak+1，由归纳法得数列{an}单调减少．现证明an≥－a1＝1≥－，设ak≥－，则1－ak≤，从而－，即ak+1≥－，由归纳法，对一切n，有an≥－由极限存在准则，数列{an}收敛，设an＝A，对an+1＋＝0两边求极限得A＋＝0，解得．知识点解析：暂无解析15、设χ1＝2，χn+1＝2＋，求．标准答案：令＝l，则l＝1＋，现证明．因为0≤｜χn－l｜＝｜χ1－l｜，且｜χ1－l｜＝0，所以由夹逼定理得知识点解析：暂无解析16、设a1＝1，a2＝2，3an+2－4an+1＋an＝0，n＝1，2，…，求．标准答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)．令bn＝an+1－an，则bn+11／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即解得an＝1＋，所以．知识点解析：暂无解析17、求标准答案：当χ∈[0，1]时，由0≤≤sinnχ≤χn，积分得0≤，而＝0，由迫敛定理得＝0．知识点解析：暂无解析18、讨论函数f(χ)＝的连续性．标准答案：当χ≠0时，函数f(χ)连续，f(0－0)＝＝－1，f(0＋0)＝＝1，f(0)＝1，χ＝0为函数f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析19、讨论函数f(χ)＝(χ＞0)的连续性．标准答案：当χ∈(0，e)时，f(χ)＝＝1当χ＝e时，f(e)＝1，当χ＞e时，f(χ)＝＝lnχ故f(χ)＝因为f(e－0)＝f(e)＝f(e＋0)＝1，所以f(χ)在χ＞0处处连续．知识点解析：暂无解析20、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．标准答案：因为f(χ)为初等函数，所以f(χ)的间断点为χ＝0和χ＝1．因为χ→0时，1－～－χ，所以f(χ)＝－1，即χ＝0为f(χ)的第一类间断点中的可去间断点；因为f(1－0)＝＝0，f(1＋0)＝＝1，所以χ＝1为f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点，并分类．标准答案：显然χ＝0，χ＝1为函数f(χ)的间断点．f(0－0)＝，f(0＋0)＝，因为f(0－0)≠f(0＋0)，所以χ＝0为f(χ)的跳跃间断点；f(1－0)＝，f(1＋0)＝＝0，因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析22、求f(χ)＝的间断点并分类．标准答案：χ＝－1、χ＝0、χ＝1、χ＝2为f(χ)的间断点，由得χ＝－1为第二类间断点，由得χ＝0为可去间断点，由f(χ)＝∞得χ＝1为第二类间断点，由f(2＋0)＝f(χ)＝＋∞得χ＝2为第二类间断点．知识点解析：暂无解析23、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．标准答案：当χ＝0及χ＝±1时f(χ)间断．由f(0－0)＝0，f(0＋0)＝－∞得χ＝0为f(χ)的第二类间断点．由f(1－0)＝－，f(1＋0)＝得χ＝1为f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点，同理χ＝－1也为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝，χ∈[，1)，试补充定义使得f(χ)在[，1]上连续．标准答案：所以令f(1)＝则f(χ)在[，1]上连续．知识点解析：暂无解析25、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点及分类．标准答案：χ＝0及χ＝1为f(χ)的间断点．则χ＝0为f(χ)的可去间断点；因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝0为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：将题设条件f(x)中的所有自变量x都用(一x)替换，得也就是故选D。2、设则f{f[f(x)]}=()A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故选B。3、下列各题计算过程正确的是()A、数列极限B、C、不存在D、标准答案：D知识点解析：A项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则。B项错误，是定式，不能用洛必达法则。C项错误，用洛必达法则求型极限时，若不存在，也不为∞，法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的。故选D。4、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论可排除B、D。对于A、C选项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因故C选项不正确。故选A。5、当x→1时，函数的极限()A、等于2B、等于0C、为∞D、不存在，但不为∞标准答案：D知识点解析：因故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞。故选D。6、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大B、在(一∞，+∞)内有界C、在(一∞，+∞)内无界D、当x→∞时有有限极限标准答案：C知识点解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ—，f(yn)=0。因为，所以f(x)在(一∞，+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大。故选C。7、设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0，则下列结论正确的是()A、若{xn}发散，则{yn}必发散B、若{xn}无界，则{yn}必无界C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足题设条件，由此可排除选项A、B。取xn=0，yn=0，也满足xnyn=0，排除选项C。故选D。8、设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且，则必有()A、an＜bn对任意n成立B、bn＜cn对任意n成立C、极限ancn不存在D、极限bncn不存在标准答案：D知识点解析：由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除选项A、B。极限ancn是一个0·∞型未定式极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除选项C。极限bncn是1·∞型，必为无穷大量，即极限不存在。故选D。也可用举反例法，取an=，bn=1，cn=(n=1，2，…)，则可排除选项A、B、C。故选D。9、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，则f(x)()A、存在且等于零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但，可见C项不正确。故选D。10、设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是()A、若{x1}收敛，则{f(xn)}收敛B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C、若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛标准答案：B知识点解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界。故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛。故选B。11、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时()A、f(x)与x是等价无穷小B、f(x)与x是同阶，但非等价无穷小C、f(x)是比x高阶的无穷小D、f(x)是比x低阶的无穷小标准答案：B知识点解析：利用洛必达法则求解。故选B。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)12、当x→0时，α(x)=kx2与是等价无穷小，则k=______。标准答案：知识点解析：由题设可知所以13、=______。标准答案：2知识点解析：14、=______。标准答案：知识点解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。易知则原式=15、=______。标准答案：1知识点解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即16、=______。标准答案：知识点解析：17、=______。标准答案：知识点解析：18、=______。标准答案：0知识点解析：因为且arctanx为有界函数，即，所以19、设a>0，a≠1，且，则p=______。标准答案：2知识点解析：由于则当x→+∞时，所以原式=(当p=2时成立)。故取p=2。三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)20、试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+4x+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小。标准答案：将麦克劳林展开式代入已知等式得整理得比较系数可得解这个方程组可得知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：原式知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：由麦克劳林展开式因此知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：因为ln(cosx)=ln(1+cosx一1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx一1~一x2。又由麦克劳林展开式因此知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：由麦克劳林展开式因此知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：由麦克劳林展开式及常见的等价无穷小代换，可得知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)和tanx=x+x3+o(x3)，得知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：由麦克劳林展开式故可得知识点解析：暂无解析29、求极限标准答案：由洛必达法则可知知识点解析：暂无解析30、求极限标准答案：由积分上限函数求导法则，且，所以x→0+时，有故知识点解析：暂无解析31、求极限标准答案：因为所以x→0时，有且arcsinx～x。故原式知识点解析：暂无解析32、求极限标准答案：由麦克劳林展开式和洛必达法则可知原式知识点解析：暂无解析33、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、当χ→1时，f(χ)＝的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：显然＝2，因为＝＋∞，而＝0，所以f(χ)不存在但不是∞，选D．2、设f(χ)连续且F(χ)＝f(t)dt，则F(χ)为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：[2χ∫aχf(t)dt＋χ2f(χ)]＝a2f(a)，选B．3、设f(χ)一阶连续可导，且f(0)＝0，f′(0)＝1，则＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3标准答案：B知识点解析：＝e，选B．4、设f(χ)＝，则χ＝0是f(χ)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：当χ＞0时，f(χ)＝＝1；当χ＝0时，f(χ)＝；当χ＜0时，f(χ)＝χ．因为f(0＋0)＝1，f(0)＝，f(0－0)＝0，所以χ＝0为f(χ)的第一类间断点，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：知识点解析：由＝1＋χ2＋＋o(χ4)及ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)，得－1＝χ2＋＋0(χ4)，χln(1＋χ)＝χ2～＋o(χ3)，从而－1－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)，所以8、＝_______．标准答案：知识点解析：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得当χ→0时，χ2－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)～，9、＝_______．标准答案：知识点解析：10、设函数f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＞0，则＝_______．标准答案：知识点解析：11、若(cosχ－b)＝5，则a＝_______，b＝_______．标准答案：a＝1；b＝－4．知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、标准答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，其中ξ介于之间所以知识点解析：暂无解析13、标准答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得知识点解析：暂无解析14、设曲线y＝χn在点(1，1)处的切线交χ轴于点(ξn，0)，求标准答案：y＝χn在点(1，1)处的切线方程为y－1＝n(χ－1)，令y＝0得ξ＝1－，于是＝e－2．知识点解析：暂无解析15、确定常数a，b，c的值，使得当χ→0时，eχ(1＋bχ＋cχ2)＝1＋aχ＋0(χ3)．标准答案：由eχ＝1＋χ＋＋o(χ3)得eχ(1＋bχ＋cχ2)所以b＋1＝a，b＋c＋＝0，＝0，即知识点解析：暂无解析16、确定常数a，c，使得＝c，其中c为非零常数．标准答案：由洛必达法则，故a＝1，c＝．知识点解析：暂无解析17、设(χ-3sin3χ＋aχ-2＋b)＝0，求a，b．标准答案：由麦克劳林公式得sin3χ＝3χ－＋o(χ3)＝3χ－＋0(χ3)，于是sin3χ＋aχ＋bχ3＝(3＋a)χ＋(b－)χ3＋o(χ3)，而＝0，所以知识点解析：暂无解析18、(1)设＝0，求a，b的值．(2)确定常数a，b，使得ln(1＋2χ)＋＝χ＋χ2＋o(χ2)．(3)设b＞0，且＝2，求b．标准答案：(1)由得于是解得a＝1，b＝－3．(2)由ln(1＋2χ)＝2χ－＋o(χ2)＝2χ－2χ2＋o(χ2)，＝4χ.[1－bχ＋o(χ)]＝aχ－abχ2＋o(χ2)，于是．解得a＝－1，b＝3．知识点解析：暂无解析19、设＝2，求a，b．标准答案：由ln(1－2χ＋3χ)＝(－2χ＋3χ2)－＋o(χ2)＝－2χ＋χ2＋o(χ2)得＝2，则a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知识点解析：暂无解析20、设＝0，求a，b，c，d．标准答案：由，得c＝－1，所以a，b，c，d满足的条件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常数．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)＝是连续函数，求a，b．标准答案：f(χ)＝因为f(χ)是连续函数，所以f(－1－0)＝－1＝f(－1)＝(a－b－1)＝f(－1＋0)＝a－b，f(1－0)＝a＋b＝f(1)＝(a＋b＋1)＝f(1＋0)＝1，解得a＝0，b＝1．知识点解析：暂无解析22、确定正数a，b，使得＝2．标准答案：显然b＝1，且＝2，故a＝1．知识点解析：暂无解析23、求常数m，n，使得＝3．标准答案：由＝3得m＋n＋1＝0，再由得m＋2＝6，解得m＝4，n＝－5．知识点解析：暂无解析24、设an＝，证明：{an}收敛，并求．标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n＝1时，a1＝≤3，设n＝k时，ak≤3，当n＝k＋1时，ak+1＝＝3，由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以an存在．令an＝A，由an+1＝，得A＝，解得A＝3，即an＝3．知识点解析：暂无解析25、设a1＝1，an+1＋＝0，证明：数列{an}收敛，并求．标准答案：先证明{an}单调减少．a2＝0，a2＞a1；设ak+1＜ak，ak+2＝－，由ak+1＜ak得1－ak+1＞1－ak，从而，即ak+2＜ak+1，由归纳法得数列{an}单调减少．现证明an≥－由归纳法，对一切n，有an≥－由极限存在准则，数列{an}收敛，设＝A，对n+1＋＝0两边求极限得A＋＝0，解得知识点解析：暂无解析26、设χ1＝2，χn+1＝2＋，求．标准答案：令χn＝l，则l＝1＋，现证明因为0≤｜χn－l｜＝且｜χ1－l｜＝0，所以由夹逼定理得知识点解析：暂无解析27、设a1＝1，a2＝2，3an+2－4an-1＋an＝0，n＝1，2，…，求．标准答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)．令bn＝an+1－an，则bn+1／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即解得an＝1＋，所以知识点解析：暂无解析28、求．标准答案：当χ∈[0，1]时，由0≤≤sinnχ≤χn，积分得0≤而＝0，由迫敛定理得＝0．知识点解析：暂无解析29、讨论函数f(χ)＝的连续性．标准答案：当χ≠0时，函数f(χ)连续，f(0)＝1，χ＝0为函数f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第7套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设f(x)=，则f{f[x)]}等于()A、0。B、1。C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f(x))]}=f(1)=1。故选B。2、当X→1时，函数的极限()A、等于2。B、等于0。C、为∞。D、不存在，但不为∞。标准答案：D知识点解析：因故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞，应选D。3、设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且=∞，则必有()A、an＜bn对任意n成立。B、bn＜cn对任意n成立。C、极限ancn不存在。D、极限bncn不存在。标准答案：D知识点解析：由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除A、B；而极限是一个0·∞型未定式极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除C；极限bncn是1．∞型，必为无穷大量，即极限不存在。因此选项D正确。也可用举反例法，取an=，bn=1，cn=n(n=1，2，…)，则可立即排除A、B、C，因此正确选项为D。4、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时()A、f(x)与x是等价无穷小。B、f(x)与x是同阶，但非等价无穷小。C、f(x)是比x高阶的无穷小。D、f(x)是比x低阶的无穷小。标准答案：B知识点解析：利用洛必达法则求解。=ln2+ln3=ln6，故选B。5、当x→0＋时，与等价的无穷小量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x→0＋时，有以下等价无穷小：由排除法可知正确选项为B。6、设x→0时，(1+sinx)x一1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x一1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：当x→0时，(1+sinx)x一1=exln(1＋sinx)一1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，(esin2x一1)ln(1+x2)～sin2x．x2～x4，而xtanxn～x．xn=xn＋1。因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。7、当x→0时，f(x)=x一sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则()A、a=1，b=。B、a=1，b=。C、a=一1，b=。D、a=一1，b=。标准答案：A知识点解析：本题可以利用排除法解答，由于ln(1—bx)与一bx为等价无穷小，则所以a3=一6b，故排除B，C。另外是存在的，即满足1—acosax→0(x→0)，故a=1，排除D。所以本题选A。8、设=2，其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4d。B、b=一4d。C、a=4c。D、a=一4c。标准答案：D知识点解析：当x→0时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均为x的一阶无穷小；而1一cosx，1—e－x2均为x的二阶无穷小，因此有故有=2，即a=一4c，故选D。9、设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点。B、[φ(x)]2必有间断点。C、f(φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案：D知识点解析：借助极限的四则运算性质可知，连续×间断=由题意知，函数f(x)连续，且f(x)≠0，则必定间断，故选D。10、设函数f(x)=，则()A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点。B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点。C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点。D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点。标准答案：D知识点解析：显然函数f(x)在x=0，x=1两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。因为=∞，所以x=0为第二类间断点；因为=一1，所以x=1为第一类间断点。故应选D。11、函数f(x)=在[一π，π]上的第一类间断点是x=()A、0。B、1。C、。D、。标准答案：A知识点解析：可以先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。显然函数在x=0，x=1，x=±均无意义，而故x=0为函数f(x)的第一类间断点，故应选A。12、函数f(x)=的无穷间断点的个数是()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：B知识点解析：已知f(x)=有间断点x=0，±1。所以正确选项为B。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)13、=_________。标准答案：知识点解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。易知(x→0)，则14、=_________。标准答案：知识点解析：15、=_________。标准答案：知识点解析：16、=_________。标准答案：知识点解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，17、数列xn==_________。标准答案：知识点解析：利用等价无穷小因子，当n→∞时由麦可劳林展开式ln(1＋t)=t－t2＋o(t2)(t→0)得，18、设函数f(x)=在x=0处连续，则a=___________。标准答案：知识点解析：已知f(x)在x=0处连续，则所以a=。19、已知函数f(x)连续，且=1，则f(0)=_________。标准答案：2知识点解析：因此f(0)=2。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)20、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式arctanx=x一x3+o(x3)，sinx=x一+o(x3)，ln(1+x)=x一+o(x2)，因此知识点解析：暂无解析22、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)和tanx=x+x3+o(x3)，得知识点解析：暂无解析23、求极限。标准答案：由积分上限函数求导法则，且。故知识点解析：暂无解析24、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=。25、求a的值；标准答案：=1，即a=1。知识点解析：暂无解析26、若x→0时，f(x)一a与xk是同阶无穷小，求常数k的值。标准答案：当x→0时，又因为当x→0时，x—sinx与x3是等价无穷小，故由题设，x→0时，f(x)一a与xk是同阶无穷小，所以k=1。知识点解析：暂无解析27、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限。标准答案：由洛必达法则可知知识点解析：暂无解析29、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析30、(I)证明方程xn+xn－1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限。标准答案：(Ⅰ)根据题意，令f(x)=xn+xn－1+…+x一1，则f(1)＞0，又＜0。结合零点定理可得，f(x)=xn+xn－1+…+x一1在(，1)内至少存在一个零点，即方程xn+xn－1+…+x=1在区间(，1)内至少有一个实根。又因为f(x)=xn+xn－1+…+x一1在(，1)上是单调的，可知f(x)=xn+xn－1＋…+x一1在(，1)内最多只有一个零点。综上所述，方程xn+xn－1+…+x=1在区间(，1)内有且仅有一个实根。(Ⅱ)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn－1+…+xn一1=0，进而有xn＋1n+xn＋1n+…+xn＋1一1=0，所以xn＋1n+xn＋1n－1+…+xn＋1—1＜0，比较上面两个式子可知xn＋1＜xn，故{xn}单调递减。又由(Ⅰ)知＜Xn＜1，也即{xn}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设xn=a，可知a＜x2＜x1=1。当n→∞时，知识点解析：暂无解析31、求函数f(x)=，所有的间断点及其类型。标准答案：函数f(x)有可疑点x=0，x=1，x=一1，且所以x=0为跳跃间断点，x=1为可去间断点，x=一1为无穷间断点。知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第8套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域内g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域内g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)．设x→0时，令f(x)=x2，可排除(B)，(C)．因此选(D)．2、设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数为()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、|f(x)|标准答案：B知识点解析：方法一若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=|f(x)+sinx]一sinx在点x0处也连续，与已知矛盾．方法二排除法．设则f(x)在点x=0处间断，但f(x)sinx=0在x=0处连续．若设则f(x)在点x=0处间断，但f2(x)=1，|f(x)|=1在x=0处都连续．故可排除(A)，(C)，(D)．3、设当x→x0时，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是无穷小，则当x→x0时，下列表达式中不一定为无穷小的是()A、B、C、ln[1+α(x)．β2(x)]D、|α(x)|+|β(x)|标准答案：A知识点解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小．4、下列各项中与的定义相悖的是()A、对于任意给定的正数α＞0，存在正整数N，当n≥N+2时，有|an一A|＜2αB、对于任意给定的正数α＞0，存在正整数N，当n＞2N时，有|an一A|＜α2C、对于任意给定的正数α＞0，存在正整数N，当n＞N时，有|an一A|＜2αD、对于任意给定的正数α＞0，存在正整数N，当n≥N2时，有|an一A|≤标准答案：C知识点解析：对于数列极限教材写法一般为：正整数N＞0，当N＞N时，有|an一A|＜a．这里，α作为衡量|an一A|大小的尺度，只需要满足任意小的正数即可，而不必拘泥于表达形式，(A)中的2α，(B)中的α2，(D)中的均可在α＞0时，任意小，但(C)中的2α＞1，不可能为任意小，故选(C)．至于对“n＞N”的其他写法，(A)(B)(C)(D)均可接受．5、若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是()A、第一类间断点B、第二类间断点C、既有第一类间断点也有第二类间断点D、结论不确定标准答案：A知识点解析：不妨设f(x)单调递增，且|f(x)|≤M，对任一点x0∈(a，b)，当x→x0-时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当x→x0+时，f(x)随着x减小而减小且有下界，故存在，故x0只能是第一类间断点．6、设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：则n=3时，二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、设则α，β的值分别为____________．标准答案：知识点解析：所以α=5，8、标准答案：知识点解析：9、标准答案：2知识点解析：10、若当x→0时，有则a=______________．标准答案：一3知识点解析：当x→0时，故a=一3．11、当x→0时，若有则A=____________，k=___________．标准答案：知识点解析：则k=2，即12、当x→π时，若有则A=_________，k=___________．标准答案：知识点解析：当x→π时，故k=2．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)13、设f(x)=x2+ax+b，证明：|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于2．标准答案：反证法．设|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|都小于2，即|f(1)|=|a+b+1|＜2，|f(3)|=|3a+b+9|＜2，|f(5)|=|5a+b+25|＜2，则|f(1)一2f(3)+f(5)|≤|f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|＜2+2×2+2=8．事实上，|f(1)一2f(3)+f(5)|=|a+b+1—6a-2b-18+5a+6+25|=8，与上面结论矛盾，故|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于2．知识点解析：暂无解析14、求极限：标准答案：因为即又所以知识点解析：暂无解析15、求极限：标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限：标准答案：因为当x→0时，又故原极限=知识点解析：暂无解析17、求极限：标准答案：知识点解析：暂无解析18、求极限：标准答案：知识点解析：暂无解析19、求极限：标准答案：因为故原极限=知识点解析：暂无解析20、求极限：ai＞0，且ai＞≠1，i=1,2,…n,n≥2.标准答案：故原极限=知识点解析：暂无解析21、求极限：a＞0.标准答案：方法一原极限等价于求令f(t)=arctant，由拉格朗日中值定理可得故方法二令所以知识点解析：暂无解析22、设求标准答案：因为所以其中又当x→0时，ax一1=exlna一1～xlna．所以因此f(x)～Axlna．sinx(x→0)，于是得到知识点解析：暂无解析23、已知存在，且求f(x)．标准答案：设令x一1=t，则知识点解析：暂无解析24、设f(x)是三次多项式，且有求标准答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而可知x一2a，x一4a为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)．于是解得所以故知识点解析：暂无解析25、设求a，b的值．标准答案：因为所以故a=1．又所以b=一4．知识点解析：暂无解析26、确定常数a和b的值，使标准答案：于是ln(1—2x+3x2)=一2x+3x2一(一2x+3x2)2+o(x2)=一2x+x2+o(x2)，代入即得知识点解析：暂无解析27、设函数证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．标准答案：故知识点解析：暂无解析28、已知：求常数A，B，C，D．标准答案：知识点解析：暂无解析29、已知数列{xn}的通项求标准答案：因为故由夹逼准则有知识点解析：暂无解析30、设a1=2，证明：存在并求其极限值．标准答案：因为所以{an}有下界．下面再证明{an}单调递减．即an+1≤an，所以存在．令代入有则A=1(A=一1舍去)．知识点解析：暂无解析31、设x1=1，求标准答案：假设xn＞xn-1，则即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn=1＞xn．又所以{xn}单调递增且有上界，故{xn}收敛．记对等式xn+1=1+两边取极限，得即a2一a一1=0．解得因xn≥1，故负值不合题意，于是知识点解析：暂无解析已知数列{xn}的通项n=1，2，…．32、证明标准答案：知识点解析：暂无解析33、计算标准答案：又故知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第9套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设当χ→0时，有aχ3＋bχ2＋cχ～sintdt，则()．A、a＝，b＝1，c＝0B、a＝－，b＝1，c＝0C、a＝，b＝－1，c＝0D、a为任意常数，b＝2，c＝0标准答案：D知识点解析：因为当χ→0时，aχ2＋bχ2＋cχ～sintdt，得a为任意常数，b＝2，选D．2、设f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为B．3、设f(χ)＝∫0χdt∫0ttln(1＋u2)du，g(χ)＝(1－cost)dt，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：得n＝5且χ→0时，f(χ)～χ5由得m＝6且χ→0时，g(χ)～χ6，故χ→0时，f(χ)是g(χ)的低阶无穷小，应选A．4、设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且anbn＝0，则bn＝0D、若an为无穷大，且anbn＝0，则bn一定是无穷标准答案：D知识点解析：A项不对，如an＝2＋(－1)n，bn＝2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn＝3，显然{anbn}收敛；选项B、C都不对，如an＝n[1＋(－1)n]，bn＝n[1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn＝0，显然{anbn}有界且bn≠0；正确答案为D．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)5、＝_______．标准答案：1知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、＝_______．标准答案：知识点解析：因为当χ→0时，，9、当χ→0时，χ－sinχcos2χ～cχk，则c＝_______，k＝_______．标准答案：；3．知识点解析：因为χ→0时，sinχ＝χ－＋o(χ3)，cos2χ＝1－＋o(χ2)＝1－2χ2＋o(χ2)，sinχcos2χ＝χ－χ3＋o(χ3)，所以χ－sinχcos2χ＝，故c＝，k＝3．10、设＝∫－∞atetdt，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：由ea＝aea－ea得a＝2．11、＝_______．标准答案：知识点解析：12、＝_______．标准答案：知识点解析：13、(1)设＝8，则a＝_______．(2)设χ－(a＋bcosχ)sinχ为χ的5阶无穷小，则a_______，b_______．(3)设当χ→0时，f(χ)＝ln(1＋t)dt～g(χ)＝χa(ebχ－1)，则