物理（人教版必修2）练习培优课（四）万有引力定律的综合应用（培优作业）

培优作业(四)万有引力定律的综合应用A组(15分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力)为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度g取10m/sA．2倍 B．3倍C．4倍 D．0.5倍解析：设此时火箭离地球表面高度为h．由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma ①在地球表面处：mg＝Geq\f(Mm,R2) ②由①式可得g′＝0.625m/s又因h处，mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2) ④由②④式得eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,R＋h2)代入数据，得h＝3R，故选项B正确．答案：B2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比()A．轨道半径变小 B．向心加速度变小C．线速度变小 D．角速度变小解析：探测器做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，则Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知周期T较小的轨道，其半径r也小，选项A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r，整理得an＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(G\f(M,r))，ω＝eq\r(G\f(M,r3))，可知半径变小，向心加速度变大，线速度变大，角速度变大，故选项B、C、D错误．答案：A3．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如下图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比m1∶m2＝3∶2，则可知()A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为2LD．m2做圆周运动的半径为2L解析：设两星的运动半径分别为r1和r2，由于两星的周期相同，据ω＝2π/T知，它们的角速度相同，选项B错误．两星之间的万有引力等于它们的向心力，即m1r1ω2＝m2r2ω2，而r1＋r2＝L，所以r1＝eq\f(2,5)L，r2＝eq\f(3,5)L，选项C正确，选项D错误．又因v＝ωr，所以v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项A错误．答案：C4．(多选)地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是()A．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B．eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2C．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))解析：设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωeq\o\al(2,1)r，a2＝ωeq\o\al(2,2)R，ω1＝ω2解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，可知选项A正确，选项B错误．由万有引力定律得对同步卫星：Geq\f(Mm1,r2)＝m1eq\f(v\o\al(2,1),r)对近地卫星：Geq\f(Mm2′,R2)＝m2′eq\f(v\o\al(2,2),R)由以上两式解得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))，可知选项D正确，选项C错误．答案：AD5．我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R(PAKSAT－1R)成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是()A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度B．离地面的高度一定，相对地面保持静止C．绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：第一宇宙速度是卫星围绕地球运行的最大速度，所以该卫星的运行速度小于第一宇宙速度，当然更小于第二宇宙速度，选项A错误；同步卫星是相对于地面静止的卫星，它的周期T＝24h，位于赤道正上方某一确定高度h，选项B正确；同步卫星的运行周期为24h，月球绕地球运行的周期约为30天，所以同步卫星绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期小，选项C错误；同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，由a＝rω，知同步卫星的向心加速度大，选项D错误．答案：B6．(多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟六号”宇宙飞船(周期约90分钟)、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲B．它们运动的线速度大小关系是v乙<v丙<v甲C．已知甲运动的周期T甲＝24h，可计算出地球的密度ρ＝eq\f(3π,GT\o\al(2,甲))D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝eq\f(4π2r\o\al(3,乙),GT\o\al(2,乙))解析：ω甲＝ω丙、r甲<r丙，由a＝rω2、v＝ωr知，线速度v甲<v丙，向心加速度a甲<a丙；乙和丙都在地球的引力作用下绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，a＝Geq\f(M,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，r乙<r丙，有a乙>a丙，v乙>v丙，故选项A正确，选项B错误．对于甲物体，万有引力的一个分力提供向心力，假设地球半径为R，质量为M，那么赤道上质量为m的物体受到的万有引力为eq\f(GMm,R2)，而物体做匀速圆周运动的向心力公式F＝eq\f(m4π2R,T2).条件中告诉我们周期T甲，故有eq\f(GMm,R2)>eq\f(m4π2R,T\o\al(2,甲))，可得eq\f(M,R3)>eq\f(4π2,GT\o\al(2,甲))，密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)>eq\f(3π,GT\o\al(2,甲))，选项C错误；对于乙物体，万有引力提供向心力，eq\f(GMm,r\o\al(2,乙))＝eq\f(m4π2r乙,T\o\al(2,乙))，可得M＝eq\f(4π2r\o\al(3,乙),GT\o\al(2,乙))，故选项D正确．答案：AD二、非选择题(每小题10分，共20分)7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以eq\f(g,2)的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的eq\f(17,18).已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′由牛顿第二定律得eq\f(17,18)mg－mg′＝m·eq\f(g,2)得g′＝eq\f(4,9)g ①由万有引力定律知Geq\f(Mm,R2)＝mg ②Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′ ③由①②③式联立得h＝eq\f(R,2)．答案：eq\f(R,2)8．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起．设两者相距为L，质量分别为m1和m2．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)试写出它们角速度的表达式．解析：双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝Geq\f(m1m2,L2)，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如答图所示．(1)分别对这两星应用牛顿第二定律列方程，对m1有Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①对m2有Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②由①②得eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)由线速度与角速度的关系v＝ωR，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)．(2)由①得R1＝eq\f(Gm2,L2ω2)由②得R2＝eq\f(Gm1,L2ω2)又L＝R1＋R2联立以上各式得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))．答案：(1)见解析(2)eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))B组(15分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的三分之一，若从地球上高h处平抛一物体，射程为63m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，A．189mC．7m解析：设地球质量为M，半径为R，表面重力加速度为g．则在地球表面：Geq\f(Mm,R2)＝mg．在星球表面：Geq\f(M′m,R′2)＝mg′，即Geq\f(9Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)R))2)＝mg′解得g′＝81g根据平抛规律，在地球：x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))．在星球：x′＝v0t′＝v0eq\r(\f(2h,g′))＝v0eq\r(\f(2h,81g))．所以x′＝eq\f(1,9)x＝7m，故选项C正确．答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.则地球的密度为()A．eq\f(3πg0－g,GT2g0) B．eq\f(3πg0,GT2g0－g)C．eq\f(3π,GT2) D．eq\f(3πg0,GT2g)解析：在地球两极重力等于万有引力，即有mg0＝Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(4,3)πρmGR，在赤道上重力等于万有引力与向心力的差值，即mg＋meq\f(4π2,T2)R＝Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(4,3)πρmGR，联立解得ρ＝eq\f(3πg0,GT2g0－g)，选项B正确．答案：B3．(多选)可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道()A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的解析：人造卫星飞行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故选项A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以选项B错误；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为36000km，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动．答案：CD4．(多选)如图所示发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，下列说法正确的是()A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度解析：由于轨道1和3上的卫星均做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，因为r3>r1，所以v3<v1，选项A错误；由eq\f(GMm,r2)＝mω2r知，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因为r3>r1，所以ω3<ω1，则选项B正确；由牛顿第二定律知eq\f(GMm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，卫星的加速度由该点到地球球心的距离决定，所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，选项C错误，选项D正确．答案：BD5．(多选)(2015·天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．如图所示，纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则()A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大解析：题图中两条曲线的左端点对应的横坐标相同，表明两颗行星的半径相同，由万有引力提供向心力可得，Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，由题图可知，P1的质量大，因此P1的平均密度大，选项A正确；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，因此质量大的行星第一宇宙速度大，选项B错误；由a＝eq\f(GM,r2)可知，s1的向心加速度大，C项正确；由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(2π,T)2得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因此同一高度处，质量大的行星的卫星公转周期小，选项D错误．答案：AC6．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比()行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球6.4×1066.0×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大解析：根据万有引力定律可知eq\f(GM太m,r2)＝meq\f(2π,T)2r，得公转周期公式T＝eq\r(\f(4π2r3,GM太))，对同一中心天体，环绕天体的公转半径越大，公转周期越大，选项A错误；根据公式a＝eq\f(GM太,r2)，得环绕天体的公转半径越大，向心加速度越小，选项B正确；对于天体表面的重力加速度，由g＝eq\f(GM,R2)，得g地＞g火，选项C错误；由第一宇宙速度公式v1＝eq\r(\f(GM,R))，得v1地＞v1火，选项D错误．答案：B二、非选择题(每小题10分，共20分)7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．(地球表面重力加速度g取10m/s2，(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．解析：(1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为t＝eq\f(2v0,g)在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为5t＝eq\f(2v0,g′)所以g′＝eq\f(1,5)g＝2m/s2